7 Øvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion 2.1 Indledning I begyndelsen af 1800-tallet overbeviste englænderen Young den videnskabelige verden om at lys er bølger ved at at påvise interferens i diffraktionsspredning, dvs spredning af lys fra en fjern lyskilde gennem to eller flere tætliggende spalter. I flere af øvelserne i kvantemekanik vil vi kunne bekræfte Youngs hypotese. Men i forsøget ved nabobordet er det derimod netop pointen, at lys opfører sig som partikler i den fotoelektriske effekt. Så svaret på spørgsmålet, om lys er en kontinuert bølge eller en diskret partikel (en foton) afhænger åbenbart af eksperimentet. Spørger man efter partikelegenskaberne, som i den fotoelektriske effekt, får man et lige så fornuftigt svar, som Young fik på sine spørgsmål om bølgeegenskaberne. Eksperimenterne må på en måde tvinge fotonen til at vælge side i den ene eller den anden af dens to mulige fremtoninger. Dette er i hvert fald Københavnerskolens fortolkning. Formålet med denne øvelse er at vise, at også elektronen opfører sig som en bølge, hvis man spørger om f.eks. dens bølgelængde gennem diffraktions målinger, eller omvendt spørger efter gitterkonstanten (afstanden mellem spalterne) under antagelse af en bølgeopførsel af elektronerne. Det var de Broglie som i 1926 foreslog, at elektroner kan behandles som bølger med en bølgelængde, λ, som er omvendt proportional med impulsen, dvs. λ = h p, (2.1)
8 hvor h er Plancks konstant og p = mv (ikke-relativistisk). Accelerationen i et elektrisk felt giver en ikke-relativistisk kinetisk energi på E = p 2 /2m eller pc = 2mc 2 E. (2.2) En meget brugt konstant er hc/2π = 197 MeV fm, hvor 1 fm = 10 15 m og mc 2 =0,511 MeV er elektronens hvilemasse. Øvelse: Beregn sammenhængen mellem E og p relativistisk. Vis at ved en kinetisk energi på 6 kev kan man negligere de relativistiske effekter. Det klassiske tegn på bølgefænomener er konstruktiv og destruktiv interferens, ligesom i Youngs forsøg. For et 3-DIM krystalgitter er betingelsen for konstruktiv interferens i transmission: n λ = 2d sin θ, (2.3) hvor n er ordenstallet, d er gitterafstanden og 2θ er vinklen mellem den indfaldende og den udgående stråle. Intensiteten af interferensmønstret falder kraftigt med stigende værdier af n. 2.2 Elektrondiffraktion En beregning med de Broglies ligning 2.1 viser at elektroner, der er blevet accellereret over et spændingfald på 4 kv vil have en bølgelængde på ca. 0,2 Å. Interferens og diffraktions-effekter svarende til dem, som man ser i optiske eksperimenter, vil derfor demonstrere elektronens bølgenatur. Vi har to apparaturer der afviger en smule i den elektrostatiske fokussering af elektronstrålen, og hermed i den elektriske opkobling. Nedenstående beskrivelse gælder for Phywe s apparatur. For Elwe s apparatur, læs databladet for den elektriske opkobling og eventuelle forskelle i rørets dimensioner. Ellers gælder samme geometriske argumenter for begge. Antag at kun førsteordens spredning er synlig og at de to synlige ringe skyldes to forskellige gitterkonstanter, d.
2.2. ELEKTRONDIFFRAKTION 9 Figur 2.1: Strukturen af grafit 2.2.1 Apparatet Opbygningen af røret er vist i figur 2.2. Det indeholder en elektron- kanon, som udsender en smal elektronstråle inde i en klar glaskolbe. Strålen rammer den modsatte væg af kolben, som er udformet som en fluorescerende skærm. Strålen passerer gennem et tyndt lag af grafit-pulver, der er fastgjort til et tyndt net ved udgangen af kanonen. De enkelte grafit-partikler i pulveret består af lag af kulstofatomer anbragt i en hexagonal struktur. Elektronerne spredes i to ringe svarende til de dominerende afstande mellem grafittens atomer, som er 1,23 og 2,13 Å. Så forholdet mellem afstandene er 3 (se figur 2.1). Røret forbindes som vist i figur 2.3. Kilden til elektronstrålen er en indirekte opvarmet oxidoverflade. Den opvarmes ved at forbinde stikkene H fra rørets bundplade til det venstre output på den nederste spændingsenhed. De udsendte elektroner bliver ledt gennem et elektrisk fokuseringsog accelerations-system, som styres af spændingerne G 1...4. Cylinderen med spændingen G 1 12 V danner en smal elektronstråle. Nu sættes fokuseringsgitteret G 2 og G 4 til en fælles spænding og justeres i området 0 til +400 V, så billedet står så så klart som muligt ved alle accelerationsspændinger mellem 2 og 6 kv. Anodestrømmen må ikke være væsentligt større end 1 ma. Derfor forbindes anodespændingen dvs. accelerationsspændingen G 3 gennem en beskyt-
10 Figur 2.2: Opbygningen af kanonen i elektrondiffraktionsrøret telsesmodstand på 10 MΩ til højspændingsenheden, som er det nederste spændingsudtag ( berør aldrig dette med højspænding tændt!!). Vælg indstillinger, der giver de tydeligste ringe, men lav hver øvelsesgang med anvendelse af samme indstilling af fokusseringsspænding og katodespænding og justér kun på G 3 under målingerne. Et eksempel på et elektronspredningsmønster er vist i figur 2.4. Spredningsvinklen bestemmes som vist på figur 2.5. På figuren kaldes spredningsvinklen 2 θ. 2θ = arcsin (D/2L), hvor D er diameteren i cirklen på den fluorescerende skærm og L = 127 ± 3 mm er kolbens diameter. Begge ringe måles med en plastskydelære. Det er vigtigt at man bruger samme praktiske definition af radius for hver af målingerne. Disse vil dog stadigvæk have en betydelig usikkerhed, som man skal give et realistisk skud på. Plot sin(θ) versus λ = h p, hvor impulsen p er givet ved formel 2.2 for de to ringe. Udled de to gitterafstande i grafit (formel 2.3) for hvert målt diameter, dvs hver spændings værdi. Hvor god er hypotesen, at der faktisk er tale
2.2. ELEKTRONDIFFRAKTION 11 Figur 2.3: Den elektriske opkobling af elektrondiffraktionsrøret Figur 2.4: Spredningsmønstre af elektroner på grafit
12 Figur 2.5: Illustration til beregning af spredningsvinklen om en bestemt gitterafstand, ligemeget hvad elektronernes energi er? (se 6.7.1). Find middelværdien og fejlen på hver af de to afstande (se 6.7.4) og sammenlign med tabelværdierne. Sammenlign ogsåforholdet mellem de to afstande, der nok bedre bestemt end de absolutte afstande idet visse systematiske fejl måske dividerer ud. 2.3 Lysdiffraktion Sender man monokromatisk lys gennem et tilfældigt ordnet prøve af ens partikler vil man se et mønster på en skærm bag ved prøven af samme karakter som for elektron diffraktion. Forklaringen er her en ganske anden, idet vi har at gøre med et klassisk bøjnindfænomen forklaret af Fresnel (1812) ud fra Huygens princip 1. Der er tale om interferens mellem den uforstyrrede indkommende bølge og kuglebølger som udsendes langs partiklernes periferi. Afbøjningsvinklerne, φ, til de konstruktive interferensringe, er bestemt af sinφ 1 = 0, 819 λ R, sinφ 2 = 1, 346 λ R,... (2.4) hvor R er radius af partiklerne. For de tilsvarende mørke ringe (destruktiv interferens) er vinklerne 1 L. Bergman og C. Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Walter de Gruyter, Berlin, 1955. Bind III, side 316
2.3. LYSDIFFRAKTION 13 Figur 2.6: Mikroskopfoto af plantesporen lycopodium. Middeldiameteren er 30µm. sinφ 1 = 0, 610 λ R, sinφ 2 = 1, 116 λ R,... (2.5) Ved afbøjning langs en retlinet kant, f.eks. en spalte, er koefficienterne er hel- eller halvtallige. Ved en circulær afskæring fremkommer ovenstående koefficienter, karakteristisk for Bessel-funktioner. Ved øvelsen er anbragt en diodelaser som giver monokromatisk lys på 670 nm. OBS! Der må IKKE ses ind i laserstrålen! Ved at lade strålen passere igennem et lag med ens kugler kan et bøjningsmønster fremkomme. Kuglerne er i dette tilfælde pollen fra ulvefod, også kaldet lycopodium eller heksemel, se figur 2.6. Kuglerne måler 30 ± 1µm i diameter. Øvelse: Udmål afstandene i bøjningsmønstrene og beregn φ. radius af partiklerne ud fra formlerne 2.4 og 2.5. Beregn NBI august 2006