Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende. Punktprøven kan besvares i grupper af 1-3 studerende. Det er tilladt at samarbejde på tværs af grupper, blot der udarbejdes en selvstændig rapport fra hver enkelt gruppe. Hold jer endelig ikke tilbage med at kontakte mig pr. email eller i lokale E319 med spørgsmål til opgaven. Punktprøven lægger i højere grad end for de to afleveringsopgaver op til, at man ser opgaven som en helhed. Der er med andre ord en vis valgfrihed mht. i hvilken rækkefølge de enkelte spørgsmål besvares. Ligeledes kan nogle spørgsmål gribes an på flere måder. Punktprøven afleveres til undertegnede eller på sekretariatet ved Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik senest mandag d. 30.juni 2003. Hvis man ønsker at aflevere opgaven senere, laver jeg gerne separate aftaler om afleveringstidspunktet med de enkelte grupper, hvis man henvender sig i god tid. Man får naturligvis først kredit for kurset, når punktprøven er afleveret og godkendt. Anders Tolver Jensen 1
2 A. T. Jensen 1 Introduktion I en unavngiven by ligger et postkontor med 2 medarbejdere. Det antages, at kunder ankommer uafhængigt af hinanden med en indbyrdes ventetid, der er givet ved en fordeling A på ]0; [. Endvidere antages, at betjeningstiderne er i.i.d. med fordeling B på ]0; [ samt, at disse er uafhængige af ventetiderne mellem kundernes ankomst til postkontoret. I opgaven diskuteres to forskellige måder at organisere kunderne på efter deres ankomst til posthuset. Formålet med opgaven er at sammenligne dels medarbejdernes, dels kundernes vilkår ved de to forskellige køsystemer. Alle spørgsmål vedrørende simulation ønskes besvaret i nedenstående to eksempler A B Eksempel 1 Uniform(0; 1.5) Exp(1) Eksempel 2 Exp(3) Exp(1) Der er en vis valgfrihed mht., hvor mange simulationer, man skal lave i de enkelte spørgsmål. Generelt anbefales det at prøve sig frem. Kunsten er at lave simulationer nok til, at man kan skelne eventuelle systematiske forskelle fra tilfældig støj. Selvom man naturligvis opfordres til at besvare alle delspørgsmål, må man undlade af besvare opgaverne enten i afsnit 3.1 eller i afsnit 3.2.
Punktprøve i Fornyelsesteori med anvendelser 3 2 A: Postkontor med 2 separate køsystemer I denne opgave antages, at kunderne ved deres ankomst til posthuset slår plat og krone med en fair mønt. Ved udfaldet plat, går kunden til venstre og stiller sig i kø nr.1, og ved udfaldet krone går kunden til højre og stiller sig i kø nr.2. I hver kø betjenes kunderne i den rækkefølge, hvori de ankom, og der ses bort fra muligheden fra at skifte mellem de to køer. I resten af denne opgave betragter vi kun kø nr.1. Betjeningstiderne for kunder i kø nr.1 er givet ved fordeling B. Bemærk imidlertid at ventetiden mellem kunders ankomst til kø nr.1 ikke følger fordeling A. I stedet fås Ventetidsfordeling B Eksempel 1 U 1 +... + U K Exp(1) Eksempel 2 Exp(1.5) Exp(1), hvor U n erne er i.i.d. ligefordelte på (0; 1.5), og uafhængige af K med fordeling P(K = k) = 2 (k 1), k N. Vi introducerer de stokastiske processer Q(t) : kølængden til tid t 0 W n : ventetiden fra kunde nr. n ankommer til posthuset til han kommer hen til skranken Af bekvemmelighedsårsager omtales første kunde, der ankommer til systemet som kunde nr.0. Man kan vise, at {Q(t)} er en regenerativ process. Forklar i ord, hvornår første regenerering, S 0, finder sted Den tilsvarende følge S = {S n } n N0 af regenereringstidspunkter udgør som bekendt en fornyelsesproces. Ventetiden mellem fornyelserne betegnes med F. Vi antager i det følgende, at µ = uf (du) <. 0
4 A. T. Jensen 2.1 Overarbejdsbetaling Posthuset lukker kl. t 0. På posthuset fører man imidlertid den politik, at dørene først lukkes for kunderne første gang, T, efter t 0, hvor køen er tom. Postmedarbejderen får med andre ord ikke fri præcis til tid t 0, og har således ret til overarbejdsbetaling, der beløber sig til f(t t 0 ), hvor f er en voksende funktion på ]0 : [. Arbejdsgiveren ønsker at holde styr på, hvor mange penge hun skal afsætte til overarbejdsbetaling og interesserer sig derfor for E(f(T t 0 )). Fra diskussionen ovenfor ved vi, at første fornyelse, S N(t0 ), for {Q(t)} efter tid t 0 indtræffer senere end tid T. Dermed er (overvej!) Vi introducer derfor funktionen E(f(T t 0 ) E(f(S N(t0 ) t 0 )). Z(t) = E(f(S N(t) t)), og interesserer os for Z(t 0 ), der kan benyttes som en øvre grænse for arbejdsgiverens forventede udgifter. Opskriv en fornyelsesligning for Z ved at betinge med tidspunktet for første fornyelse, S 1. Det antages at S 0 = 0. Bestem lim t Z(t) Bemærkning 2.1 Hvis t 0 er stor, vil Z(t 0 ) være tæt på lim t Z(t). Herved fås en øvre grænse for Ef(T t 0 ).
Punktprøve i Fornyelsesteori med anvendelser 5 2.2 Udnyttelse af arbejdskraften Arbejdsgiveren er også interesseret i, hvor stor en del af medarbejderens arbejdskraft, η, der ikke udnyttes. I det følgende antages, at ventetidsfordlingen, F, mellem fornyelser har middelværdi, µ <, og har tæthed mht. Lebesguemålet på [0; [. Arbejdsgiveren forestiller sig, at estimere η på følgende måde: Hver gang en kunde ankommer til skranken, spørger man ham, om køen var tom, da han ankom. Den andel af kunder, som ankom til en tom kø, benyttes som estimat for η Benyt arbejdsgiverens fremgangmåde til at estimere η i hvert af de to eksempler. Gentag ovenstående 100 gange og angiv et estimat samt et empirisk 95%-konfidensinterval for η i hvert eksempel En af kunderne, Mr. X, foreslår en anden fremgangsmåde til estimation af η. Argumenter for, at q k = lim t P(Q(t) = k) eksisterer for alle k N 0 og angiv grænsen. Dette siger, at fordelingen af kølængden konvergerer for t. Benyt ovenstående til at opskrive et udtryk for udnyttelsen, η, af medarbejderens arbejdskraft Udregn vha. simulation et estimat og et 95%-konfidensinterval for η for hvert af de to eksempler ( Vink: Benyt regenerativ simulation, se. [KA] s.43-47 samt [KØ] ) Kommenter forskelle og ligheder mellem resultaterne ved de to estimationsmetoder (Vink: Mr. X hedder i virkeligheden Hr. Palm! )
6 A. T. Jensen 2.3 Ventetiden for kunderne Set fra kundernes side er det relevant at kende fordelingen af ventetiden, W n, fra ankomsten til postkontoret, til man kommer frem til skranken. Dette er den reelle tid kunden spilder ved at stå i kø, inden betjeningen starter. For at forstå strukturen af {W n } indfører vi V n : ventetiden mellem ankomsttidspunktet for kunde nr.n og n + 1 Y n : betjeningstiden for kunde nr.n Når kunde nr.0 ankommer er køen tom, hvorfor W 0 = 0. Kunde nr.0 kræver en betjeningstid på Y 0. Når kunde nr.1 ankommer efter en ventetid på V 0 kan der ske to ting: a) hvis kunde nr.1 ankommer før kunde nr.0 er færdigbetjent, dvs. hvis V 0 < Y 0, så bliver ventetiden for kunde nr.1 lig med W 1 = Y 0 V 0 b) hvis kunde nr.1 ankommer efter kunde nr.0 er færdigbetjent, dvs. hvis V 0 Y 0, så bliver W 1 = 0 Dette kan udtrykkes kort ved Generelt fås relationen W 1 = max(w 0 + Y 0 V 0, 0). W n+1 = max(w n + Y n V n }{{} :=X n, 0), n N 0. I ord har vi set, at {W n }, er en reflekteret random walk med tilvækster {X n }. Det følger - f.eks. af [KA] s.24 - at {W n } er regenerativ. Benyt regenerativ simulation til, i hvert af de to eksempler, at estimere lim n EW n - den gennemsnitlige ventetid lim n P(W n > t) for forskellige valg af t - halen i fordelingen af ventetiden
Punktprøve i Fornyelsesteori med anvendelser 7 3 B: Postkontor med 2 medarbejdere Arbejdsgiveren beslutter sig nu for at omstrukturere posthuset. Der indføres et nyt køsystem, hvor kunderne ved ankomst til posthuset trækker et nummer. Kunderne betjenes derefter i den rækkefølge de ankom ved skranke 1 eller 2 alt afhængigt af, hvilken medarbejder der først bliver ledig. Det antages stadig, at kunderne ankommer til posthuset med en indbyrdes uafhængige ventetider med fordeling A, som er uafhængig af betjeningstiderne, som er i.i.d. og følger fordeling B. Endvidere betegnes med {Q(t)} antallet af kunder på posthuset til tid t. 3.1 Udnyttelse af arbejdskraften Vi ønsker nu at bestemme udnyttelsen af arbejdskraften efter indførelsen af det nye køsystem. Det antages at, hvis kun en kunde er tilstede på posthuset, så bliver denne betjent ved skranke 1. Kølængden, {Q(t)}, er en regenerativ proces som regenererer, når kunder ankommer mens køen og begge skranker er tomme. Dermed eksisterer q k = lim t P(Q(t) = k), k N, og disse kan estimeres ved regenerativ simulation. Lad η betegne den del af arbejdskraften, der udnyttes. Udtryk η ved hjælp af {q k } Estimer i hvert af de to eksempler η og diskuter om det nye køsystem giver en bedre udnyttelse af arbejdskraften
8 A. T. Jensen 3.2 Ventetiden for kunderne Det ønskes nu undersøgt, om fordelingen af kundernes ventetid har ændret sig efter indførelsen af det nye køsystem. Som tidligere indfører vi V n : ventetiden mellem ankomsttidspunktet for kunde nr.n og n + 1 Y n : betjeningstiden for kunde nr.n W n : ventetiden fra ankomst af kunde nr.n til betjeningen starter Igen er {W n } en regenerativ proces med de tidspunkter, hvor W n = 0, som regenereringstidspunkter. Benyt regenerativ simulation til, i hvert af de to eksempler, at simulere lim n EW n lim n P(W n > t) for samme valg af t som tidligere Bemærkning 3.1 I modsætning til tilfældet med kun en skranke er W n+1 en kompliceret funktion af Y 0,..., Y n, V 0,..., V n. Udfordringen ligger derfor i, hvordan man skal simulere {W n } i dette tilfælde. Benyt nu simulationsresultaterne til at diskutere spørgsmålet: Oplever kunderne en forbedring ved overgang fra det gamle til det nye køsystem?