A Stringermetoden A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A2 Indholdsfortegnelse Generelt Beregningsmodel Statisk ubestemthed Beregningsprocedure Bestemmelse af kræfter, spændinger og reaktioner Specialtilfælde Armeringsregler og kontrol af betontryk Generelt Stringermetoden er en generel beregningsmetode, der for brudgrænsetilstanden kan benyttes til dimensionering af armerede betonkonstruktioner påvirket af en plan spændingstilstand. Metoden er baseret på plasticitetsteoriens nedreværdiprincip, dvs. metoden angiver en statisk tilladelig spændingsfordeling. En statisk tilladelig spændingsfordeling er en spændingstilstand, der opfylder ligevægtsbetingelserne og de statiske randbetingelser. Hvis det for denne spændingstilstand yderligere gælder, at alle spændinger overalt i konstruktionen ligger inden for eller på flydefladen, er løsningen også sikker. I korthed betyder dette, at legemets virkelige bæreevne vil være større end eller lig med den belastning, ud fra hvilken de nødvendige dimensioner er fastlagt. I de følgende punkter gives en kortfattet og lettilgængelig indføring i beregningsmetoden, såvel mht. de generelle statiske principper som de regler der gælder for metodens anvendelse på armerede betonkonstruktioner, dvs. regler for fastlæggelse af den nødvendige armering samt de max. tilladelige tryk, der må optræde i betonen. Endvidere beskrives nogle af de konstruktive regler, der er knyttet til metodens anvendelse. Anvendelsesgrænsetilstanden berøres perifert. For en grundlæggende teoretisk beskrivelse af metoden henvises bl.a. til M.P. Nielsen [69.1] og [99.3]. Eksempler på metodens anvendelse findes i B. Feddersen et al. [89.1] og [91.1]. Reglerne knyttet til anvendelse af metoden er givet i DS411, 6.1.3.1(2)-(5). 1
A3 Beregningsmodel I stringermetoden simplificeres en plan spændingstilstand ved, at alle normalspændinger optages i stringere, mens forskydningsspændingerne optages i de rektangulære felter, der udspændes af stringerne. Skæringspunkterne mellem stringere benævnes knudepunkter. Normalspændingerne efter x-aksen, σ x, ækvivaleres med koncentrerede normalkræfter i stringere parallelt med x-aksen, jf. figur A1. Tilsvarende ækvivaleres normalspændingerne efter y-aksen, σ y, med koncentrerede normalkræfter i stringere parallelt med y- aksen. y Stringere parallelle med x-aksen σ x x Virkelig spændingsfordeling Model af spændingsfordeling Figur A1 Forskydningsspændingerne optages ved hjælp af felterne mellem stringerne, jf. figur A2. Forskydningsspændingerne regnes at være konstante i hvert enkelt felt, dvs. uafhængige af x og y. Heraf følger det, at stringerkræfterne vil variere lineært i værdi mellem hvert knudepunkt. En stringer defineres som liniestykket mellem to hosliggende knuder. Ofte anvendes begrebet stringer i flæng for en hel stringerlinie gående fra rand til rand af en konstruktion. Korrekt set vil en sådan stringerlinie være sammensat af flere stringere, hvis den indeholder mere end to knudepunkter. Belastninger og reaktioner regnes at angribe som koncentrerede kræfter i knudepunkterne og/eller som forskydningsspændinger angribende langs stringerne, idet forskydningspåvirkningen skal være konstant mellem hvert knudepunkt. 2
y τ xy x Forskydningsfelt Knudepunkt τ xy konstant i hvert felt Virkelig spændingsfordeling Model af spændingsfordeling Figur A2 Ydre belastninger, f.eks. i form af en jævnt fordelt belastning, ækvivaleres med knudekræfter. Denne ækvivalering kan fordre en ekstra armering, der supponeres til den armering, stringermodellen giver. Virkelig last Modellast Figur A3 Den fornødne armering kan for systemet vist i figur A3 bestemmes ved at ækvivalere den øverste vandrette række af forskydningsfelter med en kontinuert bjælke. Reaktionen for den jævnt fordelte last angriber da ved den nederste vandrette stringerlinie. Bjælken kan alt efter højde-spændvidde-forholdet beregnes som en almindelig bjælke eller som en høj bjælke. Kræfterne knyttet til bøjning kan optages i de to vandrette stringerlinier, eller alternativt ved en jævnt fordelt armering, jf. appendiks D. Afslutningsvis ilægges en ophængningsarmering i de lodrette stringere således, at reaktionen kan føres op til lastpunkterne for modellasten. 3
A4 Statisk ubestemthed Normalt vil et stringersystem med tilhørende ydre reaktioner være et statisk ubestemt system. Graden af statisk ubestemthed N kan fastlægges ved hjælp af følgende formel, jf. J. C. Kærn [79.1], idet den statiske ubestemthed er udtrykt ved antallet af statisk ubestemte forskydningsfelter. N = K F ( 2S 1 S 2 ) + ( R 3 ) hvor K : Antallet af knudepunkter, idet knudepunkter beliggende i huller medregnes. F : Antallet af felter, hvor forskydningsspændingen er 0 (dvs. felter beliggende i huller). S 1 : Antallet af stringerlinier gående fra rand til rand, idet hullers kanter også tæller som rand. S 2 : Antallet af stringerlinier langs randen, dvs. stringerlinier der langs hele deres længde har en rand på den ene side. R : Antallet af reaktioner. For stringersystemet vist i figur A4 gælder det, at K = 92, F = 9, S 1 = 24, S 2 = 4, R = 4 og dermed N = 40. Det bemærkes, at sidste led i ovennævnte formel udgår, hvis stringersystemet er udvendig statisk bestemt, eller reaktionerne er valgt således, at stringersystemet er gjort udvendig statisk bestemt. Man kan lade reaktionerne indgå som ubekendte i stringerberegningen. 4
Figur A4 De overtallige kan vælges frit, se dog reglerne for valg i punkt A8. Det understreges, at de overtallige ikke kan vælges fuldstændigt frit, idet lokale ligevægtskrav kan gøre, at felter bliver statisk bestemt. Antages ingen statiske ubestemte valgt i stringersystemet vist i figur A4, vil forskydningsspændingen i 10 af de 11 øverstbeliggende vandrette felter kunne vælges frit. Forskydningsspændingen i det resterende felt vil være fastlagt via kravet om ligevægt i et vandret snit i de øverste felter. Et andet eksempel på en binding er vist i figur A5, idet den lodrette stringer under hullet har randbetingelsen S y = 0 ved begge ender. Dette betyder, at τ xy i de to felter, der støder op til stringeren, skal have samme værdi. Figur A5 5
A5 Beregningsprocedure Forskydningsspændinger og stringerkræfter bestemmes lettest ved anvendelse af følgende procedure. 1. Fastlæg stringersystemet, idet stringerlinierne placeres på en sådan måde, at de er sammenfaldende med armeringens og/eller trykkets centerlinie. 2. Kontroller bredden af stringerne, jf. DS411, 6.1.3.1(2) og punkt A8 3. Vælg fortegnsregning for forskydningsspændinger. 4. Bestem reaktionerne, hvis systemet er udvendigt statisk bestemt. 5. Bestem forskydningsspændingerne i felterne vælg de overtallige bestem forskydningsspændingerne i de øvrige felter v.hj.a. ligevægtsligningerne når forskydningsspændingen i det sidste felt er fastlagt, kan denne spænding kontrolleres ved, at ligevægten skal være opfyldt i retningen vinkelret herpå 6. Bestem stringerkræfterne og eventuelle reaktioner, hvis systemet er udvendigt statisk ubestemt. 7. Bestem den nødvendige armering og kontroller betontrykkene i stringerne og forskydningsfelterne. 8. Check, at den virkelige last kan omfordeles til modellast, og suppler eventuelt med en ekstra armering. 9. Vurder løsningen i forhold til afvigelse fra en elastisk revnet løsning, eventuelt v.hj.a. princippet om optimal armering, se punkt A8. 6
A6 Bestemmelse af kræfter, spændinger og reaktioner 1 4 8 11 15 y x 2 5 12 16 3 6 9 13 17 7 10 14 Figur A6 For stringersystemet vist i figur A6 bestemmes forskydningsspændingerne ved ligevægt i snittene markeret ved en stiplet linie. De overtallige vælges, til systemet er statisk bestemt. h 1 P 1 1 τ 1 Det antages, at forskydningsspændingerne i felterne 1 og 2 er valgt, hvorved forskydningsspændingen i felt nr. 3 kan bestemmes ved lodret ligevægt, idet elementet regnes at have bredden b. h 2 2 τ 2 R P 1 = b h 1 τ 1 + b h 2 τ 2 + b h 3 τ 3 h 3 3 τ 3 Hermed kan τ 3 bestemmes. R Figur A7 Denne fremgangsmetode anvendes for alle snit, hvorved forskydningsspændingerne i alle felter er bestemt. Herefter kan stringerkræfterne bestemmes. 7
S y11 Den nederste lodrette stringer, i den tredje stringerlinie efter x-aksen, betragtes. Idet knuderne benævnes 10 og 11 giver kravet om ligevægt h 3 τ 7 τ 10 S y11 S y10 + b h 4 τ 7 b h 4 τ 10 = 0 S y10 Da randbetingelsen kræver S y10 = 0, kan S y11 bestemmes. Figur A8 På denne måde gennemføres beregningen for alle stringere, og kraftforløbet i hver enkelt stringerlinie kan optegnes. Positive kræfter er trækkræfter, hvilke der skal armeres for. A7 Specialtilfælde Gælder det, at der støder skiver eller lignende konstruktionselementer op til stringerne, kan disse udnyttes som en del af stringerne. A Figur A9 Snit A For stringersystemet vist i figur A9, kan tværskiven udnyttes som en del af stringeren, såvel med hensyn til optagelse af træk- som trykkræfter. Dette forudsætter, at tværskiven armeres for de forskydningsspændinger der herved introduceres, jf. f.eks. DS411, 6.2.2.3 vedrørende forskydning mellem krop og flange i T-bjælker Overlejres stringersystemet af en anden homogen spændingstilstand, kan superpositions princippet benyttes, idet armering, betontryk, tilladelige betontryk etc. i alle punkter, 8
såvel stringere som felter, af konstruktionen bestemmes på basis af den supponerede spændingstilstand. y 1 2 4 6 7 9 11 12 p Stringersystemet vist i figur A10, hvor de ydre laster for stringersystemet ikke er vist, overlejres af kraften p. Den del af kraften p der virker over og under hullerne optages via stringersystemet. Den øvrige del af p optages via spændingen σ y (= p/b), der 3 5 8 10 13 x adderes til spændingerne knyttet til stringersystemet. Dette betyder, at felterne 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11,12 og 13 er Figur A10 p påvirket af spændingerne σ y og τ xy. Armering, kontrol af betontryk m.m. sker iht. DS411, anneks B, jf. appendiks C. For de aktuelle stringere adderes σ y til de til stringersystemet knyttede stringerkræfter A8 Armeringsregler og kontrol af betontryk I dette punkt gives nogle af de regler, der skal overholdes ved anvendelse af stringermetoden på konstruktionselementer af armeret beton. Anvendelsesgrænsetilstanden og sikring af deformationskapacitet Stringermetoden er en beregningsmetode, der alene gælder for brudgrænsetilstanden, hvorfor den ikke kan anvendes for analyser i anvendelsesgrænsetilstanden. Desværre findes der ikke for nærværende generelle beregningsmetoder for fastlæggelse af spændingerne i anvendelsesgrænsetilstanden. Selvom det ikke er fuldstændigt bevist, viser erfaringerne, at en fornuftig løsning for anvendelsesgrænsetilstanden fås ved, at spændinger og stringerkræfter vælges således, at det samlede beregningsmæssigt krævede armeringsforbrug i konstruktionen minimeres, svarende til princippet om optimal armering. Den hertil knyttede armering benævnes A s. Optimeringsparametrene er de overtallige samt cotθ for forskydningsfelterne. 9
Af hensyn til en hensigtsmæssig virkemåde i anvendelsestilstanden og sikring af den fornødne deformationskapacitet, må en plastisk snitkraftfordeling ikke afvige væsentligt fra en elastisk revnet snitkraftfordeling, jf. DS411, 6.1.1(5)-(6). Sidstnævnte snitkraftfordeling kan regnes at svare til den snitkraftfordeling, der knytter sig til optimal armering. I praksis kan reglen i DS411, 6.1.1(5)-(6) udtrykkes ved, at ½A s A s 2A s, hvor A s er armeringen knyttet til den aktuelle snitkraftfordeling. Betingelsen kontrolleres for hver enkelt stringer og forskydningsfelt, idet såvel x-retningen som y-retningen betragtes for forskydningsfelterne. Princippet om optimal armering kan i mangel af bedre, og som en tilnærmelse, også benyttes til at fastlægge spændingerne i anvendelsesgrænsetilstanden. For en række konstruktioner vil en beregning af spændingerne i anvendelsesgrænsetilstanden ikke være interessant, medmindre der er stillet krav til revnevidder. Der er afvigelser fra ovenfor angivne princip om optimal armering. Eksempelvis bør man ved høje bjælker og konsoller, hvis højde er større end spændvidden, aldrig regne med en effektiv højde, der overstiger spændvidden, jf. DS411, 6.1.3.4(1). Forskydningsfelterne Generelt skal der altid ilægges en minimumarmering i forskydningsfelterne, jf. DS411 6.3.3(7)-(8). For optagelse af forskydningsspændingerne lægges i hvert enkelt felt en ortogonal armering efter x- og y-aksen iht. DS411 anneks B(5)-(8). Det kontrolleres, at betontrykkene σ cd iht. DS411 anneks B(5)-(6) er mindre end νf cd, hvor ν kan regnes bestemt ved DS411, 6.2.2.1(15)P, hvis der optræder ren forskydning i felterne. Hvis stringerlinierne er tætliggende, og forskydningsfelternes udstrækning dermed er lille, kan forskydningsarmeringen ækvivaleres med en armering i stringerne, svarende til det princip der gælder for den langsgående armering knyttet til forskydning i almindelige bjælker. 10
σ cd Yderfelter - gælder også felter ved huller - bør have en forskydningsarmering i form af lukkede bøjler eller U-bøjler, der kan optage de af forskydningsspændingerne foranledigede skrå betontryk ved randen, jf. figur A11, dvs. forskydningsarmeringen er effektivt forankret i stringerne, jf. DS411, 6.1.3.1(5). For afstanden mellem bøjler eller armeringsjern henvises bl.a. til reglerne under forskydningsafsnittet i DS411. Figur A11 Ved små forskydningsspændinger kan disse optages alene af betonen. Forskydningsspændinger kan regnes for små, når de kan optages ved en gittermodel i forskydningsfeltet, og ν bestemt ved DS411, anneks B(15) benyttes. Såfremt der ikke forskydningsarmeres, skal reglerne i DS411, 6.1.3.1(5) overholdes. Forsigtighed bør udvises. For elementbyggeri henvises specielt til forskydningsoverførslen mellem fuger og elementer, idet det skal kontrolleres, hvorvidt støbeskellet har den fornødne forskydningskapacitet. Stringerne Ud fra stringermodellen kan den geometriske bredde af stringerne beregnes. Stringernes bredde må ikke regnes større end værdien angivet i DS411, 6.1.3.1(2). Dette krav hænger sammen med, at forskydningsfelter og stringere i flydningsmæssig sammenhæng regnes uafhængige af hinanden. I beregningerne benyttes således den mindste bredde fastlagt ud fra henholdsvis geometrien og reglen i DS411, 6.1.3.1(2). Effektivitetsfaktoren er bestemt ved DS411, 6.1.3.1(4). Det eftervises, at trykstringerne kan optage kræfterne. Effektivitetsfaktoren, og for så vidt også bredden af stringerne, kan eventuelt hæves, hvis der kan føres dokumentation for forsvarligheden heraf. En eventuel trykarmering kan medregnes, hvis den er sikret mod udknækning, jf. DS411, 6.1.3.1(4). 11
Hvor der er træk i stringerne, indlægges den fornødne koncentrerede armering til optagelse af kræfterne. Variationen i trækstringerkraften må aldrig være større end svarende til, at stringerkraften vokser fra nul til fuld regningsmæssig værdi langs armeringens forankringslængde, jf. DS411, 6.1.3.1(3). Regnes der i et forankringsjern med en lineær As f yd opbygning af kraften, gælder det således at τ Sd skal være opfyldt, idet τ Sd er nπ φ lb den samlede forskydningsspænding der overføres til armeringsjernene, og n er antallet af armeringsjern. Selvom en beregning ikke fordrer en stringerarmering omkring et hul, bør der altid ilægges en vis minimumarmering. Speciel opmærksomhed henledes på de steder i konstruktionen, hvor der kan optræde diskontinuiteter. Eksempelvis hvis to nabofelter har forskellig tykkelse, vil der kunne blive introduceret ekstraordinære spændinger i overgangsområdet, som kræver en særskilt beregning udover stringerberegningen. 12