Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som kipning og søjlevirkning kan analyseres. Programmet er baseret på algoritmerne beskrevet i Gilling og Larsen (2006), der er en viderebygning fra kapitel 5 i Krenk (2004). Materialet forudsættes at være lineært elastisk. Programmet er en tekst(prompt)baseret exe-fil, og kommunikation med brugeren foregår dels direkte i prompten (ved fejlmeddelelser) og dels ved læsning og skrivning af tekstfiler. Programmet kan med fordel køres under MATLAB. Derved kan store input-filer let genereres, og outputtet kan læses og plottes med de indbyggede MATLAB-funktioner. Der er en fast struktur for input og output-filerne. Alle input-filerne skal ligge i en mappe, der hedder Input. Output-filen placeres i en mappe, der hedder Output, som derfor skal være oprettet. Navnene på filerne skal være som følger: Input: Geometri: - Knudekoordinater coords.txt - Topologi topology.txt - Randbetingelser BC.txt Elastiske parametre mat.txt Kræfter force.txt Størrelser af inputs sizes.txt Output: Generaliserede flytninger u.txt Der er syv frihedsgrader pr. knude og nummereringen er vist på nedenstående skitse z y x 3 2 Længst til venstre er koordinatsystemet defineret, og dernæst kommer flytninger/kræfter, bimoment og momenter/vinkeldrejninger. Dette er også vist i nedenstående tabel Frihedsgrad-nummer Generaliseret flytning Generaliseret kraft 1 u x F x 2 u y F y 3 u z F z 4 θ B 5 φ x M x 6 φ y M y 7 φ z M z Hvor θ beskriver hvælving af tværsnittet. For homogen torsion er 1 4 7 6 θ = ϕ s 5
Side 2 I det følgende beskrives indholdet i filerne. Som eksempel gives filerne, der beskriver konstruktionen vist på nedenstående skitse. Af typografiske årsager er koordinatsystemet tegnet ved siden af bjælken, men origo er placeret ved indspændingen. M z 3 Fx 2 2 1 2 2 z y x 1 2 2 coords.txt Indeholder knudekoordinater på formen: x-koordinat y-koordinat z-koordinat med en linie for hver knude. I udeformeret tilstand skal konstruktionen befinde sig i x-y-planen, og dermed skal tredje kolonne kun indeholde nuller. Årsagen er, at der ellers skulle være endnu en input-parameter, der definerer orienteringen af bjælketværsnittet. 0 2 2 0 4 4 0 topology.txt Indeholder topologien, dvs. en definition af hvilke knuder hvert bjælkeelement forbinder på formen: Bjælkenummer Knude 1 Knude 2 med en linie for hvert bjælkeelement 1 1 2 2 2 3
Side 3 BC.txt Indeholder randbetingelser på formen: Knudenummer Frihedsgradsnummer Foreskrevet flytning med en linie for betingelse. Bemærk at linierne skal være sorteret rigtigt, dvs. først efter knudenummer og derefter efter frihedsgradnummer. En linie må ikke gentages. Den foreskrevne flytning skal være nul. 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 mat.txt Indeholder elastiske parametre på formen: A Tværsnitsareal Iyy Inertimoment for bøjning om y-aksen Izz Inertimoment for bøjning om z-aksen Asy Effektivt forskydningsareal for forskydning i y-retningen Asz Effektivt forskydningsareal for forskydning i z-retningen K Vridningsstivhed for homogen torsion Iww Hvælvingsinertimoment E Elasticitetsmodul G Forskydningsmodul med en søjle for hvert bjælkeelement. Bjælken har konstant tværsnit og er et I-profil af stål med h=0.2, b=0.1 og t=0.01. Dermed bliver indholdet af mat.txt: 0.004 0.004 2.6667e-005 2.6667e-005 1.6667e-006 1.6667e-006 0.002 0.002 0.002 0.002 1.3333e-007 1.3333e-007 1.6667e-008 1.6667e-008 2.1e+011 2.1e+011 8.4e+010 8.4e+010
Side 4 force.txt Indeholder den påførte last i hvert lasttrin. Rækkefølgen af kræfter er vist i en tidligere tabel. For hver knude gentages rækkefølgen: F x F y F z B M x M y M z med en søjle for hvert lastskridt. I eksemplet belastes bjælken af F x =-10 5 og M z =10 5. Lasten påføres i to lastskridt. I det første påføres halvdelen af lasten og i det sidste påføres den fulde belastning. Da der er tre knuder kommer filen til at indeholde 21 rækker (tre knuder á syv frihedsgrader) -50000-100000 50000 100000 sizes.txt Programmet er skrevet i sproget FORTRAN, og dette kræver at alle størrelser af matricerne er defineret på forhånd. Det gøres med filen sizes.txt, der indeholder Antal elementer Antal knuder Antal randbetingelser Antal lastskridt 2 3 7 2
Side 5 u.txt Output-filen minder meget om force.txt i sin opbygning. Det er blot flytninger i stedet for kræfter, men nummereringen af rækker er den samme. Den første søjle i u.txt beskriver den udeformerede tilstand, dvs. at alle tallene er nul. I de efterfølgende søjler kommer flytningerne fra hvert lastskridt. I eksemplet findes følgende flytninger: 0 0 0 0 0 0 0 0-0.11168-0.24516.10562 0.21796 0 0 0 0.1087 0.23209 0-0.40036-0.89752.35746 0.70452 0 0 0 0.16239 0.34539 Det ses eksempelvis, at rotationen om z-aksen i det første lastskridt er 0.1087 radianer. På figuren ses konstruktionen i udeformeret tilstand og i de to deformerede tilstande.
Side 6 Sådan virker programmet og andre ting, der er værd at vide Den co-roterende finite element formulering er implementeret med fuld ikke-lineær Newton- Raphson iteration. Programmet søger en ligevægtstilstand, hvor de indre kræfter er i ligevægt med de ydre påførte belastninger. I hver iteration opstilles en tangentstivhedsmatrix i deformeret tilstand, hvor der tages højde for geometrisk stivhed fra normalkraft, forskydningskræfter, bøjningsmomenter og torsionsmoment. For hvert bjælkeelement opstilles en lokal stivhedsmatrix i et koordinatsystem, der følger det enkelte element. I det lokale koordinatsystem bestemmes også de indre kræfter. De lokale stivhedsmatricer og indre kræfter transformeres til det globale koordinatsystem, hvor de assembleres, og hvis de indre kræfter ikke er i ligevægt med de ydre laster bestemmes et flytningsinkrement. Derefter gentages processen indtil ligevægten er opnået. Forskellen mellem de indre kræfter og den ydre last kaldes residualet. Residualet er en vektor af samme længde som lastvektoren. Under iterationen skriver programmet forholdet mellem normen af residualet og normen af lastvektoren ud på skærmen. Når dette forhold kommer under 10-3, betragtes det som, at ligevægten er opfyldt, og det næste lastinkrement påbegyndes. Programmet følger en ligevægtssti. Når iterationen i et lastinkrement stopper er konstruktionen i ligevægt. Når der påføres endnu et lastinkrement indledes en søgen efter en nabotilstand, hvor konstruktionen igen er i ligevægt. Hvis lasten påføres i for store inkrementer, kan der være langt fra den aktuelle tilstand til ligevægtstilstanden. Det kan få programmet til at gå ned - Enten fordi der ikke er opnået konvergens i det maksimalt tilladte antal inkrementer, eller fordi løsningen divergerer. Ved instabilitet skal lastinkrementerne være særligt små. Det skyldes, at selv en lille forøgelse af lasten kan medføre en drastisk ændring af deformationen. Den implementerede Newton-Raphson iteration er ikke specielt velegnet til dette, og derfor kan der optræde tilfælde, hvor det ikke er praktisk muligt at iterere til en løsning. De implementerede bjælkeelementer tager højde for forskydningsdeformation og Vlasov-vridning. De benyttede formfunktioner er lineære, hvilket betyder, at der for nogle typer belastninger kræves et vist antal elementer for at finde den rigtige løsning. Anvendes for få elementer bliver flytningerne for små. Det bør derfor altid undersøges om en forøgelse af antallet af elementer medfører større deformation. Hvis det gør, skal antallet af elementer øges. For en udkraget bjælke belastet af en linielast skal antallet af elementer være i størrelsesordnen 20, hvis en 1% fejl tolereres. Sidst men ikke mindst skal det nævnes, at programmet sandsynligvis ikke er fejlfrit. Derfor er det vigtigt altid at forholde sig kritisk til de opnåede resultater. Jeg vil gerne høre de fejl I finder, så jeg kan rette dem. Hvis I har forslag til forbedringer modtages de også gerne. Min mail-adresse er lg@civil.aau.dk, og jeg sidder i rum c.25. Lasse Gilling Aalborg Universitet, 2006 Litteratur Gilling og Larsen (2006): Lasse Gilling og Morten Buus Larsen: Co-rotating Finite Element Analysis of Pretwisted Wind Turbine Blades, Master s thesis, Aalborg University, 2006 Krenk (2004): Steen Krenk: Non-linear Modelling and Analysis of Structures and Solids, Technical University of Denmark, 2004
Side 7 Øvelse 1: Bestemmelse af kipningslast for udkraget bjælke Opvarmningsøvelse der skal give forståelse for input, output og andet grundlæggende. a) På hjemmesiden findes en zip-fil med de filer, der skal bruges. Læs, forstå og kør filen FEkipning.m Optegn grafen fra s. 17 i noter med filen KipningsPlot.m b) Omdøb FEkipning.m og modificer, så der regnes på en udkraget bjælke. - Optegn sammenhængen mellem linielastens størrelse og rotation af tippen af bjælken. - Ved hvilken linielast kipper bjælken? - Hvad sker der, hvis den lille tværlast udelades? - Hvad sker der, hvis den store linielast påføres i z-retningen og den lille last i y-retningen? Øvelse 2: Kipning af ramme Yderst projektrelevant øvelse Lav et program der regner på kipning af en ramme med en højde på 2m, bredde på 3m og som er opbygget af I-profiler som i øvelse 1. Antallet af elementer skal kunne vælges ét sted. (Lav evt. to parametre der beskriver antal elementer langs overliggeren og benene). Belastningen skal være en lodret, nedadrettet enkeltkraft midt på overliggeren og en lille vandret kraft i z-retningen. Kraften i z-retningen skal være 1% af kraften i y-retningen. Understøtningerne skal være indspændte, dog skal følgende flytninger kunne finde sted: - Rotation om z-aksen for understøtning 1 - Flytning i x-retningen for understøtning 2 - Rotation om z-aksen for understøtning 2 Hvor lodret stor kraft kan optages? For de særligt ivrige: (Sikkert svære opgaver) - Ret filerne der laver animationen af deformationen af konstruktionen, så også hjørner animeres rigtigt. - Ret filerne Animation.m og drawiprofile.m så også andre tværsnit end IPE100 kan animeres.