Statistiske Modeller 1: Notat 1
|
|
- Anton Johannsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede af log-likelihood 6 6 Glat hypotese 7 7 Kofidesiterval i biomialmodel 8 8 Middelværdi og varias i poissofordelig 9 9 Poisso som approksimatio til biomial 9 0 Sum af to poissofordelte variable 0 Kofidesiterval i possofordelig 0 Poissoprocesse 3 Poisso multiomial 4 De cetrale græseværdisætig CLT 5 Store tals svage lov LLN 4 6 χ approksimatio til fordelig af log Q 4 7 Dispersiosidekset 7
2 Kast med k-sidet terig Lad X X,...,X k være multiomialfordelt med atalsparameter og sadsylighedsvektor π π,...,π k. Dette ka opfattes som resultatet af uafhægige kast med e terig med k sider, og hvor sadsylighede for at side j kommer op er π j. De j te kompoet X j tæller, hvor mage af de kast, der resulterer i at side j kommer op. På dee måde geeraliserer multiomialfordelige biomialfordelige. Biomialfordelige svarer til kast med e møt, hvor hvert kast ku har to muligheder, plat eller kroe. Der er klart ud fra dee beskrivelse at { X og Y er uafhægige, X m, π, Y m, π, X + Y m +, π. Hvis vi lader B i {,,..., k} være resultatet af det i te kast af terige defierer vi V i B i, B i,...,b i k. Et udfald af V i består af uller på alle pladsere påær é. Vi ka u skrive X i V i. Fra beskrivelse med de kast med terige har vi umiddelbart at X j b, π j, og dermed EX j π j og VarX j π j π j. Covariase mellem X r og X s bereges som CovX r, X s Cov B i r, B j s i i j Cov B i r, B j s j Cov B i r, B i s i Cov B r, B s {E[B r, B s] E[B r]e[b s]} {0 π r π s } π r π s. Sadsylighede for et bestemt udfald b,...,b af de kast med terige er π b π b π b π x π x π x k k, svarede til at x j gage kom side j af terige op, j,...,k. Vi har derfor at PX x c; xπ x π x π x k k, hvor c; x er atal udfald af de kast af terige, hvor side j kommer op x j gage, j,...,k. Ved først at vælge de x pladser ud af de mulige, hvor side
3 kommer op, deræst de x pladser af de resterede x pladser, og så videre, ser vi at x x x x x k c; x x x! x! x x 3 x! x! x x! x x k!! x!x! x k!. x k!x k! x k x x! x 3! x x x 3! Her er beyttet at x er atallet af måder vi ka udvælge x pladser bladt mulige pladser. Betigig i multiomialfordelig Lad X X,...,X k m, π. For et r < k lad Y X,...,X r og Z X r+,..., X k. Givet Y Y + + Y r m og dermed Z Z r+ + + Z k m gælder der Y og Z er uafhægige, Y mm, π,...,π r /π + + π r, Z m m, π r+,..., π k /π r+ + + π k. Bevis. Fra beskrivelse ved kast med e k-sidet terig har vi at Y b, π + + π r. Vi har da y,z π y πr yr π z r+ z z k r k PY y, Z z Y m π + + π m r m π r+ + + π k m { m! r } { yj π j m! k r } zj π r+j. y! y r! π + + π r z! z k r! π r+ + + π k j j Da dette er et produkt af multiomialfordeligssadsyligheder følger resultatet. E mere geerel versio af oveståede er som følger. Lad I I I d {,..., k} være e disjukt opsplittelse af de k sider af terige. Defier X I j {X r : r I j } til at være de koordiater af X der har idex i I j. Så er X I, XI,...,XI d m, πi,...,πi d, 3
4 hvor X I j er summe over koordiatere i X I j, X I j r I j X r, og tilsvarede er π I j r I j π r. Betiget med X I,...,XI d m,...,m d hvor m + + m d er uafhægige og multiomialfordelte X I, X I,...,X I d X I j mm j, π I j /π I j. Dette resultat bruges bladt adet i tilfældet hvor X {X ij } er på matriksform, i,...,r, j,...,s. Vi lader da I j være de j te række og har X, X,..., X r m, π, π,...,π r, og X givet X, X,..., X r x, x,...,x r består af r uafhægige multiomialfordeliger: X i, X i,...,x is X i x i mx i, π i,...,π is /π i, i,...,r. I tilfældet hvor π ij ρ i σ j er π i,...,π is /π i σ,...,σ s /σ, det vil sige de samme for alle i,..., r. Deraf fås X,...,X s + X,...,X s + + X r,..., X rs X,...,X r x,...,x r mx + x + + x r, σ,...,σ s /σ m, σ,...,σ s /σ. Da dee betigede fordelig ikke afhæger af det vi betiger med, x,...,x r, har vi uafhægighed mellem X,...,X r og X,...,X s, altså mellem rækkesummer og søjlesummer. 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio Lad Y være e stokastisk variabel på {0,,,...}. Defier for z fuktioe ϕ Y z ved ϕ Y z Ez Y z y PY y. Det ka vises, at fordelige er etydigt bestemt ved fuktioe ϕz. Altså, hvis to fordeliger giver de samme ϕ-fuktio, så er de to fordeliger idetiske. 4 y0
5 Lad Y b, p. Så får vi ϕ Y z z y p y p y y zp y p y y y0 y0 zp + p y0 zp + p y zp zp + p y p y zp + p zp + p. Lad u X m, π og defier Y X + X. Så fider vi med ψz z π + zπ + π π k at ϕ Y z z x +x π x x πx πx k k x z π x zπ x π x 3 3 x πx k k x ψz z x x π zπ k xj πj x ψz ψz ψz x ψz. Tager vi specialtilfældet med k 3 og π p, p p, p, får vi ϕ Y z [ z p + zp p + p ] [zp + p]. Sammeliger vi med ses det at X + X b, p. j3 4 Maksimerig af log-likelihood Vi skal maksimere lπ k j x j l π j over området Π k {π,...,π k π j > 0, k j π j }, i tilfældet hvor x j > 0, j,..., k. Vi fider først ˆπ og ka deræst hevise til symmetri for at fide π j, j >. Vi idfører e omparametriserig ved π p, π pθ, π 3 pθ 3,..., π k pθ k, hvor variatiosområdet for de ye parameter p, θ, θ 3,..., θ k er p, θ, θ 3,...,θ k 0, Π k. 5
6 Det er emt at se, at der er e e-til-e sammehæg mellem π og p, θ. Vi har derfor { k } sup lπ sup π Π k π Π k { sup p,θ 0, Π k j x j lπ j x lp + x + + x k l p + sup {x l lp + x l p} + sup p 0, θ Π k } k x j lθ j j { k } x j lθ j. Lad u l p x lp + x l p. Så er l p x p x p, og l p 0 giver ligige j x p x p x p x p ˆp x. 3 Kytter vi og 3 samme ses at ˆπ x og på grud af symmetri har vi geerelt ˆπ j x j, j,...,k. 5 Afledede af log-likelihood Vi betragter e model, hvor sadsylighede px, θ for det observerede x afhæger af e parameter θ. Parametere θ varierer i et åbet område Θ af R d. Vi siger at modelle har d frie parametre. Likelihoodfuktioe Lθ Lθ; x px, θ er sadsylighede for det observerede, betragtet som fuktio af parametere θ. Loglikelihoodfuktioe lθ lθ; x llθ er logaritme til Lθ. Scorefuktioe Sθ Sθ; x l θ er de afledede af log-likelihoodfuktio, og de observerede θ iformatio jθ jθ; x l θ er mius de ade afledede. Bemærk at θ θ Sθ er e d-dimesioal vektor og jθ er e d d matrix. Der gælder æste altid E θ [Sθ] 0 og Var θ [Sθ] E θ [jθ], 4 hvor iθ E θ [jθ] E θ [jθ; X] kaldes de forvetede iformatio. Uformelt bevis. Middelværdie af Sθ bereges som E θ [Sθ] x x lθ; x px, θ θ x px,θ θ px, θ px, θ x l px, θ px, θ θ px, θ θ { } px, θ θ x {} 0. θ 6
7 For de forvetede iformatio fider vi [ ] px,θ θ iθ E θ [jθ] E θ θ px, θ x px, θ θ θ + E θ [SθSθ ] px, θ + Var θ θ θ [Sθ] x Var θ [Sθ]. 6 Glat hypotese [ px,θ θ θ E θ px,θ θ px,θ px, θ θ px, θ Vi betragter e model med sadsyligheder px, θ med θ Θ, hvor Θ er et åbet område af R d. E hypotese for θ er agivet ved, at θ er e fuktio af e lavere dimesioal parameter ξ. Lad os kalde fuktioe ϕ, så at hypotese siger at θ ϕξ for et eller adet ξ i variatiosområdet Ξ for ξ. Hypotese kaldes glat af orde d hvis. Ξ er et åbet område i R d.. Fuktioe ξ ϕξ er gage kotiuert differetiabel. 3. d d matrikse af afledede, ϕ ξ, har fuld rag for alle ξ Ξ. ξ Vi kalder modelle med θ Θ for M 0, og kalder de reducerede model med θ ϕξ, ξ Ξ, for M. De tilsvarede likelihoodfuktioer beæves L M0 θ og L M ξ. De to første betigelser sikrer, at vi ka differetiere likelihoodfuktioe L M ξ L M0 ϕξ to gage med hesy til ξ, forudsat at px, θ er to gage differetiabel med hesy til θ. De forvetede iformatio i M ξ i modelle M er givet ved i M ξ ϕ ξ ξi M 0 ϕξ ϕ ξ ξ, 5 og betigelse iii sikrer at i M ξ er positiv defiit, forudsat at i M0 θ er positiv defiit. For at bevise 5 bemærker vi at l M ϕ ξ ξ l M ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ l M 0 θ ϕξ, [ l M0 θ θ ϕξ ] ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ ξ l M 0 θ ϕξ, ] og dermed i M ϕ ξ ξi M 0 ϕξ ϕ [ ] ξ ξ ϕ ξ ξ ξ E lm0 ϕξ θ ϕξ ϕ ξ ξi M 0 ϕξ ϕ ξ ξ. 7
8 I det sidste tri beyttede vi 4, og at r, s-idgage i det sidste led med er ϕ ξ r ξ s ξ l M 0 θ ϕξ. 7 Kofidesiterval i biomialmodel Lad X b, p. Normalfordeligsapproksimatioe til biomialfordelige siger at x + PX x Φ p, p p hvor x er et heltal. De øvre græse i et α kofidesiterval fides ved at løse x + Φ p α p p med hesy til p. Vi ka skrive dee ligig som x + p p p u α/, Hvor u p er p-fraktile i e stadard ormalfordelig, Φu p p. For emheds skyld skriver vi blot u i stedet for u α/ edefor. Ligige reducerer til x + p u p p. Kvadreres på begge sider fås + u p p x + + u + og de relevate løsig er p x + + u + x x + + u 4 + u x + + u x + + u + u 4 u + x + [ x + /]. + u De edre græse i kofidesitervallet fides tilsvarede ved at løse x Φ p α p p eller x p p p u. 8
9 8 Middelværdi og varias i poissofordelig Lad Y være e stokastisk variabel på {0,,,..., }. Defier for z fuktioe ϕ Y z ved ϕ Y z Ez Y z k PY k. Vi har følgede resultater ϕ Y, k0 ϕ Y z E[Y zy ], ϕ Y E[Y ], ϕ Y z E[Y Y z Y ], ϕ Y E[Y ] [E[Y ]. Lad u Y være poissofordelt, Så får vi ϕ Y z k0 e λ+λz, PY k λe k! e λ. z kλk k! e λ e λ+λz λz k k0 k! e λz og ϕ Y z λe λ+λz, ϕ λ, ϕ Y z λ e λ+λz, ϕ Y λ. Dette giver E[Y ] λ og VarY E[Y ] E[Y ] λ + λ λ λ. For poissofordelige gælder der altså at middelværdi og varias er es. 9 Poisso som approksimatio til biomial Lad X b, p. Hvis og p 0 så at p λ gælder der at Bevis PX k λk k! e λ. PX k p k k p k k + p e kl p k! k p k e k l p. 6 k 9
10 Det første led går mod /k! og det adet led går mod λ k. For det tredje led beytter vi at l x + x x for x <. Dermed er og da kp λ har vi at k l p + kp kp 0, Formel 6 viser dermed resultatet. lim e k l p lim e kp e λ. 0 Sum af to poissofordelte variable Lad X og Y være uafhægige med Så gælder der at X + Y poλ + γ. Bevis PX k λk k! e λ og Py k γk k! e γ. PX + Y k k PX m PY k m m0 k m0 λ m m! e λ γ k m k m! e γ λ + γk e λ+γ k! k m0 λ + γk e λ+γ c. k! k λ m γ k m m!k m! λ + γ λ + γ Kofidesiterval i possofordelig Lad X pλ. Normalfordeligsapproksimatioe til poissofordelige siger at PX x Φ x + λ, λ hvor x er et heltal. De øvre græse i et α kofidesiterval fides ved at løse Φ x + λ α λ 0
11 med hesy til λ. Vi ka skrive dee ligig som x + λ λ u α/, hvor u p er p-fraktile i e stadard ormalfordelig, Φu p p. For emheds skyld skriver vi blot u i stedet for u α/ edefor. Ligige reducerer til x + λ u λ eller λ u λ x + 0. De relevate løsig er [ λ u + u + 4 x + ] eller λ 4 [ u + u + 4 x + + u u + 4 x + ] u + x + + u x u. De edre græse i kofidesitervallet fides tilsvarede ved at løse x Φ λ α λ eller x λ λ u. Poissoprocesse Jeg vil beskrive poissoprocesse på de reelle akse ved et græseargumet. Vi deler akse op i små itervaller af lægde : det i te iterval går fra i til i. Uafhægigt af hiade placeres i hvert af de små itervaller ete et pukt eller ige pukter. Sadsylighede for at placere et pukt i et iterval er λ, altså proportioalt med lægde af det lille iterval. Poissoprocessse fremkommer u som græseprocesse hvor vi lader 0. Betragt et iterval af lægde T. Dette ideholder T af de små itervaller hvis T ikke er et heltal bruger vi blot heltalsdele. Fra kostruktioe af processe har vi at atallet af pukter i itervallet af lægde T er biomialfordelt, b T, λ-fordelt. Når vi lader 0 og dermed T, ser vi fra afsit 9 at atallet af pukter i
12 itervallet med lægde T bliver poissofordelt med parameter lim T λ Tλ. Det er også klart, at uafhægighede af de små itervaller gør, at atallet af pukter N og N i to disjukte itervaller er uafhægige i græseprocesse. Helt tilsvarede ka vi defiere e poissoproces i plae. De små itervaller bliver til små kvadrater med sidelægde, og sadsylighede for et pukt i et sådat kvadrat er λ. I græseprocesse bliver atallet af pukter i et område med areal A poissofordelt med parameter λ A. 3 Poisso multiomial Betragt k uafhægige poissofordelte variable X,..., X k med X i poλ i. Defier π i λ i λ, i,..., k, hvor λ i λ i. Der gælder at og at λ,...,λ k R k + λ, π R + Π k, PX x,..., X k x k k i λ x i x i! eλ i λx x! e λ x x,...,x k π x πx k k, hvor Π k {π,...,π k 0 < π i <, i π i }. Det sidste udtryk svarer til at X poλ og at X,...,X k X x mx, π. Lad M 0 være modelle hvor λ,..., λ k R k +, og lad M være modelle hvor λ R + og λ π,..., λ k Π 0 Π k. λ λ Likelihoodratio testore for M uder M 0 er da Q max M Lλ max M0 Lλ max π Π 0 L b π max π Π k L b π, {max λ R + L m λ }{max π Π0 L b π} {max λ R + L m λ }{max π Π k L b π} hvor L m λ er de margiale likelihood fra fordelige af X og L b π er de betigede likelihood fra de betigede fordelig givet X x. Fortolkige er, at likelihoodratio testore fra poissofordelige er idetisk med likelihoodratio testore i de betigede multiomialfordelig. 4 De cetrale græseværdisætig CLT De cetrale græseværdisætig siger, at e sum af mage uafhægige stokastiske led har e fordelig der liger e ormalfordelig.
13 For at få e lille foremmelse for dette udover hvad ma ka se fra simulatioer lad os betragte X b,, hvor er et lige tal. Vi vil se på PX + k, hvor k er z gage stadardafvigelse, k z /4. For emheds skyld lad ν. Vi har da PX + k PX ν ν+k ν ν ν!ν! ν + k!ν k! ν ν ν k + ν + ν + k k ν ν + + k ν ν { k exp [l ν l + jν ] } l + kν j { } exp k j ν ν k ν + Rest j } exp { k ν + Rest { } exp z + Rest, hvor vi har beyttet at l+x ka approksimeres med x, med e fejl der er midre ed x, For restleddet ovefor har vi derfor l + x x x for x. k j 3 Rest ν + k ν k3 /4 ν z3 / j z for. Da tæthede for e N0, -fordelig er π e z idikerer oveståede beregig at X / /4 N0,. Jeg formulerer u de cetrale græseværdisætig matematisk. Lad X,..., X være uafhægige og idetisk fordelte med EX i µ og VarX i σ. Så gælder der at i P X i µ σ z Φz for. Her står, at de stadardiserede variabel X i µ/σ har e fordelig der 3
14 liger stadard ormalfordelige N0,. I praksis bruges resultatet typisk geem X i Nµ, σ. i Jeg giver også lige e formuerig for at dække tilfældet med uafhægige me ikke idetisk fordelte variable X,...,X. Lad EX i µ i, VarX i σi, og lad E X i µ i 3 β i. Hvis i β i i σ 3 0 for, i så gælder der at P i X i µ i i σ i z Φz for. 5 Store tals svage lov LLN Hvis X er e stokastisk variabel med middelværdi µ og varias σ gælder der P X µ > ε E{ X µ > ε} { } X µ E X µ > ε ε ε E { X µ } σ ε. Lad u X,..., X være uafhægige med EX i µ i og VarX i σi. Da Var X i σ i har vi P X i µ i > ε i ε σi. Atag u at i σ i c for e kostat c. Så har vi P X i µ i > ε c 0 for. ε i I ord har vi altså, at X ligger tættere og tættere på µ i i µ i i sadsylighed. 6 χ approksimatio til fordelig af log Q Betragt e model M 0 med likelihoodfuktio L M0 og e delmodel heraf M med likelihoodfuktio L M. Log likelihoodratio testore log Q er Q sup L M sup L M0. 4
15 At fordelige til dee ka approksimeres med e χ -fordelig med d 0 d frihedsgrader, baserer sig grudlæggede på de cetrale græseværdisætig avedt på scorefuktioe og de store tals lov avedt på de observerede iformatio. Atallet af frihedsgrader d 0 d er atallet af frie parametre i M 0 modelle mius atallet af frie parametre i M modelle. Jeg vil illustrere resultatet i to simple situatioer. Først vil jeg teste p p 0 i e biomialfordelig. Lad X b, p, 0 < p <, uder M 0, og lad Lad X b, p 0 uder M. Log likelihoodratio testore for p p 0 er log Q { x l x x + x l p 0 p 0 }, hvor x er de observerede værdi og x x er estimatet for p uder M 0. Lad således at log Q h x. Der gælder og hz {z l z p 0 + z l z p 0 } hp 0 0, h z {lz/p 0 l z/ p 0 }, h p 0 0, { h z z + }, h p 0 z E taylorudviklig af hz omkrig p 0 giver derfor hz z p 0 + Erstatter vi u z med x får vi x p0 log Q p0 p 0 p 0 p 0. p 0 p 0 z p 0 + c 3 z p c 4 z p c 3 x p0 p0 p c 4 For stor forsvider alle led påær det første, og vi har X p 0 log Q χ, p0 p 0 x p0 p0 p hvor χ -fordelige følger fra de cetrale græseværdisætig for e biomialfordelig X p 0 N0,, p0 p 0 husk at X er e sum af uafhægige møtkast. De æste situatio jeg vil betragte, er hvor vi har to uafhægige poissovariable, X Poν, Y poγ, og vi øsker at teste λ γ. Vi lader M 0 være modelle hvor λ, γ R + og lader M være modelle med λ γ R +. Estimatere uder 5
16 M 0 er ˆλ x og ˆγ ȳ, og estimatet for de fælles værdi λ γ uder M er ˆλ ˆγ x + ȳ/. Log likelihoodratio testore bliver så { } x + ȳ log Q x l x + ȳ lȳ x + ȳ l. Det er klart, at år x ȳ så er log Q 0, og vi ka ituitivt tæke på log Q som mestedels værede e fuktio af ȳ x. For at gøre dette mere præcist, lad u x + ȳ/ og v ȳ x. Som fuktio af u, v får log Q udtrykket log Q hu, s, hvor hu, v u v lu v + u + v lu + v u lu. Taylorudvikler vi hu, v som e fuktio af v omkrig v 0 fider vi og dermed hu, 0 0, h v u, v lu v + lu + v, h v u, v 4 u v + 4 u + v, h u, 0 0, v h u, 0 v u, hu, v v + 4u v + c 3 uv 3 +. Idsætter vi dette i log Q får vi log Q [ ȳ x] x + ȳ + c 3 x + ȳ/ [ ȳ x] 3 +. Ligesom i biomialmodelle forsvider alle led for påær det første, det vil sige log Q [ Ȳ X] X + Ȳ. 7 Da X poλ ka vi skrive X X + X + + X, hvor X i -ere er uafhægige og poλ fordelt. Helt tilsvarede ka vi skrive Y Y + + Y. Store tals lov giver så X + Ȳ X i + Y i λ, hvor EX i + Y i λ. I stedet for 7 ka vi så skrive [ X] [ log Q Ȳ Y i X i ]. λ λ i Da EY i X i 0 og VarY i X i λ giver de cetrale græseværdisætig at i log Q [N0, ] χ. Bemærk at atallet af frihedsgrader er, hvor er atallet af parametre i M 0 og er atallet af parametre i M. 6
17 7 Dispersiosidekset Lad X,...,X være uafhægige og poissofordelte med parameter λ. Defier Fishers dispersiosideks t ved t s X, s X i X. Vi vil betragte fordelige af t i de to græser λ og. Først ser vi på situatioe λ. Da X E λ X λ λ og Var λ λ λ 0 for λ, λ får vi ved samme argumet som for Store Tals Lov, at X λ i for λ, 8 hvor kovergese er i sadsylighed. Da e poissofordelig med parameter λ ka skrives som e sum af led der hver især er poissofordelte, ka vi bruge de cetrale græseværdisætig til at sige at X λ λ N0, for λ. Vi har derfor, at λ s i Kombierer vi 8 og 9 får vi t Xi λ λ X λ λ χ /. 9 λ s λ X χ / for λ. Vi betragter u græse. Fra de flerdimesioale cetrale græseværdisætig har vi λ λ i λ, [X i λ ix λ] N 0, λ λ + λ. 0 Vi har her beyttet at i VarX i λ λ, CovX i λ, X i λ λ EX i λ 3 λ, VarX i λ λ VarX i λ EX i λ 4 [EX i λ ] λ + 3λ λ λ + λ. 7
18 Lad u u X i λ og v X i λ λ. Så ka vi skrive t s Y {v + λ + u } λ + u + v λ u λ, hvor vi har beyttet e. ordes taylorudviklig, og har erstattet 0 har vi u, v N 0, λ λ λ λ + λ, og derfor t N Da e χ -fordelig ka skrives som med. Fra, λ λ + λ + λ λ N,. λ λ U + U + + U, hvor U i N0,, ser vi fra de cetrale græseværdisætig at N, χ, idet VarU i EU4 i [EU i ] 3. Sammeliger vi og ser vi, at t s X χ / for. 8
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs merer n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!
Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 4.4 og kapitel 6 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae 8. udervisigsuge 1 E hypotese af forme H 0 : θ =
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereSTATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115
STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereSammensatte hypoteser i en polynomialfordeling
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 44 og kapitel 6 E hypotese af forme H 0 : θ θ 0 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@mathkudk http://mathkudk/ susae hvor der ikke idgår ukedte
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereForelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen
Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereRegularitetsbetingelserne i simple modeller
Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 7
BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mere