OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere og designe forskellige mønstre. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler. I opgaver, hvor der skal tegnes, er der ofte frit valg mht. valg af tegneredskaber og hjælpemidler. Tilsvarende er nogle af figurerne her udført som håndtegning, mens andre er udført ved brug af et digitalt værktøj. Valgene i facitlisten er ikke nødvendigvis en anbefaling af det mest fornuftige valg i den givne opgave blot en illustration af, at begge muligheder ofte er til stede.
ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: ved hjælp af undersøgelser kan beskrive de tre typer flytninger spejling, drejning og parallelforskydning kan kategorisere forskellige typer mønstre kan anvende flytninger til at beskrive, undersøge, analysere og fremstille mønstre kan anvende forskellige metoder til at undersøge flytninger og mønstre både med og uden brug af digitale værktøjer. PRINTRK 3 eskriv mønstre 4 Flytninger 5 Friser 6 Fladedækkende mønstre U1 Spejling E2 egreber og fagord Flytninger og mønstre MTERILER Gennemsigtigt papir Vinkelmåler IGITLE VÆRKTØJER Geometriprogram FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Spejling rejning Parallelforskydning Vektor Symmetri Rosetter Friser Fladedækkende mønstre.
UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 1 Elevernes egne beskrivelser og tegninger af de anførte begreber. KTIVITET: ESKRIV MØNSTRE EL 1 Elevernes egne beskrivelser af de tre mønstre på side 39. Herunder er givet eksempler på nogle af de beskrivelser, eleverne kan give: Om det øverste mønster kan eleverne eksempelvis sige, at det er en roset, der består af drejningssymmetri. Umiddelbart ligner det også, at rosetten indeholder spejlingssymmetri, men mønsteret i den brune, cirkelformede frise gør, at dette ikke er tilfældet. Om det midterste mønster kan eleverne eksempelvis sige, at det er et fladedækkende mønster, som indeholder flytningerne spejling og parallelforskydning. Mønsteret består af kongruente figurer, nemlig sekskanter i tre forskellige farver, hvis farverne tillægges betydning eller firkanter, hvis farverne ikke tillægges betydning. nses grundfiguren for firkanterne, indeholder mønsteret også flytningen drejning. Om det nederste mønster kan eleverne eksempelvis sige, at det er en frise, hvor grundfiguren (en roset) er parallelforskudt. er forekommer op/ned-spejling og høre/venstrespejling samt drejning på 180. Sammenligning af beskrivelser mellem to makkerpar.
OPGVE 3 I figur 1 og 4 er spejlingsakserne placeret rigtigt. Elevernes egne tegninger af figur 2, 3 og 5 med de rigtige symmetriakser. UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 2 Elevernes egne tegninger. Elevernes egne forklaringer. Figuren har 5 symmetriakser. OPGVE 4 Elevernes egne tegninger af figurerne. Spejling af figurerne i de tre linjer. emærk, at på figur 2 er det kun den grønne spejlingsakse, der har ændret position i forhold til den gule firkant. OPGVE 5 Elevernes egne tegninger. E ntallet af symmetriakser for en regulær n-kant er n. et ændrer sig ikke, selv om man på hver side af n- kanten bygger en figur på af samme slags. - E Intet facit.
rejning -300 om E (4,3). UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 6 - Trekant og drejning 90 om (6, 2). E rejning -45 om F (-1, 3). rejning 180 om (4, 1). OPGVE 7 - E Intet facit. OPGVE 8 Firkant er forskudt efter vektoren vv = 4 3.
OPGVE 9 Tegning af firkanten med digitalt værktøj. Parallelforskydning efter vektoren vv = 4 1. Elevernes egne tegninger og beskrivelser. Elevernes egne beskrivelser. Sammenligning med et andet makkerpars løsning. KTIVITET: ESKRIV OG TEGN EL 1 - Elevernes egne beskrivelser, tegninger og sammenligninger. EL 2 - Elevernes egne vurderinger og begrundelser.
OPGVE 12 er tegnes trekant T 1 på figuren herunder: UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 10 en røde femkant er forskudt efter vektoren uu = 4 4. en blå trekant er forskudt efter vektoren vv = 2 1. en gule firkant er forskudt efter vektoren ww = 4 0. OPGVE 11 - Eleverne tegner og forskyder polygonen. Figuren ender, hvor den startede, idet summen af de fem forskydningsvektorer tilsammen giver nulvektoren 0 = 0 0. lle de parallelforskudte polygoner ændrer sig. Ændredes alle polygonerne ikke, når eleverne trækker i et punkt, er der ikke længere være tale om en parallelforskydning, og opgaven er ikke løst korrekt. ette kan skyldes, at eleverne ikke har parallelforskudt polygonen men derimod et punkt i den eller fordi de har foretaget parallelforskydningerne manuelt, og dermed ikke anvendt det digitale værktøj hensigtsmæssigt. Forskydning efter vektoren uu = 3 giver trekant T2. 4 uu = 5. Forskydning efter vektoren vv = 0 giver trekant T3. 7 E vv = 7. F Forskydning efter vektoren xx = 5 giver trekant T4. 2 G xx = 29 ( 5,39) H Forskydning efter vektoren ww = 2 vil bringe trekant 5 T 4 tilbage i trekant T 1. I ww = 29 ( 5,39) OPGVE 13 - Punktet (1, 1) forskydes efter vv = 1, og hvert 2 forskudt punkt forskydes efter samme vektor, til der er 5 punkter. e fem punkter er (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7) og (5, 9). E Punkterne opstår ved koordinatvis addition mellem punktkoordinater og vektorkoordinater. F e næste tre punkter er (6, 11), (7, 13) og (8, 15).
OPGVE 14 Elevernes egne tegninger med et digitalt værktøj. er parallelforskydes efter vektoren vv = 7 2. = (3, 3); = (6, 3); = (5, 6); = (3, 5). er parallelforskydes efter vektoren uu = 2 5 E = (1, 2); = (4, 2); = (3, 1); = (1, 0). F er parallelforskydes efter vektoren ww = 4 2. G = ( 3, 4); = (0, 4); = ( 1, 1); = ( 3, 2).
EL 3 Elevernes egne undersøgelser. Tilfælde 1: Hvis de tre spejlingsakser er parallelle er den sammensatte flytning en spejling. Tilfælde 2: Hvis de to spejlingsakser er parallelle, og den tredje står vinkelret på de to første, bliver den sammensatte flytning en glidespejling. UYENE VEJLENING OG FITLISTE UNERSØGELSE: FLERE SPEJLINGER EL 1 Elevernes egne skærmvideoer, hvor de viser og forklarer de to spejlinger i de tre tilfælde. Elevernes egne skærmvideoer, hvor de forklarer resultatet. Tilfælde 1: Hvis spejlingsakserne er sammenfaldende, vil de to spejlinger føre firkanten over i sig selv den sammensatte flytning er den identiske afbildning. Tilfælde 2: Hvis spejlingsakserne er parallelle, er den sammensatte flytning en parallelforskydning efter en vektor, der står vinkelret på spejlingsakserne og har en længde, der er lig med den dobbelte afstand mellem de to akser. Tilfælde 3: Hvis spejlingsakserne skærer hinanden, er den sammensatte flytning en drejning om aksernes skæringspunkt med en vinkel, der er dobbelt så stor som vinklen mellem akserne. EL 2 Elevernes indtegninger af spejlingsakser på U1.1 og U1.2. Eleverne undersøger muligheder for at fremstille en glidespejling. Se EL 3. Tilfælde 3: Hvis de tre spejlingsakser skærer hinanden i samme punkt, bliver den sammensatte flytning en spejling. Elevernes egne skærmvideoer, hvor de beskriver undersøgelser i punkt. Fremlæggelse af undersøgelse og diskussion af fordele og ulemper ved forskellige præsentationsformer. OPGVE 15 Elevernes egne beskrivelser. fhængigt af om farverne i mønsteret tillægges betydning, er mønsteret opbygget af regulære sekskanter (farverne tillægges betydning) eller romber (farverne tillægges ikke betydning). Elevernes egne undersøgelser. fhængigt af om farverne i mønsteret tillægges betydning, findes der parallelforskydninger (farverne tillægges betydning) eller drejninger, spejlinger og parallelforskydninger (farverne tillægges ikke betydning). Elevernes egne tegninger. Elevernes egne farvelægninger. Farverne har betydning for måden, man ser mønsteret på, eksempelvis 3-effekten. E Elevernes egne forklaringer af brugen af digitale værktøjer.
OPGVE 16 Elevernes egne beskrivelser. fhængigt af om farverne i mønsteret tillægges betydning, er mønsteret opbygget af regulære ottekanter (farverne tillægges betydning) eller romber (farverne tillægges ikke betydning). Elevernes egne undersøgelser. fhængigt af om farverne i mønsteret tillægges betydning, findes der parallelforskydninger (farverne tillægges betydning) eller drejninger, spejlinger og parallelforskydninger (farverne tillægges ikke betydning). Elevernes egne skærmoptagelser. Visning og sammenligning af tegning af mønster. OPGVE 17 Mønsteret er opbygget af cirkler. Elevernes egne beskrivelser. Elevernes egne tegninger. OPGVE 18 Intet facit. Elevernes egne beskrivelser af et makkerpars mønster.
Elevernes egne tegninger. Herunder et forslag til et mønster (roset) med fire spejlingssymmetrier: UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 19 Elevernes beskrivelser af figurerne. Intet facit. Elevernes egne tegninger. Herunder et forslag til et mønster (roset) med seks spejlingssymmetrier. OPGVE 20 Elevernes egne tegninger. Herunder et forslag til et mønster (roset) med tre drejningssymmetrier: E rejningsvinklen i er 360 : 3 = 120. rejningsvinklen i er 360 : 5 = 72. rejningsvinklen i er 360 : 4 = 90. rejningsvinklen i er 360 : 6 = 60 Elevernes egne tegninger. Herunder et forslag til et mønster (roset) med fem drejningssymmetrier:
Frise 4: Glidespejling og drejning på 180 grader. Vælges andre samlinger af figurer som grundfigur, indeholder frisen også højre/venstre-spejling og parallelforskydning. UYENE VEJLENING OG FITLISTE OPGVE 21 Vælges kun den første grønne figur ( halvdelen af den markerede ) som grundfigur, er det ikke en frise, da ingen af de fem flytninger af figuren kan danne frisen. Frise 5: Frise 1: Parallelforskydning og op/ned-spejling. Parallelforskydning, op/ned-spejling, højre/venstrespejling, drejning på 180 og glidespejling. Frise 6: Frise 2: Glidespejling. Vælges de to første figurer i frisen som frisens grundfigur, indeholder frisen også parallelforskydning. Parallelforskydning og højre/venstre-spejling. Vælges andre samlinger af figurer som grundfigur, indeholder frisen også drejning på 180 og glidespejling. Frise 7: Frise 3: Parallelforskydning, op/ned-spejling, højre/venstrespejling, drejning på 180 og glidespejling. Parallelforskydning, op/ned-spejling, højre/venstrespejling, drejning på 180 og glidespejling. Elevernes egne forklaringer. nalysen af friserne afhænger af, hvordan eleverne definerer en grundfigur i hver frise. lmindeligvis defineres grundfiguren i en frise som den mindste figur (eller samling af figurer), der ved en af de fem flytninger (parallelforskydning, op/ned-spejling, højre/venstrespejling, drejning eller glidespejling, kan danne en frise. I hver frise herover er udvalgt en grundfigur, som frisen er analyseret med udgangspunkt i.
OPGVE 22 - Elevernes egne tegninger og analyser. Elevernes egne mønstre. Herunder er et eksempel på et mønster, hvor der kun bruges drejninger af rundmotivet: OPGVE 23 Elevernes egne tegninger eller beskrivelser af grundmotiv. Grundmotivet afhænger blandt andet af, om eleverne tillægger farverne i mønsteret betydning. Elevernes egne svar, som afhænger af, hvad eleverne har valgt som grundmotiv. Elevernes egne skærmvideoer. Intet facit. OPGVE 24 Intet facit. Elevernes egne mønstre. Herunder er et eksempel på et mønster, hvor der kun bruges spejlinger af grundmotivet: OPGVE 25 Eleverne designer deres egne mønstre. Elevernes egne beskrivelser. Elevernes egne beskrivelser. Elevernes egne mønstre. Herunder er et eksempel på et mønster, hvor der kun bruges parallelforskydninger af grundmotivet:
EL 3 - Trekanterne, og er tegnet på figuren herunder: UYENE VEJLENING OG FITLISTE TEM: KORNIRKLER EL 1 - Eleverne søger efter og udvælger i fællesskab et billede af en korncirkel. EL 2 Intet facit. Elevernes egne beskrivelser. Elevernes egne konstruktioner. Intet facit. EL 3 Intet facit. Elevernes egne tegninger. Eleverne sammenligner tegninger af korncirkler. = (1, 1); = (1, 4); = (4, 1). = ( 1, 1); = ( 1, 4); = ( 4, 1). Koordinaterne er numerisk lige store, men har modsat fortegn. E En drejning 180 om (0, 0). et er ligegyldigt, om drejningen er med eller mod uret. EL 4 Firkant er tegnet på figuren herunder: EL 4 Elevernes egne design. EVLUERING EL 1 - Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. EL 2 - Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. rejning 20 mod uret. enne drejning skal i alt foretages 17 gange, før vi har en roset. rejes der 17 gange fås 18 figurer og 18 vinkler á 20 (18 20 = 360 ).
Rosetten ser således ud: En polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker uden selvgennemskæringer. et, der her er problemet, er altså, at linjestykket gennemskærer linjestykket. erved opstår en figur, som nok er en plan, lukket figur begrænset af rette linjestykker, men som ikke følger den udvidede polygondefinition, og altså heller ikke lever op til en række af de øvrige krav, vi har til en polygon. Hvis punktet flyttes efter, at rosetten er tegnet, flytter alle de drejede -punkter med, og den nye roset kommer til at se således ud: Hvad der sker, afhænger af, hvordan konstruktionen er foretaget. Formentlig vil alle billederne af punktet ved drejningerne blive spejlet i punktet (0, 0). esuden vil figuren herover blive til en figur, der ikke er en firkant som vist på tegningen herunder. Figurerne til denne opgave er fra GeoGebra-filen MULTI 8 side 53 del 4, der er tilgængelig på MULTIs hjemmeside. EL 5 Elevernes egne tegninger. Elevernes egne beskrivelser. Figuren kan give anledning til en klassesamtale om spørgsmålet Hvad er en polygon?. Sædvanligvis vil vi sige, at en polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker og så falder denne figur ind under begrebet polygon. Men er det en firkant? er er jo tegnet fire rette linjestykker. Men den har 6 vinkler, så er det en sekskant? I så fald skulle vinkelsummen være 4 180 = 720 og den er kun 360. et er selvfølgelig noget værre rod, så hvad gør vi? Problemets løsning ligger i en del af definitionen på begrebet polygon, som man sjældent ser gengivet, fordi det sjældent er et problem:
UYENE VEJLENING OG FITLISTE TRÆN 1 FÆRIGHEER = (4, 2), = (6, 3), = (2, 2) Herunder er trekant forskudt med vv = 3 4 : OPGVE 1 E F Falsk. Sandt. Falsk. Falsk. Sandt. Sandt. OPGVE 2 - Herunder ses tegning og spejling af trekant : = (1, 2), = (3, 1), = ( 1, 2) OPGVE 3 = ( 2, 2), = ( 3, 4), = ( 2, 0) Herunder er trekant drejet 90 mod uret om punktet (1, -1): Elevernes egne svar. a alle vinkelspidserne ligger i tredje kvadrant, skal første- og andenkoordinaterne begge være negative. Eleverne egne svar. Førstekoordinaten i vektoren skal have en højere, positiv værdi end førstekoordinaten i det punkt i polygonen, der har den laveste, negative værdi. ndenkoordinaten i vektoren skal have en højere, positiv værdi end andenkoordinaten i det punkt i polygonen, der har den laveste, negative værdi. Elevernes egne svar. a alle vinkelspidserne ligger i første kvadrant, skal første- og andenkoordinaterne begge være positive.
OPGVE 4 OPGVE 6 - Herunder er trekant tegnet, drejet og spejlet: Elevernes egne tegninger. Grundmotivet er parallelforskudt. er er uendeligt mange rigtige svar. For eksempel vil en forskydning af trekant efter vektoren vv = 2 4 bevirke, at bliver en spejling af i linjen med ligningen x = 2. Generelt vil enhver vektor med andenkoordinaten 4 kunne bruges. OPGVE 5 - Herunder er forkant tegnet og drejet: rejningen skal foretages 8 gange. erved fremkommer 9 firkanter og 9 vinkler à 40 - i alt 360, så vi er kommet hele vejen rundt. Figuren til denne opgave er fra GeoGebra-filen MULTI 8 side 54 opgave 5, der er tilgængelig på MULTIs hjemmeside.
TRÆN 2 FÆRIGHEER OPGVE 1 Falsk. Falsk. Sandt. Forskydningsvektor vv = 3 2. Sandt. rejningscentrum (5, 2). rejningsvinkel 180. E F Falsk. Sandt. OPGVE 2 Elevernes egne svar. a alle vinkelspidserne ligger i tredje kvadrant, skal første- og andenkoordinaterne begge være negative. Eleverne egne svar. Førstekoordinaten i vektoren skal have en højere, positiv værdi end førstekoordinaten i det punkt i polygonen, der har den laveste, negative værdi. ndenkoordinaten i vektoren skal have en højere, positiv værdi end andenkoordinaten i det punkt i polygonen, der har den laveste, negative værdi. Elevernes egne svar. Elevernes egne svar. E vinklerne 270 + p 360, hvor p er et helt tal, give samme resultat. Trekant se figuren. Koordinaterne til vinkelspidserne er = 1 3, 4 5 (1.18, 4.29) 17 17 = ( 3, 10) = ( 5, 1) Eleverne har ikke mulighed for at bestemme de eksakte koordinater til punktet, hvis ikke de bruger et digitalt værktøj. Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren aa = 4 3 17 4,18 8,29. 8 5 17 Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren bb = 1 7. Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren cc = 9 5. OPGVE 4 - Herunder er forkant tegnet og drejet: OPGVE 3 - Herunder er trekant tegnet og drejet: rejningen skal foretages 8 gange, før man har en roset (bemærk: Efter 8 drejninger har man 9 firkanter). Figuren til denne opgave er fra GeoGebgra-filen MULTI 8 side 55 opgave 4, der er tilgængelig på MULTIs hjemmeside. En drejning på 90 mod uret om (-3, -6) ville give samme resultat. er er uendeligt mange andre muligheder fx vil enhver drejning med uret om (-3, -6) med en af OPGVE 5 Elevernes egne tegninger. Grundmotivet er parallelforskudt.
OPGVE 2 lle tre udsagn er falske. UYENE VEJLENING OG FITLISTE TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 - Tegning og spejling af firkanterne i et digitalt værktøj. e eneste fladedækkende regulære polygoner er den ligesidede trekant, kvadratet og den regulære sekskant. lene derfor kan ikke alle polygoner være fladedækkende. For eksempel er den regulære femkant ikke fladedækkende. en regulære sekskant er fladedækkende, men det gælder ikke alle sekskanter. For eksempel vil det oplagt ikke være muligt at fladedække med denne sekskant: Punktet afbildes i spejlingen af ved forskydning med vektoren aa = 1 2. Punktet afbildes i spejlingen af ved forskydning med vektoren bb = 0 1. Punktet afbildes i spejlingen af ved forskydning med vektoren cc = 0 0. Punktet afbildes i spejlingen af ved forskydning med vektoren dd = 0 1. OPGVE 3 Elevernes egne beskrivelser. Elevernes egne tegninger. Elevernes egne beskrivelser. OPGVE 4 Elevernes egne tegninger. Elevernes egne valg af grundmotiv. Parallelforskydning, op/ned-spejling, højre/venstrespejling, drejning og glidespejling. fhænger af, hvad der vælges som grundmotiv. Frisen kan fremstilles ved udelukkende at bruge parallelforskydning og højre/venstre-spejling.
TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 4 OPGVE 1 rejningscentret ligger i punktet (5, 4). rejningscenteret skal ligge lige så langt fra som fra, fra som fra og fra som fra. et skal derfor ligge både på midtnormalen for og på midtnormalen for (som også er midtnormal for linjen med ligningen x = 5). Skæringspunktet mellem de to midtnormaler er (5, 4). ngivet med to decimaler er trekanten drejet 126,87 med uret svarende til 233,13 mod uret. Eleverne er her udelukkende i stand til at måle vinklen, så en vis måleunøjagtighed må påregnes og accepteres. Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren aa = 4 4. Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren bb = 8 0. Punktet afbildes i ved forskydning med vektoren cc = 4 0. Falsk. Regulære sekskanter er fladedækkende. Falsk. Kun regulære trekanter, firkanter og sekskanter er fladedækkende. Sandt. For eksempel mønsteret herunder, som består af kongruente, regulære femkanter og kongruente, ligebenede trekanter. OPGVE 2 Elevernes egne tegninger. Elevernes egne beskrivelser. Falsk. Hvis de ligebenede trekanter i mønsteret herover to og to slås sammen til en rombe, fås et fladedækkende mønster med netop en rombe og en regulær femkant som grundmotiver. OPGVE 3 Elevernes egne tegninger. Elevernes egne valg af grundmotiv. Parallelforskydning, højre/venstre-spejling, drejning og glidespejling. fhænger af, hvad der vælges som grundmotiv. Frisen kan fremstilles ved udelukkende at bruge parallelforskydning, højre/venstre-spejling, drejning og glidespejling.