KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS (kaugõppele) 5. ERMODÜNAAMIKA ALUSED 5. ermodünaamika I seadus ermodünaamika I seadus annab seose kehale antava soojushulga, keha siseenergia ja paisumistöö vahel = U + A, kus on juurdeantav soojushulk, U siseenergia muut ja A paisumistöö. Juhul kui keha saab väljastpoolt mingi soojushulga, on positiivne ( > 0), juhul kui keha annab ära mingi soojushulga, on negatiivne ( < 0). Juhul kui keha teeb paisumisel (kasulikku) tööd, on A positiivne ( A > 0), juhul kui aga keha kokkusurumiseks tehakse (välist) tööd, on A negatiivne ( A < 0). Keha siseenergia on molekulide soojusliikumise summaarne kineetiline energia ja molekulide vastastikmõju potentsiaalse energia summa, ideaalse gaasi korral aga summaarne kineetiline energia. Soojushulk on energia, mis antakse kehale soojendamisel, või võetakse kehalt jahutamisel. Soojushulk arvutatakse valemist = c m, kus c on aine erisoojus, m keha mass ja temperatuuri muut. Isobaarsel protsessil tehtud töö A= p V, kus p on rõhk ja V ruumala muut.
Näidisülesanne. Gaas sai soojushulga 00 J ja tegi tööd 40 J. Kuidas ja kui palju muutus tema siseenergia? = 00 J A = 40 J U =? eeme lihtsa joonise, mis näitab, et gaas saab mingi soojushulga ja teeb paisumisel mingi hulga tööd. Antud ülesandes lähtume termodünaamika I seadusest, mille kohaselt keha poolt saadud või äraantud soojushulk avaldub keha siseenergia muudu ja keha poolt tehtud töö kaudu järgmiselt = U + A. Siit avaldame gaasi siseenergia muudu U = A, mis algandmeid kasutades annab tulemuseks U = 00 40 = - 40 J. Vastus: Gaasi siseenergia vähenes 40 J võrra. Olgu öeldud, et termodünaamika I seadus on sisuliselt energia jäävuse seadus. See, et gaasi siseenergia vähenes, tähendab seda, et osa gaasi poolt tehtud tööst tehti gaasi siseenergia arvelt. Näidisülesanne. Gaas sai soojushulga 800 J ja tema siseenergia suurenes, kj võrra. Kui palju tööd tegid gaasile mõjuvad välisjõud? = 800 J U =, kj = 00 J A =? Kujutame gaasi kinnises liikuva kolviga anumas. Gaasi rõhumisjõud F r surub kolvile, surudes seda väljapoole, gaasile mõjuv välisjõud Fv aga püüab gaasi kokku suruda. ermodünaamika I seadusest = U + A avaldame gaasi rõhumisjõudude töö A r = U. Arvutades tulemuse, saame A = 800 00= 400 J. r
Kuna Newtoni III seaduse kohaselt on välisjõud gaasi rõhumisjõuga võrdvastupidine, siis on välisjõudude töö sama suur, aga vastasmärgiline A A = 400 J. v = r Vastus: gaasile mõjuvad välisjõud tegid töö 400 J (surusid gaasi kokku). Näidisülesanne 3. Adiabaatilisel protsessil vähenes gaasi siseenergia 3,8 kj võrra. Kui suur oli gaasi poolt tehtud töö? U = 3, 8 kj A=? Adiabaatiline protsess on selline termodünaamiline protsess, mille käigus soojusvahetust väliskeskkonnaga ei toimu. eisisõnu, gaas ei saa soojust juurde, ega anna seda ka ära. Lähtume jälle termodünaamika I seadusest = U + A. Kuna adiabaatilisel protsessil soojusvahetust ei toimu, siis = 0 ja seetõttu on protsessil tehtud töö võrdvastupidine siseenergia muuduga A= U = 3,8 kj. Vastus: gaasi poolt adiabaatilisel paisumisel tehtud töö on 3,8 kj. Näidisülesanne 4. Gaasi temperatuuri tõsteti ühe ja sama kraadide arvu võrra, ühel juhul jääval ruumalal, teisel juhul aga jääval rõhul. Kui suur soojushulk anti gaasile siis kui gaas paisus jääval rõhul, kui jääval ruumalal anti gaasile soojushulk 60 J ja paisumisel tegi gaas tööd 40 J? = 60 J A = 40 J =?. Vaatame kõigepealt gaasiga toimuvat protsessi kui gaasi ruumala on jääv (V = const.). Kuna sel juhul gaas tööd ei tee ( A = 0 ), siis termodünaamika esimesest seadusest = U + A saame, et gaasi siseenergia muutus on võrdne gaasile antud soojushulgaga U = = 80 J.. Järgnevalt vaatame gaasiga jääval rõhul toimuvat protsessi. Sel juhul gaas paisub ja teeb teatava hulga paisumistööd. (Et gaas temperatuuri tõstmisel paisub, järeldub ideaalse gaasi olekuvõrrandist pv = νr. Jääval rõhul on ruumala muutus ja temperatuuri muutus seotud järgmiselt p V = ν R, millest on näha, et temperatuuri tõstmisel gaasi ruumala suureneb.) Gaasile antav soojushulk avaldub nüüd kujul 3
= U +. A Kuna mõlema protsessi korral tõsteti gaasi temperatuuri ühe ja sama kraadide arvu võrra, siis oli gaasi siseenergia muutus mõlemal juhul ühesugune (ideaalse gaasi siseenergia sõltub ainult temperatuurist), seega U = ja saame tulemuseks = + A = 60+ 40 00 J. = Vastus: kui gaas paisus isobaarselt, anti talle soojushulk 00 J. NB! asub teada, et gaaside korral on soojushulkade arvutamine keerukam, sest see sõltub gaasiga tehtavast protsessist. Nagu me eelmises ülesandes nägime, on jääval rõhul soojendamisel vajaminev soojushulk suurem kui jääval ruumalal soojendamisel, sest jääva rõhu korral gaas paisub ja osa juurdeantavast soojusest läheb paisumistööks. Soojushulga arvutamise valem = c m jääb küll endiseks, kuid erisoojused on jääval ruumalal ja jääval rõhul toimuvatel protsessidel erinevad. (äpsemalt räägitakse sellest ülikooli üldfüüsika kursuses). Näidisülesanne 5. Kui palju muutus liitri vee siseenergia, kui seda soojendati temperatuurilt 0 0 C temperatuurini 60 0 C? V = L = 0-3 m 3 ρ = 000 kg/m 3 0 t = 0 C 0 t = 60 C c = 400 J/(kg K) U =? Lähtume jälle termodünaamika I seadusest = U + A. Kuna vee soojendamisel on vee soojuspaisumine tühine, siis võime lugeda, et vee soojendamisel on tehtud paisumistöö võrdne nulliga A = 0 ja siseenergia muutus on võrdne veele antud soojushulgaga U = Veele soojendamisel antud soojushulga aga arvutame vee erisoojuse kaudu valemiga = c m, kus m on vee mass ja = t t temperatuuri muutus soojendamisel. Meil on antud vee hulk liitrites, vaja on selle veekoguse massi. Vee massi saame arvutada vee tiheduse ja ruumala kaudu m= ρv (seetõttu lisasime algandmetesse vee tiheduse). Peale lihtsaid asendusi saame vee siseenergia muudu arvutamise valemi 4
U = cρ V ( t t), mis peale andmete asendamist annab tulemuseks 3 U = 400 000 0 (60 0) = 340000 J = 340 kj. Vastus: liitri vee soojendamisel temperatuurilt 0 0 C temperatuurini 60 0 C on vee siseenergia muutus 340 kj (0,34 MJ). Näidisülesanne 6. Hapniku moolsoojus jääval ruumalal on 0, J/(mol K). Kui suur on hapniku erisoojus jääval ruumalal? C Kõigepealt teeme selgeks, mis vahe on aine moolsoojusel ja V = 0, J/(mol K) µ = 3 g/mol = 0,03 kg/mol erisoojusel. Aine moolsoojus C V on arvuliselt võrdne c soojushulgaga, mis on vajalik ühe mooli aine temperatuuri V =? tõstmiseks ühe kraadi võrra. Aine erisoojus c V on aga arvuliselt võrdne soojushulgaga, mis on vajalik ühe kilogrammi aine temperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra. Nendest kahest definitsioonist järeldub, et teades aine moolsoojust ja ühe mooli massi µ, saame arvutada aine erisoojuse CV c V =. µ Antud ülesandes on seega vaja teada hapniku ( O ) molaarmassi, mille me juba lisasime algandmetesse. Arvutamine annab 0, c V = ( ) J/kg K = 650 J/kg K. 0,03 Vastus: hapniku erisoojus jääval ruumalal on 650 J / kg K. NB! Aine moolsoojust kasutatakse üsna palju, seetõttu on seose teadmine erisoojuse ja moolsoojuse vahel vajalik. 5
Näidisülesanne 7. Ideaalne gaas paisub isobaariliselt rõhul 500 kpa ruumalalt L kuni ruumalani 6 L. Arvutada gaasi paisumise töö. Hinnata, kuidas muutus seejuures gaasi siseenergia? p= 500 kpa = 5 0 5 Pa V= L = 0-3 m 3 V = 6 L = 6 0-3 m 3 A=? Kujutame gaasi isobaarilist paisumist graafiliselt järgmisel joonisel. Graafiliselt on töö võrdne p-v teljestikus protsessi kujutava graafiku aluse pindalaga. Antud juhul on vaja leida graafiku alla jääva ristküliku pindala. Seetõttu avaldub töö valemiga A= p ( V V). Arvutamine annab tulemuseks A= (5 0 (6 ) 0 5 3 ) J =,5 kj. Kuna meil gaasi kohta täpsemat informatsiooni ei ole, siis püüame hinnata, mis toimub gaasi siseenergiaga isobaarsel paisumisel. Kasutame ideaalse gaasi olekuvõrrandit ja asjaolu, et ideaalse gaasi siseenergia sõltub ainult temperatuurist (kui temperatuur kasvab, siis gaasi siseenergia kasvab ja vastupidi). Vaatame olekuvõrrandit pv m = R. µ Kuna antud protsessil gaasi rõhk ja gaasi mass ei muutu, siis muutuvad ruumala ja temperatuur, kusjuures nende muudud on seotud analoogilise valemiga p V m = R µ. Siit on näha, et kui V > 0, siis ka > 0, mis tähendab, et isobaarsel paisumisel gaasi temperatuur tõuseb ja ühtlasi suureneb ka gaasi siseenergia. (Vastupidi, isobaarsel kokkusurumisel gaasi siseenergia väheneb). Vaatame veel ka termodünaamika I seadust,mille kohaselt = U + A. Viimane tähendab nüüd seda, et isobaarsel paisumisel peab gaas saama väljastpoolt kindla soojushulga, mis läheb osalt gaasi siseenergia suurendamiseks ja osalt gaasi paisumistööks. Vastus: gaasi paisumistöö on,5 kj, paisumisel gaasi siseenergia suureneb. 6
5. Soojusmasina kasutegur Soojusmasina kasutegur avaldub üldjuhul valemiga η =, kus on süsteemile juurdeantav soojushulk ja jahutile äraantav soojushulk. Mistahes soojusmasin koosneb alati kolmest osast: soojusallikast, töötavast kehast ja jahutist. Soojusmasinas ei saa kunagi muuta kogu soojusallikast saadud soojushulka kasulikuks tööks, alati tuleb sellest osa (soojushulk ) jahutile kasutult ära anda (termodünaamika II seadus). Ideaalse soojusmasina kasutegur η =, kus on soojendi temperatuur ja jahuti temperatuur. Ideaalse soojusmasina korral on soojusallikalt (kõrgema temperatuuriga kehalt) saadav soojushulk ja jahutile (madalama temperatuuriga keha) äraantav soojushulk seotud soojendi ja jahuti temperatuuridega järgmiselt =. Ideaalse soojusmasina kasutegur annab antud temperatuuride vahemikus töötava soojusmasina maksimaalse kasuteguri. Näidisülesanne 8. Soojusmasin teeb tsükli jooksul töö 300 J, saades soojendilt soojushulga 00 J. Kui suur on masina kasutegur? A= 300 J = 00 J η =? Kujutame soojusmasina tööd järgmise sümboolse joonisega, kus on soojendilt saadav soojushulk ja A on soojusmasina poolt tehtud kasulik töö. 7
Kuna soojendilt saadud soojushulk on soojusmasina ühe tsükli jooksul kulutatud koguenergia ja selle jooksul tehtud kasulik töö on A, siis on soojusmasina kasutegur A η =. Arvutamisel saame tulemuseks 300 η = = 0,5. 00 Vastus: soojusmasina kasutegur on 0,5 ehk 5%. Näidisülesanne 9. Kui suur on ideaalse soojusmasina kasutegur, mis saab soojusallikalt soojushulga,8 kj ja annab jahutajale ära soojushulga, kj? =,8 kj =, kj η =? Kujutame ideaalse soojusmasina tööd järgmise joonisega, kus soojusallikalt saadud soojushulk, jahutaja äraantud soojushulk ja A soojusmasina poolt tehtud kasulik töö. Kasuteguri leidmiseks tuleb kasulik töö jagada kogu kulutatud energiaga. Kuna soojusmasina saab soojusallikalt soojushulga ja annab jahutajale ära soojushulga, on kasulik töö võrdne nende soojushulkade vahega A=, sest soojushulk antakse kasutult jahutajale ära ja seetõttu see mingit panust kasulikku töösse ei anna. Kogu kulutatud energia aga on võrdne soojusallikalt saadud soojushulgaga. Seega avaldub soojusmasina kasutegur antud juhul järgmiselt A η = =. Arvutamine annab,8, η = = 0,5.,8 (Kuna kasutegur avaldub suhtena, pole vaja ühikuid teisendada, tulemus ei sõltu sellest, kas kasutame kilodžaule või džaule.) 8
Vastus: soojusmasina kasutegur on 0,5 ehk 5%. Näidisülesanne 0. Ideaalses soojusmasinas teeb gaas isotermilisel paisumisel töö,8 kj ja annab isotermilisel kokkusurumisel jahutile ära soojushulga, J. Kui suur on soojendilt saadud soojushulk, gaasi kokkusurumisel tehtud töö ja kasulik töö? A =,8 kj =, kj =? A =? A=? Ideaalse soojusmasina tööd iseloomustab nn Carnot tsükkel, mille etapid on kujutatud kõrvaloleval joonisel. Siin on gaasi isotermiline paisumine 3 on gaasi isotermiline ja algolekust soojusallika temperatuuril olekusse ja 4 kokkusurumine jahuti temperatuuril olekust 3 olekusse 4. Protsessid 3 4 kujutavad vastavalt gaasi adiabaatilist paisumist olekust olekusse 3 ja adiabaatilist kokkusurumist olekust 4 algolekusse. Adiabaatiline protsess on teatavasti selline, kus mingit soojusvahetust välikeskkonnaga ei toimu, teisisõnu protsessidel 3 ja 4 gaas soojust ära ei anna, ega saa seda ka kusagilt juurde. Adiabaatilisel paisumisel olekust olekusse 3 teeb gaas tööd oma siseenergia arvelt ( A= U ), mistõttu gaasi siseenergia kahaneb ja seoses sellega kahaneb ka gaasi temperatuur ( ), adiabaatilisel kokkusurumisel algolekusse (olekust 4 olekusse ) gaasi siseenergia kasvab ja temperatuur tõuseb algtemperatuurini. Kuna isotermilisel protsessil siseenergia ei muutu, on saadud või äraantud soojushulk võrdne gaasi poolt tehtud tööga või gaasi kokkusurumisel tehtava tööga, siis isotermilisel paisumisel saame = A =,8 kj ja isotermilisel kokkusurumisel 3 4 analoogiliselt A =, kj. = Gaasi poolt tehtud kasulik töö avaldub soojusallikalt saadud soojushulga ja jahutajale äraantud soojushulga vahena A = = (,8, ) kj = 0,7 kj. Vastus: soojendilt saadud soojushulk on,8 kj, gaasi kokkusurumisel tehtud töö on, J ja kasulik töö 0,7 kj. 9
Näidisülesanne. Millise maksimaalse kasuteguriga oleks polaaraladel merevee (+3 0 C) siseenergial töötav ideaalne soojusmasin, kui jahutina kasutada atmosfääriõhku (-30 0 C)? = 76 K = 43 K η =? eades ideaalse soojusmasina soojendi ja jahuti temperatuuri, saab soojusmasina kasuteguri arvutada valemist η =. (Valemist on näha, et arvutamiseks tuleb temperatuur teisendada Celsiuse kraadidest absoluutseks temperatuuriks kelvinites.) Asendades siia temperatuurid, saame kasuteguriks 76 43 η = = 0,. 76 Vastus: soojusmasina kasutegur oleks 0, ehk %. Näidisülesanne. Ideaalne soojusmasin teeb tsükli jooksul kj tööd. Soojendi temperatuur on 400 K ja jahuti temperatuur 300 K. Kui suur on: a) soojusmasina kasutegur, b) soojusmasina poolt tsükli jooksul saadud soojushulk, c) sükli jooksul jahutile üle antud soojushulk? A= kj = 400 = 300 η =? =? =? K K eades ideaalse soojusmasina soojendi ja jahuti temperatuuri, saab soojusmasina kasuteguri arvutada valemist η =. Asendades siia temperatuurid, saame tulemuseks 400 300 η = = 0,5. 400 eiselt poolt avaldub kasutegur kasuliku töö ja soojusallikalt saadud soojushulga kaudu valemiga A η =, 0
millest saame arvutada soojusmasina poolt tsükli jooksul saadud soojushulga: A = = ( ) kj = 8 kj. η 0,5 Kuna kasulik töö avaldub soojushulkade kaudu A=, saame leida ka jahutile äraantud soojushulga = A= ( 8 ) kj 6 kj. = Vastus: soojusmasina kasutegur on 0,5 ehk 5%, soojendilt saadud soojushulk on 8 kj, jahutile äraantud soojushulk 6 kj. Olgu lisatud, soojendilt saadud soojushulk ja jahutile ära antud soojushulk ei saa olla suvalised, vaid on antud soojusmasina korral alati seotud: kui soojusmasin saab soojendilt kindla soojushulga, siis annab ta sellest alati jahutile ära soojushulga = /. Näidisülesanne 3. Külmkapi sügavkülmiku temperatuur on - 0 0 C. Kui palju soojust antakse sügavkülmiku iga tsükli jooksul toaõhule temperatuuril 0 0 C kui külmikust võetakse tsükli jooksul soojushulk 6 kj? Kui suur on ühe tsükli jooksul kulutatud töö? 0 t = 0 C; = 93 K 0 t = 0 C; = 53 K = 6 kj =? eeme joonise, mis kujutab külmkapi tööd: külmkapp võtab külmikust ühe tsükli jooksul soojushulga, annab väliskeskkonnale soojushulga kulutades selleks töö A. Oletame, et külmakapp töötab ideaalse soojusmasina tsükli järgi, ainult et vastupidises järjekorras: võttes külmemalt keskkonnalt teatava soojushulga ja andes kuumemale keskkonnale üle mingi soojushulga. Soojushulkade ja temperatuuride vahel kehtib ideaalse soojusmasina korral seos (ei sõltu tsükli töö järjekorrast) =, millest toaõhule äraantav soojushulk =. Arvutamine annab
6 93 = ( ) J = 7 kj. 53 Ühe tsükli jooksul tehtud töö on võrdne soojushulkade vahega A = = ( 7 6 ) kj = kj. Kuna külmkapp töötab pöördtsükli järgi, siis siin me kasulikku tööd ei saa, vaid peame selle töö kulutama külmkapi töös hoidmiseks (sest me võtame külmemalt keskkonnalt ära kindla soojushulga, kuid vastavalt termodünaamika seadustele peame seetõttu soojemale keskkonnale ära andma sellest suurema soojushulga). Vastus: toaõhule äraantav soojushulk on 7 kj, ühe tsükli jooksul tehtud töö kj. Näidisülesanne 4. Arvutada soojuspumba maksimaalne efektiivsus, mis töötab põhjaveel temperatuuriga 6 0 C juhul, kui a) soojusvahetina kasutatakse põrandaalust torustikku, kus vee temperatuur on 40 0 C; b) soojusvahetina kasutatakse keskkütteradiaatoreid, kus vee temperatuur on 60 0 C. t = 6 0 C; = 79 K 0 = 40 C; = 0 = 60 C; = t t ε =? 33 K 333 K Soojuspumba tööd kujutame järgmisel joonisel. Soojuspumba tööpõhimõte on sama, mis külmkapil, võtta külmemast keskkonnast (põhjaveest) iga tsükliga ära teatav soojushulk ja anda kuumemale keskkonnale (köetavale ruumile) üle sellest suurem soojushulk. Oletame, et soojuspump töötab ideaalse soojusmasina tsükli järgi, ainult et vastupidises järjekorras: võttes põhjaveest teatava soojushulga ja andes kuumemale keskkonnale (torustik, radiaator) üle soojushulga. Soojuspump peab selleks tegema töö A=. Soojuspumba efektiivsuseks loetakse kuumemale keskkonnale antud soojushulga ja selleks tehtud töö suhet
ε =. A Asendades töö soojushulkade kaudu, on lihtne veenduda, et efektiivsus on võrdne samas temperatuurivahemikus töötava soojusmasina kasuteguri pöördväärtusega ε = =. η Soojuspumba efektiivsuse leidmiseks tuleb järelikult arvutada antud temperatuurivahemikus töötava soojusmasina kasutegur, mis ideaalse soojusmasina korral avaldub soojusallika ja jahutaja temperatuuride kaudu. 33 79 Esimesel juhul, kui kasutame põrandakütet, saame η = = = 0,, millest 33 efektiivsus ε = = 9,. 0, 333 79 eisel juhul, kui kasutame keskkütteradiaatoreid, saame η = = = 0, 6, 333 millest efektiivsus ε = = 6,. 0,6 Vastus: kasutades põrandaalust kütet, oleks soojuspumba maksimaalne efektiivsus 9,, kasutades aga keskkütte radiaatoreid, oleks efektiivsus 6,. 3
NB! Valemid, mis on vaja kindlasti meeles pidada. ermodünaamika I seadus: kehale antav soojushulk, keha siseenergia muut ja paisumistöö on seotud järgmise valemiga = U + A, kus on juurdeantav (või äravõetav) soojushulk, U siseenergia muut ja A paisumistöö. Soojusmasina kasutegur: η =, kus on süsteemile juurdeantav soojushulk ja jahutile äraantav soojushulk. Ideaalse soojusmasina kasutegur: η =, kus on soojendi temperatuur ja jahuti temperatuur. 4
Ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks 5. Gaas sai isokoorsel soojendamisel soojushulga 500 J. Kui palju muutus gaasi siseenergia? (suurenes 500 J) 5. Gaasi adiabaatilisel kokkusurumisel tehtud töö oli 00 J. Kui palju muutus gaasi siseenergia? (suurenes 00 J) 5.3 Kui palju muutub liitri vee siseenergia jahutamisel keemistemperatuurilt toatemperatuurini 0 0 C? (vähenes 340 kj) 5.4 Gaas paisub isobaarselt rõhul atm ruumalalt L ruumalani 0 L. Kui suur on gaasi paisumise töö? Kuidas muutub gaasi siseenergia? (80 J, suureneb) 5.5 Soojusmasin teeb tsükli jooksul töö 300 J. Leida soojusmasina kasutegur, kui jahutile äraantud soojushulk on 900 J. (5%) 5.6 Soojusmasina kasutegur on 8 %. öötav keha saab tsükli jooksul soojendilt soojushulga 600 J. Kui suure töö teeb masin ühe tsükli jooksul? (0 J) 5.7 Milline oleks troopikas merevee siseenergial töötava soojusmasina maksimaalne kasutegur, kui soojusallikana kasutatakse ülemisi veekihte temperatuuriga 30 0 C ja jahutina sügavamaid veekihte temperatuuriga 0 0 C? (7%) 5.8 Ideaalne soojusmasin teeb tsükli jooksul kj tööd. Soojendi ja jahuti temperatuurid on vastavalt 00 0 C ja 0 0 C. Kui suur on soojusmasina kasutegur? Kui suure soojushulga saab masin ühe tsükli jooksul? Kui suure soojushulga annab masin jahutile ühe tsükli jooksul? (%, 4,8 kj, 3,8 kj) 5.9 Kui suure maksimaalse efektiivsusega töötab soojusmasin, mis kasutab soojusallikana: a) põhjavett temperatuuriga 6 0 C, b) talvist välisõhku temperatuuriga 0 0 C? Ruumisisese soojusvaheti temperatuur on 40 0 C. (9,; 6,3) 5