Økonomisk Kandidateksamen Teoretisk Statistik Eksamenstermin: Sommer 2004, dato: 3. juni 4 timers prøve med alle hjælpemidler, besvarelse på Dansk Opgave En simpel tilfældig stikprøve på 500 udtrukket blandt 3.8 mio. voksne havde til hensigt at belyse holdningen til brug af gensplejset soja i fødevareproduktionen. Ét af spørgsmålene drejede sig om en eventuel tilladelse til brug af dette produkt automatisk vil føre til, at man i fremtiden kommer til at se flere områder, hvor gensplejsede ingredienser indgår. Spørgsmålet kunne besvares med ja, nej eller ved ikke. Tabellen herunder gengiver svarene fra de 500 adspurgte, opdelt på køn. Køn Holdning Mænd Kvinder Ialt JA 480 24 72 NEJ 89 380 569 VED IKKE 62 48 20. Angiv et skøn, både som punktestimat og som intervalestimat over antallet af voksne danskere blandt 3.8 mio. voksne, der mener, at en eventuel tilladelsen af dette produkt automatisk vil føre til, at man i fremtiden kommer til at se flere områder, hvor gensplejsede ingredienser indgår dvs. svarer JA til det stillede spørgsmål. 2. Undersøg om der er sammenhæng mellem holdning og køn og forklar, i givet fald, hvad sammenhængen går ud på. Procentdelen af kvindelige JA sigere blandt JA -sigere i det hele taget, lå ved en tidligere undersøgelse på 50%. 3. Angiv et intervalestimat for andelen af kvindelige JA sigere, baseret på stikprøvens 72 JA -sigere. 4. Har andelen af kvindelige JA sigere blandt JA -sigerne ændret sig signifikant fra den tidligere undersøgelses 50%? 5. Hvis man i stedet for en stikprøvestørrelse på 500 personer havde valgt 2500 personer, hvad ville det forventede antal kvindelige VED IKKE svar så være, hvis procentfordelingen på de seks kategorier er som i tabellen? Til løsningen af opgave nr. kan SAS- udskrifterne: BILAG til opgave evt. være til nytte
2 Opgave 2 I en produktionsvirksomhed omlægges produktionen på et bestemt tidspunkt med indførelsen af nye maskiner. Ledelsen er interesseret i at se, om omlægningen har medført de ønskede besparelser, som var ét af formålene med omlægningen og har derfor noteret løbede ugentlige omkostninger (LUO) og produktionsniveauet (PN) i en periode før og efter omlægningen. Data fra de to observationsperioder er registreret i en tabel, der er gengivet i BILAG til opgave 2. For begge registreringsperioder er LUO og PN angivet. For den sidste periode er desuden angivet variablen DRIFT, som bl.a. er et mål for driftsstabiliteten efter omlægning. Indekset antager positive og negative værdier, positive værdier opstår typisk i situationer hvor der skal benyttes ekstra ressourcer til at holder produktionen gående, dvs. øger de samlede produktionsomkostninger. I første omgang antages det, at de løbende ugentlige omkostninger LUO kan beskrives ved en simpel lineær regression af LUO på produktionsniveauet PN én for hver periode.. Formuler de to simple regressionsmodeller og benyt oplysningerne i BILAG til opgave 2 til at angive estimaterne af modellernes parametre. 2. Benyt modellerne til at afgøre om de marginale produktionsomkostninger har ændret sig fra periode til periode2. Hvis det antages, at de er ens, hvilken fælles værdi er der så tale om? 3. Sammenlign omkostningsniveauerne i de to perioder ved at undersøge, om de forventede omkostninger ved et fælles fastsat produktionsniveau er ens. Det kan noteres, at modeltilpasningen er ringere i periode2 sammenlignet med periode og der ønskes derfor en revision af den statistiske model for periode2. For periode2 har der været behov for øgede ressourcer mht. overvågning og reparation af materiellet efter omlægningen, og indekset DRIFT er benyttet til at måle disse dele af omkostningerne, som er specifikke for periode 2. LUO ønskes dernæst sat i relation til både PN og DRIFT for periode 2. 4. Formuler en flerdimensional regressionsmodel til beskrivelse af variationen af LUO med PN og DRIFT som uafhængige variable. 5. Undersøg om modellen giver en tilfredsstillende beskrivelse af data. Er der observationer, som i særlig grad påvirker estimationen af modellen? 6. Hvorledes begrundes ud fra oplysningerne i Bilag til opgave2, at den flerdimensionale model for periode2 giver en bedre tilpasning til data end den simple regressionsmodel ovenfor? 7. Bidrager PN og DRIFT, set under ét, signifikant til forklaring af variationen i LUO? Besvar samme spørgsmål, når de to forklarende variable vurderes hver for sig. 8. Hvad er de forventede omkostninger ved et produktionsniveau PN= 62 og med driftsbetingelser DRIFT= 6 (angiv estimat og usikkerheden på estimatet)? Er der tale om extra- eller interpolation? Til løsning af opgave nr. 2 kan SAS- udskrifterne: BILAG til opgave 2 evt. være til nytte.
BILAG til opgave. Det anvendte SAS program til opgave : 3 data t; do holdning='ja ','ved ikke','nej '; do kqn='mænd ', 'kvinder'; input wt @@;output; end;end; cards; 480 24 62 48 89 380 ; proc freq;weight wt;tables holdningkqn/cellchi2 chisq expected ; Output fra dette program: The FREQ Procedure Table of holdning by kqn holdning kqn Frequency Expected Cell Chi-Square Percent Row Pct Col Pct kvinder mænd Total ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ ja 24 480 72 32.57 399.43 20.85 6.25 6.07 32.00 48.07 33.43 66.57 36.02 57.76 ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ nej 380 89 569 253.77 35.23 62.784 50.545 25.33 2.60 37.93 66.78 33.22 56.80 22.74 ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ ved ikke 48 62 93.66 6.34 20 22.26 7.92 3.20 0.80 4.00 22.86 77.4 7.7 9.49 ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒˆ Total 669 44.60 83 55.40 500 00.00 Statistics for Table of holdning by kqn Statistic DF Value Prob ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square 2 2 89.944 93.9425 <.000 <.000 Mantel-Haenszel Chi-Square 6.505 0.007 Phi Coefficient Contingency Coefficient 0.3559 0.3353 Cramer's V 0.3559 Sample Size = 500
BILAG til opgave 2: Det anvendte SAS program og data til opgave 2: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Notation: PN= produktionsniveau, LUO = løbende ugentlige omkostninger, DRIFT= indeks til måling af driftsstabilitet Obsnr= løbende ugenummer Lomean / upmean = nedre / øvre konfidensgrænser for E(YX) Lopred / uppred = nedre / øvre prædiktionsgrænser for (YX) almres = direkte residualer: Y/observeret Y/beregnet ; stdres= standardiserede residualer cook = cook afstand; mahala= Mahalanobisafstand ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- data sim; input luo pn periode drift; cards; 53.66 34. 68.50 34. 5.32 32. 67.58 35. 67. 30. 84.06 43. 76.23 44. 7.20 36. 68.73 38. 70.55 4. 60.74 32. 67.87 32. 80.2 44. 64.63 33. 69.24 4. 65.9 38. 54.98 30. 7. 38. 63.8 34. 62.29 34. 58.53 3. 63.45 34. 74.34 36. 68.52 35. 65.67 38. 66.95 54 2-7 84.76 54 2 5 64.46 52 2-83.50 55 2 6 83.73 50 2 9 02.00 63 2 8 92.43 64 2 5 87.68 56 2 5 84.39 58 2 4 86.0 6 2 5 75.77 52 2 2 84.33 52 2 0 97. 64 2 2 80.28 53 2 4 84.53 6 2 0 80.5 58 2-5 69.8 50 2 7 87.25 58 2 3 79.3 54 2 77.3 54 2 5. 62 2 6 ; 4
title"out=opg2.a"; proc print data=sim; data sim; set sim; if periode=; data sim2; set sim; if periode=2; title "OUT=opg2.B"; proc reg data=sim; model luo=pn; title "OUT=opg2.C"; proc reg data=sim2; model luo=pn; 5 symbol v=dot h= c=black; symbol2 v=circle h= c=black; ods rtf file="c:\ku-2003\ex04\ud_indlplot.rtf"; title "Relation mellem LUO og PN for to periode OUT=opg2.D"; proc gplot data=sim; plot luopn=periode/frame grid vaxis=0 to 20 by 0 haxis=0 to 70 by 0 ; ods rtf close; title "Obs med bare én missing på en variabel er udeladt! OUT=opg2.E"; data sim_uden_mis;set sim; if luo ne.; proc means data= sim_uden_mis mean std; class periode; var luo pn; title "analyse MED interaktionsled OUT=opg2.F "; proc glm data = sim; class periode; model luo=pn periode pnperiode/solution; lsmeans periode/tdiff pdiff; title"analyse UDEN interaktionsled OUT=opg2.G"; proc glm data = sim; class periode; model luo=pn periode /solution; lsmeans periode/tdiff pdiff; quit; title "Flerdim regression i periode 2 OUT=opg2.H"; data t; set sim2 end=last; obsnr=_n_; if last then antobs=_n_; proc reg data=t outest=betud lineprinter; model LUO= PN DRIFT; var obsnr; output out=datud student=stdres cookd=cook r=almres u95m=upmean l95m=lomean u95=uppred l95=lopred p=pred stdp=stdev h=vii ; paint student.>2 or student.<-2/symbol='#'; plot p.luo student.(pn drift) student.obsnr /hplots=2 vplots=2 symbol=''; proc rank data=datud out=b ties=high normal=blom; var stdres; ranks score; ods rtf file="c:\ku-2003\ex04\ud_to..rtf"; proc univariate data=datud noprint; probplot stdres/normal; ods rtf close; data fif; set datud(keep=antobs ); if antobs=_n_; data prov; set fif datud; retain numobs; if _n_= then numobs=antobs;
data c; set prov; if obsnr > 0 ; mahala=(numobs-)(vii-/numobs); keep mahala; data summary; merge datud c; proc print data=summary round ; var luo pn drift pred stdev lomean upmean lopred uppred almres stdres cook mahala ; title "Relation mellem PN og DRIFT OUT=opg2.I"; proc gplot data=sim2; plot driftpn/frame grid; quit; 6 OUTPUT til opgave 2 OUT=opg2.A OUT=opg2.B The REG Procedure Model: MODEL Dependent Variable: luo Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 807.94276 807.94276 3.56 <.000 Error 23 588.7254 25.59675 Corrected Total 24 396.66790 Root MSE Dependent Mean 5.05932 66.77720 R-Square Adj R-Sq 0.5785 0.5602 Coeff Var 7.57642 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > t Intercept 6.932 8.92958.90 0.0706 pn.38922 0.24727 5.62 <.000
OUT=opg2.C 7 The REG Procedure Model: MODEL Dependent Variable: luo Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 884.02540 884.02540 2.86 0.0002 Error Corrected Total 8 9 727.9482 6.97352 40.4456 Root MSE Dependent Mean 6.35937 82.55200 R-Square Adj R-Sq 0.5484 0.5233 Coeff Var 7.70347 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > t Intercept -2.58253 8.26449-0.4 0.889 pn.5620 0.32429 4.68 0.0002
Obs med bare én missing på en variabel er udeladt! OUT=opg2.E 8 The MEANS Procedure N periode Obs Variable Mean Std Dev --------------------------------------------------------------- 25 luo 66.7772000 7.628537 pn 35.8800000 4.76527 2 20 luo 82.5520000 9.20908 pn 56.500000 4.4988303 --------------------------------------------------------------- analyse MED interaktionsled OUT=opg2.F Class Level Information Class Levels Values periode 2 2 Number of observations 46 NOTE: Due to missing values, only 45 observations can be used in this analysis. Dependent Variable: luo analyse MED interaktionsled OUT=opg2.F Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Model 3 4456.904993 485.634998 46.26 Error 4 36.673265 32.3982 Corrected Total 44 5773.578258 Source Pr > F Model <.000 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE luo Mean 0.77948 7.679979 5.666920 73.78822 Source DF Type I SS Mean Square F Value pn periode 445.434290 308.238809 445.434290 308.238809 29.09 9.60 pnperiode 3.23894 3.23894 0.0
Source Pr > F 9 pn <.000 periode pnperiode 0.0035 0.7527 Source DF Type III SS Mean Square F Value pn periode 69.965460 33.5576 69.965460 33.5576 52.69.04 pnperiode 3.23894 3.23894 0.0 Source Pr > F pn <.000 periode pnperiode 0.330 0.7527 Dependent Variable: luo analyse MED interaktionsled OUT=opg2.F Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept -2.58252633 B 6.27573779-0.6 0.8747 pn.56985 B 0.2889892 5.25 <.000 periode periode 2 9.5463793 B 0.00000000 B 9.0337722..02. 0.330. pnperiode -0.269864 B 0.4002759-0.32 0.7527 pnperiode 2 0.00000000 B... NOTE: The X'X matrix has been found to be singular, and a generalized inverse was used to solve the normal equations. Terms whose estimates are followed by the letter 'B' are not uniquely estimable. analyse MED interaktionsled OUT=opg2.F Least Squares Means H0:LSMean=LSMean2 periode luo LSMEAN t Value Pr > t 79.2924972 3. 0.0034 2 65.477924
Analyse UDEN interaktionsled OUT=opg2.G 0 Class Level Information Class Levels Values periode 2 2 Number of observations 46 NOTE: Due to missing values, only 45 observations can be used in this analysis. Dependent Variable: luo Analyse UDEN interaktionsled OUT=opg2.G Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Model 2 4453.673099 2226.836549 70.86 Error 42 39.90559 3.42633 Corrected Total 44 5773.578258 Source Pr > F Model <.000 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE luo Mean 0.77389 7.597307 5.60598 73.78822 Source DF Type I SS Mean Square F Value pn 445.434290 445.434290 3.9 periode 308.238809 308.238809 9.8 Source Pr > F pn <.000 periode 0.0032 Source DF Type III SS Mean Square F Value pn 688.736265 688.736265 53.74 periode 308.238809 308.238809 9.8
Source Pr > F pn <.000 periode 0.0032 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept pn.3379392 B.4500257.772767 0.978054 0.0 7.33 0.997 <.000 periode 3.6695489 B 4.3479355 3.3 0.0032 periode 2 0.00000000 B... Dependent Variable: luo Analyse UDEN interaktionsled OUT=opg2.G NOTE: The X'X matrix has been found to be singular, and a generalized inverse was used to solve the normal equations. Terms whose estimates are followed by the letter 'B' are not uniquely estimable. Analyse UDEN interaktionsled OUT=opg2.G Least Squares Means H0:LSMean=LSMean2 periode luo LSMEAN t Value Pr > t 79.8402022 3.3 0.0032 2 66.2232473
Flerdim regression i periode 2 OUT=opg2.H 2 The REG Procedure Model: MODEL Dependent Variable: luo Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 370.95664 685.47832 48.35 <.000 Error Corrected Total 7 9 24.0688 6.97352 4.7746 Root MSE Dependent Mean 3.76530 82.55200 R-Square Adj R-Sq 0.8505 0.8329 Coeff Var 4.562 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > t Intercept pn -4.47744.50052 0.8899 0.9203-0.4 7.8 0.6842 <.000 drift 0.95698 0.6329 5.86 <.000 Flerdim regression i periode 2 OUT=opg2.H The REG Procedure Model: MODEL -+----+----+----+----+----+-- 00 + + ----+------+------+------+---- 2 + + + + 90 + + S P T 0 + + R E 80 + U + D D # E N - + + T 70 + + -2 + # + 60 + + -3 + + -+----+----+----+----+----+-- ----+------+------+------+---- 60 70 80 90 00 0 50 55 60 65 luo pn
--+----+----+----+----+----+-- --+-----+-----+-----+-----+--- 2 + + 2 + + + + + + S S T 0 + U + T 0 + U + D D E N - + E + N - + + T T -2 + + -2 + + # # -3 + + -3 + + --+----+----+----+----+----+-- -5-0 -5 0 5 0 --+-----+-----+-----+-----+--- 0 5 0 5 20 3 drift obsnr
Flerdim regression i periode 2 OUT=opg2.H 4 Obs luo pn drift pred stdev lomean upmean 66.95 54-7 69.85.86 65.92 73.78 2 84.76 54 5 8.34.00 79.22 83.45 3 4 64.46 83.50 52 55-6 63.02 83.79 2.54.0 57.67 8.67 68.38 85.92 5 83.73 50 9 79.6.77 75.43 82.89 6 7 02.00 92.43 63 64 8 5 97.7 96.34.76.76 94.00 92.64 0.43 00.05 8 87.68 56 5 84.34 0.9 82.42 86.26 9 0 84.39 86.0 58 6 4 5 86.38 9.84 0.93.30 84.42 89.0 88.34 94.58 75.77 52 2 75.46.7 73.00 77.93 2 84.33 52 0 83.2.65 79.64 86.60 3 4 97. 80.28 64 53 2 4 93.47 78.88.73.05 89.8 76.66 97.3 8.0 5 84.53 6 0 87.05.35 84.2 89.89 6 7 80.5 69.8 58 50-5 7 77.77 77.25.58.60 74.42 73.86 8. 80.63 8 87.25 58 3 85.42 0.9 83.50 87.35 9 20 79.3 77.3 54 54 5 77.5 8.34 0.99.00 75.43 79.22 79.59 83.45 2. 62 6 94.30.49 9.6 97.43 Obs lopred uppred almres stdres cook mahala 60.99 78.72-2.90-0.89 0.09 3.95 2 3 73.2 53.44 89.56 72.60 3.42.44 0.94 0.52 0.02 0.07 0.46 8.4 4 75.57 92.02-0.29-0.08 0.00 0.48 5 6 70.38 88.94 87.94 06.48 4.57 4.29.37.29 0.8 0.6 3.46 3.42 7 87.58 05. -3.9 -.7 0.3 3.40 8 9 76.6 78.20 92.5 94.56 3.34 -.99 0.92-0.55 0.02 0.0 0.22 0.27 0 83.44 00.24-5.74 -.62 0.2.42 67.5 83.78 0.3 0.09 0.00 0.97 2 3 74.45 84.72 9.79 02.22.2 3.64 0.36.09 0.0 0. 2.88 3.29 4 70.63 87.3.40 0.39 0.00 0.6 5 6 78.62 69.5 95.49 86.39-2.52 2.38-0.72 0.70 0.03 0.03.60 2.59 7 68.6 85.88-8.07-2.37 0.4 2.68 8 9 77.25 69.30 93.60 85.72.83.62 0.50 0.45 0.0 0.00 0.23 0.42 20 73.2 89.56-4.03 -. 0.03 0.46 2 85.76 02.84... 2.7
5