STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet kaldes i daglig tale søjlevirkning (eng: flexural buckling). Bæreevnen afhænger både af søjlens statik (søjlelængde), stivheder (elasticitetsmodul og inertimoment) samt materialets styrke (flydestyrke). De forøgede bøjningsnormalspændinger som opstår pga. deformationen, når søjlen slår ud til siden, er afgørende for beregningen af trykkapaciteten. Det ideelle tilfælde: Centralt belastet søjle uden imperfektioner Der betragtes en stålsøjle uden imperfektioner såsom forhåndskrumninger, egenspændinger m.m. Søjlen belastes med en centralt virkende trykkraft N c i aksialretningen. I dette tilfælde benyttes Eulers formel til bestemmelse af den kritiske normalkraft N cr. N c N cr = π E I l s () Figur : Centralt belastet søjle Hvis den centrale tryklast N c øges udover den kritiske normalkraft N cr vil søjlen teoretisk set knække ud til siden. Dette fænomen kaldes for søjleinstabilitet. Udbøjningen kombineret med den aksiale trykkraft N c giver et moment i søjlen og normalspændingerne fra dertil hørende tryk og bøjning vil overskride materialestyrken. Dermed kollapser søjlen. For den centralt belastede søjle uden imperfektioner afhænger selve bæreevneudtrykket for N cr alene af søjlens stivhed (E og I) og søjlelængde (l s ) selvom det faktisk er en overskridelse af kapaciteten for normalspændingerne som får søjlen til at kollapse. Eulers formel gælder udelukkende for ideelle trykpåvirkede elementer som er meget slanke. Såfremt trykpåvirkede elementer er meget kompakte, og dermed har en lille slankhed, er det alene materialets flydestyrke som begrænser trykbæreevnen. Dette tydeliggøres i et tænkt tilfælde hvor en søjle har uendelig lille søjlelængde l s. Teoretisk set ville der forekomme uendelig stor værdi af N cr ved brug af Eulers formel.
Dette kan imidlertid ikke lade sig gøre idet tryknormalspændingen σ c i en søjle aldrig kan blive større end selve flydestyrken f y. For den centralt belastede søjle uden imperfektioner er Eulers formel dermed kun gældende, når den tilhørende kritiske spænding σ cr er mindre end den karakteristiske flydestyrke. σ cr = π E I l s A () Formlen kan ved division med omskrives til: σ cr = π E I l = χ Euler = (3) s A Ovenstående udtrykker ratio mellem den kritiske spænding for tryk og den karakteristiske flydestyrke. Dette kan også benævnes Euler-søjlereduktionsfaktoren χ Euler,idet denne ved multiplikation med flydestyrken netop giver bæreevnen, som den kritiske spænding σ cr. σ cr = σ cr (4) Der indføres det geometriske slankhedsforhold: λ = l s i slankhedsforhold: og inertiradius: i = I A og der indføres det relative λ rel = = l s A σ cr π = ( l s E I i ) π E = λ π E (5) Det bemærkes at det geometriske slankhedsforhold λ er forskelligt fra det relative slankhedsforhold λ rel. Der gælder følgende: = σ cr = χ Euler (6) λ rel Ovenstående udtrykker dermed søjlereduktionsfaktoren for en centralt belastet søjle uden imperfektioner og er afbilledet på grafen i figur. Bemærk at udtrykket kun er gældende for værdier af λ rel større end. For værdier af λ rel mindre end eller lig med svarer bæreevnen blot til trykstyrken.
Figur : χ Euler som funktion af λ rel 3
Det virkelige tilfælde : Centralt belastet søjle med imperfektioner Den ideelle søjle uden imperfektioner findes imidlertid ikke i virkeligheden og det er derfor nødvendigt med et udvidet bæreevneudtryk som tager hensyn hertil. Der betragtes en stålsøjle med imperfektioner i form af en initialudbøjning u 0. Elementet har altså en krumning (forhåndsudbøjning) inden trykbelastningen forekommer (Figur 3). Søjlen belastes med en centralt virkende trykkraft N c i aksialretningen. Lasten giver en udbøjningsforøgelse u N og summen af udbøjningerne u total er initialudbøjnigen plus udbøjningsforøgelsen (Figur 4). Figur 3: u 0 Figur 4: u total Søjlens deformation antages i den ubelastede situation at følge initialudbøjningsfunktionen: u 0 (x) = u 0 sin (π x l ) (7) Ved central trykpåvirkning N c opstår der tilsvarende udbøjningsforøgelsesfunktionen: u N (x) = u N sin (π x l ) (8) Den totale udbøjningsfunktion er summen af initialudbøjningen og udbøjningsforøgelsen: u total (x) = u 0 (x) + u N (x) = u total sin (π x l ) (9) Hvor u 0, u N og u total er udbøjningerne midt på søjlen, l er søjlens længde og x er aksen i søjlens aksialretning. 4
Ved central trykpåvirkning N c opstår der tilsvarende en momentfunktion for initialudbøjningen: M 0 (x) = N c u 0 sin (π x l ) (0) Og en momentfunktion for udbøjningsforøgelsen: M N (x) = N c u N sin (π x l ) () Den totale momentfunktion kan udtrykkes som M total (x) = M 0 (x) + M N (x) = N c u total sin (π x l ) () Figur 5: M total 5
For bestemmelse af den totale udbøjning u total som funktion af initialudbøjningen u 0 tages der udgangspunkt i bjælkens differentialligning: d u dx = M E I (3) Ligningen kan omskrives til: M = d u E I (4) dx Funktionsudtrykkene fra søjlen indsættes: M total (x) = d u N (x) dx E I (5) Da momentet i søjlen udelukkende optræder når udbøjningsforøgelsen u N forekommer, er det også kun denne del af udbøjningen som indgår i ovenstående differentialligning. Der gælder at hvis der ikke er nogen søjlelast N c så er udbøjningen alene u 0 og der forekommer dermed ingen momentpåvirkning. Initialudbøjningen u 0, alene, forekommer altså udelukkende i en situation hvor der ikke er spændinger i søjlen. Udtrykket omskrives ved brug af forudsætningerne for søjlen: N c u total (x) = d (u total (x) u 0 (x)) dx E I (6) N c u total sin (π x l ) = d (u total sin (π x l ) u 0 sin (π x l )) dx E I (7) N c u total sin (π x l ) = π E I l (u total u 0 ) sin (π x l ) (8) Eulers formel benyttes og udtrykket forkortes yderligere: N cr = π E I l () N c u total = N cr (u total u 0 ) (9) u total (N cr N c ) = u 0 N cr (0) u total = u 0 N cr N cr N c () 6
Den totale udbøjning u total kan dermed udtrykkes som en funktion af initilaludbøjningen u 0 og en forøgelsesfaktor. Det ses af () at når tryklasten N c er nul bliver den totale udbøjning lig initialudbøjningen. Tilsvarende gælder at når N c nærmer sig N cr bliver den totale udbøjning uendelig stor. Forøgelsesfaktoren udtrykkes som: N cr N cr N c = N c N cr () Forøgelsesfaktoren, som også kaldes andenordenseffekten eller momentforøgelsesfaktoren, kan grafisk vise at der i et trykpåvirket element ikke er ligefrem proportionalitet mellem last og bæreevne. Figur 6: Forøgelsesfaktoren N c Ncr som funktion af N c N cr 7
For bestemmelse af bæreevnen tages der udgangspunkt i brudbetingelsen: σ c + σ m = (3) Hvor σ c er tryknormalspændingen i aksialretningen fra normalkraften, σ m er normalspændingen fra momentet, er den karakteristiske flydestyrke. Spændingerne erstattes af følgende udtryk: σ c = N c A (4) σ m = M W (5) M = N c u total (6) N c A + N c u total W = (7) Fra tidligere haves: u total = u 0 N cr N cr N c () Udtrykkene sammensættes og der mulitipliceres med brøken A A : N c + A A A N c u 0 N cr = (8) W N cr N c Udtrykket reduceres: σ c + σ c A W u 0 σ cr σ cr σ c = (9) Der multipliceres med (σ cr - σ c ): σ c (σ cr σ c ) + σ c σ cr A W u 0 = σ cr σ c (30) Der indføres søjlereduktionsfaktoren χ som er forholdet mellem tryknormalspændingen og trykstyrken: Udtrykket (3) indsættes i (30): χ = σ c (3) χ σ cr χ σ c + χ σ cr A W u 0 = σ cr σ c (3) Der divideres med flydestyrken : χ σ cr σ c χ + χ σ cr A W u 0 = σ cr σ c (33) 8
Fra tidligere haves: λ = σ cr (6) rel Udtrykket (6) indsættes sammen med udtrykket for χ (3) i (33): χ χ + χ A W u 0 = χ (34) Der multipliceres med λ rel: λ rel λ rel λ rel χ χ λ rel + χ ( A W u 0 ) = χ λ rel (35) Der indføres faktoren ή som ud fra søjlens initialudbøjningen, geometri og styrker udtrykker søjlens rethed: ή = A W u 0 (36) Initialbøjningen kan som udgangspunkt sættes til /00 af søjlelængden: Bæreevneudtrykket reduceres nu yderligere: Søjlereduktionsfaktoren kan nu udtrykkes som: u 0 = l s 000 (37) χ λ rel χ (λ rel + ή + ) + = 0 (38) χ = 4 λ rel + ή + λ rel + λ rel (ή ) + (ή + ) λ rel (39) Dette kan på nemmere vis opstilles som to kombinerede udtryk: φ = 0,5 ( + ή + λ rel ) (40) χ = φ+ φ λ rel (4) Bæreevne (karakteristisk) ved trykpåvirkning: N c χ A (4) I specialtilfældet hvor u 0 er nul bliver ή ligeledes nul og dermed bliver søjlereduktionsfaktoren χ = σ cr svarende til den ideele søjle uden forhåndskrumninger. 9
Bæreevne (karakteristisk) ved kombineret trykpåvirkning og momentpåvirkning om én akse: Når et element er påvirket af både aksialt tryk og bøjning om én akse kan bæreevnen eftervises ved brug af følgende udtryk: N c χ A + M N cr (43) W el N cr N c Hvor trykbæreevnen er reduceret med søjlereduktionsfaktoren χ og hvor momentbelastningen er forøget med forøgelsesfaktoren andenordenseffekterne. N cr N cr N c () således at både tryknormalkraft og momentpåvirkning tager højde for 0
Beregning efter DS/EN 993 I DS/EN 993 er faktoren ή erstattet af et udtryk som dækker imperfektioner såsom forhåndkrumninger, egenspændinger, skævheder m.m. og hvor et reelt kendskab til initialudbøjningen u 0 ikke er nødvendigt. λ rel benævnes i DS/EN 993 som λ ή = α (λ rel,y 0,) (44) Svarende til: u 0 = α (λ rel,y 0,) W A (45) idet ή = A W u 0 (36) Hvor α er en variabel imperfektionsfaktor som afhænger af ståltværsnittes udformning, den betragtede udbøjningsakse, fremstillingsmetode m.m. Imperfektionsfaktoren α varierer i intervallet 0,3 0,76. λ rel,y skal mindst have værdien 0,. Ved værdier mindre end 0, er der ingen søjlevirkning og flydestyrken f y er alene begrænsende for bæreevnen. I DS/EN 993 er formeludtrykkene for bestemmelse af bæreevne i forhold til y og z-aksen: χ = φ + φ λ rel (46) Hvor: Bæreevne ved trykpåvirkning (tværsnitsklasse -3): φ = 0,5 ( + α (λ rel 0,) + λ rel ) (47) N b,rd = χ A N Ed (48) Hvor N b,rd er den regningsmæssige bæreevne mht. stabilitetssvigt af et trykpåvirket element og N Ed er den regningsmæssige værdi af trykkraften. Ovenstående udtryk for søjlereduktionsfaktoren er afbilledet i nedenstående figur hvor λ rel er x-aksen og χ er y-aksen. Den røde kurve viser den imperfekte søjle som kun gælder for værdier af λ rel større end 0,. Imperfektionsfaktoren α er sat til værdien 0, svarende til søjlekurve a. Den grå kurve viser den ideelle Euler søjle, som kun gælder for værdier af λ rel større end.
Figur 7: Søjlereduktionsfaktorer χ som funktion af λ rel Bæreevne ved kombineret trykpåvirkning og momentpåvirkning (tværsnitsklasse -3): Når et element er påvirket af både aksialt tryk og bøjning kan bærevenen eftervises ved brug af følgende udtryk udtryk: N Ed χ y N + k yy Rk M y,ed χ LT M y,rk + k yz M z,ed M z,rk (49) Hvor: χ LT er kipningsreduktionsfaktoren N Ed + k χ z N zy Rk k yy, k yz, k zy og k zz er interaktionsfaktorer M y,ed χ LT M y,rk + k zz M z,ed M z,rk (50) For yderligere information henvises til Stålkonstruktioner efter DS/EN 993 af Bjarne Chr. Jensen og DS/EN 993.