Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail: bf@dtu.dk Uafhægige oralfordelte variable ( oral(µ,σ = N(µ,σ f(x,y = π e (x +y F R (r = P( X +Y r = e r (Rayleigh X N(λ,σ,Y N(µ,τ X +Y N(λ+µ,σ +τ For X i N(, er Y = i= X i χ -fordelt (gaa. Operatioer ed stokastiske variable f Z (zdz = P(Z = X +Y dz = f(x,z xdx dz f Z (zdz = P ( Z = Y dz = x f(x,zxdx dz X forelæsig 9 Siulta fordelig for kotiuerte variable P((X,Y B = f(x,ydxdy B Margiale fordeliger f X (x = f(x,ydy f Y (y = f(x,ydx y x Hvis X og Y er uafhægige f(x,y = f X (x f Y (y Uafhægige oralfordelte variable Tæthede for e stadardiseret oralfordelt variabel er f(x = π e x for to uafhægige oral(, variable X og Y får vi f(x,y = π e x π e y = Beærk rotatiossyetrie. π e (x +y forelæsig 9 3 forelæsig 9 4
Z De siultae tæthed for (X,Y Liearkobiatioer af to oralfordelte variable Lad X og Y være uafhægige oral(, -fordelte variable. Betragt Z = ax +by.. Hvis a +b =, da er Z også oral(,-fordelt. Det skyldes rotatiossyetrie, Z er de ye førstekoordiat i et drejet koordiatsyste.. Geerelt: Z = ( a a +b a +b X + b a +b Y X Y... altså er Z oralfordelt ed iddel og varias a +b. Resultatet ka også vises aalytisk ved brug af afsit 5.4 Fordelige er rotatiosivariat forelæsig 9 6 Liearkobiatio Suer af oralfordelte variable side 363 Hvis X og Y er uafhægige og oralfordelt ed heholdsvis N(λ,σ og N(µ,τ så er Z = X +Y oral(λ+µ,σ +τ fordelt. For X i oral(µ i,σi fordelte og uafhægige er Z = b+ i= a ix i oral(b+ i= a iµ i, i= a iσi fordelt. (Dee står ikke direkte i Pita, e ka dog let udledes af resultatet side 364. Lad X og Y være uafhægige stokastiske variable, ed E(X =,E(Y =,Var(X = 3,Var(Y = 4 Beste E(X +8Y XY +8X +5Y E(X +8Y XY +8X +5Y = E(X +E(8Y E(XY+E(8X+E(5Y E( (Middelværdie af e su er sue af kopoeteres iddelværdier = E(X +8E(Y E(XY+8E(X+5E(Y E( (E(aX = ae(x; vi ser, at iddelværdie af e liearkobiatio er liearkobiatioe af iddelværdiere forelæsig 9 7 forelæsig 9 8
... vi fortsætter ed hvert led i dette udtryk E(X = Var(X+(E(X = 4 E(Y = Var(Y+(E(Y = 8 (Beregigsforle for varias, Var(X = E(X (E(X E(XY = E(XE(Y = (E(XY = E(XE(Y for uafhægige variable... så i alt µ = 4+8 8 +8 +5 = 9 Beste P(X > 3Y 5 uder de atagelse, at X og Y er oralfordelte. Defier Z = 3Y X, vi søger da P(Z < 5 Z er oralfordelt ed iddel og varias P(Z < 5 = P E(Z = 3 = 4 V(Z = 3 4+( 3 = 48 ( Z 4 < 5 4 ( = Φ.557 48 48 48 forelæsig 9 9 forelæsig 9 Atag at R og R er to uafhægige stokastiske variable ed de sae tæthedsfuktio f(x = xe x for x. Spørgsål Tæthede af Y = i(r,r fides til f Y (y = ye y f Y (y = ( ye y ( ye y 3 f Y (y = e y 4 f Y (y = y e y 5 f Y (y = y e y Kostate / π (X,Y har siulta tæthed f XY (x,y = c e (x +y. (Beærk! Vi har hidtil taget c = / π for givet, e u udleder vi det! P(r R r +dr = P(r X +Y r +dr = c e r (π(r+dr πr = πc re r dr +o(dr... teg e skitse af X, Y og R for at checke dette. Vi får tæthede af R direkte: f R (r = πc r e r Efterso f R (r dr =, å vi have c = / π. forelæsig 9 f R (r = re r P(R r = F R (r = e r
Størrelse af oralfordelt vektor side 358-36 Hvis talparret (X, Y er uafhægige stadardiserede oralfordelte (oral(, variable,så er R = X +Y Rayleigh fordelt. f R (r = re r, F R (r = e r Middelværdi og varias er π E(R =, Var(R = E(R E(R = π forelæsig 9 3 E skytte skyder od e skydeskive. Skuddees placerig på skive ka beskrives ved uafhægige stadardiserede oralfordelte variable, hvor skives cetru er koordiatsysteets ulpukt. Spørgsål Sadsylighede for, at et skud raer idefor e cirkel ed radius, er Φ ( ( Φ 4 3 4 e 8 5 ( Φ ( ( Φ Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. forelæsig 9 4 Fordelige af S = R = X +Y Fra variabelskift: F S (s = F R ( s = e s... altså er S ekspoetialfordelt ed iddelværdi. Deraf fås i øvrigt E(X = (! E skytte skyder od e skydeskive. Skuddees placerig på skive ka beskrives ved uafhægige stadardiserede oralfordelte variable, hvor skives cetru er koordiatsysteets ulpukt. Spørgsål 3 Sadsylighede for, at et skud raer idefor e afstad fra koordiatsysteets ade-akse, er Φ( 4 3 Φ( 4 e 5 e 4 forelæsig 9 5 Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. forelæsig 9 6
Operatioer ed stokastiske variable 5.4 Vi har set ax og i af stokastiske variable, sat specielle forer for suer. For uafhægige diskrete variable har vi tidligere set P(Z = X +Y = z = forelæsig 9 7 x= f X (xf Y (z x E foldig.for ikke egative uafhægige X og Y P(Z = X +Y = z = For kotiuerte tætheder får vi f(x,z xdx uaf = z f X (xf Y (z x x= f X (xf Y (z xdx Lad X være ligeligt fordelt på eheditervallet og X være ligeligt fordelt på itervallet (; og uafhægig af X. Spørgsål 4 Sadsylighede P(X +X fides til 3 3 3 4 4 5 6 5 forelæsig 9 8 De siultae tæthed af (X,X er x, x f(x,x = ellers P(X +X = x +x dx dx Eller vi ka bruge arealbetragtiger og få P(X +X = 3 4 Su af ax og i af to ekspoetialfordelte variable Vi har tidligere set at for W i exp(λ, X = i(w,w og Y = ax(w,w er de siultae tæthed: f(x,y = λ e λ(x+y, < x y. Fordelige af Z = X +Y fides til Overraskede? z λ e λ(x+(z x dx = λ(λze λz forelæsig 9 9 forelæsig 9
Suer af uafhægige variable Med X bi(,p og Y bi(,p er Z = X +Y bi(+,p Med X NB(,p og Y NB(,p er Z = X +Y NB(+,p Med X P(λ og Y P(µ er Z = X +Y P(λ+µ Med X Gaa(r,λ og Y Gaa(s,λ er Z = X +Y Gaa(r +s,λ Suer af age har oralfordelige so græse Suer af oralfordelte variable side 363 Med X N(µ,σ og Y N(µ,σ er Z = X +Y N(µ +µ,σ +σ Med X N(µ,σ og Y N(µ,σ er W = ax +by N(aµ +bµ,a σ +b σ forelæsig 9 χ fordelige side 364-366, opgave 5.3.5 Suer af kvadrerede uafhægige stadard oralfordelte variable: X i oral(,, uafhægige. Da har Y = i= X i tæthed f Y (y = / Γ(/ y(/ e y/... og siges at være χ fordelt ed frihedsgrader. (... det er også e Gaa-fordelig Γ(/, / Reproduktio: Hvis Y χ ( og Y χ (, så er Y +Y χ (+. forelæsig 9 Fordelig af forhold side 383 Hvis Z = Y, hvor X og Y er uafhægige X Se eksepel 5 side 383 x f X (xf Y (xzdx forelæsig 9 3 Opgave 5.4. Fid tæthede af Y = V, hvor U og V er uafhægige U ligefordelte (, variable. Vi beytter f Y (y = u f U(uf V (uydu. Itegratiosgræsere for u er fra til i f Y (y = f Y (y = y (, y udu =, for y < udu = y, F Y (y = y, y. Så for < y, < y y forelæsig 9 4
F-fordelige: Forholdet elle to uafhægige χ fordelte variable Lad Y χ ( og X χ ( og betragt Z = Y X ( xf X(xf Y xz dx... efter e lægere række udregiger fider vi ( B ( z, ( + z+ hvor B(r,s = Γ(rΓ(s Γ(r +s Dette kaldes e F(, fordelig - de optræder hyppigt so e fordelig for teststørrelser i statistikke. Udledige af F-fordelige Med Y χ ( og X χ (,vil vi udersøge fordelige af Z = Y X = Y X xf X (xf Y (xzdx Af tæthede for Y f Y (y, fides tæthede f Y (y for Y = Y til f Y ( y Ved idsættelse af x Γ ( (x ( e x (xz Γ e xz dx forelæsig 9 5 forelæsig 9 6 x Γ ( = + (x ( e x (xz Γ e xz dx ( ( ( z Γ Γ Fuktioe uder itegralet er æste e Γ tæthed = Γ ( + ( +z + +z + ( +z x + Γ ( + x + e +z x dx e +z x dx ( ( ( z Γ Γ = Γ ( + ( +z + +z + ( +z x + ( Γ Γ ( + ( Γ e +z x dx ( z Itegralet er. Efter de sidste odifikatioer får vi Idet ( B ( z, ( + z+ B(r,s = Γ(rΓ(s Γ(r +s E F(, fordelig. forelæsig 9 7 forelæsig 9 8
Lad Y, Y og Y 3 være tre pukter, der vælges tilfældigt og uafhægigt i itervallet (,. Lad X være puktet tættest på. Spørgsål 5 Fordeligsfuktioe for X er F(x = ( x 3 F(x = x 3 F(X = Φ ( x 3 Farvede kugler trækkes tilfældigt fra e æske. Idholdet af æske er givet ved Farve Rød blå grø gul Adel...3.4 4 F(x = x 3 5 F(x = x 3 Hvor Φ(x er fordeligsfuktioe for e stadardiseret oralfordelt variabel. forelæsig 9 9 forelæsig 9 3 Spørgsål 6 Hvad er sadsylighede for at få præcis 5 gule kugler i trækiger Ige af de edeståede 5 (.4 5 (.6 5 3 Φ( 5...9 4 5. 5 Φ( 5...9 Spørgsål 7 Netop røde, 4 blå, 6 grøe og 8 gule i trækiger. 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 8 6 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 3.5 4! (5! 4 (. (. 4 (.3 6 (.4 8 5!!4!6!8! (. (. 4 (.3 6 (.4 8 forelæsig 9 3 forelæsig 9 3
Spørgsål 8 Netop 5 trækiger for at få 3 røde. 5 3 (. 3 (.9 ((.(.9 4 3 3 (. 3 (.9 4 4 (. 3 (.9 5 ((. 4 (.9 3 forelæsig 9 33 Afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Uafhægige oralfordelte variable ( oral(µ,σ = N(µ,σ f(x,y = π e (x +y F R (r = P( X +Y r = e r (Rayleigh X N(λ,σ,Y N(µ,τ X +Y N(λ+µ,σ +τ For X i N(, er Y = i= X i χ -fordelt (gaa. Operatioer ed stokastiske variable f Z (zdz = P(Z = X +Y dz = f(x,z xdx dz f Z (zdz = P ( Z = Y dz = x f(x,zxdx dz X forelæsig 9 34