Statitik Lektio 8 Tet for e varia
ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ
Tet af Variae Atagele: Populatioe er ormalfordelt med varia. Hypoteer: H H 0 : : 0 0 Tettørrele: χ Uder H 0 følger χ e χ -fordelig med - frihedgrader Kritike værdier: χ ( ) 0 og χ, α, α χ, α Nu: Tete for e varia i to uafhægige tikprøver.
-fordelige -fordelige er fordelige af brøke af to χ -fordelte tokatike variable, der er uafhægige og hver er divideret med atallet af de frihedgrader. Atag χ og χ er uafhægige og χ -fordelte med hhv. k og k frihedgrader. Defier χ k χ k Da følger e -fordelige med k og k frihedgrader. f().0 0.5 0.0 0 (5,6) (5,30) (0,5) 3 4 5
-fordelige på hovedet Atag χ og χ er uafhægige og χ -fordelte med hhv. k og k frihedgrader. Defier χ χ k k Så følger e -fordelig med k og k frihedgrader. Vi har χ χ k k Dv. - følger e -fordelige med k og k frihedgrader.
-tabelle Critical Poit of the Ditributio Cuttig Off a Right-Tail Area of 0.05 k 3 4 5 6 7 8 9 -fordelige med 7 og frihedgrader 0. 7 k 6.4 99.5 5.7 4.6 30. 34.0 36.8 38.9 40.5 8.5 9.00 9.6 9.5 9.30 9.33 9.35 9.37 9.38 3 0.3 9.55 9.8 9. 9.0 8.94 8.89 8.85 8.8 4 7.7 6.94 6.59 6.39 6.6 6.6 6.09 6.04 6.00 5 6.6 5.79 5.4 5.9 5.05 4.95 4.88 4.8 4.77 6 5.99 5.4 4.76 4.53 4.39 4.8 4. 4.5 4.0 7 5.59 4.74 4.35 4. 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 8 5.3 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 9 5. 4.6 3.86 3.63 3.48 3.37 3.9 3.3 3.8 0 4.96 4.0 3.7 3.48 3.33 3. 3.4 3.07 3.0 4.84 3.98 3.59 3.36 3.0 3.09 3.0.95.90 4.75 3.89 3.49 3.6 3. 3.00.9.85.80 3 4.67 3.8 3.4 3.8 3.03.9.83.77.7 4 4.60 3.74 3.34 3..96.85.76.70.65 5 4.54 3.68 3.9 3.06.90.79.7.64.59 f ( ) 0. 6 0.05 0. 5 0. 4 0. 3 0.05 0. 0. 0. 0 0 3 4 /,7,0.05 0.78 7,,0.05 3.0 5 Når ma kal fide det vetre kritike pukt, ka ma bruge følgede ammehæg: k, k, α k, k,α
Kritike pukter i fordelige (6, 9), α 0.0 0.05 f ( ) 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 0. 0. 0 -fordelig med 6 og 9 frihedgrader 0 6,9,0.95 / 9,6,0.05 0.439 0.90 3 4 6,9,0.05 3.37 0.05 Tabeloplag i R > qf(0.95,df6,df9) [] 3.373754 > qf(0.05,df6,df9) [] 0.4396 5 Det højreidet kritike pukt: 6,9,0.05 3.37 Det tilvarede vetreidet pukt: 6,9,0.95 0.439 4.0 9,6,0.05
Stikprøve-variae i to grupper Atag vi har to ormalfordelte populatioer. Vi har obervatioer fra populatio. Lad betege tikprøve-variae for pop.. Lad betege populatio-variae for pop. Vi har fra tidligere: ( ) ~ χ χ -fordelt med - frihedgrader Tilvarede for tikprøve fra populatio.
orholdet mellem to tikprøve-variaer Hvi de to tikprøver er uafhægige har vi: Dv. Det ka omkrive til ~ ) ( χ ~ ) ( χ og, ~ ) ( ) ( ) ( ) (, ~
Tet for e varia Tettørrele til tet for e populatio varia i to ormalfordelte populatioer er givet ved: (, ) I: Toidet tet: H 0 : H : II:Eidet tet H 0 : H : >
Ekempel Hypoteer: Sigifikaiveau: α 0.0 Populatio Populatio H H 0 : : 3 0. 9 0. Kritike værdier:,8,0.05 8,,0.05 8,,0.95 3.8.85 8,,0.05.85 0.35 H 0 ka ikke afvie på igifikaiveau 0%, da tettørrele ikke er tørre ed 3.8 eller midre ed 0.35. Tettørrele: 0. 0..9
Ekempel i R Start med at defiere alle variable > 3; 0.; 9; 0. Hefter ka vi udrege tettørrele > f ^/^ > f [].90083 De kritike værdier fider vi vha. > qf(c(0.05,0.95),-,-) [] 0.350539 3.839390 Da.9 ligger mellem de to kritike værdier ka vi ikke afvie H 0.
Tet vha. P-værdi Atag: ~ -,- Hvi >, å er P-værdie P( > ) I R: > *pf(f, -, -, lower.tail) [] 0.877536 P-værdi Hvi <, å er P-værdie P( < ) > *pf(f, -, -, lower.tailt) P-værdi
Sammeligig af to variaer i R Er der e forkel variae for mæd og kvider vægt? Altid plot før tet! > udby read.table("sudby95.dat", headert) > library(trelli) # udvidele med ektra plot-fuktioer > hitogram(~ vaegt koe, dataudby) 40 60 80 00 0 40 Kvide Mad Percet of Total 30 0 0 0 40 60 80 00 0 40 vaegt
Lidt mellemregiger ørt defierer vi variable for hhv. mæd og kvider vægt: > vaegt.maed udby$vaegt[udby$koe"mad"] > vaegt.kvider udby$vaegt[udby$koe"kvide"] Derefter fider vi de to variaer vi kal bruge > var(vaegt.maed,a.rmt); var(vaegt.kvider,a.rmt) [] 57.7 [] 7.43 Dv. variae for hhv. mæd og kvider er 57.7 og 7. 43.
Hypoteetet Hypoteer H 0 : v H : Tettørrele 577. 743..36 P-værdi P-værdi.4 > *pf(.36, 05, 430, lower.tail) [] 0.0009598 Da P-værdie << 5% ka vi (meget klart) afvie ulhypotee om e varia.
Hypoteetet i R Hypoteer H 0 : v H : Tet af e varia > var.tet(vaegt.maed, vaegt.kvider) tet to compare two variace data: vaegt.maed ad vaegt.kvider.36, um df 05, deom df 430, p-value 0.0003 alterative hypothei: true ratio of variace i ot equal to 95 percet cofidece iterval:.0960.3779 ample etimate: ratio of variace.35995
Vigtigte fordeliger i kuret Biomial B(,p) Normal N(µ, ) χ χ () Hvi Z,, Z gælder i Z uafh. og Z i ~ χ ( ) i ~ N(0,), å t t() Hvi Z og X uafh. og Z X ~ χ ( ) å gælder Z ~ N(0,) og X ~ t( ) (k,k ) Hvi X og Y uafh. og X ~ χ ( k) og Y ~ χ ( k ) å gælder ( X k ) ( Y k ) ~ ( k, k ) Hvi X ~ t( ) å gælder X ~ (, )