1 lytningsgeometri lytningsgeometri
2 At undersøge mønstre i kunst, arkitektur, flisebelægninger og dekorationer giver mulighed for en undersøgende tilgang til geometrien i det hele taget. Læreren har her mulighed for at bygge på elevers eget undersøgende arbejde som udgangspunkt for at lære nyt. Eleverne kan selv fremstille smukke mønstre efter bestemte retningslinjer, eller de kan inspireres af andre mønstre til at skabe selv. Læreren kan give dem nogle begrænsninger, der tvinger dem ud i matematiske overvejelser over, hvordan deres mønster kan se ud. Det undersøgende arbejde med forskellige grader af udfordring og den mere sikre håndværksmæssige tilgang vil typisk spille sammen i en undervisning. Det er lærerens opgave at finde balancen i hver enkelt situation, styret af læseplanens ord: Ved at give eleverne mulighed for at tegne, beskrive og undersøge forskellige figurer og mønstre skabes baggrund for dialog om geometriske metoder og begreber. Tegning og undersøgelse skal blandt andet foregå ved hjælp af it. Arbejdskortene i denne serie rummer derfor dels problemstillinger, hvor hensigten er, at læseren selv kan få indsigt i flytningsbegrebet, dels problemstillinger, der kan give idéer til at igangsætte og styre elevers arbejde med symmetrier og mønstre på mellem- og sluttrin. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I bliver fortrolige med det grundlæggende matematiske indhold i flytninger og symmetrier arbejder med mønstre og opdager matematikken i dem får idéer til, hvordan elever i skolen kan arbejde med mønstre og matematik får et matematikdidaktisk beredskab til at udfordre eleverne i deres mønsterarbejde. -serien består af disse arbejdskort: 1 Undersøg flytninger 2 Sammensætning af to spejlinger 3 Glidespejling. Sammensætning af tre spejlinger 4 riser 5 ladedækkende mønstre 6 Gitre bag fladedækkende mønstre lytningsgeometri
3 1 Undersøg flytninger I skal i dette arbejdskort bruge et dynamisk geometriprogram til at undersøge de forskellige flytningstyper. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får grundlæggende indsigt i forskellige flytningstyper arbejder undersøgende med flytninger, både med papir og blyant og med it rejser nye problemstillinger, I måske senere kan finde løsninger til sætter jer ind i aktiviteter, som elever i skolen kan arbejde med, og finder frem til, hvilke problemstillinger og udfordringer, I som lærere kan stille eleverne i forbindelse med aktiviteterne. 1 Spejling En spejling Tegn en skæv trekant eller firkant i dit dynamiske geometriprogram. Tegn en spejlingsakse og spejl figuren i spejlingsaksen. Brug tegningen til at definere, hvad en spejling er. Beskriv, hvad man skal gøre ved de enkelte punkter for at udføre den givne spejling i hånden. Argumentér for, at det faktisk er en flytning, I har udført. lytningsgeometri
4 Tag et stykke papir. old det på midten. Klip som til et gækkebrev ind over foldningen. - Klip så den færdige figur bliver en firkant. Hvilken type firkant bliver det? - Klip, så den færdige figur bliver et kvadrat. Hvordan skal der klippes? - Klip så den færdige figur bliver en trekant. Hvordan skal der klippes? Tegn i et dynamisk geometriprogram de situationer, I lige har klippet, altså tegn en spejlingsakse og konstruér de figurer, der ligger langs spejlingsaksen og ved spejling giver henholdsvis firkant, kvadrat og trekant. 2 Drejning En drejning Tegn en skæv trekant eller firkant i et dynamisk geometriprogram. Afsæt et punkt O, som I vil dreje omkring, og drej figuren et antal grader. Brug tegningen til mundtligt at definere, hvad en drejning er. Beskriv, hvad man skal gøre ved de enkelte punkter for at udføre den givne drejning i hånden. Vis i tegneprogrammet, at alle trekantens punkter er drejet det samme antal grader om O. Argumentér for, at det faktisk er en flytning, I har udført. lytningsgeometri
5 En ni-takket stjerne Hvordan kan figuren herover konstrueres i et dynamisk geometriprogram? 3 Parallelforskydning En parallelforskydning Tegn en skæv trekant eller firkant i et dynamisk geometriprogram. oretag en parallelforskydning i en bestemt retning et bestemt stykke. Brug tegningen til mundtligt at definere, hvad en parallelforskydning er. Beskriv, hvad man skal gøre ved de enkelte punkter for at udføre den givne parallelforskydning i hånden. Argumenter for, at det faktisk er en flytning, I har udført. lytningsgeometri
6 4 Er der mon flere flytninger? orestil jer, I har en figur i tegneplanen (den mørkeblå firkant øverst til venstre på tegningen herunder), som er blevet flyttet rundt til andre positioner (alle de øvrige farvede firkanter). Mon det er muligt at flytte den blå firkant til hver af de øvrige positioner blot ved at anvende de flytninger, I lige har arbejdet med, enten en spejling eller en drejning eller en parallelforskydning? Altså, hvordan vil I få blå over i lilla? Hvordan vil I få blå over i grøn osv.? I kan bruge gennemsigtigt papir, eller I kan tegne tilsvarende figurer i jeres geometriprogram. Beskriv hver af situationerne. Spejlingsakser, drejningspunkter og forskydningsvektor skal angives på figuren. Var det altid muligt at flytte den blå firkant til hver af de øvrige positioner? Hvilke problemer løber I ind i? lytningsgeometri
7 Idéer til arbejde med flytninger Der er mange muligheder for at finde spændende sider på nettet med idéer til børns arbejde med flytninger. Det varierer lidt, hvad der ligger, så det kan være, at det der ligger på nettet i skrivende stund er blevet erstattet af noget andet. Vi foreslår jer at starte med følgende link fra Utah State University http://nlvm.usu.edu/. Her er en sand guldgrube af muligheder. Alle emner i skolematematikken er berørt. Der er differentieret efter klassetrin og emne. I kan enten lade klassetrinnet være styrende eller emnet. Gå fx ind under geometri og led efter Transformations reflection, Transformations rotation og Transformations Translation. Vælg hvilke opgaver, I vil arbejde med. I hvert tilfælde skal I undersøge, hvad I kan lære undersøge, hvad eleverne har mulighed for at lære finde frem til, hvilke spørgsmål, I ville stille eleverne, 1) hvis de har svært ved at komme i gang 2) hvis de bare kan det hele. Hvis I ikke kan finde det foreslåede link, kan I prøve følgende søgeord direkte: Transformations reflection, Transformations rotation, Transformations Translation. lytningsgeometri
8 2 Sammensætning af to spejlinger I dette arbejdskort skal I bruge et dynamisk geometriprogram til at undersøge sammensætning af spejlinger. Hensigten med dette arbejdskort er, at I udvikler fortrolighed med flytningsbegrebet undersøger sammensætning af spejlinger. 1 Sammensætning af to spejlinger En spejling er bestemt ved sin spejlingsakse, så hvis vi skal undersøge sammensætningen af to spejlinger, må vi dele undersøgelsen op i de tre tilfælde: 1. spejlingsakserne er sammenfaldende 2. spejlingsakserne er parallelle 3. spejlingsakserne skærer hinanden. Hvis de to spejlingsakser er sammenfaldende, hvad bliver så resultatet af de to spejlinger? Hvis de to spejlingsakser er parallelle, hvad mon så resultatet af de to spejlinger bliver? Tegningen herunder viser en blå firkant, der er spejlet først i linjen a over i den røde firkant og dernæst i linjen b over i den grønne firkant. oretag en tilsvarende konstruktion i dit geometriprogram og eksperimenter med at flytte hjørnerne i firkanten og med at flytte spejlingsakserne. Hvilken flytning ser ud til at være resultatet af de to spejlinger? Prøv at bevise din hypotese! lytningsgeometri
9 Du kan fx anbringe et punkt et passende sted og udføre spejlingerne. Hvor lang er afstanden mellem punktet og dets billede efter de to spejlinger sammenlignet med afstanden mellem spejlingsakserne? Prøv at anbringe dit punkt mellem spejlingsakserne. Gør det nogen forskel? Hvis de to spejlingsakser skærer hinanden, hvad mon så resultatet af de to spejlinger bliver? Tegningen herunder viser en blå firkant, der er spejlet først i linjen a over i den røde firkant og dernæst i linjen b i den grønne firkant. Lav en tilsvarende konstruktion i dit geometriprogram og eksperimenter med at flytte hjørnerne i firkanten og med at flytte spejlingsakserne. Hvilken flytning ser ud til at være resultatet af de to spejlinger? lytningsgeometri
10 Prøv at bevise din hypotese! Brug evt. figuren herunder, hvor punktet A er blevet spejlet i linjen a og derefter videre i linjen b. Du kan bruge kongruensbetragtninger i dit bevis. Hvor stor er vinklen mellem spejlingsakserne? 2 ra parallelforskydning til spejlinger I har nu undersøgt, hvordan det går, når I udfører to på hinanden følgende spejlinger, hvor spejlingsakserne er parallelle. orhåbentlig fandt I frem til, at det gav en parallelforskydning. Prøv nu at gå den modsatte vej og undersøg, hvordan I kan erstatte en parallelforskydning med to spejlinger. Brug et dynamisk geometriprogram til jeres undersøgelse. Hvordan må spejlingsakserne ligge? Kan de ligge på flere måder? Hvad er afstanden mellem spejlingsakserne? lytningsgeometri
11 3 ra drejning til spejlinger I har undersøgt, hvordan det går, når I udfører to på hinanden følgende spejlinger, hvor spejlingsakserne skærer hinanden. orhåbentlig fandt I frem til, at det gav en drejning. Prøv nu at gå den modsatte vej og undersøg, hvordan I kan erstatte en drejning med to spejlinger. Brug et dynamisk geometriprogram til jeres undersøgelse. Hvordan ligger spejlingsakserne? Kan de ligge på flere måder? Hvad er vinklen imellem dem? lytningsgeometri
12 3 Glidespejling. Sammensætning af tre spejlinger. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får grundlæggende indsigt i glidespejlingen sætter jer ind i, at tre på hinanden følgende spejlinger altid giver en glidespejling, hvis de tre spejlingsakser ikke er parallelle eller skærer hinanden i samme punkt. Da I arbejdede med arbejdskort 1, undersøgte I spejling, drejning og parallelforskydning. Og I arbejdede blandt andet med følgende opgave: Mon det er muligt at flytte den blå firkant til hver af de øvrige positioner blot ved at anvende de flytninger, I lige har arbejdet med, enten en spejling eller en drejning eller en parallelforskydning? lytningsgeometri
13 Sandsynligvis havde I problemer med at få flyttet den blå figur over i den orange figur og over i den brune figur. Det lader sig nemlig ikke gøre, hvis man kun må anvende én af de tre flytninger, vi indtil nu har arbejdet med. Men hvis I kombinerer en spejling og en parallelforskydning i spejlingsaksens retning, ja så kan I få den blå figur via den lilla figur over i den orange (se figuren herunder). I har altså nu fundet en ny flytning, som er en kombination af en spejling og en parallelforskydning i spejlingsaksens retning. Lad os lige få en formel definition på denne nye flytning. Glidespejling En glidespejling er fastlagt ved en glidespejlingsakse og en vektor som er parallel med aksen. Ethvert punkt P afbildes i et punkt P, således at P først spejles i aksen og derefter parallelforskydes spejlbilledet i spejlingsaksens retning langs vektoren (eller i omvendt rækkefølge). lytningsgeometri
14 Ved denne afbildning er der ingen fixpunkter. Mon I kan bruge en glidespejling til at få den blå figur flyttet over i den brune? Brug jeres geometriprogram til at undersøge det. Hvor mon glidespejlingsaksen skal ligge, hvis det skal kunne lade sig gøre? Mon det er muligt at konstruere glidespejlingsaksen præcist uden at prøve sig frem? Mon der findes en regel for, hvor den ligger? Sammensætning af tre spejlinger I ved fra arbejdskort 2, at en parallelforskydning er det samme som to spejlinger, hvor spejlingsakserne står vinkelret på parallelforskydningens retning, og hvor længden af parallelforskydningen er det dobbelte af afstanden mellem akserne. Man kunne derfor sige, at en glidespejling, der jo er en parallelforskydning kombineret med en spejling, er tre på hinanden følgende spejlinger, hvor de to akser er parallelle og står vinkelret på den tredje (Se figuren herunder, hvor der først er spejlet i den grønne linje g, dernæst i den blå linje b og til sidst i den røde linje r.). lytningsgeometri
15 Hvad mon der sker, hvis vi sammensætter 3 spejlinger, hvor akserne ikke er parallelle? Mon vi så også får en glidespejling? Lad os prøve. På figuren herunder er vist tre linjer, en grøn g, en blå b og en rød r. Der skal udføres en flytning bestående af 3 på hinanden følgende spejlinger, først i grøn, så i blå og til sidst i rød. Da spejlinger jo er funktioner, bruger vi notationen fra sammensatte funktioner til kort at notere de tre på hinanden følgende spejlinger således: sr sb s g. Bemærk, at den spejling, der skal udføres sidst, står først. Man begynder altså bagfra. På figuren herunder er vist, hvordan de tre spejlinger er udført på et enkelt punkt P. lytningsgeometri
16 Det er nu hensigten at vise, at de tre spejlinger kan erstattes af tre andre spejlinger, hvor de to spejlingsakser er parallelle og vinkelrette på den tredje - altså af en glidespejling. Idéen er at benytte sig af, at to på hinanden følgende spejlinger i akser, der skærer hinanden er en drejning, og at det derfor er lige meget, hvor spejlingsakserne ligger, blot skæringspunktet og vinklen mellem dem bevares (Arbejdskort 2). Beviset gennemføres trinvis under i), ii) og iii). Det er din opgave at blive fortrolig med beviset. Det er en god idé at bruge et dynamisk geometriprogram undervejs. Du kan også bruge gennemsigtigt papir. Det vigtige er, at du selv gennemtænker ændringerne og udfører dem. i) Vi vil gerne have den blå spejlingsakse b erstattet af én, der står vinkelret på den grønne. Det betyder, at vi drejer den røde og den blå spejlingsakse omkring O, så vinklen mellem dem bliver bevaret, samtidig med, at den blå kommer til at stå vinkelret på den grønne. Det betyder, at sr s b kan erstattes af sr' s b' (spejling i den blå stiplede efterfulgt af spejling i den røde stiplede). Tegn de to nye spejlingsakser ind. Vores 3 oprindelige spejlinger sr sb s g er nu erstattet af sr ' sb ' s g. Spejl et punkt på begge måder. Hvad ser du? Spejlingsakserne b og r drejes over i b og r lytningsgeometri
17 r og b er nu blevet erstattet af r og b ii) Men vi kan endnu ikke se, at vi har med en glidespejling at gøre. Der er jo ikke to parallelle spejlingsakser og én vinkelret på. Vi bruger derfor igen tricket med at dreje to spejlingsakser, så vi får den situation, vi ønsker os. Vi har allerede to af akserne til at stå vinkelret på hinanden, nemlig den grønne og den stiplede blå. Nu drejer vi så de to spejlingsakser om deres skæringspunkt, indtil den grønne også står vinkelret på den stiplede røde. Den nye grønne spejlingsakse er g, og den nye blå er b Vores 3 oprindelige spejlinger sr sb s g, som blev erstattet af sr ' sb ' s g, er nu erstattet af sr ' sb '' s g ' Spejlingsakserne g og b drejes over i g og b lytningsgeometri
18 g og b er nu blevet erstattet af g og b, og spejlingerne sr sb s g, er erstattet af sr ' sb '' s g ' - altså en glidespejling Gør rede for ud fra figurerne herover hvordan det er lykkedes at erstatte spejling i tre på hinanden følgende linjer, der ikke står vinkelret på hinanden, med en glidespejling. Spejl i dit geometriprogram et punkt i de oprindelig tre linjer: sr sb s g. Spejl det derefter i de 3 nye linjer: sr ' sb '' s g '. Hvad forventer du, der vil ske? Skete det? lyt punktet. Hvad sker der med spejlbillederne? Hvad nu hvis vi spejler i tre linjer, der skærer hinanden i samme punkt? Hvilken flytning har vi så? Hvad nu hvis de tre linjer er parallelle? Hvilken flytning har vi så? lytningsgeometri
19 4 riser Hensigten med dette arbejdskort er, at I får fortrolighed med, at der rent faktisk er matematiske bindinger i en frise ved at undersøge og producere nogle friser opnår fortrolighed med at argumentere - gerne på flere måder - for, at der er netop 7 forskellige frisegrupper. Analysér de følgende friser og find ud af, hvilke flytninger, der fører hver enkelt frise over i sig selv. Det kan være en god idé at bruge gennemsigtigt papir til at tjekke dine kvalificerede gæt. ind parallelforskydningsvektoren i hver frise. ind spejlingsakser og drejningscentre. ind glidespejlingsvektor. igur 1 igur 2 igur 3 lytningsgeometri
20 igur 4 igur 5 igur 6 igur 7 lytningsgeometri
21 igur 8 igur 9 igur 10 igur 11 risemønster fra Den anglikanske kirke i Rom lytningsgeometri
22 Mexicanske keramikmønstre igur 12. Syv frisemønstre fra mexicansk keramik lytningsgeometri
23 Hvor mange forskellige flytninger mon I fandt i arbejdet med de mange friser? I kapitlet bevises det, at der er 5 forskellige typer af flytninger, der kan være i spil i friser, nemlig: 1. parallelforskydning (som alle friser jo har), 2. spejling i en vandret akse 3. spejling i en lodret akse 4. drejning på 180 o 5. glidespejling. Argumentér for - ud fra de erfaringer, I har gjort med friserne her - hvorfor det netop er de 5 nævnte flytninger, der kan komme på tale. Hvorfor er der fx kun mulighed for 180 graders drejninger og hvorfor er der kun lodrette og vandrette spejlingsakser? Argumentér for, at der er netop 7 frisegrupper. Der findes altså fem forskellige flytninger, der kan føre en frise over i sig selv. Men hvordan kan I argumentere for, at de kan kombineres til netop 7 frisegrupper? Man skulle vel tro, der var mange flere? Nedenfor vises en systematisk måde at undersøge en frise på. Alle friser har jo parallelforskydning, så det, en frise skal undersøges for, er hver af de andre 4 flytninger. ørst spørgsmål: Har frisen op/ned symmetri? Hvis svaret er ja - gå til venstre (den røde vej). Hvis svaret er nej gå til højre (den blå vej). På tilsvarende måde fortsættes videre ned igennem valgtræet. Som det ses af figuren er der 16 forskellige ruter gennem valgtræet. Det betyder, at der umiddelbart synes at være 16 forskellige frisesymmetrikombinationer. Men som tidligere påstået kan kun 7 af disse faktisk forekomme. orklar hvilke 9 veje gennem træet, der er forbudte og hvilke 7, der er tilladte. I kapitlet er givet de matematiske bindinger, du skal bruge for at komme helskindet igennem. risesymmetrikombinationer ja nej Op/ned symmetri? Højre/venstre symmetri? Glidespejlingssymmetri? Drejningssymmetri? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lytningsgeometri
24 remstil friser af hver af de 7 typer, gerne i et dynamisk geometriprogram. I bestemmer selv, hvordan jeres grundmotiv skal se ud. I forberedelsesmaterialet til lærereksamen august 2005 er beskrevet en anden argumentation for, at der findes netop 7 frisegrupper. Denne argumentation tager udgangspunkt i den symmetri, der er i grundmotivet i frisen. Her bruges bogstaverne E S T H. G S E H T G T De 5 bogstaver repræsenterer de 5 muligheder for flytninger i selve grundmotivet. Ved bagefter at anvende henholdsvis parallelforskydning og glidespejling på hvert af bogstaverne skulle man forvente, at der var 10 forskellige friser. Men det viser sig, at nogle af dem er ens. Der bliver heldigvis netop 7 forskellige frisegrupper. Beskriv symmetrigruppen for hvert af de 5 bogstaver. Beskriv frisegruppen for hver af de 5 friser, I får, når I bruger parallelforskydning på de fem bogstaver. Beskriv frisegruppen for hvert af bogstaverne og T, når I bruger glidespejling på dem. Hvorfor giver det ikke en ny frisegruppe, når I glidespejler E og H? Vis, at når I glidespejler S får I en frise med samme frisegruppe som når I glidespejler T. I kan fx lave en transparent af de to friser. Markér drejningspunkterne og spejlingsakserne. lytningsgeometri
25 Navngivning af friser Der findes en række forskellige måder at betegne friser på. Matematikeren John Conway har opfundet to. Den ene er meget original og tager udgangspunkt i bevægelse. Navnene er forsøgt oversat til dansk herunder, men det har nok ikke den samme slagkraft som de engelske ord. STEP skridt HOP hink SPINHOP snurrehink JUMP hop SPINJUMP snurrehop SIDLE sidehop SPINSIDLE snurresidehop Refleksion: I dette arbejdskort har du først arbejdet undersøgende med friserne og derefter systematiseret og ræsonneret for at vise, at der er netop 7 frisegrupper. o Overvej betydningen af, at du har arbejdet undersøgende og eksperimenterende først for derefter at systematisere og ræsonnere. Hvad fik dig rent faktisk til at begribe, hvad der karakteriserer frisernes symmetrier? o Overvej, hvilken betydning det har for eleverne i skolen i deres arbejde med matematik at få mulighed for at have en undersøgende, eksperimenterende tilgang, kombineret med at systematisere og ræsonnere. lytningsgeometri
26 5 ladedækkende mønstre Dette arbejdskort og det næste knytter sig til kapitlets afsnit 4 om fladedækkende mønstre. Det bygger på fortroligheden med parallelforskydning, spejling, drejning og glidespejling. Arbejdskortet rummer problemstillinger, der kan give idéer til at sætte elever i gang med at arbejde med symmetrier på mellem - og sluttrin. Det bygger på læseplanens ord: Ved at give eleverne mulighed for at tegne, beskrive og undersøge forskellige figurer og mønstre skabes baggrund for dialog om geometriske metoder og begreber. Tegning og undersøgelse skal blandt andet foregå ved hjælp af it. Hensigten med dette arbejdskort er, at I undersøger geometrien i fladedækkende mønstre afdækker teknikker ved frembringelse af mønstre bruger et dynamisk geometriprogram til arbejdet med mønstre får idéer til, hvordan børn kan arbejde med mønstre og matematik. Hvilke symmetrier indeholder mønstrene? orsidebilledet til denne serie arbejdskort er et mønster med fladedækkende fisk lavet af Sif Skjoldager, der som lærerstuderende arbejdede med dette emne. Undersøg fiskemønsteret. Hvilke flytninger fører mønstret over i sig selv? Hvor ligger spejlingsakser og drejningscentre? Det kan være en god idé at bruge gennemsigtigt papir til at tjekke dine svar. Også de følgende mønstre i dette arbejdskort er fremstillet af Sif Skjoldager lytningsgeometri
27 Undersøg de følgende mønstre og find ud af, hvilke flytninger, der fører hvert enkelt mønster over i sig selv. ind grundmotivet og det fundamentale område i hvert mønster. ind spejlingsakser og drejningscentre. ind glidespejlingsvektor. lytningsgeometri
28 Hvilke fliser kan dække fladen? Måske har I spurgt jer selv, hvordan Sif har konstrueret de mønstre, I lige har arbejdet med. or at undersøge det vil det være fornuftigt først at kikke på, hvilke enkle brikker, der kan indgå i et fladedækkende mønster. Hvis en flise skal kunne dække fladen, betyder det, at det er muligt at lægge en række ens fliser ved siden af hinanden, uden at der bliver huller. lytningsgeometri
29 Regulære polygoner Undersøg, hvilke regulære polygoner, der kan dække fladen. Prøv først om du kan forestille dig, hvordan det går, hvis du prøver med -den ligesidede trekant -kvadratet - Nå ja, det virker selvfølgelig. Det er jo bare et stykke ternet papir! -den regulære femkant -den regulære sekskant -den regulære syvkant osv. Undersøg derefter med et geometriprogram, hvilke af de regulære polygoner, der kan dække fladen Argumentér for, hvad der er afgørende for, om en regulær polygon kan bruges til fliselægning. Ikke - regulære polygoner orhåbentlig fandt du ud af, at regulære trekanter, firkanter og sekskanter kan dække fladen, men at der faktisk ikke er andre af de regulære polygoner, der kan. Hvorfor? Gad vide, om der findes ikke-regulære polygoner, der kan dække fladen! Undersøg firkanter Ens kvadrater kan dække fladen, og det er vel ligetil, at også ens rektangler kan? Og det er vel også indlysende, at parallelogrammer kan dække fladen? Hvad med en hvilken som helst skæv firkant? Klip nogle ens skæve firkanter ud og se, om det går. Prøv i et dynamisk geometriprogram, om du kan få ens "skæve" firkanter til at dække fladen uden huller. lytningsgeometri
30 Hvad nu hvis firkanten er ukonveks (har et hak ind i formen), er det så muligt at dække fladen helt ved at bruge ens firkanter? Prøv! Prøv at bevise, hvorfor en vilkårlig firkant kan eller ikke kan dække fladen. Det kan være en god ide at kigge på vinkelstørrelser for at komme igennem. Kan en vilkårlig trekant dække fladen? Undersøg og argumentér. Det kan være en god idé at sammensætte to trekanter. Undersøg trekanter Du har lige set, at den regulære femkant ikke kan bruges som fladedækkende brik, men mon der er andre femkanter, der kan? Det er der rent faktisk. Endda en hel del! Man kan blandt andet lave femkanter ud fra trekanter, så femkanten bliver fladedækkende. Vi vil beskrive en enkelt idé: Du skal ændre én af siderne i din trekant ved at ændre halvdelen af siden og dreje ændringen 180 om sidens midtpunkt som vist på figuren. Du har nu en brik, der kan bruges til at lave et fladedækkende mønster. Argumenter for, at den rent faktisk er fladedækkende. Konstruktion af mønstre Idéen ovenfor kan også bruges til at konstruere mønstre. Hvis man har en fladedækkende brik kan man ændre den på samme måde som siden i trekanten herover. Man ændrer halvdelen af siden og drejer ændringen 180 om midtpunktet af siden. lytningsgeometri
31 Prøv nu at gå tilbage til Sifs mønstre og se på, hvad hun kan have gjort for at konstruere de mønstre, hun har lavet. Lav selv et mønster ved at bruge nogle af de teknikker, du har set, eller ved at opfinde nogle nye. Brug dit geometriprogram til konstruktionen. Refleksion: I aghæftet understreges det, at Ved at give eleverne mulighed for at tegne, beskrive og undersøge forskellige figurer og mønstre skabes baggrund for dialog om geometriske metoder og begreber. Tegning og undersøgelse skal blandt andet foregå ved hjælp af it. I dette arbejdskort har vi tilstræbt, at I selv arbejder med at tegne, beskrive og undersøge forskellige figurer og mønstre samtidig med, at I ræsonnerer geometrisk. Mange af aktiviteterne kan i en lidt ændret form bruges til elever på mellemtrin og i overbygningen Vælg nogle af de aktiviteter, I har arbejdet med og lav nogle problemformuleringer, der vil kunne bruges af elever på mellemtrin eller i overbygningen. Brug lærerens tænkebobler (ælles Mål 2009) for at sætte mål for aktiviteterne og overvej nøje, hvad I vil sige til introduktion. Det er vigtigt, at målene for arbejdsmåder, kompetencer og fagligt indhold spiller sammen. Beskriv, hvordan it inddrages i arbejdet. lytningsgeometri
32 6 Gitre bag fladedækkende mønstre Dette arbejdskort knytter sig ligesom arbejdskort 5 - til kapitlets afsnit 4 om fladedækkende mønstre. Vi vil her interessere os for opbygningen af et fladedækkende mønster. Da I arbejdede med arbejdskort 4, fandt I ud af, at der var netop 7 forskellige frisegrupper. På tilsvarende måde er det muligt at finde frem til, at der matematisk set - er netop 17 forskellige flisedækninger. Det skal I ikke vise her, men I skal arbejde undersøgende med at finde frem til, at der faktisk er begrænsninger i antallet af forskellige fladedækkende mønstre. Begrænsningen knytter sig til opbygningen af de gitre, som er grundstrukturen i mønstrene. I skal bruge et dynamisk geometriprogram til at danne og undersøge gitrene. I 1848 viste Auguste Bravais (fransk fysiker), at der kun eksisterer 5 typer af plane gitre, der kan dannes fra 5 grundmotiver, der ved gentagne parallelforskydninger i to forskellige retninger kan skabe en flisedækning af planen. Gitrene adskiller sig ved de symmetrier de indeholder. Hensigten med dette arbejdskort er, at I skal arbejde undersøgende med et dynamisk geometriprogram som redskab til at få en indsigt i, at der eksisterer 5 typer af plane gitre som basis for de 17 mulige flisedækninger af planen får erfaringer med at tænke gennem tegning konstruerer eksempler på flisedækninger skabt ud fra de fem grundmotiver. Konstruktion af et dynamisk gitter Et dynamisk gitter er et gitter konstrueret i et dynamisk geometriprogram, der har den egenskab, at hvis man trækker i et gitterpunkt, så følger hele gitteret med. Konstruktionen vil være forskellig alt efter hvilket geometriprogram, I bruger. Her er brugt GeoMeter. Gitteret kan konstrueres på følgende måde: Afsæt tre frie punkter i planen, der ikke ligger på samme rette linje, navngiv punkterne O, A, B og forbind dem med pile som vist på figuren. O, A, B er de tre første punkter i gitteret. Parallelforskyd gitterpunkterne mange gange i de to retninger indtil du har fået lavet et gitter, der fylder planen på skærmen ud. orbind A og B med et gitterpunkt som kaldes C således at ABCD danner et parallelogram. lytningsgeometri
33 Ved parallelforskydning af dette parallelogram med OA og OB som forskydningsvektorer fås en flisedækning af planen. Hvilke symmetrier denne flisedækning kommer til at besidde afhænger af parallelogrammet. Vis at denne flisedækning altid indeholder en 180 drejning omkring ethvert gitterpunkt. Lav 5 kopier af dit dynamiske gitter (på 5 forskellige sider i dit geometriprogram). Undersøg om du kan finde 5 forskellige muligheder (mht. til symmetrier). Du kan bruge følgende opdeling: 1) OA OB og AOB 90 Vis at denne flisedækning kun besidder en 180 drejningssymmetri omkring ethvert gitterpunkt, ud over parallelforskydningssymmetrierne. 2) orm nu dit gitter, så AOB = 90. Der gælder stadig at OA OB (rektangulært gitter). Hvilke spejlingssymmetrier er der altid i dette rektangulære gitter? Hvilke drejningssymmetrier er der altid? indes der specielle rektangler, der har yderligere symmetrier? lytningsgeometri
34 3) orm dit gitter, så OA = OB (rhombisk gitter) Hvilke symmetrier vil der altid være for rhombiske gitre? indes der specielle rhombiske gitre med yderligere symmetrier? Prøv at forklare, hvad et hexagonalt gitter er. Du har arbejdet med 5 gitterformer ovenfor. Disse kan deles op efter form af grundmotivet. Grundmotivet har form som: et parallelogram et rektangel et kvadrat en rhombe, hvor vinklen er forskellig fra 60, 120 og 90. en rhombe, hvor vinklen mellem siderne er 60 (120). Man kalder dette gitter for hexagonalt. Når grundmotivet påføres et ornament kan dette bevirke, at antallet af symmetrier falder og derved ændres. Dette gør, at man alt i alt kan danne 17 forskellige symmetrigrupper ud fra de 5 gittertyper. Konstruktion og analyse af flisedækninger Konstruér en flisedækning i et dynamisk geometriprogram, der tager udgangspunkt i hvert af de 5 mulige gitre. Konstruer en flisedækning, der indeholder en 60 drejningssymmetri og en glidespejlingssymmetri. Hvilke andre symmetrier indeholder din flisedækning? Hvilken form har grundmotivet for nedenstående flisedækning? Hvilke symmetrier indeholder den? lytningsgeometri
35 lisedækning fra Alhambra Hvad er grundmotivet i den nedenstående flisedækning? Du kan evt. undersøge det ved at lave en model af motivet i et dynamisk geometriprogram, eller du kan lægge billedet ind i et geometriprogram og tegne grundmotivet ind på billedet. ind symmetrierne i billedet. Motiv fra København Rådhus lytningsgeometri
36 Hvilke symmetrier indeholder nedstående flisedækning (der er konstrueret i GeoMeter)? Refleksion: Overvej hvilken betydning det har haft for dine ræsonnementer at du har arbejdet i et dynamisk geometriprogram Hvilke af de 8 kompetencer har været i spil i dit arbejde og på hvilken måde? lytningsgeometri