Computerundervisning

Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen

Indhold Introduktion... 3 Målgruppe... 3 Emne... 3 Introduktion til programmer... 4 GeoGebra... 4 Om at finde programmet GeoGebra... 4 Introduktion til GeoGebra... 4 Gitter, akser, billedstørrelse, komma.... 5 Grafer i koordinatsystemet... 6 x og y-værdier... 7 Opløftet skrift... 7 Skæringspunkt mellem grafer... 7 Om at bestemme regneforskrifter... 7 Areal og vinkler Areal... 8 God introduktionsopgave til GeoGebra... 9 Excel... 11 Indtegn punkter i koordinatsystem... 11 Tilføj tendens linje(graf)... 13 Tjek ligefrem proportionalitet... 14 Ekstraopgave... 15 Spilleregler til domino med grafer... 17 Om at lave dominospillet... 18 Side 2 af 19

Introduktion Vi er 3 studerende fra Frederiksberg Seminarium som mener det er vigtigt, at eleverne får et fagligt kendskab til computeren, og til de muligheder computeren giver som redskab i matematikundervisningen. Jo tidligere eleverne får en forståelse af computeren som et hjælpemiddel, jo mere fortrolige vil eleverne også blive med dette hjælpemiddel. Dermed vil eleverne have gode muligheder for at kunne bruge computeren, både til afgangsprøven men også videre i uddannelsesforløbet. Et stort antal af eleverne bruger computer flittigt i det daglige og derfor er det også oplagt at give dem indsigt i og mulighed for at bruge computeren til at løse matematiske problemstillinger. Målgruppe Det udarbejdede elevmateriale henvender sig til 7. og 8. klasses niveau. Dog skal elever i 7. klasse være introduceret til emnet inden, da opgaverne er udformet til elever der allerede har et kendskab til koordinatsystemer og funktioner. Materialet er udarbejdet med henblik på at strække sig over 7 lektioner, men kan sagtens opdeles, hvor kun dele af materialet bruges. Elevmaterialet er udformet således, at det skal kunne bruges af elever der ikke på forhånd kender programmerne. Emne Koordinatsystem og funktioner. Elevmaterialet vil komme i berøring med følgende begreber indenfor funktioner og koordinatsystemer: Lineære funktioner, aflæsning af punkter, indtegning af koordinatsæt, skæringspunkter, ligefrem proportionalitet og omvendt proportionalitet og om at finde regneforskrifter ud fra to angivne punkter eller tekst. Med emnet koordinatsystemer og funktioner er det oplagt at få computeren ind over forløbet. Der findes utallige programmer, som egner sig til netop dette emne. Vores valg af programmet GeoGebra handler i det store hele om, at dette program kan køres gratis over internettet og ikke behøver installation, hvorved eleverne også ville kunne bruge programmet hjemmefra. Valget af Microsoft Excel er baseret på, at dette er et meget alsidigt program, som de fleste støder på i adskillige sammenhæng. Derfor finder vi der relevant også at vise hvordan dette program kan bruges til emnet omkring funktioner og koordinatsystem. Side 3 af 19

Introduktion til programmer GeoGebra Om at finde programmet GeoGebra GeoGebra er et program der er utrolig let at hente fra internettet. Gå på internettet og tast www.geogebra.org i bjælken for oven. Du kommer herefter ind på en hjemmeside hvor der står Velkommen til GeoGebra. Lidt længere nede står der start GeoGebra. Denne tekst trykker du på og et nyt vindue kommer. Her står teksten: GeoGebra WebStart. Denne trykker du på og computeren vil nu starte programmet. Hvis computeren ikke har Java på sig, vil dette være nødvendigt at downloade først, men det vil computeren helt automatisk spørge dig om. Her skal du give tilladelse ved at trykke på Run. Introduktion til GeoGebra Efter programmet er blevet åbnet, har du en skærm med nogle taster foroven, en stor skærm med et koordinatsystem til højre og en lille skærm med frie og afhængige objekter til venstre. Side 4 af 19

Tasterne foroven bruges til at tegne cirkler, punkter, linje gennem 2 punkter, finde hældningen på en linje, finde vinkler, spejle objekter og meget andet. Måden du finder og bruger de forskellige funktioner på, er ved at trykke på den lille pil der er nederst i højre hjørne på hver enkel tast. Fx har du under tasten med pilen, funktionerne flyt og drej om punkt. Eks. Hvis du skal lave en linje gennem 2 punkter, vælger du tast nr. 3 fra venstre. Herefter sætter du 2 vilkårlige punkter i koordinatsystemet og den vil automatisk lave en linje imellem. Du kan nu finde hældningen på denne linje, ved at trykke på pilen på tast nr. 7 fra venstre og gå ned og vælge hældning. Herefter trykker du på den linje du vil have hældningen på. Gitter, akser, billedstørrelse, komma. Nogle af de funktioner man bruger oftest, er godt at kunne vide hvordan man benytter, allerede inden man går i gang. - Du kan lave et gitter i koordinatsystemet. Dette gør du ved at trykke på Vis oppe i menubjælken og vælge Gitter. Herved bliver det lidt lettere at se punkter og koordinatsæt i koordinatsystemet. Side 5 af 19

- Samtidig kan du vælge at fjerne både gitter og akser. Dette gøres også i vis og du trykker derefter på akse og derefter gitter. Dette kan være godt, hvis du skal bruge programmet til fx at tegne i. - For at forstørre eller formindske billedet, sådan at man kan se fx indtegnede grafer tættere på eller længere væk, skal du bruge tasten Flyt tegnefladen. Herefter vælger du enten forstør eller formindsk og trykker nu et sted i koordinatsystemet. Dette kan være godt at bruge, hvis du har 2 grafer, hvor den ene skærer y-aksen i -1 og den anden skærer y-aksen i 13. Vha. formindsk kan du nu komme til at se begge grafer, uden at skulle flytte rundt på billedet hele tiden. - En ting som er vigtig af vide er, at der i dette program bliver brugt amerikansk komma. Dvs. hvis du skal skrive tallet 3,2 (3 komma 2), skal du i dette program ikke bruge det alm. komma, men et punktum. Dvs. hvis du skal til at skrive forskriften for funktionen f(x)= 3,2x+7,8, skal det skrives sådan her: f(x)= 3.2x+7.8. - For at åbne en ny tegning i GeoGebra, vælger du FIL og Ny tegning. - For at fortryde den eller de seneste handlinger, benyttes tasten fortryd. Denne sidder oppe i højre hjørne og er en gul pil. Grafer i koordinatsystemet Nederst på siden findes et felt kaldet input. Dette felt bruges til at skrive en forskrift for en funktion. Der afsluttes ved at trykke Enter. Skriv f(x)= 2x+3 Afslut med Enter. Nu vil grafen for denne funktion komme til syne i koordinatsystemet. Forskriften for denne graf vil samtidig være at finde i skærmen til venstre under frie objekter. Side 6 af 19

x og y-værdier Hvis du ønsker at finde y-værdien til en ønsket x-værdi på grafen vælger du tasten Nyt punkt. Afsæt det punkt på grafen hvor den ønskede x-værdi er. Koordinatsættet vil nu komme til syne i venstre side af skærmen under Frie objekter. Hvis det ikke har været muligt at ramme den ønskede x-værdi helt præcist, kan man dobbeltklikke på koordinatsættet og rette x-værdien til. På denne måde kan man få en helt nøjagtig aflæsning af y-værdien. Opløftet skrift Skriv g(x)= x 2 +4x+2 For at få opløftet 2-tallet på computeren skal du holde SHIFT nede samtidig med at du trykke på tasten til venstre for Enter-tasten, som ser sådan ud Nu kommer grafen for denne funktion ind i koordinatsystemet. Skæringspunkt mellem grafer For at finde et skæringspunkter mellem de to grafer, eller mellem en graf og f.eks. y-aksen, gøres dette ved brug af funktionen Skæring mellem to objekter skæringspunktet vil blive vist med et punkt.. Klik på de to ønskede objekter, og Om at bestemme regneforskrifter GeoGebra kan også bruges til at finde en regneforskrift, hvis der er oplyst to tilfældige punkter på en graf. Side 7 af 19

1. I værktøjslinjer vælges funktionen Linje gennem to punkter. Afsæt herefter 2 punkter i koordinatsystemet, og en linje vil automatisk blive sat mellem punkterne. 2. Nu vælges funktionen Hældning. Klik på grafen og hældningen vil blive vist. Dette svare til a i regneforskriften. 3. Vælg nu funktionen Skæring mellem to objekter. Klik på grafen og derefter på y- aksen. Et punkt vil komme frem, hvor koordinatsættet kan aflæses til venstre under Afhængige objekter. Dette svare til b i regneforskriften. 1. 2. 3. Areal og vinkler Areal Vælg polygon. Sæt 4 punkter tilfældigt i koordinatsystemet og sådan at der kommer et polygon til syne. Husk at afslutte polygonet med at trykke på det første punkt du startede med. Tryk fx på punkterne i denne rækkefølge: a- b- c- d- a. Når du har lavet et polygon mellem de ønskede punkter kan du vælge funktionen areal trykke et tilfældigt sted i polygonet. og Side 8 af 19

Hvis du skal finde areal af en cirkel eller halvcirkel, vælger du funktionen areal herefter på cirklens kant og trykker Vinkler Afsæt to linjestykker mellem 2 punkter i forlængelse af hinanden. Vælg nu funktionen vinkel og tryk først på linjestykket til venstre og derefter det til højre. Du vil nu få den mindste vinkel af de to vinkler mellem linjestykkerne. God introduktionsopgave til GeoGebra For at introducere eleverne til programmet, er det en god ide at starte ud med at bede dem om at lave en tegning. Her vil det være en god ide at fjerne både gitter og akserne. Man kan f.eks. bede eleverne om at tegne et hus, en snemand eller noget valgfrit. For at lave en tegning i GeoGebra er det kun fantasien der sætter grænser. Men for at den kan blive som man vil have den, er det godt at vide lidt til hvordan man farver en flade i programmet. - Åben en ny tegning og fjern akserne. - Vælg nu funktionen polygon og sæt 4 punkter i et kvadrat. Husk at afslutte med at trykke på det punkt du startede med at sætte. - Vælg pilen og dobbeltklik på et sted i polygonen. Du kommer nu ind i en menu hvor der er 4 faner. Side 9 af 19

- Vælg den der hedder Farve. Du kan nu vælge den farve du vil have polygonet skal have. - Nu vælger du fanen Stil. Her er der et sted der står Fyld. Ved denne vælger du 100% - Tryk LUK. Herefter vil polygonet være farvet den farve du valgte. - Du kan nu også lave vinduer i huset på samme måde som du lavede huset. Sådan kan du blive ved med at lave sjove ting på huset. Hvis du vil have en anden farve på baggrunden skal du højreklikke på baggrunden og vælge egenskaber. Herefter kommer en menu op, hvor der allerøverst vil være en lille boks hvor der står baggrundsfarve. Tryk på den. Vælg den baggrund du vil have. Hvis du vælger blå, vil det nu komme til at se sådan her ud: Når tegningerne er tegnet, kan det anbefales, at 2-3 elever får lov til at vise deres tegning til klassen. Her kan man ved samme lejlighed vise eleverne, hvordan de kan bruge programmet til at finde areal, sidelængder og vinkler på deres egne tegninger. Vores erfaring er, at eleverne finder det sjovt, og de på denne måde får en fortrolighed med programmet. Side 10 af 19

Excel Her skal eleverne tegne punkter ind i et koordinatsystem ud fra givne koordinatsæt. De skal ud fra dette lave en tendenslinje. Dette er en linje som ligger så tæt på alle punkter som muligt. Den følgende vejledning er beregnet til Office 97-03. Hvis computeren i stedet kører Office 2007 kig da på bilag 1 (Office 2007). Indtegn punkter i koordinatsystem - Start med at åbne Microsoft Excel. - Derefter indskrives de koordinatsæt som ønskes indtegnet i koordinatsystemet. Det skal ses som et sildeben, hvor række 1, er x- koordinaterne og række 2, er y- koordinaterne. - Nu markeres alle tallene og der skal trykkes på graf ikonet som man finder på ikon listen. - Derefter kommer der en række menuer. I den første skal man til venstre vælge XY-punkt og til højre, billedet med prikkerne. Tryk næste. - I næste menu trykker man NÆSTE. Denne menu viser hvilket dataområde, punkterne bliver sat. Side 11 af 19

- Tredje menu bruges til at navngive grafen og akserne. Når det er gjort, tryk næste. - Fjerde menu er den sidste menu og her kan man vælge om man vil havde grafen som et objekt i det allerede eksisterende ark eller som et ark for sig selv. Herefter trykkes udfør og grafen dukker op. Side 12 af 19

Tilføj tendens linje(graf) - Nu markere man alle punkterne ved at højreklikke på et enkelt punkt, så kommer højrekliks menuen frem, hvor man vælger tilføj tendenslinje. - Når man har valgt tilføj tendenslinje, kommer der en ny menu frem hvor man vælger lineær under fanen type. Nu vælges fanen indstillinger og man kan trykke et flueben i vis ligning i diagram. Nu er tendenslinjen tilføjet og tendenslinjens ligning. Side 13 af 19

- Hvis man glemmer at angive vis ligning i diagrammet kan man højreklikke på tendenslinjen og vælge formater tendenslinje - I menuen vælger man fanen indstillinger og slår vis ligning i diagram til Tjek ligefrem proportionalitet - En måde at tjekke om funktionen er ligefrem proportional er ved at tvinge den gennem punktet(0;0). Det gøres ved at vælge formater tendenslinje ved at højreklikke på grafen. Nu åbnes et nyt vindue og fanen indstillinger vælges. Her står nederst angiv skæring = 0. Denne skal slås til. - Herefter man give en vurdering af, hvor vidt tendenslinjen stadig følger punkterne. Gør den det, er den ligefrem proportional. Hvis den ikke ligger på punkterne mere, er den ikke ligefrem - proportional. Side 14 af 19

Ekstraopgave Når eleverne er introduceret til de to programmer, kan det være passende at stille dem en opgave, hvor et af de to programmer kan bruges til at løse opgaven. Eks. Jens vil forære sin mor chokolade på mors dag. Han køber et antal stykker, til 4 kr. stk. a) Hvad er de variable i Jens køb af chokolade? b) Vis sammenhængen mellem den samlede pris og det antal stykker chokolade Jens køber: o Ved tekst o ved regneforskrift o ved graf Dette giver mulighed for at lære eleverne at kopierer grafbilledet og indsætte det i et andet dokument som fx Word. I GeoGebra gøres dette ved at vælger Eksport Kopier tegning som ligger under Fil. Tegningen befinder sig nu i udklipsholderen, og kan sættes ind i fx Word ved at højreklikke på dokumentet og vælge sæt ind. Side 15 af 19

I Excel kan man nøjes med at højreklikke på grafbilledet og derefter vælge kopier. Tegningen befinder sig nu i udklipsholderen, og kan sættes ind i fx Word ved at højreklikke på dokumentet og vælge sæt ind. Når opgaven er løst, kan man tage en snak med eleverne om, hvordan de to programmer bruges optimalt i forhold til den stillede opgave. Når man fx skal finde en regneforskrift, kan Excel være til stor hjælp, men er det billedet af grafen der er det eksistentielle i opgaven, laver GeoGebra som oftest det nemmest aflæselige billede. Side 16 af 19

Spilleregler til domino med grafer Spillet indeholder 60 brikker, som fordeles ligeligt mellem spillerne. Spillerne kan selv vælge om de vil spille med åbne brikker (hvor alle spillere kan se hinandens brikker), eller med lukkede brikker. Det gælder om at komme af med alle sine brikker. Den yngste spiller starter med at lægge en valgfri brik på bordet. Derefter går turen videre i urets retning. Den næste spiller skal nu prøve at se, om han/hun har en brik, der passer sammen med en af enderne af den allerede lagte brik på bordet. Det skal altså enten være en regneforskrift der passer til den afbildede graf, to ens grafer eller regneforskrifter, eller en graf der passer til regneforskriften. Hvis spilleren ikke kan dette, går turen videre i urets retning. Dette er et eksempel på et igangværende spil. Side 17 af 19

Om at lave dominospillet For at lave dette spil, kræver det et lille kendskab til programmet GeoGebra. - Start GeoGebra. - Skriv en forskrift for en funktion i feltet input. - Ret grafbilledet til, så det kun indeholder det ønskede område. Dette gøres ved at trække højre side af skærmen ind, som vist nedenfor med pilen. - Når du har fået den ønskede størrelse, vælger du Eksport Kopier tegning som ligger under Fil - Du åbner nu et WORD dokument. - Lav nu en tabel med to kasser ved siden af hinanden. Dette gøres ved at vælge ikonet indsæt tabel som ligger under menu-fanerne. - Denne klikker du på og vælger to kasser ved siden af hinanden. Side 18 af 19

- Efter du har fået tabellen frem, højreklikker du i den ene kasse og vælger sæt ind. Nu kan du rette størrelsen på grafbilledet til i hjørnerne. - I den anden kasse skal du skrive en forskrift for en anden graf.. Dette spils sværhedsgrad kan også varieres meget, idet man i stedet for grafer og funktioner kan vælge at skrive simple minus og plusstykker. Fx kan der i den ene kasse stå 5+3 og den anden kasse 9+1. Den næste brik der skal ligges til en af disse kasser, kan så evt. hedde: 4+4 og 5+5. Det kan se sådan ud: Side 19 af 19