Stokastiske processer og køteori
|
|
- Thea Svendsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1
2 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser; beregninger. Denne gang: M/M/(m, n m)-køsystemet med n kunder. Køsystemer uden Markovegenskab. OVERBLIK 2
3 KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Ekspeditionstidsproces KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 3
4 KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 1 2. k X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Population Ekspeditionstidsproces KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 3
5 M/M/(m, n m)-køsystemet MED n KUNDER Population på n kunder, m ekspedienter, n m køpladser. Dvs. alle kunder kan være i systemet samtidig (rent ventesystem). Ekspeditionsintensitet b Antager om ankomster at Hver kunde, som ikke er i system, har forsøger ankomst m. ventetider som er eksponentialfordelte med intensitet a. Mao. ankomstintensitet er tidsuafhængig for et givet antal tilbageværende kunder i populationen. Med x kunder i systemet, vil ankomstintensiteten være ankomstintensitet = a(n x), x kunder i system. M/M/(m, n m)-køsystemet MED n KUNDER 4
6 EKSEMPEL 3 computere, 6 ventepladser, 6 brugere. Ankomstintensitet per bruger: 2/time. Ekspeditionsintensitet: 1/time. Husk; ventetid på færdiggørelse af k 2 ekspeditioner er fordelt som S = min{s 1,...,S k }, S i Exp(b). Dvs. S Exp(kb). Ankomstintensiteter/ekspeditionsintensiteter Antal kunder i system Antal kunder i population Ankomstintensitet Ekspeditionsintensitet EKSEMPEL 5
7 HOPDIAGRAM FOR M/M/(m,n m) MED n KUNDER a a(n 1) a(n m+1) a(n m) an m-1 m m+1 n-1 n b 2b mb mb mb Ankomstintensitet med x kunder er a(n x). Hvis der er i < m kunder i systemet er færdiggørelsesintensitet ib. 2. i m kunder i systemet er færdiggørelsesintensitet mb. Hvis der er n kunder i systemet, er kundepopulationen udtømt. HOPDIAGRAM FOR M/M/(m, n m) MED n KUNDER 6
8 LIGEVÆGT FOR M/M(m,n m) MED n KUNDER Køsystemet kan beskrives vha. en fødsels- og dødsproces. Lad A = a/b betegne trafiktilbudet. Vha. formler i Andersen (2001), p. 50, fås ligevægtsfordeling p 0 = p k = = ( m 1 x=0 ( n x ( ) n A x + x n x=m n! (n x)!m!m x max) 1 ) A k p 0 hvis 0 k m; n! A k p (n k)!m!m k m 0 hvis m k n. ( n ) x A k p 0 hvis 0 k m; ( k mpm (n m)! A (n k)! m) hvis m k n. Ligevægt eksisterer for ethvert valg af A > 0 (antager n < ). LIGEVÆGT FOR M/M(m, n m) MED n KUNDER 7
9 KARAKTERISTISKE STØRRELSER Effektiv ankomstintensitet: a e = a gnsnt. antal kunder tilbage i population = a Udnyttelsesgrad af ekspedient: Gnsnt. kølængde: E = a e mb n (n k)p k. k=0 L q = n k=m+1 (k m)p k Gnsnt. ventetid i kø: V q = L q a e. KARAKTERISTISKE STØRRELSER 8
10 BEREGNINGER I EXCEL Binomialfordelingen med antalsparam. n, sandsynlighedsparam. p = A 1+A P(X = k) = Når 0 k m ( ) n ( A ) k ( 1 k 1 + A A ) n k = (1+A) n 1 + A ( ) n A k. k p k = POTENS(1+A;n) * BINOMIALFORDELING(k;n;A/(1+A);FALSK) *p 0 Når m k n p k = POISSON(n-k;m/A;FALSK)/POISSON(n-m;m/A;FALSK)*p m p 1 0 = POTENS(1+A;n)*(BINOMIALFORDELING(m;n;A/(1+A);SAND)+ POISSON(n-m-1;m/A;SAND)/POISSON(n-m;m/A;FALSK)* BINOMIALFORDELING(m;n;A/(1+A);FALSK)) BEREGNINGER I EXCEL 9
11 KØSYSTEMER MED MARKOVSTRUKTUR REKAPITULATION Vi har i kurset indtil videre set på tilfælde, hvor antal kunder N(t) i systemet er en Markovproces: M/M(1, n). Ankomstprocessen er en Poissonproces, der er 1 ekspedient, n ventepladser, og ekspeditionstider er uafhængigt eksponentialfordelte. M/M(m, n m). Ankomstprocessen er en Poissonproces, der er m ekspedienter, n m køpladser, og ekspeditionstider er uafhængigt eksponentialfordelte. M/M(m, n m) med n kunder i population (eksponentialfordelte ventetider på ankomster). I alle ovenstående tilfælde fandt vi, at N kunne beskrives vha. en fødsels- og dødsproces. KØSYSTEMER MED MARKOVSTRUKTUR REKAPITULATION 10
12 HVAD FIK DET TIL AT VIRKE? a 0 a n b 1 b 2 Overgangsintensiteterne afhænger kun af tilstanden og ikke af tiden tilbragt i tilstanden ( hukommelsesløs egenskab ved Poissonproces og eksponentialfordeling)! Når vi bevæger os bort fra setup et med eksponentialfordelte ventetider (dvs. tidsuafhængige overgangsintensiteter), er N(t) generelt ikke en Markovproces. HVAD FIK DET TIL AT VIRKE? 11
13 G/GI(1, )-KØSYSTEMET Stationær ankomstproces m. i snit a ankomster per tidsenhed. U: tiden mellem to ankomster. Opfylder EU = 1/a. S: ekspeditionstiden for en kunde (fra fast generel fordeling). Antal kunder i system er generelt ej stationær Markovproces; overgangsintensiteter afhænger af tid i tilstand. Ligevægt/stabilitet (dvs. P(N(t) < ) = 1) kræver EU > ES. Vi kan ikke udregne performancestørrelser som tidligere. Uligheder for gennemsnitlig kølængde og gennemsnitlig opholdstid i køen V q VarU + VarS, 2(EU ES) (Andersen (2001), pp ); L q VarU + VarS a 2(EU ES), (af Little s formel). G/GI(1, )-KØSYSTEMET 12
14 M/GI(1, )-KØSYSTEMET Ankomstproces Poisson; ekspeditionstider er uafhængige og følger generel fordeling; 1 server; uendeligt mange køpladser. Ankomstintensitet a; gennemsnitlig ekspeditionstid ES = 1/b. Antag desuden A = a/b < 1 (nødv. for ligevægt/stabilitet). Så gælder Pollaczek-Khintchin s formler for gnsntl. opholdstid i kø/gnsntl. kølængde: V q = b A 1 A (1 + C2 v), C 2 v = VarS (ES) 2 V q = L q /a, (v. brug af Little s formel) Her kaldes C v variationskoefficienten for S. Bemærk at 1 + C 2 v = ES 2 /(ES) 2. M/GI(1, )-KØSYSTEMET 13
15 ARGUMENT FOR PK-FORMEL I Hvis W ventetid for en ankommende kunde gælder EW = V q = L q }{{} gnsnt. kølængde ES }{{} gnsnt. ekspeditionstid + ER }{{} arbejdsbyrde (residual eksp. tid) V q = EW følger af PASTA for køsystemer med Poisson ankomstproces: fordelinger (af W, L og R) i et ankomsttidspunkt er de samme som til et vilkårligt tidspunkt. Little s formel L q = av q medfører EW = a b V q + ER EW = ER 1 A. Vi skal altså indse, at ER = 1 2 aes2. ARGUMENT FOR PK-FORMEL I 14
16 ARGUMENT FOR PK-FORMEL II R(t) Skraveret område: samlet arbejdsbyrde over [0, t] 0 t I løbet af t tidsenheder ankommer n(t) trekanter, En(t) = λt. Gnsnt. værdi af R(t) i det lange løb : ER = lim t 1 t t 0 R(s)ds = 1 n(t) t i=1 1 2 S2 i = n(t) } {{ t } λ n(t) 1 1 n(t) 2 S2 i i=1 } {{ } 1 2 ES2 Dvs. ER = 1 2 aes2. ARGUMENT FOR PK-FORMEL II 15
17 ET PAR SPECIALTILFÆLDE AF PK-FORMLEN M/M(1, )-køsystemet: For eksponentialfordelte ekspeditionstider S gælder Dvs. V q = b C 2 v = VarS (ES) 2 = 1/b2 1/b 2 = 1. A 1 A (1 + 1) = 1 b A 1 A. Blot den velkendte formel for gnsnt. tid i kø i M/M(1, ). M/D(1, )-køsystemet: For deterministiske ekspeditionstider S gælder C 2 v = VarS = 0, (da VarS = 0). ES2 Dvs. V q = b A 1 A. ET PAR SPECIALTILFÆLDE AF PK-FORMLEN 16
18 EKSEMPEL I et produktionssystem m. uendeligt mange ventepladser ankommer emner efter en Poissonproces med intensitet 3 per time. Ekspeditionstider er fordelt med middelværdi 15 minutter og en standardafvigelse på 5 minutter. Hvad er den gennemsnitlige kølængde? Løsning: a = 3; 1/b = 1/4; A = 3 1/4 = 3/4 Erlang. Variationskoefficient for ekspeditionstider C v = 5/15 = 1/3. PK-formlen giver V q = /4 1 3/4 (1 + 1/9) = 5/12 = 25 minutter. EKSEMPEL 17
19 M/E s (1,n 1)-SYSTEMET Ankomstproces Poisson (med intensitet a). Ekspeditionstider Erlangfordelte af orden s (m. middelv. 1/b). Husk; S er Erlangfordelt af orden s med middelværdi 1/b hvis S = s S i, S i iid Exp(bs). i=1 Antal kunder i system til tid t er ikke som udgangspunkt en Markovproces men kan indlejres i en Markovproces. Trick: En ekspedition sammensættes af s delekspeditioner, som er uafhængige og eksponentialfordelte med middelværdi 1/(sb). M/E s (1, n 1)-SYSTEMET 18
20 Systemtilstande (0, 0). Systemet er tomt. (i, j); 1 i n; 1 j s. Der er i kunder i systemet, og ekspedienten er i gang med den jte delekspedition. Udvikling af systemtilstande kan beskrives vha. Markovproces (se hopdiagram p. 76 i Andersen (2001)). Dvs. systemproces er nu en 2d-Markovproces K(t) = (N(t), M(t)), hvor N(t) M(t) = antal kunder i system til tid t = delekspedition for den nyeste kunde. Vi kan opstille ligevægtsligninger for hver tilstand (i, j) og løse numerisk. Se p. 179 i Andersen (2001) for pseudokode. M/E s (1, n 1)-SYSTEMET 19
21 TO SPECIALTILFÆLDE Afvisningssystemet M/E s (1, 0): Ligevægtsligninger i M/E s (1, 0) kan løses eksakt. (0,0) a sb sb (1,1) (1,2) (1,s-1) (1,s) sb p 00 = 1 1+A, p 1j = A s(1+a), j = 1, 2,...,s. Udnyttelsesgrad E = 1 p 00 = A 1+A. Ventesystemet M/E s (1, ): Brug PK-formlen: L q = A2 1 A 1+s 2s ; V q = 1 b A 1 A 1+s 2s. TO SPECIALTILFÆLDE 20
22 APPROKSIMATIONER I M/E s (1,n 1) Lad L q (A, s, n) være gnsntl. kølængde i M/E s (1, n 1). Vi ved at lim n L q (A, s, n) = lim n L q (A, 1, n) 1+s 2s Under hvilke antagelser gælder dette også for n lille? Hvis A < 1 gælder L q (A, s, n) L q (A, 1, n) 1+s 2s. Hvis A > 1 gælder L q (A, s, n) L q (A, 1, n). Se Andersen (2001) pp Endvidere gælder for afvisning og forsinkelse B(A, s, n) B(A, 1, n); D(A, s, n) D(A, 1, n); undtagen hvis både n lille og s er stor. APPROKSIMATIONER I M/E s (1, n 1) 21
23 Køsystem med... M/E s (m,n m)-køsystemet Poisson ankomstproces. Ekspeditionstider Erlangfordelte af orden s. m ekspedienter; n m ventepladser. Ingen simpel rekursiv løsning som for M/E s (1, n 1). Simulation nødvendig for performanceevaluering. Approksimationer (Andersen (2001), 2.6.5): Hvis A < m gælder L q (A, s, m, n) L q (A, 1, m, n) 1+s 2s. Hvis A > m gælder L q (A, s, m, n) L q (A, 1, m, n). M/E s (m, n m)-køsystemet 22
24 OPSUMMERING: HVAD KAN I REGNE EKSAKT PÅ? 1. M/M(m, n m)-køsystemer, evt. med n =. 2. M/M(m, n m)-køsystemer med n kunder. 3. M/E s (1, n 1)-køsystemet. 4. Gnsntl. kølængde/gnsntl. ventetid i kø i M/GI/(1, )-køsystemet vha. PK-formler. 5. Visse andre specialtilfælde (herunder visse kønetværk mere herom til næste forelæsning). OPSUMMERING: HVAD KAN I REGNE EKSAKT PÅ? 23
Stokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs mereVi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereHvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering
Læs mereKræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.
Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.
Læs mereLidt supplerende køteori (ikke pensum)
H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen
Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereStatistik for ankomstprocesser
Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOperationsanalyse, Ordinær Eksamen 2017I Rettevejledning
Operationsanalyse, Ordinær Eksamen 207I Rettevejledning Opgave A Ifølge de givne oplysninger skal der ialt udbringes 000 kg gødning i årets løb. Det fremgår videre af teksten, at der ønskes udbragt en
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereFordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.
Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.
Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs merePeter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Stationært punkt beregnes. f (x) = 0 Den afledte sættes lig nul for at bestemme stationært punkt. 5 ln (x) + 5 = 0 Funktionen er differentieret ved hjælp af produktreglen. ln (x) = 1 Der er
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereEn hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension
En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension Claus Munk 1. september 017 1 Sammenfatning Den pension, som en pensionsopsparer en kunde) ender med at få, er usikker både på
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereRolf Fagerberg. Forår 2012
Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mere