Dagens program. Afsnit Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Transkript

1 Dagens program Afsnit Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1

2 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment med usikkerhed beskrives ved en sandsynlighedsmodel bestående af: Udfaldsrum Ω : Mængden af alle udfald (her diskret) Hændelser: Delmængder af udfaldsrummet Ω Sandsynligheder af hændelser En hændelse E er en mængde af udfald dvs. en delmængde af Ω 2

3 Eksempel 1: En investering giver følgende fortjeneste (i kr): Fortjeneste Udfaldsrum: Ω = { 6000, 1000, 0, 2000, 5000} Eksempler på hændelser: Investeringen giver overskud: E 1 = {2000, 5000} Investeringen giver ikke tab: E 2 = {0, 2000, 5000} Man taber mere end 5000 kr: E 3 = { 6000} 3

4 Eksempel 2: Familier med 2 børn Hvad er børnenes køn? Udfaldsrum (Køn på 1. barn, Køn på 2. barn): Ω = {PD,PP,DP,DD} Eksempler på hændelser: Denældsteerenpige:E 1 = {PD,PP} Begge er piger: E 2 = {PP} Mindst en dreng: E 3 = {PD,DP,DD} 4

5 Hændelsesalgebra Mængden af alle hændelser Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Definitioner: E er indeholdt i F : E F E og F er ens: E = F,hvisogkunhvisE F og F E Den komplementære hændelse til E : E C Fællesmængden mellem E og F : EF (Skrives ofte E F ) Foreningsmængden mellem E og F : E F E og F er disjunkte hvis E F = Ø 5

6 Nyttige resultater: E og E C er disjunkte og E E C = Ω Ω C = Ø Definition: E 1,..., E k udgør en klassedeling af Ω, hvise 1,..., E k er disjunkte og E 1... E k = Ω 6

7 Sandsynligheder Til enhver hændelse i udfaldsrummet knyttes en sandsynlighed. En sandsynlighed angiver, hvor stor chance der er for, at hændelsen indtræffer. Her i eksperimenter hvor alle udfald er lige sandsynlige. Definition: Alle udfald ω i i et udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } er lige sandsynlige, hvis P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N 7

8 Eksempel 3: Lotteri I en gruppe bestående af 150 personer udvælges 1 person tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at en bestemt person bliver valgt? Udfaldsrum: Ω = {1, 2,..., 150} P (i) =1/ (Personerne nummereres) 8

9 Definition: Vi har et udfaldsrum med N udfald, der alle er lige sandsynlige. Sandsynligheden for en hændelse E, der består af k udfald i dette udfaldsrum, er givet ved P (E) = Antal udfald i E Antal udfald i Ω = k N Egenskaber ved sandsynligheder: 1. 0 P (E) 1 for enhver hændelse E 2. P (Ω) =1 3. P (E F )=P (E)+P (F ) hvis E F = Ø 9

10 Heraf følger: P (E) =1 P (E C ) P (F )=P (F E)+P (F E C ) for alle hændelser E og F Loven om den totale sandsynlighed: Hvis E 1,..., E k udgør en klassedeling af Ω gælder der P (F )=P (F E 1 ) P (F E k ) Eksempel 4: I en gruppe bestående af 40 kvinder og 60 mænd er der 30% af kvinderne og 40% af mændene, der er rygere. Jeg vælger en tilfældig person fra denne gruppe. Hvad er sandsynligheden for at vælge en ryger? P (ryger) =P (ryger og kvinde)+p (ryger og mand) = =

11 Odds og sandsynligheder P (A) < 1/2 P (A) dvs. odds for A : P (A C ) < 1 P (A) = 1/2 P (A) dvs. odds for A : P (A C ) =1 P (A) > 1/2 P (A) dvs. odds for A : P (A C ) > 1 Odds for hændelsen A er: 0.25 dvs. sandsynligheden for hændelse A: P (A) = 4 dvs. sandsynligheden for hændelse A: P (A) = 11

12 Eksempel 5: En prøve i matematik består af 4 spørgsmål med hver 2 svarmuligheder - et forkert svar og et rigtigt svar. Hvis man ikke kender svarene på spørgsmålene, men bare gætter, hvad er så sandsynligheden for at svare rigtigt på mindst 3 af spørgsmålene? 0: Forkert svar 1: Rigtigt svar Mulige udfald: Svar på sp Svar på sp Svar på sp Svar på sp Antal mulige udfald: 16 12

13 Hvis man gætter, er alle udfald lige sandsynlige P (0 rigtige gæt) = 1/16 P (1 rigtigt gæt) =4/16 = 1/4 P (2 rigtige gæt) =6/16 = 3/8 P (3 rigtige gæt) =4/16 = 1/4 P (4 rigtige gæt) = 1/16 P (Mindst 3 rigtige gæt) =P (3 rigtigegæt)+p (4 rigtige gæt) =5/16 P (Mindst 2 rigtige gæt) =P (2rigtigegæt)+P (3rigtigegæt)+P (4 rigtige gæt) =11/16 13

14 Opsummering En matematisk beskrivelse af eksperimenter med usikkerhed: Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelsesalgebra - Sandsynligheder Egenskaber og vigtige regneregler for sandsynligheder Eksperimenter hvor alle udfald er lige sandsynlige: - Tilfældig udvælgelse - Optælling af udfald Det er vigtigt at kunne anvende dette til at analysere konkrete problemstillinger 14

15 Næste gang Mandag gennemgåes: Afsnit : - Kombinatorik - Udtagning af stikprøver Husk: - Øvelserne starter i næste uge - Opgaver til øvelserne findes på fagets hjemmeside (under Øvelser) 15