Eksamensnoter i Meteorologi

Eksamensnoter i Meteorologi Tim Jensen 27. oktober 2009 Indhold 1 Atmosfærisk termodynamik (kap 3) 3 1.1 Tilstandsligningen....................................... 3 1.1.1 Virtuel temperatur................................... 3 1.2 Termodynamikkens første hovedsætning........................... 3 1.3 Varmekapaciteter........................................ 4 1.4 Adiabatiske processer..................................... 5 1.5 Potentiel temperatur...................................... 5 1.6 Partikelmetoden........................................ 6 1.7 Föhnprincippet......................................... 7 2 Vertikal statisk stabilitet (kap 3) 8 2.1 Dention af stabilitet...................................... 8 2.2 Brunt-Väisälä-frekvensen................................... 9 2.3 Konvektiv / Potentiel instabilitet............................... 10 3 Vejret på mellembreddegrader (kap 8+9) 11 4 Hydrostatisk balance (kap 1+3) 11 4.1 Geopotentialet......................................... 12 4.2 Den hypsometriske ligning................................... 12 4.3 Trykkets udvikling med højden................................ 13 4.4 Trykreduktioner........................................ 13 4.5 Isobar og højdekortsanalyse.................................. 13 5 Strålingsprocesser i atmosfæren og det globale energibudget (kap 4) 15 5.1 Strålingsspektret........................................ 15 5.2 Processer i atmosfæren..................................... 15 5.2.1 Kortbølget stråling................................... 15 5.2.2 Langbølget stråling................................... 15 5.2.3 Spredning........................................ 16 5.3 Intensitet / Radians...................................... 17 5.4 Flux densitet / Irradians.................................... 17 5.5 Det sorte legeme........................................ 17 5.5.1 Wien's forskydningslov................................. 18 5.5.2 Stefan-Boltzmann's lov................................ 18 5.6 Jordens sortlegeme temperatur................................ 19 5.7 Drivhuseekten......................................... 19 1

6 Aerosoler, skydannelse og nedbørsudløsning (kap 5+6) 20 6.1 Aerosoler............................................ 20 6.2 Kondensation.......................................... 21 6.3 Varme skyer........................................... 22 6.3.1 Vækst ved kondensation................................ 22 6.3.2 Vækst ved kollision................................... 23 6.4 Kolde skyer........................................... 24 6.4.1 Vækst af iskrystaller.................................. 25 6.4.2 Vækst ved riming.................................... 25 6.4.3 Vækst ved sammenlægning.............................. 25 2

1 Atmosfærisk termodynamik (kap 3) 1.1 Tilstandsligningen Idealgasligningen kan skrives Idet ρ = m V og det spcikke volumen α = 1 ρ. For tør luft og vanddamp er denne givet ved 1.1.1 Virtuel temperatur pv = mrt p = ρrt pα = RT p d = ρ d R d T e = ρ v R v T Virtuel temperatur T v benyttes til at forsimple tilstandsligningen for fugtig luft (en blanding af tør luft og vanddamp), hvilket er praktisk, da dennes gaskonsant R varierer afhængig af hvor meget vanddamp der er i luften. Betragtes massefylden for fugtig luft ρ = m d + m v V Anvender vi nu til to tilstandsligninger får vi at ρ = = ρ d + ρ v p d R d T + e R v T Idet at det samlede tryk vil udgøres af partialtrykket p = p d + e, bliver udtrykket ρ = p e R d T + e R v T = p [ 1 e ( 1 R )] d = p R d T p R v R d T v Hvor T v = ( T ). 1 e p 1 R d Rv 1.2 Termodynamikkens første hovedsætning Betragter vi et lukket system, vil ændringen i systemets indre energi, være givet tilførslen af energi ved enten varme eller ved et arbejde du = dq dw Arbejdet er deneret til at være positivt når systemet udfører arbejde på omgivelserne. Et udtryk for arbejdet kan konstrueres ved at betragte et stempel som på guren. 3

Figur 1: Illustration af arbejde på et system Arbejdet som systemet udfører på omgivelserne er givet ved dw = F dx = padx = pdv W = ˆV 2 V 1 pdv Ved at benytte det specikke volumen, får vi desuden et nyt udtryk for termodynamikkens første hovedsætning dq = du + pdα 1.3 Varmekapaciteter Den specikke varmekapaciteten er deneret som c = dq dt Holder vi volumet konstant, vil der ikke ske noget arbejde og varmekapaciteten kan skrives som ( ) du c v = du = c v dt dt Igen kan vi skabe et nyt udtryk for termodynamikkens første hovedsætning v dq = c v dt + pdα = c v dt + d (pα) αdp Anvender vi idealgasligningen d (pα) = RdT bliver ligningen dq = (c v + R) dt αdp Antager vi nu at trykket er konstant gælder der at ( ) dq c p = dt p αdp = 0 4

Hvorfra vi får at c p = c v + R Sammensættes de to sidste ligninger får vi at 1.4 Adiabatiske processer dq = c p dt αdp En adiabtisk proces er en proces hvor der ikke sker varmeudveksling med omgivelserne! 1.5 Potentiel temperatur Potentiel temperatur θ er den temepratur som en luftmasse ville have hvis der bevæges adiabatisk til et reference niveau p 0 (typisk 1000 hpa). dq = c p dt αdp = 0 Anvendes tilstandsligningen pα = RT, bliver udtrykket c p dt RT = dp p Hvis der integreres fra referencen til det aktuelle punkt bliver T c p R θ dt T = ṕ dp p p 0 c p R ln T θ = ln p p 0 ( ) R θ = T p0 cp p 5

1.6 Partikelmetoden Tegner vi tøradiabaten, vil den se ud som på guren herunder. Når luften løftes vil den på et tidspunkt nå en kondensationsniveau, hvor den tørre luft begynder at kondensere er derved bliver til fugtig luft. Figur 2: Løftekurve (partikelmetoden) Dette kondensationsniveau (LCL), vil på kurven være illustreret ved skæringen mellem den tøradiabatiske kurve og en kurve w s, der er deneret som den andel af vanddamp der skal være til stede i tør luft, for at luften er mættet (mættet luft er en ligevægt hvor den luft som fortættes tilsvarer den luft som fordamper). w s m vs m d = ρ ds ρ d = e s R vt p e s R d T = R d e s R d e s R v p e s R v p For at nde denne tilhørende kurve w s, må man kende dugpunktet. Hvilket nås når det egentlige blandingsforhold w = m v = w s = R d e s m d R v p Tilsvarer blandingsforholdet for mættet luft (kan løses ved at indsætte tilstandsligningen). Fra LCL vil løftekurven følge en fugtadiabat, hvilken i starten vil være stejlere end den tøradiabatiske kurve, men vil efterhånden blive parallel med den tøradiabatiske kurve. Dette følger af at faseovergangen fra luft til væske kræver latent varme (en energi der bliver brugt til at omdanne molekylestrukturen og ikke bliver omsat til kinetisk energi). De kondenserede partikler vil ikke indeholde meget varme og efterhånden som mere kondensere, vil adiabaten mere og mere ligne en tøradiabat. 6

Så længe vanddampen bliver i luftmassen sker der ingen varmeudveksling med omgivelserne, derfor vil processen stadig være adiabatisk og dermed reversibel, men i det øjeblik udfældning forekommer vil processen ikke længere være reversibel og luftmassen må følge andre adiabatiske kurver i sin vej mod jordoveraden igen. 1.7 Föhnprincippet Figur 3: Föhnprincippet 7

2 Vertikal statisk stabilitet (kap 3) Betragter vi et højdesnit af atmosfæren, vil denne være karakteriseret af skiftende positive og negative lapse rates 2.1 Dention af stabilitet Figur 4: Lapse rates gennem atmosfæren En luftsøjles stabilitet afgøres ud fra søjlens aktuelle lapse rate Γ. Løftes en tør luftmasse adiabatisk (dq = 0) med lapserate Γ d, vil den aktuelle lapserate Γ afgøre luftens stabilitet. Figur 5: a) Γ d > Γ, b) Γ d < Γ Den genoprettende kraft må være F = (ρ ρ ) g 8

2.2 Brunt-Väisälä-frekvensen Da vi ønsker at betragte luftmassen bevægelsen anvender vi at d 2 z dt 2 = F ρ = (ρ ( ρ ) g 1 T ρ = g 1 ) ( T T ) T = g = g T T (T T ) Indfører vi her lapserates, bliver Anvender vi Brunt-Väisälä-frekvensen 1 T d 2 z dt 2 = g T (T 0 Γ d z (T 0 Γz )) = g T (Γ d Γ) z N = [ g T (Γ d Γ)] 1 2 Bliver udtrykket Hvilket har den generelle løsning d 2 z dt 2 = N 2 z z (t) = A sin (Nt) + B cos (Nt) Anvender vi grænsebetingelsen Bliver løsningen dz (t) dt z=0 = 0 z (t) = z (0) cos (Nt) Figur 6: Illustration af Brunt-Väisälä-frekvensen 9

2.3 Konvektiv / Potentiel instabilitet En luftsøjle karakteriseret af betinget stabilitet Γ s < Γ < Γ d (s står for saturated = mættet) Figur 7: Betinget stabilitet Løftes den tørre luft fra O til A, langs en tøradiabat, vil et kondensationsniveau nås. Herefter vil løftekurven følge en fugtadiabat. Så længe luften ikke løftes til level of free convection, vil luften falde tilbage til sit oprindelsessted. Løftes luften yderligere, vil den blive varmere end den omgivende luft og dermed ikke skulle bruge mere energi for at løfte sig yderligere. Forestiller vi os et inversionslag, som på guren herunder, vil dugpunktet falde drastisk i inversionslaget. Det betyder, at hvis partikler i punktet A bevæges opad, vil de hurtigt nå et dugpunkt og følge en fugtadiabat. Partikler i punktet B som bevæges opad vil være længe om at nå et dugpunkt og dermed følge en tøradiabat. 10

Figur 8: Konvektiv instabilitet Løftes inversionslaget, vil toppen af laget altså blive afkølet hurtigere end bunden (Γ s < Γ d ), hvilket vil påvirke stratikationen i inversionlaget og skabe konvektiv instabilitet. 3 Vejret på mellembreddegrader (kap 8+9) 4 Hydrostatisk balance (kap 1+3) En søjle af luft siges at være i hydrostatisk balance, hvis der ikke er nogen vertikal bevægelse. Denne balance opnås ved at den opadgående trykkraft balancerer en nedadrettet tyngdekraften på et luftlag. Figur 9: Hydrostatisk balance For at der skal være balance gennem hele søjlen, må en ændring i tyngdekraften (ved højden) tilsvare 11

en ændring i trykket, hvoraf vi får at δp = gρδz Integreres dette fra en given højde til toppen af atmosfæren, får vi at ˆ p( ) p(z) Idet trykket i toppen af atmosfæren er 0. 4.1 Geopotentialet ˆ ˆ dp = gρdz p (z) = gρdz z Geopotentialet Φ er deneret som den mængde energi det kræver at løfte 1 kg masse, en højde dz, i tyngdefeltet dφ gdz Φ (z) = Da Φ repræsenterer et arbejde kan vi dividere med en kraft F = g 0 (massen er 1 kg) og dermed få en geopotential højde Z Z = Φ (z) = 1 ˆz gdz g 0 g 0 0 4.2 Den hypsometriske ligning Anvender vi udtrykket for hydrostatisk balance, samt idealgasligningen ˆz 0 z gdz Kan vi skabe udtrykket p z = gρ p z = g p RT p = ρrt gdz = RT p dp Hvilket kan anvendes på udtrykket for geopotentialet dφ = gdz = RT p dp Integreres dette fås geopotentialet mellem to trykader ˆΦ 2 Φ 1 dφ = ˆp 2 p 1 ˆp 2 RT p dp Φ T 2 Φ 1 = R p dp Divideres igen med en midlet tyngdeacceleration g 0 og anvendes en midlet temperatur, fås højdeforskellen imellem de to trykader Z 2 Z 1 = RT g 0 ˆp 1 p 2 1 RT dp = ln p g 0 ( p1 p 2 p 1 ) 12

Figur 10: Højden mellem to trykader 4.3 Trykkets udvikling med højden Anvender vi den hypsometriske ligning, samt skala højden H = RT g 0, kan vi se at trykket aftager eksponentielt med højden 4.4 Trykreduktioner Z 2 Z 1 = H ln ( p1 p 2 ) p 2 = p 1 e ( Z 2 Z 1 H ) Da målestationer ofte er placeret i forskellige højder er man blevet enige om at sammenligne tryk ved havniveau. Til at bestemme trykket ved havniveau kan den hypsometriske ligning anvendes, antaget at man kender højden Z g over havniveau Z g = RT g 0 ln ( p0 4.5 Isobar og højdekortsanalyse p g ) p 0 = p g e ( Zg g0 ) Der kan foretages både højdekort og isobar analyse for at lokalisere høj og lavtryk RT 13

Figur 11: Højdekortsanalyse I begge tilfælde vil højtryk kunne ndes ved lokale maksima og lavtryk ved lokale minima, som det fremgår af den nederste tegning. 14

5 Strålingsprocesser i atmosfæren og det globale energibudget (kap 4) 5.1 Strålingsspektret 5.2 Processer i atmosfæren 5.2.1 Kortbølget stråling Figur 12: Strålingsspektret Absorbtionsspektret for ultraviolet stråling med en bølgelængde 0, 31µm er kontinuert, fordi at denne stråling er så rig på energi at den kan indgå i fotokemiske processer. Fotoionisering Den helt kortbølgede stråling 0, 1µm besidder nok energi til at å elektroner helt væk fra atomer, hvilket giver anledning til frie elektroner i den øverste atmosfære Fotodissociation Bølgelænger op til 0, 24µm besidder nok energi til at splitte ilt-molekyler til to oxygen-atomer, hvilket medvirker til dannelsen af ozon (O 3 ). Ozon medvirker til dissociation helt op til 0, 31µm. Overskudsenergi vil gå til kinetisk energi af de nu frie partikler. 5.2.2 Langbølget stråling Langbølget stråling er ikke energirig nok til at splitte molekyler og atomer fra hinanden, men strålingen kan stadig absorberes ved at eksitere elektroner i atomet. Eksitering af elektroner kræver ganske bestemte energiniveauer og derfor er absorbtionsspektret ikke kontinuert, men vil besidde såkaldte absorbtionslinjer, sepereret af længere huller i absorptionsspektret hvor strålingen ikke absorberes. 15

Figur 13: Eksitering af elektron På samme måde kan en elektron eksitere til et lavere energiniveau og udsende stråling bestemt ved energien E = h f = h c λ 5.2.3 Spredning Vi kender til 3 typer af spredning, som afhænger af strålingens bølgelængde, samt partiklens størrelse. Figur 14: Spredning 16

5.3 Intensitet / Radians Intensiteten er stråling pr areal pr tidsenhed. Den monochromatiske strålingsintensitet omhandler kun en enkelt bølgelængde, intensiteten omhandler normalt et udsnit af spektret 5.4 Flux densitet / Irradians I = ˆλ 2 λ 1 I λ dλ Irradians er et mål for energitransport gennem et overade areal. Faktisk tager vi bare intensiteten og summerer den over en kugleade (tilsvarer også uxen gennem cirklen i aden som er afgrænset af kuglen, da disse har samme grænse). Figur 15: Irradians 5.5 Det sorte legeme Et sort legeme er et legeme som absorberer alt indkommen stråling. Intensiteten af den stråling som et sort legeme udsender er givet ved Planck's funktion c 1 λ 5 B λ (T ) = ( ) π e c 2 λt 1 Og afhænger altså af legemets temperatur. Strålingsintensiteten antages at være isotrop. 17

5.5.1 Wien's forskydningslov Figur 16: Planck's funktion Ved at dierentiere og sætte den aedte lig nul er det muligt at bestemme toppunktet på kurven og altså den bølgelængde med mest intensitet λ m = 2897 T Ved at måle strålingsspektret fra et sort legeme, vil det altså være muligt at bestemme legemets temperatur. 5.5.2 Stefan-Boltzmann's lov Ved at summere / integrere over alle bølgelængder kan irradiansen af et sort legeme bestemmes F = σt 4 Her kan vi altså også fortælle noget om et legemes temperatur ved at måle på strålingen fra et legeme. 18

5.6 Jordens sortlegeme temperatur 5.7 Drivhuseekten Figur 17: Strålingsbalance med Solen Absorbtionen i atmosfæren er stærkere ved langbølget stråling (fra Jorden) end ved kortbølget stråling (fra Solen). Det betyder at den kortbølgede stråling som kommer relativt ubesværet til Jordens over- ade har svært ved at komme ud gennem atmosfæren igen. En strålingsbalancemodel for Jorden kan analyseres, ved at betragte adskillelige atmosfæriske lag, som er uigennemtrængelige for langbølget stråling, men ikke absorberer kortbølget stråling. 19

Figur 18: Energibalance model Atmosfæren vil altså opvarme Jorden ved at absorbere langbølget stråling. Uden atmosfæren beregnede vi en temperatur på T E = 255K, med 3 uigennemtrænlige atmosfærelag, bliver temperaturen 4 (1 A) F S = σ TE 4 T E = 360K 4 Hvilket nok lige er i overkanten (T E 87 C ). 6 Aerosoler, skydannelse og nedbørsudløsning (kap 5+6) 6.1 Aerosoler Aerosoler er en opløsning af faste eller ydende stoer i en gasart (luftbårne partikler). Ofte skelnes der mellem Biologiske kilder Partikler fra planter/dyr Kilder i den faste jord Menneskeskabte kilder brændstoer Partikler bliver luftbårne ved vind og atmosfærisk turbulens (vulkaner) Partikler fra veje, dyrkede arealer, afbrænding af biomasse og fossile Atmosfæriske kilder Gasser kan kondensere og lægge sig på eksisterende partikler 20

Figur 19: Transport af aerosoler i atmosfæren 6.2 Kondensation Skyer dannes når luft bliver overmættet, hvor overmætningen i procent er givet ved ( ) e 1 100% e s Hvor e er trykket udgjort af vand i luften og e s er trykket udgjort af den mættede luft. Typisk bliver luft overmættet, når en luftmasse stiger til vejrs og afkøles tilstrækkeligt. For at vandpartiklerne ikke blot skal fordampe igen, må de dannede partikler have en hvis størrelse. Den mindste radius som de dannede partikler kan have for at kunne blive er givet ved 2σ r = ( nkt ln Hvor σ er det arbejde det kræver at forme partiklen. ) e e s 21

Figur 20: Partiklens radius Da den relative fugtighed kun øges med få procent under luftens opstigning er det stort set umuligt at danne partikler der er store nok til at forblive, ud fra ren luft. Derfor dannes vanddråberne som regel på luftbårne partikler (aerosoler). Vandet fordeler sig over overaden på aerosolen og opnår derfor en større radius. 6.3 Varme skyer Varme skyer er deneret ved at de bender sig fuldstændigt under en atmosfærisk isotherm ved 0 C og derfor kun består af vandpartikler (der er ingen iskrystaller). Vandpartiklerne i skyen kan vokse ved kondesation og ved kollision med andre vandpartikler. 6.3.1 Vækst ved kondensation Vi betragter en isoleret vandpartikel med radius r til tiden t, som bender sig i overmættede omgivelser. Antaget at partiklen er i ligevægt med sine umiddelbare omgivelser, må en vækst være betinget af en tilførelse af vand et stykke væk fra partiklen. 22

Figur 21: Vækst ved kondensation Ved at integrere vores udtryk kan vi skabe følgende dm dt ˆ r 1 dx = 4πD x2 ˆ ρ v ( ) ρ v (r) dρ v dm dt = 4πDr (ρ v ( ) ρ v (r)) Ved at udnytte at M = 4 3 πr3 ρ l dm = 4πr 2 ρ l dr hvor ρ l er massefylden af ydende vand, kan vi omskrive udtrykket til dr dt = D ρ l r (ρ v ( ) ρ v (r)) Udnytter vi da tilstandligningen (hvor e er trykket) ρ v (r) ρ v ( ) = e (r) e ( ) ρ v (r) = ρ v ( ) e (r) e ( ) Bliver udtrykket dr dt = D ( ρ v ( ) ρ v ( ) e (r) ) = D ρ v ( ) (e ( ) e (r)) ρ l r e ( ) ρ l r e ( ) 6.3.2 Vækst ved kollision Når dråber vokser sig store vil de opnå en større faldhastighed og dermed kolliderer med mindre partikler i faldet. Der ndes dog 2 problematikker ved disse kollisioner: Strømlinjer En mindre partikel vil følge strømlinjerne omkring den store partikel og vil muligvis ikke kolliderer med partiklen, selvom deres baner er sammenfaldende. Sammenstød uden forening Når dråber kolliderer vil de somme tider hoppe fra hinanden igen. Dette sker fordi at luft bliver fanget imellem de to dråber i sammenstødet. Hvis ikke luften når at blive presset ud under kollisionen, vil dråberne hoppe fra hinanden igen. Tager vi højde for ovenstående problematikker ved at anvende eektiviteten E, kan vi på samme måde som før opskrive et udtryk for masseforøgelsen. 23

Figur 22: Vækst ved kollision Anvender vi igen at M = 4 3 πr3 1ρ l dm = 4πr 2 1ρ l dr Samt antager vi at v 1 >> v 2, bliver udtrykket 6.4 Kolde skyer dr dt = v 1E LW C 4ρ l Kolde skyer er karakteriseret ved at strække sig over 0 C-isothermen og kan derfor både bestå af vanddråber og iskrystaller. Der ndes ere måder at danne iskrystaller på, men igen skal krystallerne have en hvis størrelse for at vedblive og igen fremmer luftbårne partikler dannelsen af iskrystaller. Figur 23: Dannelse af iskrystaller 24

6.4.1 Vækst af iskrystaller Væksten af iskrystaller kan analyseres på samme måde som kondensation i den varme sky. Denne gang er partiklen blot ikke kugle-formet, men kan have mange forskelle former. Derfor bliver udtrykket istedet dm dt = DC ε 0 (ρ v ( ) ρ v (r)) Hvor C er en størrelse der bestemmer iskrystallens ledningsevne og som udelukkende bestemmes ud fra krystallens geometriske former. ε 0 er vakuumpermitiviteten, der beskriver luftens ledningsevne. 6.4.2 Vækst ved riming Hvis iskrystaller kolliderer kolde vanddråber, kan dråberne fryse til is og iskrystallen vil vokse. Fortsætter krystallen med at vokse vil den ende med at blive til hagl. Opsamler iskrystallen vanddråber for hurtigt, vil overaden opvarmes til 0 C og ikke alt vandet vil fryse. Dette hagl vil derfor være dækket af en våd overade. 6.4.3 Vækst ved sammenlægning Som i den kolde sky kan to iskrystaller kollidere og blive til en partikel. Dette forekommer igen grundet forskellige vertikale hastigheder. 25