stk.
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen M = S for alle a R og det er i så fald ikke muligt at isolere a. Se Bilag 2! Opgave 7 Gennemsnittet er 197 660 kroner, nedre kvartil er 140 650 kroner og øvre kvartil er 249 900 kroner. Et xy-plot kan ses nedenfor. Den bedste lineære model for data er y = 0.821x + 278370. side 1 af 7
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 c) Et 95 % konfidensinterval for hældningen bestemmes ( 1 R 2 )1/2 â ± t â R 2 (n 2) = 0.821 ± 2.002 ( 0.821) = 0.821 0.128 ( ) 1/2 1 0.7397 0.7397 58 Konfidensintervallet er derfor [-0.95;-0.69]. Da konfidensintervallet ikke indeholder tallet 1, vil vi afvise påstanden om at prisen falder med 1 krone på kørt km. side 2 af 7
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 d) En undersøgelse af udbudsprisen for 60 brugte VW Golf har vist, at de i gennemsnit er blevet solgt for lidt under 200 000 kr. Ca. halvdelen blev solgt for mellem 140 000 kr. og 250 000 kr. Salgsprisen falder med mellem 69 og 95 øre pr kørt km. Der er store udsving i priserne, som må tilskrives andre forhold end hvor langt bilen har kørt. Opgave 8 Nulpunkterne kan bestemmes ved at sætte forskriften for funktionen lig nul og isolere x. Her benyttes nulreglen og diskriminantformelen for en andengradsligning: 1 3 x3 8x 2 + 28x = 0 ( ) 1 x 3 x2 8x + 28 = 0 x = 0 1 3 x2 8x + 28 = 0 x = 0 x = ( 8) ± (262 /3) 1 /2 2 1/3 = { 4.25 19.75 så løsningsmængden er L = {0, 4.25, 19.75}. Funktionen kan differentieres som: f (x) = x 2 16x + 28 Den afledte funktion kan nu sættes lig nul hvorved der fås en andengradsligning, der kan løses ved hjælp af diskriminantformelen: f (x) = 0 x 2 16x + 28 = 0 x = ( 16) ± 1441 /2 2 1 = 16 ± 12 2 = { 14 2 Fortegnet for f findes ved indsættelse af diverse punkter i beregningsudtrykket, hvilket giver at Funktionen f er voksende i ] ; 2]. Funktionen f er aftagende i [2; 14]. Funktionen f er voksende i [14; [. Opgave 9 Funktionsværdien udregnes for t = 3 d (3) = 500 cos ( 0.5 3 + 3) + 75 3 + 1200 = 1460.37 så efter 3 måneder er efterspørgslen 1460.37 side 3 af 7
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Integralet af f fra t = 0 til t = 6 bestemmes ved hjælp af GeoGebra: 6 0 d (t) dt = 8691.12 så den samlede forventede efterspørgsel efter 6 måneder er 8691.12. Opgave 10 Data indlæses i Open Office Calc og optælles ved hjælp af en pivottabel. Det estimeres derfor at ˆp = 78 /144 = 0.54. Sandsynligheden for at mindst 72 ud af 144 faktureringer er i euro, er derfor 0.85. Opgave 11 side 4 af 7
16. december 2013 Mat A eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës 6 5 4 a = 0.14 b = 9.38 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Det samlede areal af de grå områder bestemmes i GeoGebra som: 2 (g (x) f (x)) dx + 6 1.5 2 (f (x) g (x)) dx = 0.14 + 9.38 = 9.52 Opgave 12 Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan bestemmes ved DB (300, 600) = -300 2 + 800 300 0.25 600 2 + 300 600 = 240000 så det samlede dækningsbidrag er 240 000 kr. For niveaukurven N(240 000) kan vi lave følgende udregninger. -x2 + 800x 0, 25y2 + 300y = 240000 (x2 800x) + 0, 25 (y2 1200y) = 240000 ( (x 400) 2 400 2) ( + 0, 25 (y 600) 2 600 2) = 240000 (x 400) 2 + 0, 25 (y 600) 2 = 400 2 + 0.25 600 2 240000 = 10000 (x 400) 2 (y 600)2 100 2 + 200 2 = 1 Som det fremgår er niveaukurven en ellipse med centrum i (400, 600) og halvakser af længde henholdsvis 100 og 200. Niveaukurven og bibetingelserne fra delspørgsmål c) tegnes ind i GeoGebra. side 5 af 7
16. december 2013 Mat A eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës 1000 (400, 600) 500 0 500 1000 c) Da koefficienterne til x 2 og til y 2 er negative har funktionen frit maksimum i centrum for de ellipser, som dens niveaukurver danner. Dette punkt er et af polygonområdets hjørner, idet 1, 5 400 + 3 600 = 2400 0, 25 400 + 0, 25 600 = 250 400 0 600 0 Derfor skal der afsættes 400 stk. af vare A og 600 stk. af vare B for at opnå den størst mulige afsætning. Opgave 13A Størrelsen af det indsatte beløb kan bestemmes som: K 0 = 442081.30 1.042-4 = 375000.0010 så det oprindelige beløb var 375 000 kr. Størrelsen af den årlige ydelse y kan bestemmes som: y 1.0425 1 0.042 y = = 442081.30 1.042 5 0.042 442081.30 1 1.042-5 = 99862.04469 side 6 af 7
Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 så ydelsen er 99 862.05 kr. Opgave 13B Den fuldstændige løsning til differentialligningen p (x) = a 1 x, x > 0 bestemmes ved hjælp af GeoGebra til p (x) = 0.82 ln (x) + k, k R. Den partikulære løsning, som opfylder at salgsprisen er 89 kr. når der afsættes 10 000 stk., bestemmes til p (x) = 0.82 ln (x) + 96.55. Opgave 13C Data er optalt ved hjælp af en pivottabel i Open Office Calc, og resultatet kan ses nedenfor. Vi opstiller følgende hypoteser: H 0 : Holdningen til filmen er uafhængig af alder. A : Holdningen til filmen afhænger af alder. Bidragene til χ 2 -bidragene kan ses af ovenstående tabel. Da P -værdien er 34 % og dermed over signifikansniveauet på 5 %, kan nulhypotesen om uafhængighed ikke afvises. side 7 af 7