Søjler og vægge Centralt og excentrisk belastede Per Goltermann
Søjler: De små og ret almindelige Søjler i kontorbyggeri (bygning 101). Præfab vægelementer i boligblok Søjler under bro (Skovdiget). Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 2
Søjler: De helt store og specielle Pyloner, Øresundsbroen Turning Torso, Malmø (bolig og kontorbyggeri) Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 3
Lektionens indhold 1. Søjler og søjlelængder 2. Centralt belastet søjle i husbygning 3. Centralt belastet søjle uden armering 4. Centralt belastet søjle med armering 5. Excentrisk belastede vægge uden armering 6. Excentrisk og tværbelastede søjler. 7. Biaxial bøjning Session B8 Session B9 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 4
1. Simple søjler N ed N ed N ed N ed u u u c og d betegnes bjælkesøjler Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 5
Fri søjlelængde L s L s =2L L s =L L s =0.7L L s =0.5L L L s L s L s L s Af c cd λ > 10,8 Søjlevirkning N Ed λ = L /, i hvor i = I / A s Anbefalet E-Eksempel 3.1 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 6
2. Centralt belastede søjler I husbygning kan søjler regnes centralt belastet såfremt: Konstruktionen har fast knudepunktsfigur Søjler er monolitisk sammenstøbt med bjælker/plader Slankhedsforholdet λ<90, med L s =søjlelængde Lasten kan da sættes til N Ed =N øvre +cn dæk idet c faktoren sættes til 2.0 når søjlen belastes ensidigt i to retninger 1.25 når stivheder er tilnærmelsesvis ens i hver retning 1.5 øvrige tilfælde (som vist i figuren på efterfølgende overhead.) Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 7
Centralt belastede søjler L s Anbefalet E-Eksempel 3.1 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 8
3. Forsøg med uarmeret normalstyrke beton Betonelementet indeholder lidt armering aht. transport og svind men er underarmeret. Meget skørt (uvarslet) brud ved central belastning. Youtube: Construct2800Lyngby + Unreinforced column with central load brittle failure Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 9
Klassisk teori for centralt belastet søjle Det klassiske Euler-udtryk gælder for materialer med en lineær arbejdskurve N N EU N = N EU Eulerlast L s u=0 u N EU 2 π EI =, inertiradius i = L 2 s π EI π E π E σ E = = = L A L L i 2 2 2 2 i 2 2 2 s s ( s / ) 2 π E σe =, søjleslankhed λ = L / 2 s i λ NB: Ofte indføres λ som en relativ slankhed I A Klassisk søjlestabilitet med 2 mulige ligevægtstilstande Problem: Hvad gør vi når betonens arbejdskurve er ulineær?? Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 10
Ulineær arbejdskurve Engesser s 1. søjleteori bruger tangential E- modulet E σc Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 11
Tangential E-modul E σ c / E c0 E-modulets afhængighed kan modelleres efter Ritter eller EC2 eller andet EC2 Ritter σ / c fc Betonens tangential E-modul falder med voksende last ovenfor ses det område, hvor variationerne ligger i Den konservative Ritter-model af tangential E-modulet vælges E = E (1 / ) 0 σ f σ c c c c Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 12
Engessers 1. søjleteori Tangent E-modulet E crd indføres i Euler udtrykket π E I N, E E (1 / f ) σ σ 2 crd crd c = 2 crd = 0crd σ crd Ls cd crd N π E I π E π E π E (1 σ / f ) = = = = = A L A L i 2 2 2 2 crd crd c crd crd 0crd crd cd 2 2 2 2 c s c ( s / c) λ λ f = og N = σ cd crd crd crd c fcd 2 1+ λ 2 π E0crd (Ritter s / Rankin s søjleformel) A Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 13
Betons begyndelses E-modul Begyndelses E-modulet for f >25 MPa er E 0k 0d 0k ck fck = 51000MPa, hvor fck skal være karakteristisk værdi f + 13MPa Regningsmæssig værdi findes som: E E = γ c ck Begyndelses E-modulet ved stabilitet (reduceret pga krybning+extra sikkerhed) er derfor E 0crd 1000 fcd for fck 25MPa 0,75 E0d for fck > 25MPa 5. 10 4 25 4.10 4 E 0k ( f ck ) ( ) 3.10 4 E 0crk f ck 2. 10 4 Anbefalet E-Eksempel 3.2, uarmeret tværsnit 1. 10 4 0 0 10 20 30 40 50 60 f ck, f ck Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 14
4. Centralt belastet søjle med armering En søjles bæreevne kan naturligvis øges ved anvendelse af armering. En søjle kan regnes armeret, hvis der er tilstrækkelig længdearmering. Længdearmeringen er i tryk og kan kun medregnes i søjler, hvis den er fastholdt af bøjler bøjler skal sidde med passende små mellemrum og skal have en tilstrækkelig styrke. Der er ikke samme krav for vægge (der er til gengæld normalt en del vandret armering) EC2 (og andre normer) angiver regler for disse krav. Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 15
Forsøg med armeret højstyrke beton Lasten øges til brud Søjlen buen pænt ud før brud dvs. godt varsel og masser af deformationskapacitet Under bruddet udvikles et flydeled (knækket) hvor der sker permanente plastiske deformationer pga. flydning i armeringen Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 16
Forsøg med armeret højstyrke beton Søjlen er armeret og en kun en smule ekcentrisk belastet. Bruddet er derfor temmelig skørt med et beskedent varsel og begrænset udvikling af revner eller udbøjninger før brud. 1800 1600 1400 1200 Belastning (kn) Anden søjle, samme design, men med mindre udbøjning 1000 800 600 400 Youtube: Construct2800Lyngby + Testing of reinforced,cenrally loaded column ductile failure 200 Deformation på midten (mm) 0 0 5 10 15 20 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 17
Forsøg med armeret højstyrke beton Bruddet viser at søjlens armering ikke har nok bøjler. Søjlen svigter derfor i et stabilitetsbrud i trykarmeringen stænger, der sprænger deres vej ud af siden af søjlen. Dette er et meget skørt og uvarslet brud. 4500 4000 3500 Belastning (kn) 3000 2500 2000 Anden søjle, samme design, men med mere udbøjning 1500 1000 500 Deformation på midten (mm) Youtube: Construct2800Lyngby + Testing of a column with too few stirrups 0 0 5 10 15 20 Krav til bøjler: Se kapitel 3.2.2.5 + 3.2.2.6 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 18
Teori for armeret, centralt belastet søjle Armeringsstål og beton regnes lineært elastiske stift plastiske σ c ( MPa) 35 σ = f ε / ε ( Sekant til top) c cd c c1 f cd ( EC2) σ c = f e Ritter / (1 E ocrdεc fcd cd ) ( ) ( BCJ ) Betonens arbejdskurve lineariseres ved vurdering af armeringsbidrag (sekantkurven) 0 0 1 2 3 ε c ( o / oo) ε c1 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 19
Tilnærmet hensyntagen til armeringen Armeringstøjningen er lig betontøjningen Ved beregn af betontøjningen benyttes en formel retlinet trykarbejdslinie for betonen med regningsmæssigt elasticitetsmodul på E cd =f cd /ε c1 Es σ sd = Esε s = Esε crd = ασ crd fyd da α = = E f Es / ε c cd c1 Ncrd = σ crd Ac + σ sc Asc = σ crd Ac + ασ crd Asc = σ crd Ac (1 + αρ) Asc hvor dog Ncrd σcrd Ac + fyd Asc og hvor ρ = A c Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 20
Tilnærmet hensyntagen til armeringen σ crd Ac (1 + αρ) lineært elastisk armering ε s < ε y Ncrd σcrd Ac + fyd Asc flydning i armeringen εs εy σcrd Ac (1+0,04 α) Asregnes max til 0,04 A c(ec2) Anbefalet E-Eksempel 3.2 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 21
5.Uarmerede, excentrisk belastede søjler N = bh f Φ Rd w cd e 1,14 1 2 0, 02 hw Φ e 1 2 hw L h w w Metoden er delvist empirisk. Metoden gælder for en søjle eller væg med rektangulært tværsnit. Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 22
Forsøg med uarmeret letvægtsbeton Betonelementet indeholder lidt armering aht. transport og svind men er under armeret. Der gives et vist varsel (udbøjning) ved ekcentrisk belastning. 250 Belastning (kn) 200 150 100 50 Deformation på midten (mm) 0 0 5 10 15 20 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 23
Sikkerhed i uarmeret væg, middelstyrke Modellen er konservativ og giver IKKE mulighed for at tage armering i regning Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 24
6.Excentrisk og tværbelastede søjler N Ed e N Ed e N Ed e 2 u M Eod N Ed u 2 L 5 s 1 L 5 s 2 L 5 s e2 F d u M Eod N Ed u Bjælkesøjle med excentrisk last Bjælkesøjle med vandret last Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 25
Excentrisk og tværbelastede søjler N Ed N Ed N Ed N Ed 1. ordensmomentet (uden udbøjning): M E0d = M tv +N Ed (e 0 +e 1 ) u u u 2. ordensmomentet (inkl. udbøjningsbidrag): M Ed = M E0d +N Ed u M tv er momentet fra tværlasten e 0 er normalkraftens excentricitet e 1 er afvigelser fra planhed u er udbøjningen hvis vi kender den. så er alt som for tværsnit med moment og normalkraft!!! Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 26
Simpelt udbøjningsestimat d sc kλx A sc Når tværsnittet er revnet, kan udbøjningen u på den sikre side indledningsvis gættes til 1 1 ε + ε u = κ ball = L 10 10 d 2 cu3 yd 2 s s idet κ<κ bal for ε c <ε cu3 og ε s <ε yd. Tøjningerne er ε cu3 (normalt=0,35%) og ε yd =f yd /E sk Momentet M Ed kan nu bestemmes ved udtrykket: M Ed =M E0d +N Ed u Mere detaljerede og komplicerede estimater kan naturligvis også anvendes... Anbefalet E-Eksempel 3.3 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 27
Sikkerhed i U-estimat, middelstyrker Bæreevne ved simpelt udbøjningsgæt: Forsøg versus teori ved brug af middelstyrker beregningerne er på den sikre side i snit. 1 1 ε + ε u = κ ball = L 10 10 d 2 cu3 yd 2 s s Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 28
Sikkerhed i U-estimat, karakteristiske styrker Bæreevne ved simpelt udbøjningsgæt: Forsøg versus teori ved brug af karakteristiske styrker beregningerne er på den sikre side i de fleste tilfælde. 1 1 ε + ε u = κ ball = L 10 10 d 2 cu3 yd 2 s s Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 29
Sikkerhed i U-estimat, regningsmæssige styrker Bæreevne ved simpelt udbøjningsgæt: Forsøg versus teori ved brug af regningsmæssige tyrker beregningerne er på den sikre side i alle tilfælde. Der kan laves mere detaljerede beregninger med krumme arbejdskurver for betonen og for armeringen, ligesom udbøjningen kan bestemmes mere detaljeret. Det kan øge bæreevnen med 10-20 % i snit men varierer en del. 1 1 ε + ε u = κ ball = L 10 10 d 2 cu3 yd 2 s s Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 30
Køreplan for beregninger A. Beregn alle materialeparametre B. Beregn M Eod (moment uden udbøjning) C. Beregn udbøjningen (u også kaldet e 2 ) D. Beregn M Ed (moment med udbøjning) E. Eftervis bæreevnen at tværsnit (N Ed, M Ed )
Eftervis bæreevnen Der er nu 3 muligheder for at eftervis tværsnittets bæreevne overfor lasten N Ed + M Ed : 1. Løse ligningerne efter at have bestemt om der er flydning i trykarmering og/eller i trækarmering 2. Iterere for at finde nul-liniens placering (x) 3. Anvende M-N diagram. som ved bjælker med moment og normallast! Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 32
Metode 1+2: Ligningerne og iteration d sc A sc N = F + F F Rd c sc s = A ( x) η f + A σ Aσ c cd sc sc s s M = F (0,5 h kλx) + Rd c A σ (0,5 h d ) + Aσ ( d 0,5 h) sc sc sc s s kλx Tøjningerne i armeringen er d x x dsc εs = εcu3 og εsc = εcu3 x x Spændingerne i armeringen er derfor σ σ s sc = = f E for ε ε ε yd uk s yd f E ε for ε < ε sd s s yd for ε ε ε yd uk sc yd ε for ε < ε sd sc sc yd Brug iteration (Excel eller lommeregnerens spread sheetfunktion er MEGET velegnet til den slags). eller løs ligningerne (SVÆRT) eller lav M-N diagrammer Anbefalet E-Eksempel 3.4 (simpel håndregning) og 3.5 (iteration) Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 33
Metode 3: M-N Diagram I projektering med mange forskellige belastninger kan det ofte betale sig at opstille et M-N diagram. Ligger hvert enkelt kombination af N Ed og M Ed inde i M-N diagrammet, så er bæreevnen eftervist. (N Ed,M Ed ) x Anbefalet E-Eksempel 3.6 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 34
7. Biaxial Bøjning Ved bøjning om to akser samtidig kombineres udnyttelsen om de to akser a M M Edz Edy + 1, 0 M Rdz M Rdy a NRd = Af c cd + Af s yd Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 35
Biaxial Bøjning De to bøjende påvirkning kan dog betragtes hver for sig hvis 0,5 λ / λ < 2, 0 z eq y z og en af følgende to betingelser er opfyldt ey / heq 0, 2 e / b ez / beq 0, 2 e / h b eq = i y 12 y eq De ækvivalente højder og bredder i et ikke-rektangulært tværsnit findes som h eq = i z 12 Betonkonstruktioner - Søjler (kapitel 7) 36