Deskriptiv teori: momenter

Transkript

1 Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad af at ma reger itegraler ud af visse fuktioer. Ma skal have tre slags sadsylighedsmål på R i takere: Dels mål med tæthed med hesy til Lebesguemålet m. Dels mål der er kocetreret på Z, me som altså tækes idlejret i R. Og dels empiriske mål, altså mål af forme hvor x 1,..., x er give tal i R. ɛ x1,...,x (A) = 1 1 A (x i ) Vi vil altid tæke på et sadsylighedsmål ν på (R, B) som fordelige af e stokastisk variabel X, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Dee sysvikel forekommer aturlig, hvis ν har tæthed med hesy til m eller lever på Z. Me takegage ka faktisk også give god meig i forbidelse med empiriske mål: hvis et oprideligt eksperimet, beskrevet ved reelle stokastiske variable X 1,..., X, har givet værdier x 1,..., x, kostruerer ma i visse situatioer bootstrapvariable X1, X 2,... der etop har fordelige ɛ x 1,...,x. Ma bruger også ordet resamplig, fordi X etop er e geudtrækig af e tilfældig af de opridelige måliger. Det er vigtigt at forstå at resamplig er oget ma selv laver (på si computer). Me alligevel ka resamplig i høj grad bruges til at vide idsigt i det opridelige eksperimet. 232 i=1

2 13.1. Mometer Mometer Defiitio 13.1 Lad ν være et sadsylighedsmål på (R, B), og lad k N. Vi siger at ν har k te momet hvis fuktioe x x k er ν-itegrabel. I bekræftede fald kaldes for det k te momet af ν, mes kaldes det k te absolutte momet af ν. x k dν(x) x k dν(x) I almidelighed vil vi hellere tale om stokastiske variable ed om sadsylighedsmål. For e reel stokastisk variabel, X, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), er vi tilbøjelige til at idetificere egeskabere for X med egeskabere for fordelige af X, altså billedmålet X(P) på (R, B). Vi vil således sige at X har k te momet, år vi i virkelighede meer at X(P) har k te momet. Det sker år x k dx(p)(x) <. Bemærk at itegraltrasformatiosformle sikrer at X k dp = x k dx(p)(x). Der gælder altså at X har k te momet etop hvis de trasformerede stokastiske variabel X k er P-itegrabel. I bekræftede fald taler vi lige så gere - eller hellere - om k te momet af X som om det k te momet af X(P), skøt de sidste formulerig er de formelt korrekte. For stokastiske variable er der traditio for at skrive 1. mometet EX = X dp hvor E er e forkortelse af det egelske expectatio. På dask bruges ofte ordet middelværdi for 1. mometet. Tilsvarede skrives EX k for det k te momet og E X k

3 234 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer for det k te absolutte momet. Itegraltrasformatiosformle fortæller os at hvis det k te momet for X eksisterer, ka det fides som EX k = x k dx(p)(x) = X k dp altså ved at itegrere de stokastiske variabel X k med hesy til P. Eksempel 13.2 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Hvis X er æste sikkert begræset, det vil sige hvis P( X N) = 1 for et passede N, så har X k te momet for alle k. For X k dp N k dp = N k. Eksempel 13.3 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at fordelige af X har tæthed f med hesy til Lebesguemålet m. Lad t : (R, B) (R, B) være e målelig trasformatio. Itegraltrasformatiosformle giver at t X dp = t(x) dx(p)(x) = t(x) f (x) dx. De stokastiske variabel t(x) har derfor middelværdi hvis og ku hvis t(x) f (x) dx <. (13.1) I bekræftede fald får ma - ligeledes ud fra itegraltrasformatiosformle - at E ( t(x) ) = t(x) f (x) dx. (13.2) Eksempel 13.4 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Atag at P(X Z) = 1, og lad fordelige af X have sadsylighedsfuktio p. Lad t : (R, B) (R, B) være e målelig trasformatio. De stokastiske

4 13.1. Mometer 235 variabel t(x) har middelværdi hvis og ku hvis og i bekræftede fald er = E ( t(x) ) = t() p() < (13.3) = t() p(). (13.4) Eksempel 13.5 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X(P) = ɛ x1,...,x. Lad t : (R, B) (R, B) være e målelig trasformatio. De stokastiske variabel t(x) har altid middelværdi, og E ( t(x) ) = 1 x t(i). (13.5) Eksempel 13.6 E række studeredes højde er blevet målt, resultatere er agivet i tabel Kvider Mæd Tabel 13.1: Højdemåliger for 57 studerede, fordelt på kø. Resultatere er agivet i cm. Et dotplot over disse data er opteget i figur i=1 Ser ma på dotplottet over disse data i figur 13.1 får ma e tydelig foremmelse af at mædee er højere ed kvidere (hvilket vist ikke kommer bag på oge).

5 236 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Mæd Kvider Højde Figur 13.1: Et dotplot for data fra tabel Det er ikke såda at alle mædede er højere ed alle kvidere, me de typiske mad er højere ed de typiske kvide. Dee løse betragtig ka til e vis grad præciseres geem brug af empiriske mometer: EX EX 2 EX 3 EX 4 Kvider Mæd De empiriske mometer for mædee er større ed for kvidere - for de højere mometer edda voldsomt meget større. Middelværdiere svarer ogelude til hvor øjet fider sit cetrum i de to dotplot. Så at mædees middelværdi er højere ed kvideres, svarer til de visuelle koklusio om at mædee er størst. Fortolkige af de højere mometer er mere usikker, me vil blive taget op ige i eksempel Mometere af e fordelig giver e forholdsvis grov beskrivelse, me et sted skal ma jo starte. Vi skal se at visse modifikatioer af mometere er at foretrække: de er emmere at forholde sig til, fordi de ikke geeres af de umeriske problemer, der er tydelige i eksempel Vi skal også i afsit 13.7 se at skøt mometere ku udgør e simpel opsummerig af fordeliges egeskaber, så er det dog uder visse omstædigheder ok til at idetificere fordelige etydigt.

6 13.2. Egeskaber ved middelværdie Egeskaber ved middelværdie Lemma 13.7 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X har 1. momet. For alle α, β R gælder at α + βx har 1. momet, og E ( α + βx ) = α + βex. (13.6) BEVIS: Først kostaterer vi at α + βx dp α + β X dp = α + β X dp <, så α + βx har vitterligt 1. momet. Formle for E ( α + βx ) følger u af itegralets liearitet: E ( α + βx ) = α + βx dp = α + β X dp = α + β EX. Lemma 13.8 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X har 1. momet. Lad I være et reelt iterval. Hvis P(X I) = 1, så vil EX I. BEVIS: Atag først at P(X a) = 1. Da er EX = X dp a dp = a. Vi ka edda se at der gælder skarp ulighed, medmidre P(X = a) = 1. Hvis vi ved at P(X > a) = 1, ka vi derfor slutte at EX > a. Helt tilsvarede ka vi vise at hvis P(X b) = 1 så er EX b, og hvis P(X < b) = 1 så er EX < b. Argumetatioe i lemma 13.8 ka strammes op til at sige at EX er et idre pukt i I, medmidre X er udartet i det ee edepukt.

7 238 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Lemma 13.9 Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X har k te momet. For ethvert m = 1,..., k gælder at X har m te momet. BEVIS: For alle x R har vi at x m 1 + x k, hvor 1-tallet skal sikre at ulighede også holder for x < 1. Der gælder dermed X(ω) m 1 + X(ω) k for alle ω Ω. Dee ulighed skrives sædvaligvis blot X m 1 + X k (13.7) hvor argumetet ω ikke skrives ud eksplicit. Itegreres på begge sider af (13.7) fås X m dp 1 + X k dp < som øsket. E kosekves af lemma 13.9 er at hvis X har k te momet, så har ethvert polyomium i X af grad k eller midre middelværdi. Hvis X har k te momet, defierer vi det k te edstigede faktorielle momet EX (k) som EX (k) = EX(X 1)... (X k + 1). For stokastiske variable med værdier i Z er det ofte emmere at udrege det k te edstigede faktorielle momet ed det er at udrege det k te momet. Se eksempel og Lemma Lad X og Y være to reelle stokastiske variable, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Hvis både X og Y har k te momet, så har X + Y også k te momet. BEVIS: For alle x, y R har vi at x + y x + y 2 max{ x, y }.

8 13.2. Egeskaber ved middelværdie 239 Da x x k er voksede på [0, ), er x + y k 2 k max{ x, y } k = 2 k max{ x k, y k } 2 k ( x k + y k ). Dermed er X + Y k 2 k ( X k + Y k ), og itegreres på begge sider af dee ulighed, opås at X + Y k dp 2 k ( X k dp + ) Y k dp <. Lemma (Markovs ulighed) Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Atag at P(X 0) = 1 og at X har 1. momet. For alle c > 0 gælder da at P(X > c) EX c. (13.8) BEVIS: For alle x 0 har vi at c 1 (c, ) (x) x. Dermed vil c 1 (c, ) (X) X P.s. Itegreres i dee ulighed fås som øsket at c P(X > c) EX. Det fremgår af Markovs ulighed, at for e reel variabel X er E X et udtryk for hvor hurtigt halesadsylighedere P( X > c) går mod ul for c.

9 240 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer 13.3 Stadardiserede mometer Hvis X har k te momet, idfører vi det k te momet om c som E(X c) k Gages (X c) k ud, fås et polyomium i X af grad k, og da alle ledee er itegrable, giver defiitioe meig. Det k te cetrale momet af X er det k te momet om c = EX. Altså E(X EX) k. De cetrale mometer er som oftest meget emmere at fortolke ed de rå mometer. Det cetrale 2. momet kaldes variase af X, og skrives VX. Altså VX = E(X EX) 2. (13.9) Lemma Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P). Atag at X har 2. momet. Da gælder at VX = EX 2 (EX) 2. (13.10) Edvidere gælder der at og for alle c R gælder at VX = EX (2) (EX) (2), (13.11) E(X c) 2 = VX + (EX c) 2. (13.12) BEMÆRK: Ifølge (13.12) ka EX karakteriseres som det pukt hvorom X har det midste 2. momet. Det giver substas til følelse af at EX er e slags cetrum for fordelige af X. BEVIS: Ved udregig af kvadratet i (13.9) fås: VX = E(X EX) 2 = E(X 2 2XEX + (EX) 2 ) = EX 2 2EXEX + (EX) 2 = EX 2 (EX) 2,

10 13.3. Stadardiserede mometer 241 og dermed er (13.10) bevist. Beviset for (13.11) er stort set det samme, og overlades til læsere. Edelig ser vi at E(X c) 2 = E((X EX) + (EX c)) 2 E ade yttig regeregel er at = E(X EX) 2 + (EX c) 2 + 2E((X EX)(EX c)) = E(X EX) 2 + (EX c) De følger ige ved simple regiger: V(α + βx) = β 2 VX. (13.13) V(α + βx) = E(α + βx E(α + βx)) 2 = E(α + βx (α + βex)) 2 = E(β(X EX)) 2 = β 2 E(X EX) 2 = β 2 VX. Lemma Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X har 2. momet. Da er VX 0. Og VX = 0 hvis og ku hvis X = EX P-æste sikkert. BEVIS: Det fremgår af (13.9) at VX er itegralet af de ikke-egative fuktio (X EX) 2. Derfor er VX 0. Og værdie ka ku være ul, hvis variable (X EX) 2 er ul æste sikkert, altså hvis X = EX æste sikkert. Lemma (Chebyshevs ulighed) Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og atag at X har 2. momet. For ethvert ɛ > 0 gælder at P( X EX > ɛ) VX ɛ 2. (13.14) BEVIS: Lad Y = (X EX) 2. Markovs ulighed, brugt på Y og c = ɛ 2, giver at P(Y > ɛ 2 ) EY ɛ 2.

11 242 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Me dette er faktisk det øskede udsag, da P(Y > ɛ 2 ) = P( X EX > ɛ) og da EY = E(X EX) 2 = VX. Chebyshevs ulighed er - på trods af resultatets simpelhed - meget vigtig i teoretiske sammehæge. Me bådet er ikke optimalt. I praksis vil halesadsylighedere gå mod ul lagt hurtigere ed fuktioe ɛ 2. Når ma betragter højere ordes mometer, vil ma ofte stadardisere variable først. Det betyder at ma daer de ye stokastiske variabel Y = X EX VX. Nævere VX kaldes spredige eller stadardafvigelse og beteges gere med bogstavet σ. Spredige er et relativt ituitivt mål for hvor meget X varierer omkrig si middelværdi, fordi spredige (i modsætig til variase) er målt på samme skala som X. De kostruerede Y-variabel er e affi trasformatio af X såda at EY = 0, VY = 1. De højere ordes mometer af Y er e slags geometriske karakteristika for fordelige af X, karakteristika der ikke afhæger af de skala ma har målt X på. Hvis X har 3. momet, defierer vi skævhede af X, skrevet γ(x), som γ(x) = EY 3. Og hvis X har 4. momet, defierer vi kurtosis af X, skrevet κ(x), som κ(x) = EY 4 3. Hvis X er ormalfordelt, så er γ(x) = κ(x) = 0. De primære brug af skævhed og kurtosis for e give fordelig, er etop at udtrykke i hvilke forstad fordelige afviger fra e ormalfordelig. Hvis X har e positiv kurtosis, taler ma om leptokurtosis. Det betyder at fordelige har e tugere hale ed ormalfordelige, og det er oget ma er meget på vagt over for. Eksempel Vi ka udrege de stadardiserede empiriske mometer for højdemåligere fra eksempel 13.6.

12 13.4. Eksempler 243 Middelværdi Spredig Skævhed Kurtosis Kvider Mæd Med to betydede cifre er de stadardiserede mometer gaske es for de to kø, bortset fra at middelværdiere er forskellige. Det er i god overesstemmelse med det visuelle udtryk fra figur 13.1, hvor observatioere for de to kø ligger spredt på ogelude samme måde omkrig de to midtpukter. Både skævhed og kurtosis er stort set ul for begge kø. Vi ser altså at de store forskelle i de rå mometer, som vi kostaterede i eksempel 13.6 primært skyldes forskelle i middelværdi. Ma skal være opmærksom på at der er umeriske fælder ved at arbejde med empiriske mometer. De højere mometer er ofte meget store, og bruger ma (13.10) til at rege variase ud, kommer ma til at trække to store tal fra hiade. Eftersom de to tal gere er af samme størrelsesorde, kommer resultatet til at afhæge af de ederste cifre - som måske primært er udtryk for kumulerede regefejl! Derfor står ma sig ofte ved at bruge selve defiitioe (13.9) fremfor (13.10), for de er kap så følsom over for umeriske fejl. Disse betragtiger gælder i edu højere grad for skævhed og kurtosis, som bør reges ud direkte fra defiitioe, og ikke via de rå 3. og 4. mometer Eksempler Eksempel Da x k 1 e x2 2 dx < for alle k N 0 har ormalfordelige 2π mometer af k te orde for ethvert k N 0. Når k er ulige, er det k te momet 0, og år k er lige, får ma x k 1 e x2 2 k 1 ( 2 x 2 ) k dx = e x2 2 k 2 2 xdx = 2π 2π 2 π 0 = 2 2 k ( ) k + 1 Γ = (k 1)(k 3) 3 1. π 2 y k e y dy Specielt er middelværdie 0 og variase 1. Det følger da af (13.6) og (13.13), at de ormale fordelig med parametre (ξ, σ 2 ) har middelværdi ξ og varias σ 2.

13 244 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Eksempel Biomialfordelige med parametre (, p) har k te momet for ethvert k N 0, og det k te edstigede faktorielle momet udreges ved ( ) x (k) p x (1 p) x = x x=0 x=k k = x=0! (x k)! ( x)! px (1 p) x! x! ( k x)! px+k (1 p) x k k ( ) k = (k) p k p x (1 p) x k x = (k) p k. Middelværdie er således p, og ifølge (13.11) er variase x=0 (2) p 2 (p) (2) = p(1 p). Eksempel De egative biomialfordelig med parametre (r, p) har k te momet for ethvert k N 0, og det k te edstigede faktorielle momet udreges ved x=0 ( ) r x (k) p r (p 1) x = x x=k ( r) (x) (x k)! pr (p 1) x ( r) (x+k) = p r (p 1) x+k x! x=0 ( ) k p 1 = ( r) (k) p x x=0 ( ) k p 1 = ( r) (k). p ( r k Middelværdie er altså r 1 p p, og ifølge (13.11) er variase ) p r+k (p 1) x ( ) 2 ( 1 p ( r) (2) r 1 p ) (2) = r 1 p p p p 2. (13.15)

14 13.4. Eksempler 245 Eksempel Poissofordelige med parameter λ har k te momet for ethvert k N 0, og det k te edstigede faktorielle momet udreges ved x=0 (k) λx x x! e λ = x=k λ x (x k)! e λ = λ k x=0 λ x x! e λ = λ k. Middelværdie er således λ og ifølge er variase λ 2 λ (2) = λ. Eksempel Γ-fordelige med formparameter λ har k te momet for ethvert k N 0, og det k te momet udreges ved 0 x k 1 Γ(λ) xλ 1 e x Γ(λ + k) dx = = (λ + k 1) (k). Γ(λ) Middelværdie er således λ, og variase er ifølge (13.10) (λ + 1) (2) λ 2 = λ. Specielt har ekspoetialfordelige k! som k te momet og 1 som middelværdi og varias. Γ-fordelige med formparameter λ og skalaparameter β > 0 har k te momet β k (λ + k 1) (k) og således middelværdi βλ og varias β 2 λ. χ 2 -fordelige med f frihedsgrader har altså middelværdi f og varias 2 f. Eksempel B-fordelige med formparameter (λ 1, λ 2 ) har k te momet for ethvert k N 0, og det k te momet udreges ved 1 0 x k 1 B(λ 1, λ 2 ) xλ 1 1 (1 x) λ2 1 dx = B(λ 1 + k, λ 2 ) = B(λ 1, λ 2 ) (λ 1 + k 1) (k) (λ 1 + λ 2 + k 1) (k). λ Middelværdie er således 1 λ 1 +λ 2 og ifølge (13.10) er variase (λ 1 + 1) (2) ( ) 2 (λ 1 + λ 2 + 1) (2) λ 1 λ 1 λ 2 = λ 1 + λ 2 (λ 1 + λ 2 ) 2 (λ 1 + λ 2 + 1). Når λ 1 = λ 2 = λ er middelværdie 1 2 og variase 1 4(2λ+1). Ligefordelige på (0,1) (λ = 1) har derfor middelværdi og varias 12. Det følger af (13.6) og (13.13), at ligefordelige på [α, α + β] har middelværdi α + β β2 2 og varias 12.

15 246 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Eksempel k < λ 2, thi x λ B(λ 1,λ 2 ) momet for k < λ 2 udreges ved 0 F-fordelige med formparametre (λ 1, λ 2 ) har k te momet for x k λλ 1 1 λλ 2 2 x k λ λ 1 1 λλ 2 2 B(λ 1, λ 2 ) = λk 2 λ k 1 = λk 2 λ k 1 1 B(λ 1, λ 2 ) 1 B(λ 1, λ 2 ) (λ 1 x+λ 2 ) λ 1 +λ 2 dx er edeligt, hvis og ku hvis k < λ 2. Det k te x λ 1 1 (λ 1 x + λ 2 ) λ dx 1+λ 2 ( ) λ1 +k 1 ( λ 1 x λ 2 λ 1 x + λ 2 λ 1 x + λ = λk 2 B(λ 1 + k, λ 2 k) λ k = B(λ 1 1, λ 2 ) 0 y λ 1+k 1 (1 y) λ 2 k 1 dy ( λ2 λ 1 ) k (λ 1 + k 1) (k) (λ 2 1) (k). ) λ2 k 1 λ 1 λ 2 (λ 1 x + λ 2 ) 2 dx Når λ 2 > 1 eksisterer middelværdie således og er lig med λ 2 λ 2 1. For λ 2 > 2 eksisterer variase, og ifølge (13.10) er variase ( λ2 λ 1 ) 2 (λ 1 + k 1) (2) ( (λ 2 1) (2) λ 2 λ 2 1 ) 2 = λ2 2 (λ 2 + λ 1 1) λ 1 (λ 2 1) 2 (λ 2 2). (13.16) Eksempel t-fordelige med formparameter λ har k te momet for k < 2λ, thi itegralet x k 1 1 dx 2λB(λ, 1/2) (1 + x2 2λ )λ+ 1 2 er edeligt hvis og ku hvis k < 2λ. Specielt har Cauchyfordelige ikke middelværdi. Det k te momet for k < 2λ er 0, år k er ulige, og år k er lige, er det k te momet ifølge eksempel lig det k/2 momet i F-fordelige med formparametre (2, λ). Det vil sige at det k te momet i t-fordelige for k lige er (2λ) k 2 ( k 1 2 )( k 2 ) (λ 1) ( k 2 ). Når λ > 1 2 eksisterer middelværdie således og er 0. For λ > 1 eksisterer variase, og er lig med λ λ 1.

16 13.4. Eksempler 247 Eksempel De logaritmiske ormalfordelig med parametre (0, σ 2 ) har k te momet for ethvert k N 0, og det k te momet udreges ved 0 1 y k 1 (log y)2 e 2σ 2 dy = 2πσ = 1 2πσ e σ2 k πσ e kz e z2 2σ 2 dz e 1 2σ 2 (z kσ2 ) 2 dz = e σ2 k2 2. De logaritmiske ormalfordelig med parametre (ξ, σ 2 ) har k te momet ) exp (σ 2 k2 2 + kξ og således middelværdi og varias heholdsvis ( σ 2 ) exp 2 + ξ ( og exp(σ 2 ) 1 ) exp(σ 2 + 2ξ). Eksempel De hypergeometriske fordelig med parametre (, N 1, N) har k te momet for ethvert k N 0, og det k te edstigede faktorielle momet udreges ved ( ) x (k) N1 (x) (N N 1 ) ( x) (x) N (x) 1 (N N 1 ) ( x) x N () = (x k)! N () x=0 = k x=0 (x+k) x! = (k) N 1 (k) N (k) = (k) N 1 (k) N (k). x=k N 1 (x+k) (N N 1 ) ( (x+k)) k x=0 Middelværdie er således N 1 N 1 ( 1 N 1 N N N () ( k) (x) x! (N 1 k) (x) (N k (N 1 k)) ( k x) (N k) ( k) og variase er ifølge (13.11) ) N 1 (N N 1 ) = N ( 1 1 N 1 N N ( = N 1 1 N N ) ( 1 1 N 1 ) ) ( 1 N 1 1 N 1 ).

17 248 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer 13.5 Jeses ulighed Der gælder e lag række uligheder mellem itegraler. Forbavsede mage af disse - ofte klassiske - uligheder ka fås frem som specialtilfælde af følgede sætig: Sætig (Jeses ulighed) Lad X være e reel stokastisk variabel, defieret på et baggrudsrum (Ω, F, P), og lad f : R R være e målelig fuktio. Hvis f er koveks på et iterval I, hvis P(X I) = 1, og hvis såvel X som f (X) har middelværdi, så gælder at f (EX) E ( f (X) ). (13.17) Hvis f er stregt koveks på I, er der lighedsteg etop hvis fordelige af X er udartet i puktet EX. BEMÆRK: Ifølge korollar C.13 fra Appedix C er målelighedsatagelse på f stort set overflødig. Restriktioe af f til det idre af I vil på grud af koveksitet automatisk være kotiuert. Hvis f ikke er kotiuert på hele I, så ka de i værste fald skrives som e tuborgfuktio, der deler op i det idre af I og et eller to af I s edepukter. Det fremgår at f s restriktio til I er B I -målelig uder alle omstædigheder. Hvorda f ser ud ude for I er irrelevat for (13.17). BEVIS: Vi ved at EX I, og det følger af beviset for lemma 13.8 at EX er et idre pukt i I, medmidre fordelige af X er udartet i et af edepuktere. Hvis X er kostat æste sikkert, gælder (13.17) oplagt - edda med lighedsteg. Vi atager derfor at EX er et idre pukt i I. Ifølge sætig C.14 fra Appedix C fides et a, således at f (EX) + (X EX)a f (X), (13.18) og (13.17) følger af dee ulighed ved at tage middelværdi på begge sider. Hvis der er lighedsteg i (13.17), er der lighedsteg i (13.18) med sadsylighed 1, og hvis f er stregt koveks, er dette esbetydede med, at P(X = EX) = 1. Eksempel Bruges Jeses ulighed på de kovekse fuktio f (x) = x 2, får vi at EX 2 (EX) 2

18 13.5. Jeses ulighed 249 for ehver reel stokastisk variabel X med 2. momet. Der gælder edda skarp ulighed, medmidre X er udartet. Det vidste vi udmærket i forveje, sammeholdes med (13.10) har vi blot gjort rede for at VX 0. Skøt dette eksempel ikke er dybsidigt, ka det tjee som e huskeregel for hvorda Jeses ulighed veder. Eksempel Bruges Jeses ulighed på de kovekse fuktio f (x) = 1 x, ser vi at for e ikke-udartet stokastisk variabel med værdier i (0, ) er hvis begge mometer eksisterer. E ( 1 X ) > 1 EX Eksempel Bruges Jeses ulighed på e stokastisk variabel X med fordelig ɛ x1,...,x, hvor x 1,..., x > 0, og på fuktioe f (x) = log x, der er veldefieret og koveks på (0, ), fås at log 1 x i 1 log(x i ) = 1 log x i. i=1 Tages ekspoetialfuktioe på begge sider af dee ulighed, fås at 1 1/ x i x i, i=1 i=1 og vi har således bevist at de aritmetiske middelværdi af x 1,..., x er større ed de geometriske middelværdi. i=1 i=1 Korollar Hvis X har k te momet og 0 < m < k er ( E( X m ) ) 1 m ( E( X k ) ) 1 k. BEVIS: Eftersom k m > 1 er fuktioe x x k m koveks på [0, ). Derfor er ( E( X m ) ) k m E ( ( X m ) k m ) = E( X k ).

19 250 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer 13.6 Weierstrass approksimatiossætig Mage sætiger om målelige fuktioer vises efter et firetrisskema, hvor ma først viser sætige for idikatorfuktioer, deræst for simple fuktioer, deræst for M + -fuktioer, og edelig for M-fuktioer. Udvidelse fra idikatorfuktioer til simple fuktioer er som regel triviel, ligesom det ikke volder vaskeligheder at komme fra M + til M. Vaskelighedere ligger i overhovedet at komme i gag - altså at vise resultatet for idikatorfuktioer - og i at udytte de approksimatiostekik, der ligger gemt i korollar 4.33, hvor M + -fuktioer approksimeres med S + -fuktioer. I adre områder af de reelle aalyse er det aturlige startpukt for at vise sætiger om fuktioer R R ikke simple fuktioer, me polyomier. Og spørgsmålet er ofte hvor lagt ma ka udvide resultater, der er mere eller midre oplagte for polyomier. Me adre ord: hvilke fuktioer f : R R ka approksimeres godt med polyomier? E kedt og elsket form for approksimatio foregår med Taylorpolyomier. Her vælger ma polyomier, der er meget, meget gode approksimatioer lokalt omkrig et udvikligspukt. Idee med at erstatte e fuktio med et passede Taylorpolyomium har fejret spektakulære triumfer side Newto demostrerede des rækkevidde. Me dels virker metode ku for glatte fuktioer. Og dels betyder fokuserige på fuktioes helt lokale opførsel, at approksimatioes kvalitet over større stræk måske daler. Weierstrass valgte e helt ade idgagsvikel, hvor ha fokuserede på approksimatioes kvalitet over et på forhåd valgt område. Has approksimatiossætig er et hovedresultat i de reelle aalyse. Skøt sætige ikke har et sadsylighedsteoretisk idhold, ka ma overraskede ok give et bevis hvor Chebyshevs ulighed er de cetrale igredies Sætig (Weierstrass) Lad f : [a, b] R være e kotiuert reel fuktio, defieret på et kompakt iterval. Der fides e følge af reelle polyomier, (p (x)) N, såda at sup x [a,b] f (x) p (x) 0 for. BEVIS: Lad os i første omgag atage at [a, b] = [0, 1]. Vi vil simpelthe agive e følge af eksplicitte polyomier, de såkaldte Bersteipolyomier, og vise at disse

20 13.6. Weierstrass approksimatiossætig 251 polyomier har de øskede egeskab. Når vi ikke afører Bersteipolyomiere i sætiges formulerig, er det fordi der er mage adre polyomiumsfølger med tilsvarede egeskaber - og Bersteipolyomiere approksimerer faktisk ikke særlig godt i praksis. For hvert N idfører vi Bersteipolyomiet p relateret til f som ( ) ( ) k p (x) = f x k (1 x) k. (13.19) k k=0 For at bevise at disse polyomier approksimerer f uiformt, lader vi ɛ > 0 være givet. Idet f er uiformt kotiuert på [0, 1], fides et δ > 0 såda at Sæt f (x) f (y) < ɛ for alle x, y [0, 1], x y < δ. f = sup f (x), x [0,1] og tag et så stort at f 2 δ 2 < ɛ. (13.20) Vi påstår at for et, der opfylder (13.20), vil der gælde at f (x) p (x) < 2ɛ for alle x [0, 1]. Vi iklæder beviset for dee påstad sadsylighedsteoretiske fjer. Lad os betragte et fast x [0, 1]. Lad S være e stokastisk variabel, der er biomialfordelt med lægde og successadsylighed x. Vi ser at E f Dermed er f (x) p (x) = f (x) = ( S ) = ( S / x <δ) f k=0 ( ) k P(S = k) = p (x). ( S ) f dp = f (x) f ( S ) f (x) f dp + ( S ) ( S / x δ) dp f (x) f ( S ) dp hvor vi i sidste tri blot har splittet itegralet op i to, hvor der itegreres over komplemetære hædelser. Bemærk at ( S ) f (x) f ( S < ɛ på hædelse x ) < δ.

21 252 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Kobler vi dette med de trivielle ulighed ( S ) f (x) f 2 f, der gælder overalt, og derfor specielt på ( S / x δ), ser vi at f (x) p (x) ɛ P( S / x < δ) + 2 f P( S / x δ). De første sadsylighed er midre ed 1, de ade sadsylighed ka vurderes ved hjælp af Chebyshevs ulighed. Herved får vi at f (x) p (x) ɛ + 2 f V(S /) δ 2 Det øskede resultat følger, år ma eridrer variase for e biomialfordelig: V(S /) = VS x(1 x) 2 = Lad os u fjere atagelse om at [a, b] er det lukkede ehedsiterval. Udvidelse til adre itervaller baseres på to simple observatioer: For det første gælder der at hvis φ : [a, b] [c, d] er e bijektiv fuktio mellem to itervaller, så er sup g φ(x) h φ(x) = sup g(y) h(y), x [a,b] y [c,d] for alle fuktioer g og h defieret på [c, d]. For det adet gælder der at sammesætige af to polyomier ige er et polyomium. Lad φ være de affie fuktio φ(x) = a + (b a) x for x R. Vi ser at φ afbilder [0, 1] bijektivt på [a, b]. Fuktioe f = f φ er kotiuert på [0, 1], og ka derfor approksimeres uiformt med e følge af polyomier, p 1, p 2,.... Vi sætter p = p φ 1. Da φ 1 er affi er p et polyomium. Og der gælder at sup f (x) p (x) = sup f φ(y) p φ(y) = sup f (y) p (y) 0 for. x [a,b] y [0,1] y [0,1] Eksempel Lad os prøve at se på e kokret avedelse af de approksimatiosmetode, der agives i beviset for sætig Som testfuktio bruger vi f (x) = si 2πx, som vi øsker approksimeret over itervallet [0, 1]. På figur 13.2 er Bersteipolyomiere fra (13.19) teget op for fire forskelle værdier af.

22 13.6. Weierstrass approksimatiossætig 253 Bersteipolyomiets grad: 15 Bersteipolyomiets grad: Bersteipolyomiets grad: 45 Bersteipolyomiets grad: Figur 13.2: Fire approksimerede Bersteipolyomier til f (x) = si 2πx, udreget efter (13.19). Disse polyomier approksimerer f uiformt over itervallet [0, 1] - til gegæld approksimerer de ikke særlig godt ude for ehedsitervallet. Det ser vitterligt ud som om disse polyomier approksimerer f gaske godt i itervallet [0, 1]. Til gegæld ka ma få det idtryk at jo bedre f bliver approksimeret ide for [0, 1], jo værre er approksimatioe udefor... Der er i hvert fald græser for hvor lagt ud polyomiere ka approksimere, for ethvert polyomium går mod ± for x ±, mes vores testfuktio er begræset. At der ka være forskel på hvorår approksimatioer er gode lokalt, og hvorår de er gode globalt er i oge grad i modstrid med e takefigur, der ofte avedes i forbidelse med Taylorpolyomier: Hvis e Taylorapproksimatio er dårlig i det område ma skal bruge de, tilføjer ma gere ogle højere ordes led til approksimatioe. Det får approksimatioe til at blive edu bedre helt ide omkrig udvikligspuktet - og så håber ma at dee forøgede kvalitet følger med ud til det område, hvor ma skulle bruge approksimatioe. Figur 13.2 illustrerer at dee måde at tæke på har sie begræsiger.

23 254 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Taylorpolyomiets grad: 5 Taylorpolyomiets grad: Taylorpolyomiets grad: 15 Taylorpolyomiets grad: Figur 13.3: Fire approksimerede Taylorpolyomier til f (x) = si 2πx, udreget efter (13.21). Bemærk at grade af de avedte polyomier er lagt midre ed grade af de Bersteipolyomier, der idgår i figur Alligevel ser vi at Taylorpolyomiere approksimerer godt over et lagt større område ed Bersteipolyomiere. Nu vi alligevel taler om Taylorpolyomier, ka vi prøve at se hvad der sker ved at avede de sædvalige Taylorudviklig om 0 for si x. Vi bruger altså polyomiere q (x) = [(+1)/2] k=1 k 1 (2πx)2k 1 ( 1) (2k 1)!. (13.21) De øvre græse i summe betyder at højestegradsleddet i q har e grad, der er det største ulige tal midre ed eller lig med. Så q 10 er i virkelighede et polyomium af grad 9 - faktisk er q 10 = q 9. Nogle af disse Taylorpolyomier er opteget på figur Bemærk at ma tilsyeladede ka få eddog meget gode approksimatioer frem med polyomier af forholdsvis lav grad.

24 13.6. Weierstrass approksimatiossætig 255 Sammeligige i eksempel mellem Taylorpolyomiere og Bersteipolyomiere for si 2πx falder ubetiget ud til Taylorpolyomieres fordel. De poite geeraliserer u ikke særlig lagt - fæomeet skyldes at si x er så pæ, som de er. Ma ved at Taylorpolyomiere for si x (med et vilkårligt udvikligspukt) kovergerer puktvist mod si x, og at kovergese er uiform på ethvert kompakt iterval. Fuktioere behøver ikke at være ret grimme før de slags falder fra hiade: hvis vi havde forsøgt at approksimere x 1 over [ 1, 1], ville Taylorpolyomiere 1+x 2 have klaret sig ykeligt - de divergerer i x = ±1. Og går ma til de mere eksotiske fuktioer, f.eks. fuktioer der er kotiuerte me itetsteds differetiable, så har ma slet ikke oge Taylorpolyomier at forsøge sig med. Sammeligige mellem de forskellige polyomiumsapproksimatioer i eksempel rejser spørgsmålet om hvorda ma fider de bedste approksimatio. Vi søger det te grads polyomium der miimerer kriteriet p sup f (x) p(x). x [0,1] Det er et uhyre vaskeligt problem, som der ikke fides gode algoritmer til at løse, medmidre ma ka udytte e eller ade speciel egeskab ved f. Hvad ma til gegæld ka gøre eksplicit, er at miimere kriteriet p 1 0 ( f (x) p(x)) 2 dx over alle te grads polyomier. Dee størrelse kaldes de kvadrerede L 2 -afstad mellem f og p. Sage er at de kotiuerte fuktioer på [0, 1], udstyret med det idre produkt f, g = 1 0 f (x) g(x) dx, er et Hilbertrum - i hvert fald æste, rummet er ikke fuldstædigt, me de poite lader vi ligge - og L 2 -afstade mellem to fuktioer er etop ormafstade i dette Hilbertrum. Ma ka for hvert fide et te grad polyomium r såda at disse polyomier udgør et ortoormalsystem. Ma ka f.eks. starte med moomiere 1, x, x 2,... og lade dem geemgå e Gram-Schmidt ortoormaliserigsproces - de ødvedige regiger er lidt biksede, me essetielt hadler det om at løse ogle lieære ligigssystemer. Og det te grads polyomium der har midst mulig L 2 -afstad til f, ka u fås eksplicit frem som p = f, r k r k. k=1

25 256 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Ma taler om at opløse f efter e følge af ortogoale polyomier. Bemærk at sekvese r 0, r 1,... er udvalgt omhyggeligt ud fra det iterval (i casu [0, 1]) vi prøver at approksimere på. Skulle vi approksimere over et adet iterval, skulle vi have fat i et adet idre produkt, og dermed ville de første r er ikke lægere være ortogoale. Det er klart at L 2 -afstad og uiform afstad er beslægtede. I hvert fald gælder der at hvis de uiforme afstad er lille, så vil L 2 -afstade også være lille. Og som regel gælder der også det modsatte. Me ma ka lave eksempler hvor lille L 2 -afstad ikke fører til lille uiform afstad. Det typiske eksempel er e fuktio med e ekstremt spids top. Arealet uder toppe ka være meget lille, og derfor ka det måske ikke betale sig i L 2 -forstad at approksimere fuktioes opførsel i toppe - de gode L 2 - approksimatioer ka se helt bort fra toppe, og det koster selvfølgelig i uiform afstad. Hvis ma har e fuktio f med mage meget spidse toppe, ka ma komme ud for at de følge af polyomier, der fremkommer ved at opløse f efter ortogoale polyomier, ikke kovergerer puktvist mod f - og desmidre kovergerer uiformt. Fæomeet er temmelig degeereret - me det ka altså ske. Der er ikke oge tvigede grud til at tro at det te grads polyomium, der miimerer L 2 -afstade til f også har de allermidste uiforme afstad. Me sædvaligvis er det dog et kvalificeret bud. Tekikke bag Weierstrass approksimatiossætig ka ude det store pricipielle besvær overføres til flere dimesioer. Et polyomium i k variable er e edelig liearkombiatio af moomier, altså af fuktioer af type (x 1,..., x k ) k i=1 x m i i hvor (m 1,..., m k ) er ikke-egative hele tal. Sætig Lad f : [0, 1] k R være kotiuert. Der fides e følge af reelle polyomier, (p (x 1,..., x k )) N, såda at sup f (x) p (x) 0 for. x [0,1] k

26 13.6. Weierstrass approksimatiossætig 257 BEVIS: Vi øjes med at se på tilfældet k = 2 for at de otatiosmæssige problemer ikke skal eskalere. For hvert N lader vi p (x, y) være Bersteipolyomiet ( m p (x, y) = f, l ) ( ) ( ) x m (1 x) m y l (1 y) l m l m,l=0 Lad ɛ > 0 være givet. Idet f er uiformt kotiuert på [0, 1] 2, fides et δ > 0, såda at f (z) f (z ) < ɛ for alle z, z [0, 1] 2, z z < δ. Her har vi brugt maksimumsorme på R 2 til at udpege e lille omeg for os. Lad os betragte et fast (x, y) [0, 1] 2. Lad S og T være stokastiske variable, biomialfordelte med lægde og successadsylighed heholdsvis x og y. Vi ser aalogt med det etdimesioale tilfælde at ( S E f, T ) = p (x, y). Dermed er f (x, y) p (x, y) = f (x, y) f Vi splitter itegralet op i to, ved dels at itegrere over ( S x < δ, T y ) < δ ( S, T ) dp. (13.22) hvorpå itegrade er umerisk midre ed ɛ, og dels komplemetærmægde, hvor itegrade højst er 2 f. Idet sadsylighede for komplemetærmægde ka vurderes ved ( S P x δ eller T y ) ( δ S P x ) ( δ T + P y ) δ får vi ved at bruge Chebyshevs ulighed på begge sadsyligheder e øvre græse for (13.22) på ɛ + 2 f V(S /) δ 2 Og det er midre ed 2ɛ, blot er stor ok. + 2 f V(T /) δ 2 ɛ + f δ 2. Ma ka let formulere versioer af Weierstrass approksimatiossætig for adre teriger ed [0, 1] k - tigee ka bikses på plads ved hjælp af affie trasformatioer.

27 258 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Det er lidt mere speget at approksimere over adre kompakte mægder ed teriger, me det ka godt lade sig gøre. Lad i det følgede S 1 betege ehedscirkle i R 2, S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. Sætig Lad f : S 1 R være e kotiuert fuktio. Der fides da e følge af polyomier p 1 (x, y), p 2 (x, y),... på R 2 så sup f (x, y) p m (x, y) 0 for m. (x,y) S 1 BEVIS: Vi ka udvide f til e kotiuert fuktio på hele R 2 ved at sætte ( f x (x, y) = r f r, y ) r hvor r = med de aturlige plomberig f (0, 0) = 0. Vi bemærker at x 2 + y 2 for alle (x, y) (0, 0), S 1 [ 1, 1] [ 1, 1]. Weierstrass approksimatiossætig sikrer at der fides e følge af polyomier p m der approksimerer f uiformt på [ 1, 1] [ 1, 1]. Des mere må disse polyomier approksimere f uiformt over de midre mægde S 1. Me på S 1 er f jo blot f. Ma ka faktisk få dette argumet til at fugere for ehver kompakt mægde K R, for e klassisk abstrakt sætig, kedt som Tietzes udvidelsessætig, sikrer at ehver kotiuert reel fuktio, defieret på e kompakt delmægde af R, ka udvides til e kotiuert fuktio defieret på hele R. For de kompakte mægder ma vil iteressere sig for i praksis, er det dog sjældet oget problem at foretage de ødvedige udvidelse ved hådkraft. Vi får i afsit 17.7 brug for at kue approksimere kotiuerte fuktioer, defieret på } S 1 {{... S} 1 R 2, kopier uiformt med polyomier. For sådae fuktioer ka udvidelse forløbe aalogt med hvad der sker i beviset for sætig

28 13.7. Sadsylighedsmål givet ved mometer Sadsylighedsmål givet ved mometer E fordelig er til e vis grad karakteriseret ved sie mometer. Der fides ikke oge god algoritme til at rekostruere fordelige ud fra mometere, me alligevel ka ma ofte sige at hvis ma keder alle mometer, så keder ma også fordelige. Forbidelse mellem mometer (der jo er itegraler af moomier) og mål af kokrete mægder (der jo er itegraler af idikatorfuktioer) kyttes via kotiuerte, begræsede fuktioer. Lad C b (R) betege systemet af kotiuerte, begræsede reelle fuktioer defieret på R. Det er klart at C b (R)-fuktioer er Borelmålelige, og de er itegrable med hesy til et vilkårligt sadsylighedsmål på R. E speciel type C b (R)-fuktioer, der spiller e stor rolle i itegratiossammehæg, er de såkaldte bumpfuktioer. Det er fuktioer, der ku atager værdier i [0, 1]. Som regel bruges ordet ku hvis fuktioes værdier er 0 eller 1 på store områder - det bump der er tale om, er det område hvor fuktioe rejser sig fra at være 0 til at være 1, se figur Ma tæker på e bumpfuktio som e slags kotiuert fætter til e idikatorfuktio. Hvis K er e kompakt mægde ideholdt i e åbe mægde V, og hvis f er e bumpfuktio der opfylder at f (x) = 1 for alle x K, f (x) = 0 for alle x V c, så skriver ma gere at K f V. Hvis [a, b] (c, d) ka vi f.eks. kostruere e stykkevis affi bumpfuktio f der opfylder at [a, b] f (c, d) ved de eksplicitte fuktiosforskrift 0 for x c x c for x [c, a] a c f (x) = 1 for x [a, b] (13.23) x d for x [b, d] b d 0 for x d. E stykkevis affi bumpfuktio af dee type er illustreret i figur 13.4.

29 260 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer PSfrag replacemets 1 0 c a b d Figur 13.4: Grafe for de stykkevist affie bumpfuktio givet ved (13.23). Bumpfuktioe er kostrueret så de er 0 ude for (c, d) og kostat 1 på det lidt midre iterval [a, b]. Sætig Lad ν og λ være to sadsylighedsmål på (R, B). Hvis f (x) dν(x) = f (x) dλ(x) for alle f C b (R), (13.24) så er ν = λ. BEVIS: Lad (a, b) være et givet begræset åbet iterval. For hvert > 2/(b a) vælges e bumpfuktio f, der opfylder at [ a + 1, b 1 ] f (a, b) Ma ka f.eks. bruge de stykkevist affie bumpfuktioer fra (13.23), me det præcise valg spiller i virkelighede ige rolle. Uder alle omstædigheder gælder der at f 1 (a,b), majoriseret af kostate 1. Så majoratsætige giver at f (x) dν(x) 1 (a,b) (x) dν(x) = ν ( (a, b) ) for. Samme type græseresultat gælder aturligvis for λ-itegraler, og da f -fuktioere alle er kotiuerte og begræsede, ser vi at ν ( (a, b) ) = lim f (x) dν(x) = lim f (x) dλ(x) = λ ( (a, b) ). Eftersom de begræsede åbe itervaller udgør et fællesmægdestabilt frembrigersystem for Borelalgebrae på R, følger det af etydighedssætige for sadsylighedsmål at ν = λ.

30 13.7. Sadsylighedsmål givet ved mometer 261 Sætig Lad ν og λ være to sadsylighedsmål på (R, B), og lad I være et begræset iterval. Hvis ν(i) = λ(i) = 1, og hvis så er ν = λ. x k dν(x) = x k dλ(x) for alle k N. (13.25) BEMÆRK: Atagelse om at ν lægger hele si sadsylighedsmasse i itervallet I, gør at alle ν-itegraler over R ude videre ka erstattes af ν-itegraler over I. Da I er begræset, er x k begræset på I, og der er således ige problemer med om mometere eksisterer. BEVIS: Hvis p(x) = k=0 a k x k er et polyomium, ser vi at p er itegrabel med hesy til såvel ν som λ, og det følger af (13.25) at p(x) dν(x) = a k k=0 x k dν(x) = a k k=0 x k dλ(x) = p(x) dλ(x) (13.26) Betragt e vilkårlig fuktio f C b (R). Vælg et ɛ > 0. Ifølge Weierstrass approksimatiossætig fides et polyomium p(x), så Vi ser at f (x) dν(x) f (x) p(x) ɛ for alle x I p(x) dν(x) f (x) p(x) dν(x) ɛ. E tilsvarede vurderig gælder aturligvis for λ-itegralere, og kombieres de to vurderiger med (13.26), får vi at f (x) dν(x) f (x) dλ(x) 2 ɛ. Argumetet ka geemføres for alle ɛ > 0, og derfor slutter vi at f (x) dν(x) = f (x) dλ(x). Me f var e vilkårlig C b (R)-fuktio, og det følger derfor af sætig at ν = λ. I

31 262 Kapitel 13. Deskriptiv teori: mometer Forudsætige om at de to sadsylighedsmål giver fuld sadsylighed til et begræset iterval er ødvedig: der kedes eksempler på overtælleligt mage forskellige sadsylighedsmål på de positive halvakse, der alle har samme mometer, se opgave Noter Et godt sted at lede efter mometer, er i de ecyklopædiske fordeligsgeemgage Johso et al. (1992)og Johso et al. (1994). Itegraler, der ikke fides i disse værker, vil ma som regel kue slå op i Abramowitz og Stegu (1992). E mere tidssvarede form for opslag er at bruge e computerpakke til symbolsk matematik: både Mathematica og Maple har implemeteret store dele af itegraletabellere fra Abramowitz og Stegu (1992). Ide for de teoretiske statistik, støder ma ofte på de såkaldte kumulater for e fordelig. Det er specielle fuktioer af mometere, se Severii (2000) Opgaver OPGAVE Lad X være ligefordelt på mægde {1,..., }. Fid middelværdi og varias for X. OPGAVE Lad de stokastiske variabel X have tæthed givet ved ( N) f (x) = 1 (1 + x), x 0. Fid de k for hvilke X har k te momet og bereg EX og VX. OPGAVE Lad de stokastiske variabel X have tæthed Sæt Y = X 3 og fid EX, EY og E(XY). f (x) = 2x, x (0, 1). OPGAVE Lad X være e reel stokastisk variabel, ligefordelt på (0, 1), og lad Y = 2 log X. Fid EY. Fid edvidere tæthede for Y, og kotroller ved hjælp af de fude tæthed di udregig af EY.

32 13.9. Opgaver 263 OPGAVE Lad de stokastiske variabel X have e fordelig med tæthed f (x) = 2xe x2, x > 0. Fid fordelige af Y = X 2 og EY, N. OPGAVE Eftervis at skævhed og kurtosis for ormalfordelige vitterligt er ul. OPGAVE Vis at det tredie og fjerde cetrale momet for Γ-fordelige med formparameter λ er 2λ hhv. 3λ 2 + 6λ. Fid skævhed og kurtosis. OPGAVE Lad f 0 (x) være tæthede for de logaritmiske ormalfordelig med parametre (0, 1), dvs. SPGM 13.8(a). Vis at f 0 (x) = 1 2π x 1 e (log x)2 /2, x > 0. SPGM 13.8(b). Gør rede for at 0 f 0 (x) si(2π log x) dx = 0. f a (x) = f 0 (x) ( 1 + a si(2π log x) ), x > 0, (13.27) er e sadsylighedstæthed for a [ 1, 1]. SPGM 13.8(c). Vis at 0 x k f 0 (x) si(2π log x) dx = 0 for k = 1, 2,.... SPGM 13.8(d). Vis at alle sadsylighedsmål med tæthed af forme (13.27), heruder de logaritmiske ormalfordelig, har samme mometer.