Løsninger til øvelser i kapitel 1

Transkript

1 Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav. Søg fx her: Vi har tegnet graferne, indrettet x-aksen med -inddelinger (det behøver man ikke), lagt grønne vandrette linjer ind med y-værdi =maks, og sværtet én periode til med blåt. Det giver følgende: a) Amplitude =, periode = Amplitude = 5, periode = 0.5 Amplitude = 1, periode = = Ekstra: Hvad sker der i de "hvide vinduer" i den sidste? Lad os zoome ind: Øvelse 1.4 Det ser helt normalt ud. Så forklaringen har ikke noget med funktionen at gøre. Men det skyldes, at et værktøjsprogram som Maple udregner værdierne i et begrænset antal punkter, og forbinder disse med bløde kurver. For en sinuskurve som denne med mange svingninger kan der ske det, at karakteristiske værdier som maks og min og nulpunkter ikke alle er blandt de, der udregnes. Og så kan Maples kurve køre "hen over" et maksimumspunkt eller hen over et nulpunkt. Når vi zoomer ind og får flere beregninger, ser vi det normale billede. a) Vi laver superposition af grundtonerne C (frekvens 61,6) og E (frekvens 39,6): Vi kobler tonen G på (frekvens 39), med amplitude 0.5: videre. Gå ind på Gert Uttenthals hjemmeside, og konstruer lyd, som du kan høre.

2 Øvelse 1.5 (Skriv funktionerne med brug af n i= 0, så er det lettest at lægge flere led til. Vi plotter over intervallet [0;], man kan selv vælge et større interval for at se det periodiske. a) Her plottes over et større interval for at vise periodiciteten Graferne nærmer sig igen hurtigt en såkaldt trekantsgraf, med bredde (grundlinje). Vi har her valgt at medtage flere perioder. Læg mærke til, at eneste forskel til a) er halveringen af grundlinjerne.

3

4 Øvelse 1.6 Øvelse 1.7 Øvelse 1.8 Grafen er tegnet i selve øvelsen Øvelse 1.9

5 Øvelse 1.10 Øvelse 1.11 Se på tegningen over enhedscirklen: 1) Trekanten i 1. kvadrant drejes over i trekanten i. kvadrant, når t erstattes med t + Ved drejningen bliver den vandrette katete, svarende til cos(t), drejet over i den lodrette katete, svarende til sint +, så de to er lige store og begge positive. ) Trekanten i 1. kvadrant drejes over i trekanten i 4. kvadrant, når t erstattes med t Ved drejningen bliver den lodrette katete, svarende til sin(t), drejet over i den vandrette katete, svarende til cost 3) At t erstattes med med. 4) At t erstattes med med +. t +, så de to er lige store og begge positive. betyder at nulpunktet flyttes hen i t betyder at nulpunktet flyttes hen i Øvelse 1.1 plot({cos(x), sin(x+/}, x = 0.., color = [red, green], thickness = 5, size = [800, 400]). Dvs grafen for sinus forskydes +. Dvs grafen for cosinus forskydes Øvelse 1.13 Se på øvelse 1.11: 1) Hvad sker der med den lodrette katete ved drejningen med ) Hvad sker der med den vandrette katete ved drejningen med 3) Hvad sker der med den vandrette katete, og hvad sker der med den lodrette katete ved drejningen med Øvelse 1.14 a) 1a: plot({-cos(x), cos(-x)},... 1b: plot({sin(x), sin( -x)},... +? +?? a: plot({-sin(x), sin( -x)},... b: plot({cos(x), cos(-x)},...

6 Lad x være en vinkel i 1. kvadrant. Tegn linjen til retningspunktet og marker sin( x) og cos( x ). Spejl denne linje i y-aksen, indse at retningspunktet føres over i retningspunktet for x og marker sin( x) og cos( x). Spejl denne linje i x-aksen, indse at retningspunktet føres over i retningspunktet for marker sin( x) og cos( x). x og Se nu, at identiteterne holder. Cos-grafen er symmetrisk om y-aksen: Ved spejling heri går grafen over i sig selv. : Ved drejning på 180 herom går grafen over i sig selv. 0,0 Sin-grafen er symmetrisk om ( ) d) x. Men så er cos-. og sin- på enhedscirklen fremkommer ved at gå en hel omgang frem fra værdierne de samme Øvelse 1.15 a) Sinus er værdien af.- koordinaten til retningspunktet. I intervallet vil denne værdi vokse. Cosinus er værdien af 1.- koordinaten til retningspunktet. I intervallet vil denne værdi aftage. Graferne af sin (magenta) og arcsin (grøn) er hinandens spejlbilleder i linjen y=x: x Graferne af cos (magenta) og arccos (grøn) er hinandens spejlbilleder i linjen y=x: Øvelse 1.16 d) Vi argumenterer geometrisk: Ved spejling i linjen y=x bliver (, ) ført over i (, ) Givet to punkter på en graf, P( x1, y 1) og (, ) De spejlede punkter er P ( y, x ) og Q ( y, x ) s 1 1 x y y x. s Q x y, hvor x1 x. voksende betyder, at linjen fra P til Q vil have positiv hældning. Det vil den spejlede linje så også, og y1 y, så vi går fremad på aksen. Derfor er den spejlede funktion også voksende. aftagende betyder, at linjen fra P til Q vil have negativ hældning. Det vil den spejlede linje så også have (prøv at tegne situationen). Men her er y y1. Så går vi frem i x-aksens retning fra Qs til P s, dvs fra y til y 1, så vil de spejlede y-værdier gå fra xtil x1og x x1, dvs funktionen er aftagende. Brug fx intervalsolve i Maple: a) [ , ] [ , ] [ , ] d) [ , ] cos( t ) cos( t + h) = cos( t + h) cos( t ). Øvelse 1.17 Det vandrette stykke i den lille gule trekant er: ( )

7 ( ) cos( t0+ h) cos( t0) sinus til vinkel u i den lille gule trekant er derfor: sin( u). u er med tilnærmelse h ( cos( t0+ h) cos( t0) ) lig med v, så denne størrelse er med tilnærmelse sin( v ), eller : sin( t0). h Når bliver tilnærmelsen bedre og bedre, brøken har grænseværdien : h 0 ( cos( t h) cos( t )) sin( t ) 0 sin( t ) 0+ 0 cos( t0+ h) cos( t0) sin( t0), eller: sin( t0), når h h Dvs: cosinus er differentiabel med cos ( t) = sin( t) Øvelse 1.18 Da cos( t) = sin( t) er : Øvelse 1.19 cos ( t) = sin( t) = sin ( t) ( t) = cos( t) 1 = sin( t) 1 = sin( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin( t) = sin( t) = cos( t) = sin( t) cos( t) = cos( t) = sin( t) = sin( t) = cos( t) ( ) ( ) Øvelse 1.0 s( t) = Asin( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s( t) = Asin( t) = A sin( t) = A sin( t) = A sin ( t) ( t) = A t = A t t = A t = A t ( cos( ) ) ( cos ( ) ( ) ) ( sin( ) ) sin( ) = s t = ( ) s( t) 0 h 0 Øvelse 1.1 a) A ω ϕ B h ( x) 1 h ( x) h ( x) 3 De blå dele repræsenterer en periode : h ( x) 1 3,7 0,3 1,5-5 1, h ( x) : h ( x ): 3 Ved aflæsning og beregning med brug af T = findes perioden T:

8 1) T = Øvelse 1. a) h = B + A max og ) hmin = B A 0 T = 3 3) T = 5.7 skyldes, at sinus-værdierne svinger mellem -1 ogh +1. Læg de to ligninger i sammen: hmax + hmin = B + A + B A = B, hvoraf formlen: Subtraher dem: hmax hmin = B + A B + A = A, hvoraf formlen: d) ( h h ) max min B = ( h + h ) Øvelse 1.3 A ω ϕ B venstre højre Øvelse 1.4 a) A = max min