F inite E lement M ethod

Transkript

1 INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS 27. november 2007, LC F inite E lement M ethod 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering af resultater. Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C. Tlf Fax

2 26 Skiver og plader Teorien for plader og skiver er en del tungere end for bjælker og rammer. Spændingerne i en skive eller en plade kan generelt beskrives ud fra nogle differentialligninger: Disse differentialligning har oftest ikke nogen eksakt løsning. Det resultat, man får ud af en FEM-beregning for en skive eller en plade, er derfor også en tilnærmet beregning. En FEM-beregning af en skive eller en plade følger helt samme koncept som en FEMberegning af en bjælke eller ramme: 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering af resultater. Et element, der har 2 knuder pr. kant, kaldes et CST element, der betyder Constant Strain eller konstant tøjningsfordeling. Et element, der har 3 knuder pr. kant, kaldes et LST element, der betyder Linear Strain, eller lineær tøjningsfordeling. Materialekonstanter skal normalt opgives som E-modul og som skive-/pladetykkelse. Et CST element forudsætter en konstant tøjningsfordeling langs kanten af elementet og hen over elementet. Dette betyder, at deformationerne er lineært fordelt, da blot 2 knuder skal forbindes, og dette gøres som bekendt med en ret linie. Et LST element forudsætter en lineær tøjningsfordeling hen over elementet og langs kanten af elementet. Et LST element forudsætter derfor en parabolsk fordeling af deformationerne hen over elementet, da 3 knuder, der ikke ligger på linie, skal forbindes. Dette gøres bedst med en parabel. Den funktion, som deformationerne beskriver hen over et element kaldes elementets formfunktion. Formfunktioner for CST- og LST elementer: Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C.

3 Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C. 27

4 28 Når en knude i et elementnet deformeres, er det alene den pågældende knude, der deformeres. De andre knuder i elementnettet kan udmærket have deformationen 0. Deformationen hen over elementet vil da blive beskrevet af elementets formfunktion. Et elementnet hænger alene sammen i knuderne og altså ikke langs elementkanterne. Nedenstående elementnet er belastet af en fladelast vinkelret på elementerne. Elementnettet er understøttet langs kanterne, som igen betyder i knuderne. Som det ses, vil elementnettet ikke hænge sammen langs kanterne, hvor elementopdelingen er differentieret. Ved enhver FEM-beregning er det vigtigt at erkende, at det første resultat, man kommer frem til, formentlig ikke passer særlig godt med virkeligheden. Man ved på forhånd ikke, hvor mange elementer, det er nødvendigt at anvende i den pågældende opgave, før en tilstrækkelig nøjagtighed kan opnås. Endvidere er det heller ikke helt ligegyldigt, hvilken type elementer man anvender. Nedenfor er der angivet et eksempel på en skiveberegning, hvor man anvender forskellige elementtyper og forskellige elementinddelinger. Skiven er udformet således, at det er muligt at kontrollere resultatet med en traditionel spændingberegning efter Navier s formel. I eksemplet er der anvendt højere ordens elementer end LST elementer. Som man ser, er dette ikke nogen fordel i dette eksempel. Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C.

5 Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C. 29

6 30 For at opnå tilfredsstillende resultater kan man efter hver beregning forøge antallet af elementer med eksempelvis 10%. Dette bliver man ved med, indtil resultatet konvergerer mod en fast værdi. Som det fremgår af eksemplet, konvergerer resultatet for spændingsberegninger hurtigere med LST elementer, eksempelvis 6 knuders elementer, end med CST elementer, eksempelvis 3 knuders elementer. Hvis det er en beregning af varmetab, man er i gang med, vil man normalt opleve, at resultatet konvergerer lige så godt med CST elementer som med LST elementer. Bygningsteknisk afdeling Dalgas Avenue Århus C.