FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige, at 1 ud af 3 børn er drenge. Der er altså 16 drenge med på skovturen. Når man skal finde kubikroden af et tal, skal man finde et andet og mindre tal, som ganget med sig selv to gange giver det første tal. Kubikroden af 512 er 8, fordi 8 x 8 x 8 = 512 Hvis man lægger tallene 487 og -973 sammen fås -486. Deles dette med to, fås -243, som er gennemsnittet af de to tal, og som derfor må ligge midt imellem dem. Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der går 1.000 millimeter på én meter og der går 1.000 meter på en kilometer. 1.000 gange 1.000 giver 1 million. -12^2=144. Når man skal finde kubikroden af et tal, skal man finde et andet og mindre tal, som ganget med sig selv to gange giver det første tal. Kubikroden af 3.375 er 15, fordi 15 x 15 x 15 = 3.375. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå. For at beregne arealet skal højden på trekanten findes. En ligesidet trekant med sider på 5 meter kan opdeles i to retvinklede trekanter med en grundlinje på 2,5 meter. Pythagoras sætning om retvinklede trekanter siger, at a2 + b2 = c2. I dette tilfælde vides det, at a = 2,5 og c = 5. Højden (b) må derfor være 4,33. Med kendskab til højden på den ligesidede trekant kan arealet beregnes som grundlinje ganget med den halve højde, dvs. 5 * 4,33/2 = 10,83. 1780 svarer til 89 tyvere. Dertil 1 krone og en halvtredsøre. I alt 91 mønter.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 122 1,4,9 er den eneste kombination, som giver sum = 14 og produkt = 36. 979 kan ikke deles med hverken 3, 7 eller 9. Den store viser passerer den lille viser på følgende tidspunkter: 14:11, 15:17, 16:23 og 17:28. De tre mænd kan sætte sig på seks forskellige måder (3x2x1). Det kan kvinderne også, så det samlede antal kombinationer er 6x6=36. 60/3=20 og 60/4=15 og 60/5=12 Et maratonløb svarer til 422 100m løb. 422 * 10 = 4220 sekunder = 1 time, 10 minutter og 20 sekunder = 70 minutter og 20 sekunder. 10 kroner kan købe 20 pund, fordi kroner er dobbelt så meget værd som pund. For de 20 pund kan der købes 5 dollars, fordi dollars er fire gange mere værd end pund. Det tager Frank en halv time at nå rastepladsen, og da han kører 120 km i timen, vil det sige, at den ligger 60 km fremme. Med 90 km/t tager det den langsomme bil 40 min. at køre de 60 km. Forskellen er derfor 10 min. Ved en hastighed på 20 km i timen, tager det tre minutter at køre én kilometer. Bente har 12 km til arbejdet og turen tager altså 12 gange 3 minutter - 36 minutter i alt. Hun skal derfor køre kl. 08:24 9+5+0=14
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 123 Ib betaler 1/8 (= 150 kr.), John 5/8 (= 750 kr.) og Hans 2/8 (= 300 kr.). 150+750+300 = 1.200. Familiens fire ældste børns forbogstaver følger rækkefølgen af vokaler i alfabetet. U er den femte vokal i alfabetet. Pias hår vokser 12 gange 20 millimeter om året svarende til i alt 24 centimeter. Da håret vokser fire gange hurtigere end neglene gør, vokser neglene kun 6 cm i løbet af ét år. Da Johnny starter, har Jimmy kørt 15 km. Da Johnny kører 30 km/t mere end Jimmy, tager det en halv time at indhente forspringet. Hvis fire kvinder kan købe 12 håndtasker på seks timer, kan en kvinde købe tre håndtasker på seks timer (4*3 = 12). En kvinde er altså to timer om at købe en håndtaske. Hvert år øges opsparingen med 50 %. Det første år stiger den fra 200 kr. til 300 kr. Det andet år fra 300 kr. til 450 kr., og det tredje år stiger den fra 450 kr. til 675 kr. 37 * 210 = 7.770,- Først falder den med 50 % af 100 = 50 kr. Dernæst stiger den med 50 % af 50 = 25 kr. 1 stor = 4 små åer = 8 bække. 648 ud af alle tre-cifrede tal (900) består af tre forskellige cifre. (648/900) *100 = 72 %
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 124 21 tyvere, 1 tier, 1 femmer, 2 toere, 1 halvtredsøre. I alt 26 mønter. Lene har kørt 100 km kl. 11:00. Pia har kørt 100 km kl. 10:40. Lars har kørt 100 km kl. 10:45. Jakob har først fire valg, dernæst tre, dernæst to, og det sidste er givet. Regnestykket ser ud som følger: 4 * 3 * 2 * 1 = 24. 54+78+108=240. Summen skal divideres med antallet af tal, altså tre. 240/3 = 80. Dagen forskydes med 1 ugedag pr. år - dvs. 5 dage. Hertil kommer skudår i 1988 og 1992 - i alt 7 dages forskydning. En cirkel er i princippet en figur med uendeligt mange kanter. Jo flere kanter, desto større areal for uændret omkreds. Antallet af gange bogstavet a optræder i bynavnet. I hver kamp kan der vælges 3 muligheder. For at finde antallet af forskellige kuponer skal man derfor gange 3 med sig selv 13 gange, hvilket i matematikken udtrykkes som at opløfte tallet 3 i 13 ende potens. Ganges 3 med sig selv 13 gange fås 1.594.323. Hvert barns navn starter med de samme bogstaver, som dets ældre bror eller søsters navn slutter med. Areal af cirkel beregnes som Pi * Radius^2 Dvs. 3,13 * (5/2)^2 = 19,64.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 125 4,3,3 er den eneste kombination som giver sum = 10 og produkt = 36. Et kvadrattal er et helt tal i anden potens (et tal ganget med sig selv). De næste kvadrattal er 225 (15 gange 15), men det ligger længere fra 200 end 196 gør. 38*38=1.444 Trinene i talrækken øges med 2 trin ad gangen. Buksernes pris eksklusiv moms er 800 kr., fordi 800 kr. + 25 % moms er 1.000 kr. Hvis momsen i stedet kun var 15 %, ville bukserne inklusiv moms koste 800 kr. + 15 % moms = 920 kr. Sandsynligheden for at slå fem ens er 1/6 opløftet i fjerde potens. Det svarer til ca. 0,08 %. For at finde ud af, hvor sandsynligt det er at slå fem ens i løbet af 1.000 slag, er det lettest at beregne sandsynligheden for, at det IKKE lykkes at slå fem ens. Sandsynligheden for IKKE at slå fem ens i ét slag er 99,92 %. Sandsynligheden for IKKE at slå fem ens 1.000 gange i træk er 99,92 % opløftet i 1.000 potens, hvilket svarer til 46 %. Så må sandsynligheden for, at det lykkes være 54 %. Kvadratroden at 6.561 er det tal, som ganget med sig selv giver 6.561. Et kortspil består af 52 kort, og det er lige meget hvilket kort, der bliver trukket først, så er sandsynligheden 52/52 for at trække det rigtige kort. Nu er der 51 kort tilbage i spillet, og tre af dem har samme værdi som det kort, der allerede er taget. Sandsynligheden for at trække et kort af en anden værdi er altså 48/51. For det tredje kort er sandsynligheden 44/50, for det fjerde 40/49 og for det femte 36/48. Hvis alle disse brøker ganges bliver resultatet 50,7 %. Både 6/15 og 8/20 svarer til decimaltallet 0,4. Hvis man lægger tallene 47 og 983 sammen fås 1.030. Deles dette med to fås 515, som er gennemsnittet af de to tal og som derfor må ligge midt imellem dem.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 126 Et primtal er et positivt heltal, som er større end 1, og som kun tallet selv og tallet 1 går op i. Det gælder kun for tallet 71. Ugedagen forskydes med 1 dag om året, men i skudår er forskydningen 2 dage. Det er skudår i både 2000 og 2004, ergo vil der efter fem år være forskudt med 5+2 dage = en uge. Trøjens pris uden moms må være 320 kr, fordi 25% moms af 320 kr. er 80 kr, og trøjens pris i alt inklusive moms dermed bliver 400 kr. Tallet er lig summen af, hvor bogstaverne i navnet er placeret i alfabetet. I er nr. 9, D er nr. 4, og A er nr. 1. A3=2*A4=4*A5=8*A6. Den enkleste måde at regne det ud på er at se på sandsynligheden for IKKE at slå en sekser. Kastes der én gang, er sandsynligheden 5/6. Kastes der to gange, er sandsynligheden 5/6 opløftet i anden potens osv. 5/6 skal opløftes i 26. potens for at sandsynligheden bliver mindre end 1 %. Det svarer til, at sandsynligheden for, at der er mindst én sekser blandt de 26 terninger er over 99 %. De første seks bogstaver er forbogstaverne på ugens dage - søndag starter med s. Forældrene har hver fem søskende, med hver tre børn. Det er (3*5)+(3*5) = 30. Dertil skal lægges dine egne forældres tre børn, og så bliver det i alt 33 fætre. De besøger kun lande, der har en eller flere stjerner i deres flag. Peter betalte 3/6 = 75 kr, Else betalte 1/6 = 25 kr, og Ib betalte 2/6 = 50 kr. I alt betalte de 150 kr.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 127 Den første brik kan være hvilken som helst af de fire. Den anden skal være netop den brik, der matcher den første. Da der er tre brikker tilbage sker det i et ud af tre tilfælde = 1/3. Ud over tallet 80 er alle tallene i rækken såkaldte kvadrattal. Et kvadrattal er et helt tal i anden potens, dvs. et tal ganget med sig selv. 11022011 er en palindrom-dato. Tallene 3 og 23 går op i 69, og tallet er derfor ikke et primtal. 10 % af to mio. kr er 200.000 kr. 30 år á 200.000 kr. = seks mio. kr. Et kubiktal er et helt tal i tredje potens (ganget med sig selv to gange). 2*2*2 = 8, 3*3*3 = 27 og 4*4*4 = 64. Et menneske har 4 bedsteforældre, 8 oldeforældre, 16 tip-, 32 tip-tip-, 64 tip-tip-tip- og 128 tip-tip-tip-tip-forældre. Halvdelen af dem må være kvinder. 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 55. Pythagoras sætning om retviklede trekanter siger, at a2 + b2 = c2, hvor a og b er de to korteste sider, og c er den lange, den såkaldte hypotenuse. Da 3^2 + 4^2 = 25, må c så være 5 cm. Et kvadrat har fire lige lange sider, så hver side af indhegningen kan blive 5 meter lang. Arealet af indhegningen beregnes som 5 meter gange 5 meter = 25 m 2
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 128 Et kortspil består af 52 kort, og da det er lige meget hvilket kort, der bliver trukket først, så er sandsynligheden 52/52 for at trække det rigtige kort. Nu er der 51 kort tilbage i spillet, og de 12 af dem har samme kulør som det første. Der er altså en sandsynlighed på 12/51 for at trække et kort i samme kulør. For tredje kort er sandsynligheden 11/50, for det fjerde 10/49 og for det femte 9/48. Hvis alle disse brøker ganges bliver resultatet = 0,2 %. Ved det første valg er der 50 % chance = 1/2 for at vælge noget brugbart, ved det andet valg er chancen 1/3. Den sammensatte sandsynlighed er derfor 1/2 * 1/3 = 1/6. 2, 12, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82 og 92. Oldebørnene er 10, 12, 14, 16, 18 og 20 år gamle. Her gælder Archimedes lov: I båden fortrænger brostenen vand svarende til sin vægt. I vandet fortrænger den vand svarende til sit rumfang. Da brostenens massefylde er højere end vands, vil den fortrænge mindre vand, når den er kastet. De første 10.000 kr., som Bent indbetaler, bliver med 10 % i årlig rente til 452.592,56 kr. i løbet af 40 år. De næste 10.000 kr., som han indbetaler, bliver med 10 % i årlig rente til 411.477,78 kr. i løbet af 39 år. Fortsættes dette regnestykke for alle 40 indbetalinger, og resultaterne lægges sammen, kan Bents samlede formue opgøres til 4.868.518,11 kr. 27 x 37 = 999. 4*4*4*4*4*4 = 4.096. 6/48 svarer til 1/8 som igen svarer til decimaltallet 0,125. 7*24*60 = 10.080.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 129 Han spiser lakridser ved 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 og 48, dvs. 16 lakridser. Han spiser vingummier ved 7, 14, 21, 28, 35, 42 og 49, dvs. 7 vingummier i alt. Samlet spiser han 23 stykker slik. Børnenes navne bliver ét bogstav kortere for hvert barn i søskendeflokken. En sekretær kan skrive en side på tre minutter, så 12 sekretærer skriver 12 sider på tre minutter og 24 sider på seks minutter. Carl løber 50 % hurtigere end Ben. I det øjeblik Ben har løbet 2 omgange, vil Carl derfor have løbet 3 omgange. Et primtal er et positivt heltal, som er større end 1, og som kun tallet selv og tallet 1 går op i. 1.000 minutter svarer til 16 timer og 40 minutter. JKLMN og PQRST. Et kvadrattal er et helt tal i anden potens (et tal ganget med sig selv). Da der ikke er noget helt tal, der ganget med sig selv giver 215, er 215 ikke et kvadrattal Ved det første valg er der 50 % chance = 1/2 for at vælge noget brugbart, ved det andet valg er chancen 1/3. Den sammensatte sandsynlighed er derfor 1/2 * 1/3 = 1/6. De besøger kun lande, hvis flag er i deres yndlingsfarver blå, hvid og rød.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 130 25+22,5+20+17,5+15=100. Ud af de 37 felter er der 18 røde. Sandsynligheden for et rødt resultat tre gange i træk er derfor 18/37 * 18/37 * 18/37 = 0,115 svarende til 11,5 %. En vare til 100 kr. ex moms ville fx stige fra 125 kr. inkl moms til 150 inkl moms svarende til en stigning på 20 %. Alle piger har navne på fem bogstaver, hvor bogstavet t rykker en plads. 15*15=225 og -15*-15=225 Ved at dividere antallet af kørte kilomenter med antal liter i tanken, beregnes antal kilometer pr. liter diesel. 825 km divideret med 55 liter giver 15 km/liter. 17 gange 17 = 289. I alt seks passager: 1) 15:17, 2) 16:23, 3) 17:28, 4) 18:34, 5) 19:38, 6) 20:44. Børnebørnene er 4, 7, 10, 13 og 16. 3066/6=51. De to andre regnestykker har ikke et helt tal som facit og er derfor ikke en del af seks-tabellen: 2044/6=340,67 og 1022/6=170,33.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 131 De 8 kvadrattal mellem 2 og 99 er: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 og 81. Tallet Pi = 3,1415926535... Den samme dato falder på en ny ugedag hvert år. Er der ikke skudår, forskydes med 1 dag om året. Er der skudår, forskydes med to dage. 25 år = en forskydning på 25 + 6 skuddage = 31 dage. 31 dage = 4 hele uger og tre dage, dvs ugedagen er tre dage senere end lørdag = tirsdag. (i løbet af 25 år vil der oftest være seks skudår). Kl. 15:00 har røveren kørt 40 km - det har bankfunktionæren også. Haren løber med 60 km i timen, så det tager den kun 1 minut at gennemføre strækningen. Skildpadden løber med 200 meter i timen, så det vil tage den 5 timer at gennemføre. Altså kan haren tillade sig at give skildpadden et forspring på 4 timer og 59 minutter. Hvis man kun tager 8, kan man risikere kun at have handsker til venstre hånd. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå. 365 dage á 24 timer giver 8.760 timer Den gennemsnitlige restlevetid er højere end 45, fordi de kvinder, som er døde tidligere end 35, ikke tæller med i dette gennemsnit.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 132 128 deltagere og kun 8 er med i kvartfinalen. Hans positioner i løbet af de 11 sekunder er 1-2-1-2-3-2-3-4-3-4-5. Alle tal fra 1-100 undtagen: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 og 98. 9+2+0+0=11 Efter ét års opsparing tilskrives bankkontoen 16 kr. i rente svarende til 25% af 64 kr. Efter det andet år tilskrives yderligere 20 kr. i rente svarende til 25% af 80 kr. Dermed står der i alt 100 kr. på kontoen efter 2 år. Den enkleste måde at regne det ud på er først at se på sandsynligheden for IKKE at slå en sekser. Kastes der én gang, er sandsynligheden 5/6. Kastes der to gange, er sandsynligheden 5/6 opløftet i anden potens og ved seks kast er sandsynligheden 5/6 opløftet i sjette potens, hvilket giver ca. 33 %. Så må sandsynligheden for at mindst én af de seks terninger bliver en sekser være ca. 67 %. De første seks bogstaver er forbogstaverne på årets første seks måneder - juli starter med j. Antag at John har 100 km til sit arbejde. Så tager det én time at køre til arbejde og fire timer at komme hjem. Dvs., at han kører i alt 200 km på fem timer. Så må hans gennemsnitlige hastighed være 40 km/t. Der er 52 kort i et spil kort. De 12 er enten es, konge eller dame. Sandsynligheden for ikke at få et es, en konge eller en dame som første kort er 40/52, sandsynligheden for ikke at få det som andet kort er 39 ud af 51 og så videre til femte kort, hvor sandsynligheden er 36/48. Den samlede sandsynlighed udregnes (40/52)*(39/51)*(38/50)*(37/49)*(36/48) = 78.960.960/311.875.200 = 25,3 %. Efter 1 uge er der 50 liter tilbage. Efter 2 uger er der 25 liter tilbage. Efter 3 uger er der 12,5 liter tilbage. Efter 4 uger er der 6,25 liter tilbage. Efter 5 uger er der 3,1 liter tilbage. Efter 6 uger er der 1,6 liter tilbage. Efter 7 uger er der 0,8 liter tilbage.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 133 For fire år siden varde otte og fire år, om fire år er de 16 og 12 år. 29. februar 2092 = 29022092. Der er 31 dage i januar. 31*24=744. Indbyrdes kram blandt kvinderne = 5+4+3+2+1=15. Kram mellem mænd og kvinder = 8 * 6 = 48. Dvs. i alt 63 kram. (og 28 håndtryk i øvrigt). Hun kan samle 7 hele i første omgang. Når de er røget, kan hun samle den 8. Brødristeren koster 100 kr. inklusive 25% moms. Da man skal betale 50% i skat af sin indkomst skal man tjene 200 kr. før skat for at have råd til brødristeren. Når to seks-sidede terninger kastes, er der 36 forskellige udfald i alt (de 36 udfald er dog brutto, da fx udfaldet 6-4 jo reelt er det samme som 4-6). Af de 36 udfald er der seks kombinationer, der giver summen syv (1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2 og 6-1). Seks ud af 36 svarer til 1/6, dvs. ca. 17%. Primtal er tal, som intet helt, naturligt tal ud over 1 og tallet selv går op i. Primtallene mellem 1 og 100 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97. Ud af 36 (6*6) forskellige udfald, er der seks udfald, der giver en sum på mindst 10: 6-6, 6-5, 5-6, 5-5, 6-4 og 4-6. Dvs. sandsynligheden er 6/36 eller 1/6. Hvert tal - fra det tredje tal - udgør summen af de to foregående tal.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 134 31 og 37. Sandsynligheden for, at den anden terning ikke viser samme antal øjne som den første er 5/6. Sandsynligheden for, at den tredje terning ikke viser det samme antal øjne som hverken den første eller den anden er 4/6. Den samlede sandsynlighed er derfor 5/6 * 4/6 = 20/36. I 20 ud af 36 tilfælde, vil de tre terningekast være forskellige. 20/36 = 0,555 = ca. 55 %. Kvadratroden af 4 er det tal, der ganget med sig selv giver 4, altså 2. Tilsvarende er kvadratroden af 64 lig med 8. 2 gange 8 giver 16. Omkredsen af en cirkel beregnes som pi * 2 * r og arealet beregnes som pi * radius i anden potens. Landene har samme striber i deres flag, men hhv. lodret og vandret. 84 = 12*7 = 6*14 = 4*21=3*28. 441 divideret med 21 giver 21. 2, 3 og 4 går op i følgende otte tal mellem 1 og 100: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 og 96. Der er 52 kort i et spil kort, og de fire af dem er esser. Der er altså en sandsynlighed på 4/52 for at det første kort, der bliver trukket er et es. Hvis det trukne kort er et es, er der 51 kort tilbage, hvoraf de tre er esser. Der er altså en sandsynlighed på 3/51 for at det næste kort er et es. Regnestykket er som følger (4/52)*(3/51) = 12/2652 = 0,45 %.
FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 135 481/13 = 37. For de 125 kr. købes 25 colaer. Når de er drukket, giver panten 25 kr, og for de penge kan der købes yderligere 5 colaer, som til slut giver råd til den sidste. Et kvadrat har fire lige lange sider, så hver side af plænen er 25 meter lang. Arealet af indhegningen beregnes som 25 meter gange 25 meter = 625 m 2 Gennemsnittet af to tal fås ved at lægge tallene sammen og dele med 2. 68 plus 234 giver 302 og 302 delt med 2 giver 151. Når man har seks kr. om mandagen, bliver det til 12 kr. om tirsdagen, 24 kr. om torsdagen, 48 kr. om fredagen og 96 kr. om lørdagen. Opgaven og dens logiske løsning er baseret på, at en trekant med siderne 3, 4 og 5 er et klassisk eksempel på Pythagoras sætning om retvinklede trekanter. De to mænd har bevæget sig diametralt modsat ift. udgangspunktet, og deres indbyrdes afstand må derfor være det dobbelte af deres afstand til udgangspunktet. Det gælder derfor først om at finde deres afstand til udgangspunktet. Hver mand har først bevæget sig 4 meter væk og har dernæst drejet 90 grader til venstre inden yderligere gang på 3 meter. Afstanden til udgangspunktet kan derfor beregnes ud fra kendskabet til Pythagoras sætning om en retvinklet trekant: a2 + b2 = c2, hvor a og b er de korte sider, der mødes i en ret vinkel. Afstanden til udgangspunktet er c, som med a = 4 meter og b = 3 meter giver c = 5 meter. Da de to mænd hver især står 5 meter fra udgangspunktet og de gik i modsat retning, må afstanden mellem dem være 10 meter. Hvis man ejer en kr. ved årsskiftet, ejer man to kr. i januar, fire kr. i februar, otte kr. i marts, 16 kr. i april, 32 kr. i september, 64 kr. i oktober, 128 kr. i november og 256 kr. i december. Jørgen er ældst. Så kommer Flemming og dernæst Ib. Derfor er Hans yngst. Når fem mand kan grave fem huller på fem timer, kan en mand grave et hul på fem timer. Det vil altså sige, at en mand vil være dobbelt så lang tid om at grave to huller = 10 timer.