OM KPITLET I dette kapitel om algebra, ligninger og uligheder skal eleverne undersøge og udvikle metoder og regler til at løse ligninger og uligheder både algebraisk og grafisk. Eleverne skal opstille og anvende ligninger og uligheder, så de kan løse matematiske problemstillinger. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler. Til opgaver, hvor der forlanges grafisk løsning er der nogle gange brugt et digitalt værktøj, andre gange håndtegning, og atter andre gange er tegningen udeladt.
ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne kan bruge variable i regneudtryk og formler kan anvende og få overblik over forskellige parentesregler kan undersøge og udvikle regler til at løse ligninger og uligheder med og uden digitale værktøjer kan løse ligninger og uligheder både algebraisk og grafisk kan anvende ligninger og uligheder til problemløsning i matematik. PRINTRK E3 egreber og fagord lgebra, ligninger og uligheder MTERILER Ingen konkrete materialer. DIGITLE VÆRKTØJER Geometriprogram Funktionstegneprogram FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Parentesregler Kvadratsætninger Reduktion Ligninger Uligheder Intervaller.
m + 5 + m = 31 2m = 31 5 m = 26 : 2 m = 13 p + 13 = 31 p = 18 OPGVE 5 UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 1 Der er 5 led i regneudtrykket. Det reducerede udtryk: 3a b + 15ab C Der er 3 led i det reducerede udtryk. D Elevernes egne eksempler. Et muligt eksempel er: (a, b) = (0, 24) og (a, b) = (8, 0). (380 + 220)x = 3300 En smiley er 5,50 kr. værd. C Prisen pr. smiley i dette tilbud er 6995 kr.: 1150 = 5,30 kr. Hvis Mille og Mikkel vil have mest muligt for hver smiley, kan det derfor bedst betale sig for dem at veksle til en tablet. OPGVE 6 OPGVE 2 O = 12x 2 Udtrykkene 5x 2 x og (5x 1)x kan begge bruges til at beregne rektanglets areal. C real = 441,75 Omkreds O = 112 OPGVE 3 Elevernes egne forklaringer til ligningsløsning. Der er kun brugt én ligningsregneregel: Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. Den er til gengæld brugt to gange. I overgangen fra ligning 1 til ligning 2 trækkes 4x fra på begge sider, og i overgangen fra ligning 2 til ligning 3 trækkes 17 fra på begge sider. Ligningsløsning med forklaringer. Løsningerne er x = 25 og x = 2 3 + 5a 3 + 4 (6 + 2) + 7 (a + b) 4 + 7 (a + 2b) 4b 5 + 4a 6b 2ab Elevernes egne redegørelser. C De reducerede regneudtryk er: 15a + 42 3a 2b + 7 22ab + 5 OPGVE 4 Mikkel er 13 år, Patrick er 18 år. Elevernes egne forklaringer. C Hvis p betegner Patricks alder, og m betegner Mikkels alder, kan man opstille ligningerne I p + m = 31 og II p = m + 5. OPGVE 7 Hvis x = 9 skal være løsning, er der naturligvis uendeligt mange muligheder. De mest simple er disse: 3 + 9 = x + 3 4(x + 3) = 2 24 3x = 2(x 2) + 13 3x + 9 = 36 Også hvis x = 7 er løsning, er der uendeligt mange muligheder. De mest simple er: 3 + 9 = x + 5 4(x + 3) = 2 20 3x = 2(x 2) + 11 3x + 9 = 30
OPGVE 10 UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 8 Reduceret størrelse: a + 3x 3 ntal led før reduktion: 4 ntal led efter reduktion: 3 Reduceret størrelse: 7a + 3b c + 4 ntal led før reduktion: 1 ntal led efter reduktion: 4 C Reduceret størrelse: a 2b + 4c ntal led før reduktion: 2 ntal led efter reduktion: 3 D Reduceret størrelse: a 1 ntal led før reduktion: 4 ntal led efter reduktion: 2 E Reduceret størrelse: 7a + 2b + 4 ntal led før reduktion: 4 ntal led efter reduktion: 3 F Reduceret størrelse: 2a 2b ntal led før reduktion: 1 ntal led efter reduktion: 2 G Reduceret størrelse: 2b 2 + 5ab ntal led før reduktion: 2 ntal led efter reduktion: 2 15 4b + 32 C 48 D 4c + 36 E 0 (nul) F For b = 7 får udtrykket i værdien 60, og er dermed det største tal. Vi skal derfor se på uligheden 4c + 36 > 60 med løsningen c > 6. G For c = 5 får udtrukket i D værdien 16. Mindsteværdien er derfor 0 (E), og vi skal se på uligheden 4b + 32 < 0 med løsningen b < 8. OPGVE 11 Mange muligheder. Hvert af de to udtryk skal kunne reduceres til 16a. Mange muligheder. Hvert af de to udtryk skal kunne reduceres til 16a. C Mange muligheder. Hvert af de to udtryk skal kunne reduceres til 28a. OPGVE 12 a 2 + 2a a 2 +ab ac ad C 2b 2 + 12b D 3c 2 + 2c E ac + bc + ad + bd OPGVE 13 OPGVE 9 - C Elevtegnede figurer, der passer til de tre regneudtryk i -C. For fantasifulde hoveder er der sikkert mange muligheder, men den oplagte er rektangler med sideinddelinger, der passer til regneudtrykkene, som vist herunder: C D E F Iben får x + 80 kr. lma får 3(x + 80) = 3x + 240 kr. Tilsammen får de tre piger x + x+ 80 + 3x + 240 = 5x + 320 kr. Ligningen 5x + 320 = 1070 giver Emilies løn. Løsningen er x = 150, dvs. Emilie får 150 kr. Iben får 150 + 80 = 230 kr. lma får 3 150 + 240 = 690 kr. D Ved at gange ind i parenteserne får man: 4 2 + 4 1 + 4 4 (= 28) 2a + 6 + 2b C 5a + ab + ac
OPGVE 19 Ligningen 2 ((3x + 2) + (2x 3)) = 70 giver x = 7 1 5 = 7,2. Rektanglets længde er da 2 7,2 + 2 = 23,6. Rektanglets bredde er 2 7,2 3 = 11,4. C Rektanglets areal er 23,6 11,4 = 269,04. OPGVE 20 UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 14 De er i alt 9 rektangler med forskellige arealer. Elevernes egne forklaringer. Flere muligheder. Eleverne kan for eksempel skrive: 2 (3 + 4) = 2 3 + 2 4 4 (2 + 5) = 4 2 + 4 5 OPGVE 15 Elevernes egne forklaringer. Elevernes egne forklaringer. OPGVE 16 - E Elevernes egne forklaringer og omskrivninger af regneudtrykkene. realerne er (ordnet efter størrelse): 2, 3, 6 og 9. C Elevernes egne forklaringer ved hjælp af tegning. D Intet facit. Resultatet afhænger af hvilket tal, man udskifter med 4. OPGVE 17 OPGVE 21 a 2 + 5a + 4 3a + 3b + ab + 9 C 3x + 2y + xy 6 D a 2 + 20a + 96 E b 2 + 26b + 69 Et kvadrat med sidelængden 8 vil være et rigtigt svar, men der er tænkt på en inddeling af kvadratet for eksempel som denne (flere muligheder) OPGVE 18 Ligningen 2 (4x + 6 + 5) = 70 giver x = 6. real = 5 30 = 150. Uanset hvor mange led, der er, så ganger man to flerleddede størrelser med hinanden ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden.
Det kan være en lettelse for nogle elever, hvis de sætter en streg under et led, når leddet indgår i delmultiplikationen. Har man husket det hele, er der til sidst lige så mange streger under hvert led i den ene parentes, som der er led i den anden parentes. OPGVE 22 C D Elevernes egne regneudtryk. Elevernes egne skitser. Elevernes egne beregninger. Intet facit. OPGVE 23 Elevernes egne tegninger. De reducerede udtryk er: 4a + 6b + 2ab + 12 10a + 8b 4ab + 20 OPGVE 24 realet af figur 1 er: 9 realet af figur 2 er: 3a C realet af figur 3 er: 3b + ab D realet af figur 4 er: 2a 2 + 6a E realet af figur 1 + 2 + 3 er: 3a + 3b + ab + 9 F realet af den samlede figur er: 2a 2 + 9a + 3b + ab + 9 G Elevernes egne regneudtryk. Eleverne kan eksempelvis skrive: 2 (3 + a + 3 + b + 2a) 6a + 2b + 12
OPGVE 29 Værdi af udtrykkene i opgave 28 28: 28: C 28: D 28: (4+a) 2 (3a+5) 2 (2a+3b) 2 (2a+b) 2 49 196 144 64 1 100 1 49 0 49 289 121 UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 25 OPGVE 30 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab a 2 10a + 25 4a 2 + b 2 4ab C a 2 b 2 D 28 14b OPGVE 31 C Kvadratets størrelse (areal) er 36. D Elevernes egne forklaringer. OPGVE 26 (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab Det farvede kvadrats størrelse (areal) er 4. C Elevernes egne forklaringer. Variabelværdier a = 3, b = 2 a = -5, b = 3 C a = -4, b = -3 Variabelværdier a = 4, b = 6 a = -5, b = -6 OPGVE 32 Værdi af udtrykkene i opgave 30 30: 30: C 30: D 30: (5-a) 2 (2a-b) 2 (a+b) (a-b) (4-2b) 7 1 4-20 -56 100 16-11 112 OPGVE 27 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Det farvede området størrelse (areal) er 60. C Elevernes egne forklaringer. OPGVE 28 - D Elevernes egne tegninger og forklaringer. Elevernes egne skitser. Hvis længden af den længste pind betegnes a, og længden af den korteste pind betegnes b, er pladens mål (a + b) x (a b), og arealet er (a + b) (a b) = a 2 b 2. C For a = 1,5 m og b = 1 m bliver arealet 1,25 m 2. D Regneudtryk flere muligheder fx: (2 (1 + 1,5)) 2 real = 25 m 2. E Hvis a = b = 1,5 m, vil pladen i udarte til et linjestykke med areal 0 (nul), mens pladen i C får målene 6 6 m og arealet 36 m 2.
OPGVE 33 Produkterne er 225, 224, 221, 216, 209. Tallet b i de sidste tre multiplikationer er hhv. 2, 3 og 4. C Elevernes egne redegørelser. D Produkterne er 624, 621 og 616. E a = 25 i alle tre opgaver, mens b er hhv. 1, 2 og 3. F Elevernes egne opgaver. G Intet facit. H Elevernes egne redegørelser.
UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 34 Kontrol af at x = 1 er løsning til ligningen 3x + 5 = 2x + 4: Venstre side udregnes: 3 ( 1) + 5 = 3 + 5 = 2. Højre side udregnes: 2 ( 1) + 4 = 2 + 4 = 2. Da venstre side er lig med højre side, er x = 1 løsning. OPGVE 35 Herunder er ligningerne løst grafisk. OPGVE 36 ananerne koster 1,50 kr. pr. styk. De to piger havde 19,00 kr. tilsammen, dvs. 9,50 kr. hver. OPGVE 37 - C Kaja og Ketil. Der er tre ubekendte i spil: 1: Prisen på en lotteriseddel, 2: Kajas formue fra start og 3: Ketils formue fra start. Hvis vi skal reducere til én ubekendt, vælger vi prisen på en lotteriseddel, som vi derfor betegner x.
Kaja køber 4 lotterisedler og har 10 kr. tilbage. Hendes formue fra start er derfor 4x + 10. Ketil køber 7 lotterisedler, men må så låne 4 kroner, dvs. hans formue fra start er 7x 4. Desuden ved vi, at Kaja fra start har 5 kr. mere end Ketil, dvs. der gælder 4x + 10 = (7x 4) + 5. Ligningen reduceres til 4x + 10 = 7x + 1, og kan løses grafisk med løsningen x = 3. Vi har altså: En lotteriseddel kostede 3 kr. Kaja havde 22 kr. med Ketil havde 17 kr. med. llan og rian. Her er der to ubekendte i spil: 1: Prisen for et spil: x 2: Det beløb de to drenge hver havde med: y OPGVE 39 I punkt, og C betegner x den tid (målt i minutter), det tager bageste løber at overhale forreste løber. Ligning: 1,2 180 x = 1 180 x + 30 Løsning: x = 5 6 Kristian overhaler Peder efter 5 minut = 50 sekunder. 6 Ligning: 1,1 180 x = 0,95 180 x + 25 Løsning: x = 25 27 Henning overhaler Pernille efter 25 minut 55,6 27 sekunder. C Ligning: 1,2 180 x = 0,95 180 x + 15 Løsning: x = 1 3 Kristian overhaler Peder efter 1 minut = 20 sekunder. 3 D Intet facit. E Intet facit. De to ubekendte er forbundet ved: y 3x = 60 (llan køber 3 spil og har 60 kr. tilbage) y 5x = 10 (rian køber 5 spil og har 10 kr. tilbage) Dette ligningssystem kan løses grafisk og har løsningen (x, y) = (25, 135), dvs. llan og rian havde hver 135 kr. med. Et spil kostede 25 kr. OPGVE 40 - Herunder er løsningen vist ved hjælp af regneark: Vi kan også reducere til én ligning med én ubekendt: llans formue: 3x + 60 rians formue: 5x + 10 De to beløb er ens, så vi har ligningen 3x + 60 = 5x + 10 med løsningen x = 25. C Grafer tegnet i et funktionstegneprogram. Den røde graf hører til + køleskabet. Den blå graf hører til ++ køleskabet. Den sorte graf hører til +++ køleskabet. OPGVE 38 x = 2 1 2 x = 3 C x = 2 2 3 D x = 42 E Elevernes egne forklaringer.
D De tre grafer skærer hinanden efter ca. 7,5 år. Hvis man regner med, at køleskabet skal bruges i mindre end 7,5 år, kan det økonomisk bedst betale sig at købe + køleskabet, men hvis man regner med, at køleskabet skal bruges i 13 år (eller blot i mere end 7,5 år) kan det bedst betale sig at købe +++ køleskabet. E Funktionsudtryk, hvor x er antal år efter købet: +: h(x) = 731,25x + 2200 ++: g(x) = 573,75x + 3400 +++: f(x) = 400,5x + 4700 F Ligning: 400,5x + 4700 = 573,75x + 3400 Løsning: x = 7,5036, altså i praksis efter 7,5 år. G Intet facit.
OPGVE 45 UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 41 f de generelle løsninger til ulighederne fremgår, hvilke af tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 8 der er løsninger. x < 5 x < 3 C x 2 D x 9 OPGVE 42 x < 6 x > 2 OPGVE 43 Ulighed: x + 15 10 Løsning: x 5 Ulighed: 7x 21 Løsning: x 3 C Ulighed: 25 x > x + 5 Løsning: x < 10 D Ulighed: xx 16 < 4x + 4 2 Løsning: x < 1 OPGVE 44 x > 2 x > 10 C x > 4 D x < 3 E x 5 F x > 9 G x 4 1 2 H x > 4 I x 2 1 4 C D Prisen på en liter mælk betegnes x. Der gælder da: 3x + 26 50 x 8 En liter mælk må altså højst koste 8 kr. lmas nuværende alder betegnes x, og vi går ud fra, at der i oplysningen for 7 år siden var han fem gange så gammel som lma tales om den alder, lma havde dengang (dvs. x 7). Vi har så ligningen: 42 7 = 5(x 7) x = 14 lma er 14 år gammel. Teksten tolkes sådan, at x plus fire og ganget med tre betyder til x adderes 4, og resultatet ganges derefter med 3. Så vil uligheden være: (x + 4) 3 > 24 x > 4 Denne del af opgaven giver mulighed for og anledning til at tale med klassen om nødvendigheden af det algebraiske formelsprog. Hvad betyder egentlig sætningen Det dobbelte af tallet x plus tre ganget med fem er lig med tallet gange fire minus tre ganget med syv.? Ordene er lig med kan tolkes som et lighedstegn, så lad os se på de to sider af ligningen. Venstre side af ligningen: Hvordan skal Det dobbelte af tallet x plus tre ganget med fem tolkes? Der er (mindst) fire muligheder, som adskiller sig fra hinanden, hvis vi sætter parenteser i teksten og tilsvarende parenteser i udtrykket, hvor det er nødvendigt. 1. (Det dobbelte af tallet x) plus (tre ganget med fem) 2x + 3 5 2. Det dobbelte af (tallet x plus (tre ganget med fem)) 2 (x + 3 5) 3. Det dobbelte af ((tallet x plus tre) ganget med fem) 2 ((x + 3) 5) 4. ((Det dobbelte af tallet x) plus 3) ganget med fem (2x + 3) 5 Det giver faktisk fire forskellige resultater, nemlig: 1. 2x + 15 2. 2x + 30 3. 10x + 30 4. 10x + 15 Højre side af ligningen: Her er der en tilsvarende uvished om tolkningen af tallet gange fire minus tre ganget med syv? Også her er der (mindst) fire muligheder.
1. (tallet gange fire) minus (tre ganget med syv) x 4 3 7 2. tallet gange (fire minus (tre ganget med syv)) x (4 3 7) 3. tallet gange ((fire minus tre) ganget med syv) x ((4 3) 7) 4. ((tallet gange fire) minus tre) ganget med syv (x 4 3) 7 Det giver igen fire forskellige resultater. 1. 4x 21 2. 17x 3. 7x 4. 28x 21 I skriftsproget kunne vi sætte parenteser, som det er sket herover men vi gør det sædvanligvis ikke. I talesproget er det helt umuligt. Så hvis vi vil have entydighed i vores måde at udtrykke os på, er det algebraiske formelsprog en absolut nødvendighed. OPGVE 47 200 + 480 + 17x < 760 17x < 80 Ulighedens løsning er x < 4 12, dvs. Peter kan højst 17 købe sandwich i kantinen 4 gange i den pågældende måned. OPGVE 48 Kantlængden betegnes x og måles i cm. Uligheden er da x 3 > 8000 3 Kantlængden skal mindst være 8000 = 20 cm lang. C x 3 1000 D x 3 3375 E Mindste længde er 10 cm. Største længde er 15 cm. OPGVE 49 - C Elevernes egne regnehistorier. lt i alt får vi (mindst) 16 forskellige ligninger og 16 mulige værdier af x. Løsningerne til de 16 ligninger er angivet i skemaet herunder. Tallet 6 i feltet under indgangssøjlens 2x 30 og indgangsrækkens 7x betyder, at løsningen til ligningen 2x + 30 = 7x er x = 6. 4x - 21-17x 7x 18x - 21 2x - 15 18 15 3 1 5 19 13 2x - 30 25 1 1 11 6 1 25 2 19 26 10x + 30 8 1 2 1 1 9-10 2 5 6 10x + 15 6 5 9-5 2 OPGVE 46 x 1 2 Jens har løst uligheden forkert. Hans fejl består i at vende ulighedstegnet i overgangen fra 1 2x til 1:2 2x:2 til trods for, at han har divideret med et positivt tal.
OPGVE 53 Se figuren. Ulighedens løsning er x < 3. Det største hele antal kroner, en frugt kan have kostet, er derfor 2 kr. UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 50 Grafisk løsning. Løsningerne er: x > 4 x > 4 1 2 C x 12 D x 1 1 3 OPGVE 51 Der kan være forskel på, hvordan vendingen Reducer ulighederne tolkes. Herunder er hver side af ulighederne reduceret hver for sig. Reduceret ulighed Løsning 3x +1 2 2 x 3 2x 8 < 5x + 7 x > 5 C x 3 3x 6 x 1 1 2 D x 9 x 9 E 2x + 11 > 21x x < 11 19 OPGVE 52 - C En frugt kan højst have kostet 2,99 kr. Thøger kan derfor højst have haft 3 2,99 + 4 = 12,97, dvs. 13 kr. Hvis frugterne sælges enkeltvis, må den mindste stykpris for en frugt være 25 øre selv om det nok ikke i praksis er sandsynligt at finde frugter til 25 øre pr. styk. Hvorfor 25 øre? Fordi den mindste mønt i Danmark er 50 øre, så hvis prisen var under 25 øre, ville den blive rundet ned til 0 kr. ved køb af en enkelt frugt og det er næppe tænkeligt. Thøger køber 3 frugter. De koster så mindst 75 øre, men Thøger kommer til at betale 1 krone. Han må derfor mindst have haft 1 + 4 = 5 kr. Markeret med rødt på figuren. Det er ulighedens matematiske løsning. Hvis x er prisen pr. frugt, er der som nævnt ovenfor i praksis ikke løsninger under 0,25. Ligning/Ulighed 2x + 5 = x + 2 2x + 5 < x + 2 2x + 5 x + 2 2x + 5 > x + 2 2x + 5 x + 2 Løsning x = 1 x < 1 x 1 x > 1 x 1 OPGVE 54 Mulighed 1: y = 199x + 6095 Mulighed 2: y = (832 + 199)x y = 1031x Mulighed 3: y = 199x + 5400 Tegning af de tilhørende grafer (ikke medtaget her). Mulighed 3 er billigst (7.788 kr. mod 8.483 kr. (mulighed 1) og 12.372 kr. (mulighed 2)). C Mulighed 3 (abonnement) efter 6 måneder: 6.594 kr. Mulighed 2 (afbetaling) efter 6 måneder: 6.186 kr. Forskellen er 408 kr.
D E F Prisen for afbetaling (mulighed 2) er den samme som prisen for kontantkøb (mulighed 1), når 1031x = 199x + 6095 Løsningen er x 7,33, dvs. det sker efter 7 måneder og (ca.) 10 dage. Den samlede pris efter 12 måneder er: Mulighed 1: 8.483 kr. Mulighed 2: 12.372 kr. Mulighed 3: 7.788 kr. Elevernes egne sammenligninger.
UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE TEM: GRFISK LØSNING F LIGNINGER OG ULIGHEDER DEL 1 Elevernes tegninger af rette linjer med parametre a, b, c og d med et digitalt værktøj. - C Det kan være vanskeligt for eleverne at fremstille en geometrisk konstruktion i punkt, som er velegnet til at afsløre alle de skæringspunkter mellem de to linjer, som har heltallige koordinatsæt. I alt er der 122 forskellige kombinationer af (c, d), som giver et heltalligt løsningspar. Nogle af disse løsningspar (skæringspunkter) opnås for flere kombinationer af c og d. I alt er der 33 forskellige punkter med hele koordinatsæt i det anvendte parameterområde. Det centrale i opgaven er imidlertid ikke opbygningen af det digitale hjælpeværktøj, men derimod systematikken i arbejdet med at finde heltallige skæringspunkter. Hvis elevernes eget forslag til punkt er vanskelig at arbejde videre med, kan man lade dem bruge GeoGebra-filen MULTI8, side72, TEM, som kan hentes på MULTIs hjemmeside. I denne fil vises skæringspunktets koordinater, vinklen mellem de to linjer (opgavens punkt C) og produktet af de to hældningstal a og c. En del af eleverne vil formentlig eksperimentere på må og få med de variable. De vil enten opdage eller skal måske hjælpes til at opdage at hvis man skal eksperimentere med to variable, er man nødt til at holde den ene fast, variere den anden, derefter ændre den første (og holde den nye værdi fast) variere den anden igen osv. Når denne indsigt er opnået, kan man være sikker på at man ville kunne finde alle kombinationer og der er derfor ingen grund til at bestemme alle 122! En anden angrebsvinkel: Ligningssystemet y = 2x + 3 y = cx + d har et heltalligt løsningssæt, hvis x-værdien er et helt tal. Når x er hel, vil y-værdien (2x + 3) oplagt også være hel. Værdien af x kan bestemmes til xx = dd 3, 2 cc så vi søger de værdier af c og d, der bevirker, at dd 3 er et helt tal, når c og d varierer fra 5 til 5 2 cc med et spring på 0,5. I nedenstående regneark er c-værdierne skrevet i søjle (3-23), mens d- værdierne står i række 2 (2-V2). I tabellen udregnes værdierne af dd 3. De celler, der 2 cc indeholder hele tal, er farvet gule. I alt er der som nævnt 122 forskellige talpar (c, d), som bevirker, at de to linjer skærer hinanden i et punkt med heltallige koordinater. Man skal derfor
ikke forvente, at eleverne finder dem alle, men i stedet koncentrere opmærksomheden om punkt C diskussionen om, hvordan man kan sikre sig, at man får øje på alle løsninger. D Punkt 1: To linjer står vinkelret på hinanden, når produktet af deres hældningskoefficienter er lig med 1. Da parametrene springer med 0,5, er der faktisk kun 6 af de mulige linjer, der står vinkelret på hinanden, nemlig linjerne med (a, c) lig med (1, 1), ( 1, 1), 2, 1, 2, 1, 2 2 1, 2 og 1, 2. 2 2 Punkt 2: Her kan man diskutere, om man vil kalde sammenfaldende linjer parallelle. I så fald er de to linjer parallelle, hvis a = c. I modsat fald er de to linjer parallelle, hvis a = c og b d. Parallelitet viser sig i GeoGebra-filen ved, at ordene Skæringspunkt og Vinkel efterfølges af et spørgsmålstegn. Ved sammenfald angives vinklen til 180. E Punkt 1: Det er nødvendigt og tilstrækkeligt, at b = d. Punkt 2: Her er mange muligheder, fx a = 1, b = c = 0, d = 5. DEL 2 Tegning af rette linjer med et digitalt værktøj. - D Undersøgelse af linjer der står vinkelret på hinanden. Pointen er, at produktet af deres hældningskoefficienter (i opgaven a c) er 1. E Forskriften er yy = 1 xx 2 1. 2 2 F I første oplag af MULTI 8 er der en trykfejl her. Højre side af uligheden skal være 0,5x + 1 ikke 0,5 + 1. Løsningen er da: 2x 4 > 0,5x + 1 x > 2 Løser man uligheden som den står (2x 4 > 0,5 + 1) er løsningen x > 2,25. EVLUERING DEL 1 - C Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 - Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. DEL 3 For eksempel 2 (x + 6 + 2x) og 6x + 12. Der er flere muligheder. De skal kunne reduceres til 6x + 12. For eksempel 2x (x + 6) og 2x 2 + 12x. DEL 4 16a 2 + 24a + 9 9x 2 30x + 25 C x 2 x + 6 DEL 5 - C Elevernes egne forklaringer DEL 6 x = 3 x = 2 C x > 1 x < 1 x 1 x 1 Elevernes egne forklaringer. DEL 3 Skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne y = 2x 4 og yy = 1 xx + 1 er punktet (2, 0). 2 Vinklerne mellem de to linjer er alle rette. C x > 1 2 D x 2 E x = 1 F Elevernes visninger af løsningerne på tallinjer. G Elevernes egne forklaringer. DEL 7 - Eleverne løser ligninger fra DEL 6 grafisk og med et CS-program. DEL 8 - Elevernes egne eksempler.
OPGVE 4 Herunder er et regneudtryk for arealet af de fire figurer skrevet. Figur 1 2 3 4 real x 2 xy xy y 2 C Figur 1 + 2: x 2 + xy Figur 3 + 4: y 2 + xy TRÆN 1 - FÆRDIGHEDER UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 1 D E Flere muligheder, der dog alle skal kunne genkendes som (x + y) 2. Flere muligheder, der dog alle skal kunne genkendes som 4(x + y). 20a + 12b a + 3b C 5a + 17b D 6a + b + 5 E a + b OPGVE 5 x = 1 1 2 x = 1 C x = 1 1 2 D x = 2 OPGVE 2 I skemaet herunder er værdien af regneudtrykkene i opgave 1 beregnet: Værdi af regneudtryk fra opgave 1 Variabelværdier C D E a = 3, b = 2-36 3 19 25-1 a = 1, b = 3 56 10 56 2 4 a = 2, b = 1 28-1 -7-8 1 OPGVE 6 - C Elevernes egne svar. OPGVE 7 Elevernes egne svar. OPGVE 3 4x 2 4 a 9b OPGVE 8 x > 1 x 1 C x 1 D x < 1 E Løsningsintervaller på tallinje.
TRÆN 2 - FÆRDIGHEDER UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 1 8a + 2b 6 7a 14b C 2a 2 5a + 42 D 3a 2 b 2 + 2ab E 16a 2 + 40a + 25 F 4a 2 12a + 9 G 9a 2 25 OPGVE 2 I skemaet herunder er værdien af regneudtrykkene i opgave 1 beregnet: Variabel værdier a = 3, b = 2 a = 1, b = 3 a = 2, b = 1 Værdi af regneudtryk fra opgave 1 C D E F G 22-49 9 35 289 9 56-8 -35 45-12 1 25-16 -24 28 44 15 9 49 11 Der står heller ikke noget om, at de to vinkler ved M er rette, således at de to trekanter begge er retvinklede. Det går vi ud fra, de er ikke fordi sådan ser det ud på figuren, men fordi det er nødvendigt for, at de stillede spørgsmål overhovedet kan besvares. Hvad vi derimod ved, er, at firkant CD er et kvadrat det fremgår af teksten i punkt F. Vi ved altså, at = CD, og kan derfor beregne længden af M: = CD M + M = CD M = CD M M = (2 + x) (x 1) = 3 Grundlinjen i trekanten Figur 1 er altså 3 uanset værdien af x. Herefter er resultaterne som følger: Figur 1 (real): 1 2 3 (2 + xx) = 1 1 2 xx + 3 Figur 2 (real): 1 2 (xx 1) (2 + xx)= 1 2 xx2 + 1 2 xx 1 OPGVE 3 Denne opgave kan tjene som advarsel mod, at man på baggrund af en skitse tillægger en figur egenskaber, den muligvis ikke har. I dette tilfælde er det fristende, at gå ud fra, at (se figuren herunder) punktet M er midtpunktet af linjestykket. Men det står der faktisk ikke noget om i opgaven. Sådan ser det ud på figuren vil mange sige, men sådan ser det ud på figuren er ikke et gyldigt argument i matematik. Figur 3 (real): 2 (2 + x) = 2x + 4 Figur 4 (real): 2x Figur 5 (real): x 2 Figur 3 + 4: 4x + 4 C Figur 3 + 5: x 2 + 2x + 4 D Figur 1 + 2: 1 2 xx2 + 2xx + 2 E Flere muligheder, der dog alle skal kunne reduceres til 1 1 2 xx2 + 6xx + 6. F Flere muligheder, der dog alle skal kunne reduceres til 4x + 8. G For x = 4 får man: Figur 1 2 3 4 5 Samlet real 9 9 12 8 16 54 Omkreds 9+3 5 ( 15,71) 9+3 5 ( 15,71) 16 12 16 18 + 6 5 ( 31,42)
Heraf fås de ønskede resultater: real Omkreds (3 + 4) 20 28 C (3 + 5) 28 32 D (1 + 2) 18 18 + 6 5 ( 31,42) E (Samlet figur) 54 18 + 6 5 ( 31,42) Ikke desto mindre tegnes sådanne punktgrafer ofte sammenhængende. Det hænger sammen med, at det grafiske billede derved bliver tydeligere. Men det kan være et oplæg til en klassesamtale. Spørg fx Hvad koster det at gå i Zoo 2 1 gang, hvis man køber 2 billetter?. OPGVE 4 x = 1 xx = 2 2 3 C x = 4 OPGVE 5 - C Elevernes egne svar. OPGVE 6 Elevernes egne svar. C 170x > 510 D 170x < 510 OPGVE 7 - C Elevernes egne svar. OPGVE 8 illetter: y = 170x Årskort: y = 510 Variablen x er det årlige antal besøg i Zoo, variablen y er den årlige udgift. Grafer. Graferne er her tegnet som linjer. I virkeligheden er det punktgrafer, og de to funktioner har kun mening for x tilhørende de naturlige tal samt 0 (nul). Man kan besøge Zoo 0, 1, 2, gange i løbet af et år. Det er ikke muligt at besøge Zoo fx 3,47 gange!
E Desuden vil der på grund af møntsystemet være visse ugeantal, som ikke i praksis er realisable fx 3, hvor x og y så skulle være 160 : 3 = 53 1 kr. et beløb, der ikke i praksis lader sig 3 udbetale. Faktisk er der kun 14 ugeantal, som kan komme på tale, nemlig: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320 TRÆN 1 - PROLEMLØSNING UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 1 OPGVE 4 Man må gå ud fra, at selv om man køber mere end 100 g af Kenya Coffee eller Java Mocca, betales der for hvert køb kun for én kaffedåse hhv. stofpose. C gnes starter ligningsløsningen rigtigt. Emma begår flere fejl: 1: Når hun skal gange en flerleddet størrelse med et tal, ganger hun kun første led med tallet. 2: Når hun hæver en minusparentes, skifter hun kun fortegn på første led. 3: Desuden er der nogle ret uforklarlige regnefejl i overgangen fra ligning 2 til ligning 3. Løsningen af ligningen grafisk og ved beregning. Her anføres blot løsningen: x = 67. Skemaet herunder viser prisen for de forskellige typer kaffe ved køb af hhv. 200 og 500 gram: 200 g 500 g Cuba 2 30 = 60 kr. 5 30 = 150 kr. Coffee Kenya 2 20 + 30 = 70 kr. 5 20 + 30 = 130 kr. Coffe Java Mocca 2 25 + 10 = 60 kr. 5 25 + 10 = 135 kr. OPGVE 2 xel og ertram har tilsammen 3x + 2 3x = 9x kr. x + 9x = 530 ( x = 53, dvs. Storm har 53 kr.) C xel har 159 kr. ertram har 318 kr. I koordinatsystemet herunder er de tre grafer for sammenhængen mellem pris og mængde af kaffebønner indtegnet: OPGVE 3 C D 6x + 6y For x = 60 og y = 40 er 6x + 6y = 600, så Victor får 600 kr. i den pågældende 6-ugersperiode. Elevernes egne eksempler. Da 420 : 6 = 70 skal x (farfars bidrag) og y (morfars bidreag) tilsammen give 70 kr. Elevernes egne eksempler. ntallet af uger kan teoretisk svinge fra 1 (x = y = 160 kr.) til 320 (x = y = 50 øre). Da 50-øren er den mindste mønt i Danmark, kan antallet af uger ikke overstige 320. C I de tre funktionsudtryk herunder betegner x mængden af købt kaffe målt i gram, og y den samlede pris målt i kroner. Cuba Coffe: y = 0,3x Kenya Coffee: y = 0,2x + 30 Java Mocca: y = 0,25x + 10
D De søgte ligninger er: 0,3x = 0,2x + 30 0,2x + 30 = 0,25x + 10 E 0,3x = 0,2x + 30 x = 300 0,2x + 30 = 0,25x + 10 x = 400 F 0,3x > 0,2x + 30 x > 300 G Elevernes egne forklaringer. Mange muligheder for gode formuleringer. Her er to bud, men mange andre er mulige og lige så gode. 0,30x 0,25x + 10: Hvor mange gram Cuba Coffee skal man købe, hvis den samlede pris skal være mindst lige så høj som prisen for lige så mange gram Java Mocca? 0,20x + 30 < 0,25x + 10: Hvad er den øvre grænse for det antal gram Kenya Coffee man kan købe, hvis man ønsker, at prisen skal være mindre end prisen for et tilsvarende kvantum Java Mocca?
TRÆN 2 - PROLEMLØSNING UDDYENDE VEJLEDNING OG FCITLISTE OPGVE 1 E I koordinatsystemet herunder er de to linjer indtegnet: Ligningen, som Lea har opstillet, er rigtig. Ligningen har løsningen x = 50, dvs. = 50, = 100 og C = 30 OPGVE 2 I skemaet herunder er rabatten i procent og i kroner beregnet for hhv. 50 og 130 kr.: C D Oprindelig varepris Pris med 25 kr. i rabat Pris med 25 % i rabat 50 kr. 25 kr. 37,75 kr. 130 kr. 105 kr. 97,50 kr. Prisen x skal være løsning til ligningen x 25 = 0,75x x = 100 Prisen skal altså være 100 kr., hvis begge rabatformer skal give den samme rabat. Rabat i kroner: y = x r Rabat i procent: y = 1 rr xx 100 Rent matematisk er hver af de to funktioner veldefineret for enhver værdi af x og r. I praksis er det imidlertid svært at forestille sig en forretning, der ligefrem vil betale kunderne for at gå med varerne, så betingelsen x > 0 skal være opfyldt. Derimod er det ikke muligt at pege på en øvre grænse for x. Når x er fastlagt, er der også sat grænser for r, når rabatten gives i kroner: 0 r < x. Tilfældet r = 0 svarer til ingen rabat, og hvis r x ville det igen svare til, at kunderne enten får varen gratis eller ligefrem får penge for at tage den. I forbindelse med rabat i procent gælder 0 r < 100 uanset, hvilken værdi x har. F Ulighed: 0,8x < x 20 Løsning: x > 100 G Elevernes egne forklaringer. OPGVE 3 I skemaet herunder er prisen for de forskellige bands beregnet for et billetsalg på hhv. 500, 800 og 1500 billetter: 500 billetter 800 billetter 1500 billetter MyDay 80.000 kr. 80.000 kr. 80.000 kr. Falling 45.000 kr. 72.000 kr. 135.000 kr. Panic 55.000 kr. 70.000 kr. 105.000 kr. 90x = 80.000 50x + 30.000 = 80.000 90x = 50x + 30.000 C 90x = 80.000 x = 889 (Her er den eksakte løsning (888 4 ) forhøjet.) 5 50x + 30.000 = 80.000 x = 1000 90x = 50x + 30.000 x = 750 D Da man af én ulighed får en anden ulighed ved at vende ulighedstegnet, er der 6 mulige uligheder. Tre af dem er: 90x < 80.000 50x + 30.000 < 80.000 90x < 50x + 30.000 E 90x < 80.000 x < 889 50x + 30.000 < 80.000 x < 1000 90x < 50x + 30.000 x < 750 F Elevernes egne beskrivelser.