A4: Introduction to Cosmology Forelæsning (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik 1-komponent modeller
Robertson-Walker metrikken ds = c dt² a t [ Metrik med medfølgende koordinater (x,θ,φ), x= S κ (r) i den rumlige sektor a(t): Skala faktor t : Proper tid R : Krumningsradius κ : Krumningskonstant dx 1 x / R x d ]
Robertson-Walker metrikken Hvis Universet er perfekt homogent og isotropt er de medfølgende koordinater konstante i tiden kun lokale perturbationer ændrer dem (pekuliær bevægelse) Universets fortid, nutid og fremtid styres af a(t), κ og R hvordan ses dag. (beregning af a(t) for en given model )
Metrikafstand og rødforskydning Med x som radial koordinat: Skalafaktor og rødforskydning: = = = + = = 1) ( ) / ( sinh ) ( ) ( ) ( 1) ( ) / ( sin ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 κ κ κ R x R t a x t a R x R t a x r t a t d p ) ( 1 ) ( ) ( 1 e t e a t a t a z = = +
Bånd på krumningsradius Trekant: α + β + γ = π + Mål vinkler κ Mål areal R Umuligt! κa R Hvis positivt krummet: R c/h (ellers multiple billeder) C = πr Multiple billeder for C < ct ~ c/h
Outline for 1. time Friedmann-ligningen (Einstein og Newton) Accelerations-ligningen Tilstandsligningen Den kosmologiske konstant
Poissons ligning Relation mellem tyngdepotentialet og massefylden i et punkt i rummet x' x 3 Φ = Φ = F = G ρ( x') d x' = 4πGρ 3 x' x Gradient i potentialet acceleration Einstein: relation mellem metrikken og stress-energi tæthed i rumtiden
Friedmann-ligningen (Newton) En ekspanderende sfære F=G M s m d R s dt R s = G M s R s Newtons. lov Gang med dr S /dt på begge sider og integrer 1 { dr } s = G M s U dt R s E kin = -E pot
Friedmann-ligningen (Newton) 1 { dr } s = G M s U dt R s R s t =a t r s M s = 4 3 t R s t 3 1 r a = 4 s 3 G r t a t U s Divider med r s a / } = 8 G {ȧ a 3 t U r s 1 U > : always expanding. U = : t, ρ, a a t GM s U < : amax = (4.5) Ur s
Friedmann-ligningen I (Einstein) G = 8 G c 4 T g G =R g R/ Einsteins feltligning! Einstein tensoren. Består af kontraktioner af Riemann krumningstensoren. Geometri g T Metrikken Stress-energi tensoren. Bestemt af masse, energi og tryk. Den kosmologiske konstant (T for vakuum)
Friedmann-ligningen II (Einstein) G = 8 G c 4 T g For et homogent isotropisk Univers: T = p/c v v p g v= c,,, g = c g =a t x g 11 = a t 1 x / R g 33 =a t x sin
Friedmann-ligningen (Einstein vs. Newton) } = 8 G {ȧ a 3c t c R 1 a t 3 Fejl i bogen! ρ ε/c E= m c 4 p c U κ U r s κc = R E mc nonrel 1 v /c 1/ mc 1 mv E rel = pc=hf {ȧ a } = 8 G 3 t U r s 1 a t Λ
Hubble parameter Vi kan omskrive Friedmann-ligningen, så der indgår observerbare størrelser v=h t d t (Hubble parameteren) H t = 8 G 3c t c R 1 a t 3 Idag: H =H t = ȧ a t=t (Hubble konstanten) H = 8 G 3c c R (Uden kosmol. konstant)
Nedre grænse på krumningsradius Friedmann-ligningen: H = 8 G 3c c R Mål H og ε κ/r Negativt krummet univers: ε = R = c/h =43 ± 4 Mpc (Hubble radius ) ε > R > c/h
Tæthedsparameteren Friedmann-ligningen {ȧ a } = 8 G 3c t c R 1 a t Kritisk tæthed (κ = ) 3c ε c( t) = H( t) 8πG 3c ε c ε c,( t) = H ρ c, = 8πG c Definition af tæthedsparameteren: Ω( t) ε( t) ( t) ε c,
Tæthedsparameteren Omskriv Friedmann-ligningen Udtrykt ved H, Ω, κ/r ) ( 8 3 ) ( t H G c t c π ε = ) ( ) ( ) ( t t t ε c ε Ω ) ( ) ( ) ( 1 t H t a R c t κ = Ω 1 H R κc = Ω ) 1 ( Ω = c H R κ ) ( ) ( 3 8 ) ( t a R c t c G t H κ ε π = Mål Ω κ Mål H /c R
Hydro-ligningen Adiabatisk ekspansion (dq=ds=) dq=de PdV Ė P V = Betragt en sfære med comoving radius r V t = 4 3 r 3 a t 3 V = 4 3 r 3 3 a ȧ =V 3 ȧ a E t =V t t Ė=V V =V 3 ȧ a => V 3 ȧ => a 3 ȧ a P = 3 ȧ a P =
Accelerations-ligningen Friedmann-ligningen: Differentier: Divider med aa: ȧ ä= 8 G 3c. ȧ t = 8 G 3c a c R a 3 ȧ a a ȧ a 3 ȧ a 3 ä a = 4 G 3 c Brug Hydro-ligningen: ȧ a = 3 P ä a = 4 G 3 P 3 c 3
Tilstandsligningen Non-relativistisk materie ( støv ) P= kt P= kt P c c Relativistisk materie ( stråling ) 3 k T = v v 3 c 1 P= 1 3 =1 3
Bånd på ω Acceleration: 1/3 ä a = 4 G 3c 3 P 3 Lyd hastighed: c s =c dp d c s = c 1 Øvre grænse Stråling Støv Mørk energi Λ ω 1 1/3 < 1/3 1
Den kosmologiske konstant Først introduceret af Einstein for at tillade statiske løsninger til feltligningen Newtonsk analogi: Statisk: a= = = 1 4 G = Løsning: for =4 G. Statisk Univers = 4 G
Mørk Energi Friedmann-ligningen ȧ a = 8 G 3c t c R Hydro-ligningen 3 ȧ a P = Accelerations-ligningen ä a = 4 G 3 c 3 P 3 1 a t 3 = c 8 G ε Λ konstant => P =
Einsteins statiske model Accelerations-ligningen, kun støv ä G = 4 3 P => a 3c 3 = = 4 G 3 3 Friedmann-ligningen, kun støv = 8 G 3 R = c R 3 c G = c =4 G c R Men ustabilt!
Vakuum energi Den fysiske årsag til Λ er en energiform med konstant energitæthed under Universets ekspansion Spontan dannelse og annihilation af partikel antipartikel par (jvf. Casimir) E t h Den associerede vakuumenergi er uafhængig af Universets ekspansion, men: vac E P l P 3 3 1133 ev m 3 1 14 c!!!
A4: Introduction to Cosmology. time: Løsninger til de kosmologiske ligninger 1-komponent modeller
Kosmologiske ligninger Friedmann-ligningen ȧ a = 8 G 3c t c R Hydro-ligningen 3 ȧ a P = Tilstandsligningen P= a t 3 Givet begyndelsesbetingelser The Devil hides in the detail 1 løs for ε(t), P(t), a(t)
Tilstandsligningen Flere komponenter Heldigvis = P= P = Ingen vekselvirking mellem komponenter 3 ȧ a P = Komponent Øvre grænse stråling støv mørk energi Λ ω 1 1/3 < 1/3 1
Udviklingen af energitætheden Omarranger hydro-ligningen 3 ȧ a 1 = d = 3 da a 1 3 ȧ a P = dln = 3 dln a 1, P = a =, a 3 1 a =1
Udvikling af energitætheden Energitætheden af enkelt komponent a =, a 3 1 Λ alene, ω =-1 a =, Støv alene, ω = m a = m, /a 3 Radiation only, ω =1/3 r a = r, /a 4 Dermed må ε > ε r m i fortiden og på et senere tidspunkt dominerer Λ, ε Λ > ε m, ε r
Støv vs. stråling For begge komponenter: =n E n: Antalstæthed af partikler E: Middelenergi af partikler Antalsbevarelse: Støv: Stråling: n a 3 E=m c, nmc a 3 E=hc/, r =n h c/ a 3 a 1 a 4
Antalsbevarelse af fotoner? Fotoner dannes og forsvinder hele tiden! Men betyder det noget for regnskabet? Energitæthed af CMB CMB = T 4 =4. 1 14 J m 3 Energitæthed af stjernelys star n L t 1 8 L Sol Mpc 3 14Gyr 1 1 15 J m 3 IR-UV målinger af baggrundsstrålingen OK at ignorere ε star star / CMB.1
Hauser & Dwek, ARA&A, 1
Den Kosmiske neutrinobaggrund Analog til CMB: Da Universet var hedt og tæt nok, var det optisk tykt for neutrinoer T>T freeze = 9 1 9 K, t freeze =1s Middelenergi per neutrino (næsten masseløs) E ν = 5 1 4 ev / a(t) Energitæthed per neutrino (e, µ, τ) ε ν. 3 ε CMB Når E ν < mc : overgang fra stråling til støv De kosmologiske neutrinoer er endnu ikke observeret...
Tæthedsparameteren for baggrundsstråling CMB energitæthed CMB, = CMB, c, Alle 3 neutrino typer, =3 7 8 4 11 =5. 1 5 Total for stråling r, = CMB,, 8.4 1 5 4/3 CMB,.681 CMB,
Tæthedsparameteren i Benchmark modellen Kosmologisk konstant Støv,.7 m,.3 Stråling: r, 8.4 1 5 Status idag: Λ dominerer over støv som dominerer over stråling.
Udviklingen af tæthedsparameterne a Kosmologisk konstant vs. støv: ε ε ( a) ε Λ Λ, = = 3 m ( a) εm, / a Λ støv ligevægt (equality) Λm ε = ε m, Λ, 1 3 Først fornyligt er Λ begyndt at dominere! Ω = Ω ε ε m, Λ, Λ, m, 1 3 a 3 1 3.3.7 =.75 1 z= 1 a m z=.33
Udviklingen af tæthedsparameterne Støv vs. stråling: ε ε m r ( a) ( a) = ε ε m, r, / a / a m, r, Støv-stråling ligevægt a mr = ε ε r, m, 3 4 = =.8 1 ε ε 4 a Under antagelse af, at neutrinoerne er relativistiske idag. Støv-domineret for.33<z<36
Udviklingen af tæthedsparameterne For hver komponent ε w ( a) = ε w, a 3(1+ w) For a dominerer komponenten med størst ω I et forevigt ekspanderende Univers vil komponenten med mindst ω vinde. Benchmark model: Stråling Støv Λ, som tiden går...
Analytisk løsning generelt? Friedmann-ligningen ȧ t = 8 G 3c, a 1 3 c R a =, a 3 1 Komponenterne har forskellig afhængighed af a Støv 1 a Stråling a Λ konstant generelt ingen analytisk løsning for a(t)
1-komponent modeller Akademisk øvelse: Løs de kosmologiske ligninger i de simpleste tilfælde Få indsigt i de generiske træk ved løsninger Løsningen til det generelle problem ikke analytisk (løses let numerisk) I nogle perioder i det virkelige Univers er en enkelt komponent dominerende
Bestemmelse af løsninger Step I: Løs for a(t) (i) sæt ind i hydro-ligningen ε(t) (ii) afstande og tider Step II: Udtryk alle størrelser ved observable: H,z Kun flade Universer (κ=)
Fladt, 1-komponent Univers ȧ t = 8 G 3c, a 1 3 c R =8 G 3c a 1 3 Antag a t q. På venstre side: t q Højre side: t 1 1 3 q q= 3 3 a t = t t 3 3
Fladt, 1-komponent Univers Vigtige formler (5.3, udled selv!): Universets alder: Hubble konstant: Energitæthed: Metrikafstand: Horisont: t = 1 c 1 6 G a = a 3 1 t = t t d p t = c H 1 3 H = 3 1 t 1 t d p t = t e (z uendelig) dt a t = c H 1 3 [1 1 z 1 1 3 / ]
Støv-domineret universes, ω= Metrikafstand ved observation: t d p t = t e dt Metrik afstand ved emission d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = Maximum for z=5/4 t a t = t e dt t t = c [ /3 H 1 1 ] 1 z c [ H 1 z 1 1 ] 1 z a t = t t 3 3 Horisont d p t = c H 1 3 = c H
Metrikafstand ved observation Metrikafstand ved emission Maximum for z=5/4 + = z H c t d p 1 1 1 ) ( + + = z z H c t d e p 1 1 1 ) (1 ) ( Støv-domineret universes, ω=
Strålings Univers, ω=1/3 Skala faktor: a t = t t 3 3 = t 1/ t Universets alder: t = 3 1 H 1 = 1 H Horisont: d p t = c H 1 3 = c H
Strålings Univers, ω=1/3 Metrikafstand ved observation: t d p t = t e dt a t = t e Metrikafstand ved emission Maximum for z=1 t dt t t 1/ = c H [ d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = c H 1 1 1 z ] z 1 z a t = t t 3 3
Strålings Univers, ω=1/3 Metrikafstand ved observation: c z d p ( t ) = H 1+ Metrikafstand ved emission d p ( t e ) = H Maximum for z=1 cz z (1 + z)
Strålings Univers, ω=1/3 Tidligt i Universet var stråling dominerende og strålingen kunne beskrives med en blackbody energitæthed ε 4 r ( t) = ε bb = αt Strålingstemperaturen går som Mod Big Bang T ( t) 1/ t ε r T for for t t Sammenbrud af teorien! Når det synlige Univers er så småt at det kun indeholder omkring 1 photon => quantum gravity t t P =5.4 1 44 s
ΛUnivers Friedmann-ligningen a a = 8πG 3c ε Λ a = H a, H = 8π Gε 3c Λ Løsning: a og t) = exp( H ( t )) = ( t Eksponentiel ekspansion som Steady State modellen, ε er konstant p.g.a. dannelsen af partikel/anti partikel par (?) t
ΛUnivers Metrikafstand ved observation d p t = t e a t =c t e H t dt t dt exp H t t = c H [exp H t t e 1]= c z Metrikafstand ved emission d p t e =d p t a t e a t =d p t e 1 1 z = c H z 1 z
ΛUnivers For store rødforskydninger d ( t ) for z p c d p( te ) for z H Høj rødforskydnings objekter er meget langt væk idag! Vi kan ikke se objekter som ved emissionstidspunktet fjernede sig med mere end lyshastigheden. d p t e c H
Opsummering af simple Universer Skala faktor Λ Kruming Støv Stråling
Opsummering af simple Universer Metrikafstand ved observation Λ Krumning Støv Stråling
Opsummering af simple Universer Metrikafstand ved emission Λ Krumning Stråling Støv
Andre muligheder? JA! Vi har løst Friedmann-ligningen i simple tilfælde (flade og tomme universer) Alle eks. på ekspanderende universer MEN mange andre muligheder => Multi-komopenent universer Det virkelige Univers er et multikomponent univers, hvor de forkellige komponenter dominerer til forskellige tider (næste gang)
Læsning Idag (April. 15): Ryden, kap. 4-5 (s. 43-81) Næste gang (April ): Ryden, kap. 6 Multi-Component Universes kap. 7 Measuring Cosmological Parameters