OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt x 0 = 0. 1. f (x) = e x, x R, 2. f (x) = cos(x), x R, 3. f (x) = e sin(x), x R. b) Funktionen f (x) = 1 x, x > 0 kan naturligvis ikke taylor-udvikles fra udviklingspunktet x 0 = 0. Så du bedes i stedet bestemme det approksimerende polynomium af første og anden grad for f med udviklingspunktet x 0 = 1. Opgave 2 Introduktion til Maple Matematikprogrammet Maple er ét blandt flere matematikprogrammer som bruges i undervisningen og til forskning på DTU. Her er en kort introduktion til de vigtigste aspekter. Det er vigtigt, at du bruger noget tid til at sætte dig ind i Maple, fordi du skal bruge det rigtig meget i Matematik 1. Hvor får jeg fat på Maple? Du henter Maple til din computer på http://gbar.dtu.dk/software. Log ind med din
OPGAVER 2 DTU-bruger, tryk på: Maple 2016, og vælg den installationsfil, som passer til dit styresystem. Noter installationsnøglen (Activation key Stand alone), den skal du bruge, når du installerer programmet. Opsætning af Maple Når du skal i gang med Maple, er der to options du skal tage stilling til: 1) Ønsker jeg at arbejde i worksheet-mode eller i document-mode, og 2) Ønsker jeg at skrive kommandolinjer med MapleNotation eller 2D-Math Notation. I undervisningen på DTU benyttes kombinationen worksheet-mode og MapleNotation. Hvis du indtiller din Maple til denne kombination, der fx benyttes i kursets MapleDemo er, skal du følge denne opskrift: Første gang du starter Maple: 1. Gå til Tools Options Interface Default format for new worksheets og vælg Worksheet. Afslut med Apply Globally. 2. Gå til Tools Options Display Input display og vælg Maple Notation. Afslut med Apply Globally. 3. Start Maple på ny nu er vi klar! NB: Med henblik på Ugens Test i MapleTA bør du kende kodesproget der benyttes i MapleNotation! Blandt de gymnasier som er begyndt at bruge Maple, er der mange der anbefaler 2D- Math Notation. En af fordelene er, at man så bedre kan benytte sig af paletter og højrekliksmenuer. På DTU anses den rå tekstkode, dvs. Maple Notation, for at være mere videnskabelig, idet dokumentationen for hvad der foregår, er mere klar. I er naturligvis velkomne til selv at eksperimentere med jeres Maple-opsætning. Tutorial i Maple og opgaver Start Maple. Maple fungerer efter princippet med spørgsmål (input) og svar (output): Du stiller spørgsmål på en kommandolinje (til højre for det røde > tegn) som input til Maple, og Maple svarer med et output, centreret og i blå således, at svar tydeligt kan kendes fra spørgsmål. Hvis du vil have Maple til at acceptere et input, men uden at vise svaret, skal du skrive kolon efter kommandoen. Som det allerførste input i ethvert Maple-ark skriver du > restart; Maple udfører kommandoen, når du trykker Enter. Denne kommando vil nulstille hukommelsen i arket, og da det er tit, du udfører alle kommandoerne i arket efter hinanden flere gange, er det nødvendigt at nulstille i toppen. Læg mærke til, at der ikke kommer noget svar fra Maple uanset om du slutter kommandoen med kolon eller ej. Prøv nu følgende regnestykke:
OPGAVER 3 > 2 + 2; Maple kan naturligvis fungere som lommeregner! Men programmets mere interessante egenskaber ligger i dets evne til at foretage symbolske matematiske operationer. For eksempel bliver sin x differentieret med hensyn til x med kommandoen > diff(sin(x), x) ; Prøv det. I dette tilfælde bruger man kommandoen diff. Til kommandoen hører to argumenter: sin(x) og x, som er adskilt med komma. Maple kan også plotte funktioner. Den simpleste plot-kommandoen er plot. Kommandoen har minimum to argumenter: Det, der skal plottes, og grænserne af den uafhængige variable. Hvis man eksempelvis ønsker at se funktionen sin x i intervallet mellem 0 og 5, benyttes kommandoen > plot(sin(x), x=0..5); Intervaller angives altid med to punktummer efter hinanden. For at få samme enheder på akserne skrives desuden scaling=constrained som tredje argument, altså: > plot(sin(x), x=0..5, scaling=constrained); Kan du se forskellen? Der er et hav af valgfri argumenter og kombinationsmuligheder til plot-kommandoen. Til at finde den, som passer bedst til dine behov, kan du enten bruge Maples hjælpefunktion i menulinjen eller også kan du skrive >?plot; At skrive et spørgsmålstegn foran virker med alle kommandoer. Her er endnu et eksempel på et plot, nu med flere funktioner og flere argumenter. Prøv at gætte hvad de gør eller slå op i Maples hjælpefunktion under plot-kommandoen. > plot([sin(x),x^2],x=0..5,y=-2..2,color=[red,blue],scaling=constrained); Du kan lave potenser ved at trykke på tasten. Tips, tricks og faldgruber (Genvejene er kun til Windows-versionen) Man kan indsætte en kommandolinje lige over den aktive kommandolinje ved at trykke Ctrl + K. For at indsætte en nedenunder bruges Ctrl + J. Man kan lave et felt til tekst ved at trykke på knappen eller bruge Insert Text. På samme måde kan man lave kommandolinjer til udregning ved at bruge eller Insert Maple Input / Insert 2-D Math alt efter hvilken input-typen man plejer at bruge. (Genvejene er Ctrl + T, Ctrl + M og Ctrl + R). I et tekstfelt (Insert Text) kan man skifte mellem at skrive normal tekst og pæn matematik (2-D Math) ved at bruge knapperne eller F5.
OPGAVER 4 Er du træt af at skrive lange kommando-navne? Prøv at skriv noget af navnet (for eksempel LinearA) og tryk derefter Esc eller Ctrl + Mellemrum. Nu får du nogle valgmuligheder, som du kan vælge imellem ved hjælp af piletasterne. På den samme måde kan du for eksempel også lave Pi om til π i 2-D Math mode (Maple skelner ikke mellem Pi og π, men det sidste ser pænere ud). Tallet π (3,141592654...) skrives i Maple med stort P! Altså Pi og ikke pi. Hvis man skriver det med lille associerer Maple ikke egenskaberne med π. Tilsvarende findes grundtallet e kun i form af funktionen exp i Maple! Hvis du vil skrive flere kommandoer i én kommandolinje, skal du adskille kommandoerne enten med kolon eller semikolon. Du kan gå en linje ned ved at bruge Shift + Enter. Du kan slette en hel kommandolinje ved at trykke Ctrl + Del. Brug Maples hjælpefunktion. Den er kanon! Opgave 3 Illustrationer af taylor-approksimation a) Plot nogle af de fire funktioner fra Opgave 1 sammen med deres respektive approksimerende polynomier af første og anden grad. Opgave 4 Undersøgelse af approksimerende polynomier. Enjoy! a) Brug Maple til at finde det approksimerende polynomium af grad 9, P 9 (x), med udviklingspunkt x 0 = 0 for funktionen sin(x). Tegn i samme koordinatsystem sin(x) og P 9 (x). Hvor langt ud til siden kan man få det approksimerende polynomium til at følge funktionen? (Eksperimentér med polynomiets grad). Opgave 5 Vurdering af fejl ved approksimation En funktion f : R R er givet ved f (x) = 2x 1. a) Bestem definitionsmængden Dm( f ) for f. b) Bestem det approksimerende polynomium P 3 (x) af grad 3 for f med udviklingspunktet x 0 = 1.
OPGAVER 5 c) Gør rede for at den til P 3 (x) hørende restfunktion R 3 (x) kan udtrykkes ved R 3 (x) = 5 8 1 (x 1)4 (2ξ 1) 7/2 for et ξ mellem 1 og x. Vis ved vurdering af ( restfunktionen ) at ( den ) numeriske 3 3 værdi af den fejl man begår ved at benytte P 3 i stedet for f er mindre 2 2 end eller lig med 5 2 7. Opgave 6 Introduktion til komplekse tal med Maple Download og gennemgå MapleDemo en om komplekse tal. Heri introduceres de relevante maplekommandoer for denne opgave. Det er i denne opgave meningen at du skal bruge Maple til at løse følgende opgaver. Du har tidligere løst tilsvarende opgaver med papir og blyant, tænk over hvad det er Maple giver som svar og omsæt det en løsning på opgaven. a) Hvad er i 2, i 3, ( i) 4 og ( i) 5? b) Bestem realdelen og imaginær værdien af og skriv tallet på rektangulær form. 2 + 3i i c) Givet w = 1 i. 1. Bestem w og arg(w). 2. Bestem e w og arg(e w ). d) Skriv følgende komplekse tal på rektangulær form: 1. e i π 2 2. 3e 1+πi e) Find løsningerne for ligningen z 2 + (2 + 2i)z 2i = 0.
OPGAVER 6 f) Find for enhvert t R differentialkvotienterne af følgende funktioner: f 1 (t) = t 2 + i sin(t) f 2 (t) = 1 + it 5 f 3 (t) = t 5 i f 4 (t) = 3 e it f 5 (t) = i e 2t+3it Opgave 7 Approksimation af kompleks funktion af reel variabel Approksimerende polynomier for komplekse funktioner af en reel variabel opstilles ved samme formel som reelle funktioner af en reel variabel. I det følgende betragter vi funktionen: f (x) = 2 cos(x) + i sin(2x), x R. a) Bestem det approksimerende polynomium P 3 af grad højst tre for f med udviklingspunktet x 0 = 0. b) Bestem, gerne med Maple s mtaylor, det approksimerende polynomium Q 3 af grad højst tre for f med udviklingspunktet x 1 = π 2. c) Tallet 1 ligger tættere på x 1 = Π/2 end på x 0 = 0. Hvorfor er det alligevel en meget bedre idé at bruge P 3 end Q 3 hvis man skal bruge en approsimeret værdi til f (1)? Opgave 8 Taylors grænseformel. Håndregning Denne opgave giver en metode til at beregne en grænseværdi af en brøk, hvori både tæller og nævner går mod nul. a) Opskriv for funktionen ln(1 + x) Taylors grænseformel med udvilklingspunkt x 0 = 0 for grad 1, 2 og 3. b) Hvilket af resulteterne fra spørgsmål a) kan ikke bruges til at finde værdien af grænseværdien: ln(1 + x) x lim x 0 x 2. c) Kan Maple udregne grænseværdien direkte?
OPGAVER 7 d) Advanced: Udregn nu ved hjælp af Taylors grænseformel følgende grænseværdi:. x(e x + 1) 2(e x 1) lim x 0 x 3 Opgave 9 Givet funktionen f (x) = x e x2. Vurdering af restfunktionen (advanced) a) Find det globale maksimumspunkt og den globale maksimumsværdi for i f i intervallet [ 1; 1 ]. Tilsvarende med det globale minimumspunkt og den globale minimumsværdi. Givet funktionen: f (x) = x 0 e t2 dt b) Der ønskes en vurdering af størrelsen af forskellen mellem f (x) og funktionens approksimerende førstegradspolynomium P 1,x0 =0(x) med udviklingspunkt i x 0 = 0. Opgaven går altså ud på at bestemme den største absolutværdi som restfunktionen R 1,x0 =0(x) kan antage i intervallet [ 1, 1].