Opg MAT B GSK august 007 delprøven uden hjælpemidler Funktionen f har forskriften f() = ( + ) ( + ) ( ) Beregn nulpunkterne for f. Svar : f() = 0 <=> = eller = eller = ; L = { ; ; } Polnomiers faktorisering og nulreglen f()= Opg Beregn arealet af trekanten herunder 8 7 A(;7) Serie Serie Serie Serie Svar : Areal T = højde grundlinie = = C(;) B(;) 7 8 9 0 Opg Funktionen f har forskriften f() =. Løs ligningen f() = f () Svar : Lineære funktion = f() = er voksende og har en omvendt funktion f () + = f() = <=> =. Ved bogstavombtning fås : = f + () = = + f() = f + () <=> = <=> = + <=> = 9 <=> = f - ()=0.+. (;) f()=- f()=0.+. f()= Serie - - - = - - f()=- -
Opg Herunder ses grafen for den stkkevis definerede funktion f. Bestem Dm(f) og Vm(f). Svar : f()=+ f()=0.+ f()= - - - - - - 7 8 9 0 - - - - - Ved aflæsning ses, at Dm(f) =] ;8] ; Vm(f) = ] ;] ];] Opg Funktionen g har forskriften g() = + b + c Beregningen af nulpunkterne for g ser således ud: ( ) + = ( ) = * * Bestem konstanterne b og c i forskriften for g. Svar : = og = dvs. b = ( ) = og c = ( ) = Alternativt : Faktorisering ud fra nulpunkterne giver g() = ( ) ( ( )) = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = dvs. b = og c =
august 007 delprøven med hjælpemidler Opg Per Nielsen egen virksomhed leje af el-udstr. P.N. låner 00.000 kr. til 7 % p.a i rente og lånet betales tilbage over 0 år med en årlig delse på.000 kr. Sidste delse mindre end de 9 første. a) Hvor meget sklder P.N på lånet umiddelbart efter, at de første 9 delser er betalt? Svar : Anvend formlen for restgæld og indsæt de respektive værdier : Restgæld R 9 = 00.000,07 9.07.000 9.8, kr. 0.07 b) Hvor stor bliver den 0. delse? Svar : delse = rente + afdrag. 0. delse =.8, + 0,07.8, 9.08, kr. Opg Trekant ABC er ligesidet med sidelængden 8. Beregn radius i hhv. trekantens indskrevne og omskrevne cirkel. Svar : ABC er ligesidet, dvs. vinkelhalveringslinierne er identiske med tilsvarende midtnormaler. Vinkelhalveringslinierne og midtnormalerne skærer hinanden i samme punkt som er centrum for hhv. trekantens indskrevne og omskrevne cirkel Radius i omskrevne cirkel = R om ; radius i indskrevne cirkel = r in En ligesidet trekant ABC har alle vinklerne 0. Pthagoras : R om = + r in ; rin sin(0 ) = = R <=> rin = Rom om Dvs. R om = + R om <=> Rom = <=> Serie Serie Serie f()=0.77+0.8 Serie f()=-0.77+7.77 Serie R om = <=> Rom = r in = Rom, 8 = 8, Rom rin
Opg Herunder ses grafen for funktionen f() = + 9 a) Beregn koordinaterne til de lokale ekstrema for funktionen f. Svar: Finde lokale ekstremer ved differentiation : f () = + 9 f () = ± + 9 = 0 <=> = <=> = eller = Faktorisering viser fortegnsvariation for f () : f () = + 9 = ( ) ( ) Dvs. f () > 0 for > og < og f () < 0 for < < Lokalt maksimum i (;f()) = (;) og lokalt minimum i (;f()) = (;0) b) Beregn en ligning for den rette linie, der går gennem de lokale ekstrema Svar : (, ) = (;) og (, ) = (;0) Stigningstal a = og konstantled b = a = a = ( ) = Dvs. = + 0 9 8 7 f()=^-^+9 f()=-+ Serie Serie - - - - - - 7 8 9 0 - - - - =-+ (;) f()= - +9 (;0)
Opg I 00 steg antal gratisaviser i DK! 7 personer spurgt om hvor mange minutter Antal minutter Intervalmidtpunkt m i Intervalfrekvens f( i ) Summeret intervalfrekvens Produkt m i f( i ) [ i ; i [ F( i ) [0;[, 0,7 0,7 0, [;0[ 7, 0,9 0,,8 [0;[, 0,8 0,7,0 [;0[ 7, 0, 0,90,80 [0;[, 0,0 0,9, [;0[ 7, 0,0,00,0 I alt,00 a) Hvor mange personer brugte ml. 0- min. pr. dag på at læse gratisaviser? Svar : Intervalhppigheden h( ) = f( ) 7 = 0,8 7 = 9 b) Hvor mange minutter pr. dag brugte de 7 personer i gennemsnit på at læse gratisaviser? Svar : Gennemsnit = i = Bemærk at det er et grupperet observationssæt. m i f ( i ) = 0, +,8 +,0 +,80 +, +,0 =, c) Bestem 90 %-fraktilen og forklar, hvad dette tal fortæller om tiden til at læse gratisaviser Svar : 90 %-fraktilen = 0 minutter (se Summeret intervalfrekvens) Dvs. 90 % af personerne brugte højst 0 min. pr. dag til at læse gratisaviser. Opg Siden 998 er medlemstallet i idrætsklub steget med % pr. år. Medlemstal i 00 var 7. f() betegner antallet af medlemmer i klubben år efter 998. a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar : f() er en eksponentiel funktion, dvs. f() = b a og vi skal finde grundtal a og b = f(0) f () 7 a =,0 og f() = 7, dvs. b = = 8,9 a.0 dvs. f() = 8,9,0 ; er antal år efter 998. I idrætsklubben forventes samme stigning i medlemstallet. b) Hvad vil medlemstallet være i år 007, hvis klubbens forventninger holder stik? Svar : 007 svarer til = 9; f(9) = 8,9,0 9 98, dvs. medlemstallet er 98
Opg A Funktionerne f og g har forskrifterne f() = + +, < 0 og g() = + for є ] ; [ 0. +, 0 a)tegn graferne for f og g i samme koordinatsstem. Svar : f()= ++, < 0 g()=+ f()=^++ f()=0.+ Serie f()=+ f()=0,+, > = 0 (0;) - - - - (-;-) - b) Gør rede for, at grafen for g har to punkter fælles med grafen for f. Svar : Se tegning. Punktet (0;) er fælles for f og g. For > 0 er der ingen fælles punkter for f og g, da de to rette linier + og 0, + har forskellige stigningstal. For < 0 findes skæringspunkt ved at løse: + + = + <=> + = ( + ) = 0 Dvs. = for < 0; ( ; ) er det andet skæringspunkt. Dvs. (0;) og ( ; ) er de to skæringspunkter. Opg B Funktionen f() = + a) Beregn vha. f koordinaterne til de to punkter på grafen for f, således at tangenterne i de to punkter har samme hældningskoefficient. Svar : f () = + Sæt foreksempel f () = dvs. + = <=> + = 0 <=> = eller = 0 Punkterne ( ;f( )) = ( ;) og ( ;f( )) = ( ; ) på grafen har 7 tangenthældningen. b) Bestem en ligning for hver af de to tangenter. Svar : Tangentligning i P( 0,f( 0 )) : = f( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) dvs. de to tangentligninger er : = f( ) + f ( ) ( + ) = ( + ) <=> = + 0 = f( ) + f ( ) ( ) = ( ) <=> = 7 <=> 7 7 = 7,8