1 Palm teori. Palm teori 1

Transkript

1 Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi betegner med N(t) antallet af {T n } mindre end eller lig med t. Således angiver T N(t) mindste T n som er større end t. For ethvert s 0 defineres θ s X = {X(t + s)} t 0 θ s T = {T N(s)+n s} n N0. Lad nu P være et sandsynlighedsmål på (Ω, F). Der er nu to oplagte definitioner af stationaritet for processen (X, T ). Tidsstationaritet (X, T ) siges at være tidsstationær mht. P, hvis (θ s X, θ s T ) har samme fordeling som (X, T ) for alle s 0. Event-stationaritet (X, T ) siges at være event-stationær mht. P, hvis (θ Tk X, θ Tk T ) har samme fordeling som (X, T ) for alle k N 0. Bemærkning 1.1 Hvis (X, T ) er tidsstationær gælder specielt, at X(s) har samme fordeling for alle s 0. Tilsvarende medfører eventstationaritet specielt, at X(T n ) har samme fordeling for alle n N 0. Den store forkromede pointe med dette afsnit er, at de to former for stationaritet i almindelighed ikke kan optræde samtidigt. Dette forsøges illustreret gennem nogle simple eksempler. Derefter diskuteres, hvordan man kan komme fra den tidsstationære fordeling til den eventstationære fordeling og omvendt. Den generelle teori til løsning af problemer af denne type kaldes Palm teori. Endelig runder vi af med at diskutere en klasse af eksempler, hvor de tids- og eventstationære fordelinger er ens.

2 2 A. T. Jensen 1.1 Eksempel 1: Den fremadrettede rekurrensproces Lad {W n } n N0 være indbyrdes uafhængige ikke-negative stokastiske variable defineret på et sandsynlighedsfelt (Ω, F, P). Antag at {W n } n 1 er identisk fordelte med fordeling A, mens W 0 følger en fordeling A 0. Definerer vi S = {S n } n N0 ved S n = W W n ses, at S bliver en fornyelsesproces med ventetidsfordeling A og forsinkelse A 0. Det antages, at µ = ua(du) <, så vi kan definere Palmfordelingen 0 A P hørende til A. Idet {R(t)} betegner den fremadrettede rekurrensproces, betragter vi processen Z = ({R(t)} t 0, S). I det følgende argumenteres for, at de tids- og eventstationære fordelinger for Z ikke er ens. Hvis Z skal være tidsstationær, skal der bl.a. gælde, at fordelingen af R(t) er uafhængig af t. Vi har tidligere set, at dette er ækvivalent med, at A 0 er lig med Palmfordelingen A P. Hvis Z er tidsstationær mht. P gælder, således for alle t 0 og alle Borelmængder, B, at P(R(t) = B) = A P (B). For at Z er eventstationær mht. P kræves bl.a., at R(S 0 ) har samme fordeling som R(0), dvs Palmfordelingen A P. Imidlertid angiver R(S 0 ) ventetiden fra S 0 til næste fornyelse S 1, der pr. antagelse følger fordeling A. En forudsætning for, at en fornyelsesproces kan være både tidsstationær og eventstationær mht. P er således, at ventetidsfordelingen, A, og den tilhørende Palmfordeling, A P, er ens. Hvis A ikke lever på et gitter, er A = A P netop, hvis A er eksponentialfordelt. Det er et specialtilfælde af sætningen i afsnit 1.3, at Z er tids- og eventstationær i dette specielle tilfælde.

3 Palm teori Eksempel 2: Kø-teori Vi betragter et køsystem med et betjeningssted. Det antages at ventetiden mellem kunders ankomst til køen er uafhængige og identisk fordelte og uafhængige af betjeningstiderne. Disse antages tillige at være uafhængige og identisk fordelte. Med Q(t) betegnes køens længde til tid t. Vi lader T være den voksende følge af tidspunkter givet ved T n : n + 1-te gang, der sker en ændring i kølængden, dvs. enten når kunder ankommer eller når kunder er blevet betjent Betegner vi med P s den tidsstationære fordeling (underforstået at denne eksisterer), vil vi ved simulation illustrere, at den tidsstationære fordeling af kølængden afviger fra kølængen observeret til tiderne T. Vi har tidligere set, at ovenstående køsystem udgør en regenerativ proces, med tidspunkter hvor kunder ankommer til en tom kø som regenereringstidspunkter. Fordelingen af kølængden, P s (Q(0) B), under den tidsstationære fordeling er i nedenstående simulation simuleret ved regenerativ simulation (sort). Samtidig er optegnet et pindediagram over kølængden observeret til tiderne T. Tidsstationære og eventstationære fordeling af kølængden Punktsandsynligheder Kølængde Heraf ses blandt andet, at den gennemsnitlige kølængde over tid er mindre end den gennemsnitlige længde af køen observeret til tiderne T.

4 4 A. T. Jensen 1.3 Palmfordelinger og PASTA I dette afsnit betragtes en stokastisk proces Z = (X, T ) på et måleligt rum (Ω, F). Den følgende sætning fortæller, hvordan den eventstationære fordeling kan konstrueres ud fra den tidsstationære fordeling. Sætning 1.2 Lad Z være tidsstationær mht. P. Definer et nyt sandsynlighedsmål P 0 på (Ω, F) ved P 0 (Z F ) = Da er Z eventstationær mht. P 0. 1 N(t; t + h] E t<t i t+h 1 (θti Z F ). Fordelingen P 0 kaldes Palmfordelingen hørende til P omend vi ikke kommer nærmere ind på sammenhængen med vores sædvanlige definition af Palmfordelingen. Tilsvarende gælder Palms inversionsformel der fortæller, hvordan den tidsstationære fordeling kan konstrueres ud fra den eventstationære fordeling. Sætning 1.3 Lad Z være eventstationær mht. P 0, og definer P på (Ω, F) ved P (Z F ) = 1 T1 E 0 1 (θtz F )dt. E 0 T 1 0 Da er Z tidsstationær mht. P. I praksis er det som oftest svært at beregne Palmfordelingen og at invertere Palmfordelingen eksplicit. Man kan dog opskrive et tilstrækkeligt kriterium for, at tidsstationaritet medfører eventstationaritet. Vi betragter en proces Z = (X, T ), og betegner med N = {N(t)} t 0 tælleprocessen hørende til T. Vi gør nu følgende antagelser: 1. N er en poissonproces med intensitet λ 2. {N(s) N(t)} t s og {(X(s), N(s))} s<t er uafhængige Sætning 1.4 Lad Z være tidsstationær mht. P. Da gælder under ovenstående antagelser, at: P(X(0) F ) = P 0 (X(T n ) F ).

5 Palm teori 5 Det er nok ikke umiddelbart klart, hvad sætningen siger. Man skal tænke på en situation, hvor man ønsker at observere en stokastisk proces X = {X(t)} til en følge af tidspunkter T som opfylder ovenstående betingelse. Måske ønsker man at bestemme fordelingen af X(T n ). Med henvisning til ergodesætningen vil man formode at for eksempel den empiriske frekvens af {X(T n )}, som havner i en mængde B, er tæt på P 0 (X(T n ) B). Sætningen siger, at hvis vi kender fordelingen af X(0) under den tidsstationære fordeling, så vil P(X(0) B) = P 0 (X(T n ) B). Hvis processen X har venstre kontinuerte udfaldsfunktioner i punkterne T, kan T n erstattes med X(T n ). Dette fænomen omtales i litteraturen som PASTA (Poisson Arrival See Time Averages). 1.4 Eksempel 3: Ventetidsparodokset Lad som i afleveringsopgave 2, C = {C(t)} betegne ventetiden mellem sidste fornyelse før tid t og første fornyelse efter tid t i en fornyelsesproces med ligefordelte ventetider. Lad S betegne fornyelsestidspunkterne for processes, og lad T = {T n } være en poissonproces med intensitet 1, som er helt uafhængig af C. Den tidstationære fordeling af C kan essentielt simuleres som den empiriske fordeling af C(10) i et stort antal uafhængige simulationer af C. Man kan vise at under den tidsstationære fordeling, P, gælder, at P(C(10) x) = { x 2 x 1 1 x > 1

6 6 A. T. Jensen Empirisk fordeling af C(10) Density C(10) Vælger vi i stedet observere C til tidspunkter givet ved S fås en ligefordeling ( ventetidsfordelingen ). Dette skyldes, at C(S n ) = S n, for n N 0. Empirisk fordeling af C(S_n) Density C(S_n)

7 Palm teori 7 Endelig kan vi betragte den empiriske fordeling af C observeret til tidspunkterne T (uafhængig poissonproces). Her foreskriver sætning 1.4, at vi skal få den tidsstationære fordeling af C(10) frem igen. Empirisk fordeling af C(T_n) Density C(T_n)