Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning 1. I en klasse er der 6 drenge og 9 piger. I klassen nedsættes et festudvalg til at arrangere en klassefest, og dette udvalg skal bestå af én pige og én dreng. Hvor mange forskellige udvalg kan der nedsættes i klassen? 2. Hvor mange lige, fircifrede tal kan man danne af cifrene 1, 3, 5, 7 og 9 - når hvert ciffer gerne må anvendes flere gange? 3. Jens kaster 3 terninger: en blå, en rød og en grøn. Hvad er sandsynligheden for, at der er det samme antal øjne på de tre terninger i kastet? Hvad er sandsynligheden for, at øjnene på alle tre terninger er forskellige? 4. På et lykkehjul er der 2 gule, 4 blå, 8 røde og 16 hvide felter. Hvor stor er sandsynligheden for at vinde, hvis man spiller på, at et blåt felt kommer ud? Hvor stor er sandsynligheden for at vinde, hvis man spiller på, at hvid ikke kommer ud? 5. Hvor mange 3-cifrede tal kan man lave af cifrene 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 8, når det samme ciffer gerne må anvendes flere gange? 6. Hvor mange lige, 3-cifrede tal kan man danne af cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6, når det første og det andet ciffer i tallet skal være det samme? 7. Hvor mange 5-cifrede tal kan skrives ved anvendelse af et eller flere af cifrene 2, 3, 4 og 5? Hvor mange af tallene i (a) er lige? Hvor mange af tallene i (a) er større end 30.000? 8. Hvor mange 3-cifrede tal kan man skrive ved anvendelse af et eller flere af cifrene 1, 2, 3, 4, 5 og 6? 9. Hvor mange 3-cifrede tal kan man skrive ved anvendelse af et eller flere af cifrene 0, 2, 3, 4, 5 og 6? 10. Hvor mange mulige tipsrækker findes der, når der skal tippes 13 tegn, og når et tegn enten kan være 1, X eller 2? Hvor stor er sandsynligheden for at tippe 13 rigtige tegn? Hvor stor er sandsynligheden for at tippe 13 forkerte tegn? 11. 6 personer, A, B, C, D, E og F skal opstilles i rækkefølge efter hinanden således, at A og B ikke kommer til at stå ved siden af hinanden. På hvor mange måder kan de 6 personer placeres? 12. Tegn et tælletræ for et eksperiment, hvor der 4 gange kastes med den samme mønt. Hvad er sandsynligheden for at få plat i alle fire kast? Hvad er sandsynligheden for, at man får krone i mindst ét af kastene? 13. Bestem antallet af 3-cifrede tal, der kan skrives med et eller flere af cifrene: 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvor mange af tallene i (a) er skrevet med 3 forskellige cifre? Hvor mange af tallene i (a) er delelige med 2? Hvor mange af tallene i (a) er delelige med 5? 14. En skole kan tilbyde følgende valgfag: arbejdskendskab, billedkunst, edb, drama, elektronik, foto, genteknologi, hjemkundskab, motorlære, musik, metalsløjd og tekstbehandling. Hvis en elev vil vælge 2 af fagene, hvor mange valgmuligheder har eleven da? 15. En dansk bilnummerplade består (hvis man da ikke vil betale for at få en helt speciel, personlig plade) af 2 bogstaver efterfulgt af 5 cifre. Hvor mange forskellige nummerplader kan man lave i Danmark, når bogstaverne ikke må være W, Æ, Ø eller Å - og når det første af cifrene ikke må være 0 (nul)?

16. Hvor mange 3-cifrede tal er delelige med 5 - og skrives med 3 forskellige cifre? 17. I en klasse er der 18 elever, 11 drenge og 7 piger. Til et skolegårdsudvalg skal klassen stille med 3 personer. På hvor mange måder kan de tre personer vælges i klassen, hvis valget foregår helt frit? Hvor mange af sådanne udvalg vil komme til at bestå af 1 dreng og 2 piger? 18. I programmeringssproget Basic må man lave variabelnavne, der består af enten et bogstav eller et bogstav efterfulgt af ét ciffer. Hvor mange forskellige variabelnavne kan man danne i Basic, når man kun har det engelske alfabets 26 bogstaver til rådighed? I et andet programmeringssprog, Fortran, må man lave variabelnavne, der består af op til 6 bogstaver og cifre i skøn forvirring - dog med den begrænsning, at det første tegn i variabelnavnet ikke må være et ciffer. Hvor mange forskellige variabelnavne kan man lave i Fortran, når det igen kun er tilladt at anvende bogstaver fra det engelske alfabet i variabelnavnet? 19. 7 børn, 4 drenge og 3 piger, går en aften i biografen og køber billetter til samme stolerække, ved siden af hinanden. På hvor mange måder kan børnene placere sig på de 7 pladser, hvis placeringen foregår helt frit? På hvor mange måder kan børnene placere sig, hvis de tre piger vil sidde ved siden af hinanden, mens drengene placeres helt frit? 20. Tegn et tælletræ, der illustrerer følgende forsøg: Man kaster en mønt. Viser mønten plat, standser man forsøget, mens man kaster mønten igen, hvis resultatet bliver krone. Forsøget afbrydes dog senest efter 5 kast. 21. Med cifrene 1, 2, 3, 4 og 5 kan man skrive 3-cifrede, naturlige tal. Et af disse er 225. Hvor mange 3-cifrede, naturlige tal kan man i alt skrive med cifrene 1, 2, 3, 4 og 5? Hvor mange % af disse tal er delelige med 2? Hvor mange % af tallene er delelige med 4? 22. 5 personer: Anne, Bent, Camilla, Daniel og Erika, skal opstilles på én række efter hinanden. Bestem antallet af mulige opstillinger i hvert af de følgende tilfælde: Anne skal stå bagerst. Bent skal stå forrest. Anne skal stå bagerst og Bent skal stå forrest. Bent og Camilla skal stå ved siden af hinanden. De to drenge skal stå ved siden af hinanden og de tre piger skal stå ved siden af hinanden. 23. Fra et spil kort (52 kort) udtages 2 kort, ét ad gangen. Hvor mange forskellige udfald er der ved dette forsøg? Hvor mange af udfaldene kommer til at bestå af 2 billedkort? 24. Hvor mange 3-cifrede tal kan der dannes ved anvendelse af cifrene 0, 2, 4, 6 og 8, når hvert af cifrene højst må forekomme en gang i tallet? Hvor mange af disse 3-cifrede tal er større end 500? 25. Hvor mange 4-cifrede tal kan der dannes af cifrene 0, 2, 3, 4, 6, 8 og 9, når hvert ciffer gerne må bruges flere gange i hvert tal? 26. Hvor mange 3-cifrede tal kan der dannes, når tallet skal bestå af 3 forskellige cifre, og når hverken 5 eller 6 må være med i tallet? 27. På hvor mange måder kan 5 forskellige bøger anbringes på 3 tomme hylder? 28. I en klasse med 24 elever, 10 drenge og 14 piger, skal der nedsættes et udvalg bestående af 2 elever til et klasseudvalg. Hvor mange forskellige udvalg kan der nedsættes, hvis vi ikke stiller nogen krav til de personer, der kan få sæde i udvalget? Hvor mange af udvalgene vil bestå af 2 drenge? Hvor mange af udvalgene vil bestå af 2 personer af samme køn? Hvor mange af udvalgene vil bestå af en dreng og en pige?

29. Hvor mange tal mellem 1.000 og 10.000 skrives ved hjælp af fire forskellige cifre? 30. Hvor mange tal mellem 1.000 og 10.000 skrives ved hjælp af fire ens cifre? 31. En rød, en grøn og en blå terning kastes. Hvor mange forskellige udfald kan der forekomme, når øjental af forskellig farve betragtes som værende forskellige? I hvor mange af udfaldene viser den røde terning højst 2 øjne? I hvor mange af udfaldene viser de 3 terninger forskellige øjental? I hvor mange af udfaldene viser 2 og kun 2 terninger det samme øjental? I hvor mange af udfaldene viser den røde terning flest øjne? 32. Hvor mange 4-cifrede tal kan man skrive ved anvendelse af et eller flere af cifrene 4, 5, 6, 7, 8 og 9? Hvor mange af disse tal er skrevet med 4 forskellige cifre? Hvor mange af tallene er skrevet med 4 ens cifre? Hvor mange af tallene er ulige? Hvor mange af tallene er delelige med 5? 33. Et eksperiment består i at kaste 2 mønter, en 1-krone og en 5-krone, samt at kaste en terning. Hvor mange forskellige udfald er der for dette eksperiment? Hvis man i stedet kastede 2 helt ens mønter, f.eks. 2 helt nye tiere, hvor mange forskellige udfald ville der da være ved et sådant eksperiment? 34. En række børn i Svenstrup har lavet et lotteri og solgt 1000 lodsedler, der er mærket med tallene 000-999. Udtrækningen af gevinsten i lotteriet foregår på den måde, at der fra en pose med 10 sedler mærket med tallene 0-1 - 2 -... - 9 (fra 0 til 9) udtages 3 sedler. På hvilken måde skal lodtrækningen foregå, hvis den skal være entydig og retfærdig? 35. Ved triospil på en travbane skal man udfylde en kupon med numrene på vinderhesten, andenhesten og tredjehesten i samme løb og i den rigtige rækkefølge. Hvor mange forskellige kuponer kan der udfyldes i et løb, hvor der starter 10 heste? 36. Hvor mange 8-taller er der i talrækken fra 1 til 100? 37. Ved en skolerevy skal der spilles 11 numre, hvoraf de 6 spilles før pausen, mens de resterende 5 numre spilles efter pausen. På hvor mange måder kan man vælge de 6 numre, der skal spilles før pausen, når rækkefølgen af numrene er uden betydning? 38. Blandt 8 soldater på en vagtstue skal der vælges 2 mand til et vagthold. På hvor mange måder kan vagtholdet sammensættes? Fra samme stue skal der blandt de resterende mænd vælges 3, der skal have orlov. På hvor mange måder kan man finde de 3 heldige? 39. 8 sedler, der er mærket a, b, c, d, e, f, g og h, lægges i rækkefølge i en tilfældig orden. Hvor mange forskellige rækkefølger kan der dannes af de 8 sedler? Angiv antallet af muligheder for, at... Sedlen mærket d kommer til at ligge sidst eller først. Sedlen mærket f kommer til at ligge ved siden af sedlen mærket g. Sedlen mærket d kommer til at ligge sidst eller først, og sedlerne mærket f og g kommer til at ligge ved siden af hinanden. 40. I en klasse er der 22 elever, 13 piger og 9 drenge. Der skal fra klassen vælges 2 elever til elevrådet. På hvor mange måder kan de to elever udvælges, hvis valget sker helt frit? På hvor mange måder kan valget foretages, hvis der skal vælges to piger? - og 2 drenge? På hvor mange måder kan valget foretages, hvis der skal vælges en af hvert køn? 41. Gentag forrige opgave, idet der denne gang skal vælges én elevrådsrepræsentant samt en suppleant.

42. Fra talmængden {1,2,3,..., 9998, 9999} fjernes alle de tal, der indeholder cifferet 5. Hvor mange tal fjernes? 43. Et firma udsteder kontokort, der er påtrykt et ciffer, der ikke må være 0, efterfulgt af to bogstaver udvalgt blandt det engelske alfabets 26 bogstaver, og til sidst fulgt af et 4-cifret tal, der ikke består af 4 ens cifre, f.eks. SNG7664. Hvor mange forskellige kontokort kan firmaet fremstille? Firmaets danske kunder modtager alle kontokort, der begynder med 8D... Hvor mange kontokort kan firmaet fremstille til danske kunder? 44. Fra et almindeligt spil kort (med 52 blade) udtrækkes 2 kort på en sådan måde, at der først trækkes ét kort. Inden det andet kort trækkes, lægges det først udtagne kort tilbage i bunken. På hvor mange måder kan de to kort udtrækkes af kortbunken? Hvor mange af ovennævnte tilfælde giver to ruder som resultat? Hvor mange giver to billedkort? Hvor mange giver ingen hjerterkort? Hvor mange giver ingen esser? Hvor mange giver i første kort en hjerter og i andet kort et billedkort? 45. I en klasse er der 17 elever, 6 drenge og 11 piger. Klassen skal nedsætte et festudvalg bestående af 3 elever. Hvor mange forskellige festudvalg kan nedsættes, hvis udvælgelsen sker helt frit? Hvor mange forskellige festudvalg består af tre piger? Hvor mange forskellige festudvalg består af 2 piger og en dreng? På hvor mange måder kan man sammensætte et udvalg, hvor højst én pige får sæde? 46. En idrætsklub skal på sin generalforsamling vælge en bestyrelse bestående af en formand, en kasserer og en sekretær. Hvor mange forskellige bestyrelser kan nedsættes, når der er 90 valgbare medlemmer mødt på generalforsamlingen? Samtidig skal generalforsamlingen nedsætte et spillerudvalg, bestående af 3 medlemmer, men med den indskrænkning, at ingen fra bestyrelsen må sidde i spillerudvalget. På hvor mange måder kan dette spillerudvalg nedsættes? 47. En kasse indeholder 18 pærer, hvoraf de 3 er defekte, mens de øvrige 15 er fejlfri. En lærling udtager tilfældigt 5 af pærerne i kassen. Hvor mange forskellige stikprøver kan lærlingen udtage? Hvor mange af stikprøverne indeholder 5 fejlfri pærer? Hvor mange af stikprøverne indeholder netop 3 fejlfri pærer? Hvor mange af stikprøverne indeholder ingen fejlfri pærer? 48. Et pengeskab har en kodelås, hvortil der hører 6 knapper. For at pengeskabet skal kunne åbnes, skal hver af knapperne indstilles på det rigtige tal. Enhver af knapperne kan indstilles på følgende tal: 0, 1, 2, 3,..., 12. Bestem antallet af forskellige måder, kodelåsen kan indstilles på. 49. I lotto skal man afkrydse 7 af tallene fra 1-36. Hvor mange forskellige lottokuponer kan udfyldes? Hvor stor er sandsynligheden for at spille på 7 tal, hvoraf ingen af dem trækkes ud? I Vikinglotto skal man afkrydse 6 af tallene fra 1-47. Hvor mange forskellige kuponer kan man udfylde i Vikinglotto? Hvor stor er sandsynligheden for at spille på 6 tal, hvoraf ingen af dem trækkes ud? 50. Hvor mange rækker skal en tipper tippe for at være sikker på, at han har 13 rigtige (får en trettener)? 51. Fra et charterfly går 14 personer i land, 8 mænd, 4 kvinder og 2 børn. 3 af personerne udtages til toldeftersyn. På hvor mange måder kan der 3 personer udtages, hvis valget på personerne sker fuldstændig frit? Hvor mange af ovennævnte stikprøver indeholder kun mænd? Hvor mange af stikprøverne indeholder flere mænd end kvinder og børn tilsammen? 52. På hvor mange måder kan 4 herrer og 3 damer anbringes på en række med 7 sæder i biografen, når... Personerne må placere sig helt frit? To personer af samme køn ikke må sidde ved siden af hinanden?

53. I en kasse ligger der 25 kugler, 17 hvide, 5 røde og 3 blå. Bestem sandsynligheden for at en udtrukken kugle er hvid er rød ikke er rød. 54. Ved en quiz-konkurrence kaster quiz-masteren en terning for at få afgjort, om der skal stilles et let eller et svært spørgsmål. Hvis terningen viser et lige antal øjne, skal spørgsmålet være let, i alle andre tilfælde skal der stilles et svært spørgsmål. I løbet af udsendelsen kastes terningen 6 gange. Hvad er sandsynligheden for, at der i løbet af udsendelsen stilles flest svære spørgsmål? - Og hvad er sandsynligheden for at der stilles lige mange lette og svære spørgsmål? 55. En terning kastes 3 gange, og resultatet af de 3 kast noteres som et trecifret tal. Viser den første terning en firer, den anden en treer, og den tredje en sekser, noteres 436. Hvor mange forskellige 3-cifrede tal kan der dannes på denne måde? Beregn sandsynligheden for at der dannes et lige tal. - for at det dannede tal skrives med 3 ens cifre. - for at det dannede tal skrives med 3 forskellige cifre. - for at det dannede tal ikke indeholder cifret 6. - for at første ciffer i det dannede tal er større end 3. ciffer. 56. I en klasse er der 16 elever, 10 piger og 6 drenge. Eleverne skal i forbindelse med sidste skoledag udpege 2 repræsentanter til et sidste-skoledag-udvalg. Hvor mange mulige kombinationer er der for at udpege de to elever, når udpegningen sker ved lodtrækning? Hvad er sandsynligheden for at klassens repræsentanter bliver to piger? - to drenge? Hvad er sandsynligheden for at de to repræsentanter har samme køn? 57. Fra et almindeligt spil kort (52 blade) udtrækker Georg 2 kort, som han rækker til Winnie. Hvad er sandsynligheden for at Winnie modtager to kort af samme farve? Hvad er sandsynligheden for at hun modtager to spar? Hvad er sandsynligheden for at hun modtager mindst et es? Hvad er sandsynligheden for at hun modtager ét ruderkort og én spar? 58. I en pose er der 16 appelsiner. 14 af appelsinerne er friske, mens de sidste 2 appelsiner er rådne. Tilfældigt udtages 3 af appelsinerne. Hvor stor er sandsynligheden for at alle de udtagne appelsiner er friske? - at stikprøven indeholder flere friske end rådne appelsiner? - at stikprøven indeholder lutter rådne appelsiner? 59. 7 piger, Frida, Gerda, Helle, Inga, Jette, Karla og Lizz, trækker lod om 2 præmier. Bestem sandsynligheden for hver af følgende hændelser: Frida vinder ingen af præmierne. Begge gevinster vindes af den samme pige. To forskellige piger vinder de 2 gevinster. Begge præmier vindes af piger, hvis navn indeholder bogstavet A. 60. En pose indeholder 30 kugler mærket med tallene fra og med 1 til og med 30. En kugle tages op af posen. Bestem sandsynligheden for at tallet på kuglen er...... et lige tal.... et tal større end 21.... et primtal.... et kvadrattal.... et primtal større end 20. 61. I en flyvemaskine er der 5 pladser på en række, to pladser på den ene side af midtergangen og tre pladser på den anden side af midtergangen. På hvor mange måder kan mor, far og tre børn placere sig på en række, når de sætter sig helt tilfældigt? Bestem sandsynligheden for at far og mor sidder på de to pladser ved midtergangen. Bestem sandsynligheden for at far og mor kommer til at sidde ved siden af hinanden.

62. Tre terninger kastes, og produktet af øjnene beregnes. Hvor stor er sandsynligheden for at produktet er et lige tal? - et tal deleligt med 3? - et tal deleligt med 4? - et tal deleligt med 5? - et tal deleligt med 6? - et tal deleligt med 7? - et tal deleligt med 8? 63. På en skole går der 40 elever i de to 10. klasser, 9 piger + 10 drenge i 10.a og 13 piger + 8 drenge i 10.b. En gruppe på tre elever skal udvælges ved lodtrækning blandt alle eleverne. Hvor mange forskellige grupper kan der vælges? Beregn sandsynligheden for, at 2-mandsgruppen kommer til at bestå af... tre personer af samme køn. en dreng og to piger. en elev fra den ene klasse, to elever fra den anden klasse. en pige fra 10.a og en dreng og en pige fra 10.b. Hvad er sandsynligheden for at begge klasser og begge køn repræsenteres i gruppen? 64. 67 kvinder og 43 mænd passerer et toldsted i Billund Lufthavn efter en ferietur i Asien. 2 af disse personer udtages til nærmere toldeftersyn. Hvad er sandsynligheden for at lige mange mænd og kvinder udtages? Besvar samme spørgsmål i tilfælde af, at 4 personer (i stedet for 2) skulle udtages til toldeftersyn. 65. En terning kastes 2 gange. Bestem sandsynligheden for hver af følgende hændelser: Terningen viser samme antal øjne i begge kast. Terningen viser forskelligt antal øjne i de to kast. Terningen viser et lige antal øjne i første - og et ulige antal øjne i andet kast. Terningen viser ikke et ulige antal øjne i nogen af kastene. 66. I en æggebakke ligger der 18 æg, hvoraf de 4 æg er befrugtede - med kyllinger. Der udtages fra bakken tilfældigt 3 æg. Hvor mange forskellige 3-stikprøver kan der udtages af bakken med 18 æg? Bestem sandsynligheden for, at der udtages mindst et æg med kylling. 67. I en pose ligger 10 kugler nummereret med tallene fra 0 til 9. Fra posen udtages en kugle, dens nummer noteres, hvorefter den igen lægges i posen. Herefter udtages endnu en kugle. Hvad er sandsynligheden for, at der udtages to kugler med forskellige numre? Hvad er sandsynligheden for, at begge de udtagne kugler har lige tal? Hvad er sandsynligheden for, at produktet af de to tal er mindre end 25? 68. I en idrætsklub møder 14 medlemmer op til den årlige generalforsamling, deriblandt Jørgen og Ulla. Et af punkterne på dagsordenen er nedsættelse af en ny bestyrelse, bestående af formand, kasserer og et menigt medlem. De tre poster skal besættes efter tur i den nævnte rækkefølge. Hvor mange forskellige bestyrelser kan der nedsættes? Hvor stor er sandsynligheden for at... Jørgen får sæde i bestyrelsen? Både Jørgen og Ulla får sæde i bestyrelsen? Jørgen bliver formand? Jørgen bliver formand og Ulla bliver kasserer? Jørgen får sæde i bestyrelsen, mens Ulla ikke bliver valgt? 69. 3 kugler, en rød, en grøn og en gul, skal placeres i 3 rum, A, B og C. På hvor mange kan denne placering foretages, når... Fordelingen sker helt frit. Der skal placeres én kugle i hvert rum. Der skal være mindst et tomt rum. Alle kugler skal placeres i samme rum.

70. Et flag skal bestå af tre lodrette søjler, der hver skal bemales med en af farverne: grøn, gul, blå, rød, sort, hvid, orange. Hvor mange forskellige flag kan der laves, når to søjler ved siden af hinanden ikke må have samme farve? Hvad er sandsynligheden for at flaget får 3 forskellige farver? 71. I en klasse skal der vælges 2 elevrådsrepræsentanter ud af klassens 20 elever. På hvor mange måder kan det lade sig gøre, når der er 8 piger og 12 drenge i klassen? Damerne vil sidde sammen, mens herrerne kan sætte sig, som de lyster? Der skal sidde herrer på de to yderste pladser? 72. På hvor mange måder kan 13 personer fordele sig i et togs 5 vogne? På hvor mange måder kan fordelingen foregå, hvis mindst én af personerne skal sætte sig i den forreste vogn? 73. Bestem i hver af nedenstående situationer antallet af måder, man kan placere 12 forskellige bøger på 2 hylder: Der lægges kun vægt på antallet af bøger på hver af de 2 hylder. Der lægges vægt på, hvilke bøger, der placeres på hver af hylderne. Der lægges både vægt på, hvilke bøger der placeres på hver af hylderne og i hvilken rækkefølge bøgerne er anbragt. 74. Ved en prøve skal man besvare mindst 3 opgaver ud af opgavesættets 5 opgaver helt rigtigt, hvis man skal bestå prøven. Hvor mange forskellige opgavekombinationer opfylder denne betingelse? 75. På hvor mange måder kan 7 bøger forsendes i 2 pakker med henholdsvis 3 og 4 bøger, når det kræves, at en roman i 2 bind, der findes blandt bøgerne, skal forsendes i den samme pakke? 76. Vejnettet i en amerikansk by består af et system af parallelle gader, der skæres vinkelret af et system af parallelle avenuer. En person, Chris, befinder sig på hjørnet af 12. gade og 6. avenue, ønsker at aflægge sin læge et besøg. Lægen har sin praksis i en bygning på hjørnet af 22. gade og 9. avenue. Hvor mange forskellige veje kan Chris gå turen til lægen, når han ved skæringen mellem en gade og en avenue vælger en retning, som fører ham nærmere til målet?