ÖLL BÖRN LÆRA en ekki jafnhratt Anna Jørgensen, Zahle Seminarium, København Anna Kristjánsdóttir þýddi í apríl 2002 fyrir vefsetrið Stærðfræðin hrífur Greinin birtist fyrst í danska tímaritinu Matematik 25(3) árið 1997. Öll umræða í henni um lög, námskrá og aðra stefnumörkun, á við danskar aðstæður og þarlend skrif. En margt er líkt með skyldum og íslenskir kennarar ættu að endurþekkja ýmislegt í þessari umræðu og því að hafa af henni fullt gagn sem og öðrum hlutum greinarinnar. Verði á hlutum er ekki breytt heldur miðað við þær dönsku aðstæður sem sagt er frá og danskar krónur, án þess að það sé tekið sérstaklega fram á hverjum stað. Mér finnst ég mestmegnis geta kennt þannig að ég taki bæði tillit til nemenda sem gengur vel og hinna sem ekki gengur eins vel. En í 6. bekknum mínum er telpa sem er 3-4 árum á eftir hinum og ég hef ekki hugmynd um hvað ég á að gera fyrir hana. Hvað getum við gert fyrir þá nemendur sem standa allra verst að vígi? Það var reyndur kennari sem spurði. Og á endurmenntunarnámskeiðum sem ég hef haldið undanfarin ár hefur oftast verið spurt hliðstæðra spurninga. Það gefur vel til kynna erfiðleika reyndra kennara sem reyna að mæta þörfum allra nemenda. Þessi grein er tilraun til að draga þau börn sem verst standa að vígi inn í umræðuna um stærðfræðiörðugleika. Ég ætla að gera það með því að segja sögu af minni eigin fjölskyldu. Hugleiðingum mínum um nám barna, sem stríða við verulega námsörðugleika, finnst mér ég koma best á framfæri á þann hátt. Eftir frásögnina fjalla ég stuttlega um nýju skólalögin í Danmörku og hvað þar er sagt um stærðfræðiörðugleika. Í lokin kem ég aftur að frásögninni og spyr hvað megi af henni læra. Frásögn Við erum stödd á Stórabeltisferjunni milli Sjálands og Fjóns (nú liðin tíð). Þetta er í sumarleyfinu í júlí 1990. Persónur eru Eva 10 ára og móðir hennar (sem skrifar þessa grein). Við vorum að ljúka við að borða morgunmat í matsalnum. Eva var farin að teikna. Ég var að lesa síðasta númer af Matematik. Þar skrifar Leif Ørsted grein til foreldra og kennara um hve mikilvægt það sé að nám eigi sér stað hjá þeim sem er að læra. Að börn læri ekki öll jafnhratt. Að hæfileikar og áhugamál séu breytileg. Að það skipti máli að gera kleift að nota þá heilbrigðu skynsemi sem nemendur búa yfir. Að maður læri best þegar manni líður vel. Ég les áfram. Á öðrum stað í blaðinu eru börn beðin um að skrifa um alla þá stærðfræði sem þau upplifa eða nota á einum degi. Við Eva sitjum hér. Hún með teikninguna sína og ég með blaðið mitt. Eva er frábær 10 ára telpa. Hefur yndi af að spyrja, er opin, fróðleiksfús og full af orku, tilbúin til að finna út hvað sem er, kann að undrast, kemur með athugasemdir, rökræðir. og er mongólíti. Það er svo augljóst hvað henni líður vel. Stærðfræðihæfileikar hennar eru litlir, áhugi á tölum og að leysa þrautir er mikill, öðru hverju. Hún er fær um að nýta heilbrigða skynsemi. En hún gerir það hægt. 1
Ef ég ætti, eins og stungið er upp á í Matematik, að skrifa niður hve mikla stærðfræði Eva notar þennan dag í fríinu okkar, gæti ég fyllt allt þetta hefti. Það gengur auðvitað ekki svo ég vel einstakan atburð. Við höfðum rætt um að kaupa ís í brauðformi eftir morgunmatinn. Eva: Nú er ég tilbúin að kaupa ísinn. Ég: Ertu búin að gá að því hvort þú ert með nóga peninga? Allir peningarnir eru settir á borðið. Eva aðgætir hvað hver peningur heitir. Ætli þetta sé nóg? Ég hugsa: Peningarnir fimm á borðinu eru við þessar aðstæður eitt það óhlutbundnasta sem hugsast getur fyrir Evu. Hvernig í ósköpunum getur hún fundið út hvort hún eigi nóg fyrir ís sem kostar 10 krónur? Hvernig get ég hjálpað henni að breyta fimmkrónu peningunum í einnar krónu peninga úr því að ég er ekki með neina slíka? Ég reyni að nýta það sem er innan seilingar og rétti upp alla fingur því að þá er hún vön að nota þegar hún telur. Ég: Hve margir eru hér? Eva: Enginn! Auðvitað! En heimskuleg spurning. Og glæsilegt svar. Ég: Hve margir fingur eru hér? Eva: 5 Ég: Það eru 5 fingur hér (ég sýni þá) og það eru 5 krónur hér (og bendi á). Þetta er endurtekið með hina höndina og hinn 5 krónu peninginn. Og þá voga ég mér að taka stökkið og spyr: Er þetta nóg? Eva: 10! Það er nóg! Án þess að hika. Og með hrifningu þess sem sjálfur hefur leyst viðfangsefnið. Þetta snérist um ís í brauðformi. Og þetta snérist um færa sér í nyt heilbrigða skynsemi. Upplifunin var sterk. Það var hún m.a. vegna þess að við höfðum svo ótal sinnum keypt eitthvað án þess að Eva hefði nokkurn áhuga á því hve mikið hún ætti að borga. Um langt skeið hefur það 2
verið nóg viðfangsefni að finna út hvernig maður fer að því að versla í búð. Maður finnur hvað maður ætlar að kaupa, fer í röðina, hellir peningunum úr buddunni og fær eitthvað til baka. Jafnvel fær maður stundum meira til baka en maður var með. Af einhverjum ástæðum er dagurinn í dag sá sem hún tekur stökkið. Og ég veit það þegar ég sit þarna í matsalnum og spyr: Ertu með nóga peninga Eva? Áður hefur Eva bara dregið mig með sér að afgreiðsluborðinu. Það hefur verið mitt vandamál hvort við hefðum nóga peninga. Í dag er hún tilbúin að eigna sér vandamálið. Ég veit það þar sem við sitjum þarna saman en hvorki ég né nokkur annar mun geta sagt örugglega hvers vegna þessi dagur var dagurinn. Nú er nokkuð um liðið og árið er 1996. Eva er 16 ára. Við erum aftur á leið frá Sjálandi yfir á Fjón í sumarfrí. Og aftur ætlum við að versla. En nú er ekki nóg að vita hvort við eigum næga peninga til að kaupa ís. Það á líka að kaupa Andrés-blað. Og Eva vill gjarnan vita hve mikla peninga hún eigi alls, ekki aðeins hvort hún eigi nóg fyrir því sem hún ætlar að kaupa. Hún flokkar peningana sína, krónur sér, tveggjakrónu peninga sér, fimmkrónu peninga sér o.s.frv. Hún veit að það er auðveldara að byrja að telja tuttugukrónu peningana fyrst, síðan tíukrónu peningana o.s.frv. Og hún veit að talnarunurnar sem hún þylur við hverja peningsgerð eru mismunandi. Hún kann ekki ennþá talnarunur fyrir tveggjakrónu peninga og tuttugukrónu peninga. En hún flokkar og telur. Og stundum kemst hún að réttri niðurstöðu! En í dag nennir hún ekki að klára talninguna. Í staðinn spyr hún hvað ég eigi margar myndir eftir á filmunni í myndavélinni. Hún er sjálf byrjuð að taka myndir. Hún vill gjarnan vita hve margar eru eftir. Það stendur 6 á vélinni og á filmunni eru 24 myndir. Þrautin er ekki einföld. Eva kann enga leið til að leysa hana. Hún þarf að finna eitthvert hjálpartæki til þess að hugsa með. Við byrjum að teikna og ræða. Við hjálpumst að. Lesandinn getur nú sjálfur búið til eina af mörgum frásögnum sem gætu lýst því sem þarna átti sér stað. Síðar í greininni er vitnað nokkrum sinnum í þessar tvær sögur. En lítum á nýju skólalögin og það sem vekur mesta athygli í þeim, námsaðgreining. Árið 1995 litu ný skólalög dagsins ljós. Og 1996 komu út hefti fyrir einstakar námsgreinar. Þar var að finna markmið námsgreinarinnar, meginsvið þekkingar og færni, námskrá og leiðbeiningar um kennslu. Allt liggur þetta nú fyrir. Skoðanir manna hafa einkum verið skiptar varðandi námsaðgreiningu, markmið og námsmat. Eigi námsaðgreining að vera stefnumarkandi atriði, eins og sagt er, hefur það augljóslega verulegar afleiðingar fyrir stærðfræðiörðugleika. Lítum aðeins á það sem sagt er: Um námsaðgreiningu Námsaðgreining fær nú stefnumarkandi hlutverk í kennslu þar sem til grundvallar eru lagðar mismunandi forsendur, möguleikar, þarfir og áhugi hinna einstöku nemenda. Þetta er gert til að 3
nýta í samstarfi fjölbreytileika þeirra við að ná fram bæði sameiginlegum markmiðum og einstaklingsbundnum. Markmið allrar kennslu er að þroska sjálfstæða hæfni og forsendur nemendanna og leiðin til þess felst í því að nýta möguleika þeirra. Úr grunnskólalögunum 18. grein: Skipan kennslunnar í öllum námsgreinum, þ.m.t. val á kennsluháttum og vinnubrögðum, aðferðum, námsgögnum og kennsluefni, á að vera í samræmi við markmið grunnskólans og fjölbreytileikinn á að vera slíkur að komið sé til Nr.2 Nr.4 móts við þarfir og forsendur hvers einstaks nemanda. Það er hlutverk skólastjórnenda að tryggja að bekkjarkennari og aðrir kennarar bekkjarins skipuleggi og undirbúi kennslu þannig að hún veiti öllum nemendum eðlilega vitræna ögrun. Í hverjum bekk og hverri námsgrein starfa kennari og nemandi saman við að ákveða þau markmið sem ætlunin er að ná. Vinna nemandans miðast við þessi markmið. Ákvörðun um hvernig unnið er, hvaða aðferðir notaðar og hvaða efni er lært, á eftir því sem frekast er unnt að vera tekin í samstarfi kennara og nemenda. Úr markmiðum fyrir stærðfræði Nr.2 Kennslu skal haga þannig að nemendur byggi upp stærðfræðilega þekkingu og kunnáttu sína út frá eigin forsendum. Úr námskrá (2.-4. bekkur) Hver einstakur nemandi á að fá möguleika til að þróa eigin aðferðir til þess að ákveða fjölda við samlagningu og frádrátt (4.-8. bekkur) Í vinnu með náttúrlegar tölur þróa nemendur áfram eigin aðferðir við útreikning. Staðlaðar aðferðir eru kynntar ef það kann að einfalda vinnuna. Ennfremur er í lögunum lögð rík áhersla á samhengið milli uppbyggingar einstaklingsins á þekkingu og mikilvægis samstarfs við uppbyggingu þekkingar. Og að lögin gildi fyrir alla nemendur. Stærðfræðiörðugleikar Hvað segja nýju lögin um stærðfræðiörðugleika? Eiginlega segja þau ekki neitt beint. Engu að síður er talsvert um slíkt fjallað. Að val á kennsluháttum og vinnubrögðum, aðferðum, námsgögnum og efni skuli í öllum námsgreinum vera svo fjölbreytilegt að það svari til þarfa og forsenda einstakra nemenda borið saman við að hver einstakur nemandi eigi að eiga þess kost að þróa eigin aðferðir gera miklar kröfur til kennara um að taka fullt tillit til bæði bráðgerra nemenda og hægfara við alla kennsluna, allt frá fyrstu skipulagsdrögum og út í gegnum framkvæmdina. Lögin taka sem sagt afstöðu gegn kennslu þar sem megintillit er tekið til miðjuhópsins og síðan bætt upp fyrir það með sérkennslu handa þeim nemendum sem lenda í stærðfræðiörðugleikum vegna þess að þeim er ekki gefinn gaumur í kennslu sem þeir eru þó hluti af. 4
Já, en er eðlilegt að lög taki afstöðu gegn slíkri kennslu? Er ekki þvert á móti gott að börn sem búa við þessa örðugleika fái sérkennslu? Á vissan hátt má játa því. Sérhvert barn á heimtingu á sérstakri kennslu. Vandinn er hins vegar sá að mikil hætta er á því í sérkennslu að unnið sé út frá örðugleikunum í stað þess að leggja vinnuna upp út frá möguleikunum. Sé það rétt að sjálfstæð hæfni nemandans eflist við að hans eigin möguleikar séu nýttir, er vafasamt að leggja til grundvallar það sem nemandinn hefur sýnt að hann getur ekki. Hinn vandinn er sá að þegar talað er um örðugleika hugsa menn ósjálfrátt sem svo að einhver eigi þessa örðugleika. Allt eins og nemendur eiga viðfangsefni (og við viljum gjarnan að nemendur eigni sér stærðfræðileg viðfangsefni þegar við erum að kenna stærðfræði), geta þeir átt örðugleikana. Og þar með höfum við staðsett ábyrgðina á þessum örðugleikum hjá nemandanum sjálfum. Það er í ósamræmi við þær hugmyndir að þekking verði til í samskiptum fólks. Ef hið síðara er rétt hljóta örðugleikar við að skapa þekkingu og öðlast hana einnig að verða til í samskiptum fólks. Örðugleikana er þar af leiðandi. ekki hægt að staðsetja hjá nemandanum einum og sér heldur verður að líta á þá í samhengi. Reynsla mín segir mér að stór hluti sérkennslu hafi byggst á röngum forsendum vegna þess að athygli hefur verið beint að örðugleikum í stað þess að skoða möguleika vitrænnar ögrunar. Og vegna þess að fólk hefur talið að sérstakar námsaðferðir eigi við varðandi börn sem læra hægar en önnur börn. Frásögnina af Evu tók ég ekki með í þessi skrif til þess að gera þau persónulegri heldur til þess að leggja áherslu á að jafnvel þegar maður er staddur yst í dreifingunni sem Leif Ørsted talar um í greininni sinni, já jafnvel svo langt úti að um er að ræða nemanda sem alla jafna ekki er í almennum skóla, þá lærir maður samt alveg eins og önnur börn. Og allt eins og þau, á maður kröfu á að það sem maður fæst við beri í sér merkingu, að maður sé sjálfur virkur í námsferlinu og að maður taki sjálfur þátt í að setja markmið og geri sér grein fyrir hvernig manni miðar að þeim. Að nota orðið stærðfræðiörðugleikar getur hindrað kennara í að líta á viðkomandi nemanda sem hæfan einstakling með möguleika sem kennaranum ber skylda til að grundvalla starfið á. Ég hef reynt að leggja áherslu á að sérhver nemandi er hæfur einstaklingur. Og að nýju skólalögin og námskráin í Danmörku setji það í grundvallarsess við að setja námsaðgreiningu sem meginstefnu og að draga hvert einasta barn inn í hugsun um markmið og mat á hvernig gangi. Um framsetningarmáta En varla getur það gert sömu kröfur til kennara að kenna nemanda sem á létt með stærðfræði og nemanda sem lendir í erfiðleikum með stærðfræði? Væntanlega er einhver munur á því? Að sjálfsögðu er það rétt. Mismuninn er hægt að skoða frá mismunandi sjónarhornum. Ég vel að líta á þetta út frá framsetningarmáta stærðfræðilegrar þekkingar, spurningunni um hvernig stærðfræðileg þekking er sett fram. Í mörgum skólum í Danmörku er löng og góð hefð komin á það í stærðfræðináminu að nota hluti til að hugsa með og framkvæma. Við N. Zahles kennaraskólann í Kaupmannahöfn, þar sem ég starfa, vinnum við með u.þ.b. 50 mjög hæfum æfingakennurum í stærðfræði. Í hugum þeirra og bekkjarstarfi er hvers kyns efniviður, teikningar og bæði talað mál og ritað 5
allt saman framsetningarmátar fyrir stærðfræðilega þekkingu, sem fengist er við að byggja upp. Og þetta allt nota bæði kennarinn og nemendur sem verkfæri. Um þetta mætti skrifa margt gott. Það sem mér er svo hugleikið, í því sem við glímum nú við, er að litið sé á þennan mismunandi framsetningarmáta sem verkfæri nemandans við að skapa sína eigin þekkingu - og ekki sem þrep í þróunarferli sem kennarinn heldur að hann/hún viti hvernig muni ganga fyrir sig. (Sjá Dan B. Eriksen: Personlige og sociale sider ved elevers tilegnelse af faglig viden og kunnen i folkeskolens matematikundervisning, side 178-195). Við höfum tilhneigingu til að líta á hluti í náminu, t.d. peninga, sem ákveðinn framsetningarmáta. Við höfum líka mikla reynslu af að nota þá. En langt er í frá að það gildi um alla hluti. Látum frásögnina hér á undan hjálpa okkur til að taka eftir því. Þar var hið hlutbundna vitneskjan um að ís í brauðformi kostaði 10 krónur. Og það hlutfirrta voru peningarnir sem lágu á borðinu. Fimm krónur eru á vissan hátt hlutbundnari en myntirnar sem liggja á borðinu. Orðasambandið fimm krónur er hluti af virkum orðaforða Evu. Hún er vön að nota það, leggur ekki sömu merkingu í það og við hin fullorðnu, en hefur reynslu af því hvað hægt er að kaupa fyrir fimm krónur. Það segir henni eitthvað. Þar sem aftur fimmkrónu peningurinn á borðinu er 1 hlutur en táknar 5. Við þessar aðstæður er það eins hlutfirrt og hugsast getur. Við kennslu nemenda, sem læra hægt, er mikilvægt að hlusta vel á þá til þess að átta sig á hvernig nemandinn hugsar og hvað hjálpar honum til að hugsa. Það eru ekki endilega þau hjálpargögn sem kennarinn hafði hugsað sér að ætti að nota fyrst. Það er ekki létt að fullyrða hvað sé hlutbundið (konkret) og hvað hlutfirrt (abstrakt) í huga hins einstaka nemanda við einhverjar tilteknar aðstæður. Þetta á við um nemandann sem lærir mjög hægt - og þetta á líka við um aðra nemendur. Að skipta um samhengi (kontext) Hvernig átti að breyta fimmkrónu peningunum tveimur í krónupeninga þegar ég var ekki með neina slíka við höndina? Mín tilraun til þess var að nota það sem var við höndina og sýna Evu útrétta fingurna sem hún var vön að nota þegar hún taldi. Vona svo að það gengi að breyta yfir í fingur. Þeir eru innan seilingar. Eva er vön að nota þá. En þetta stökk mistókst. Ég: Eva: Hve margir eru hér? Enginn! Eva var að reyna að átta sig á hve margir peningarnir væru og hélt sér fast við að um það fjallaði viðfangsefnið. Hún lét mig ekki rugla sig þegar ég fór allt í einu að tala um allt aðra hluti. Sem voru utan landamæra Evu. Voru utan við skynsamlega röksemdafærslu hennar. Hún getur auðveldlega sjálf skipt um eins og ég var að gera og gerir það oft. Hún notar til skiptis fingur og hluti, frásagnir og teikningar og vasareikni þegar hún finnur út hve margir. Nemandi, sem lærir hægt, þarf mun meira á því að halda, en sá sem lærir hratt, að kennarinn skapi möguleika fyrir hann til að stjórna sjálfur sínu námi. Það er nemandinn sem veit best hvað hann getur nýtt sér til að hugsa með. En það er kennarinn sem á að vita og þekkja til hinna fjölbreytilegu möguleika sem fyrir hendi eru. 6
Reynslan úr starfi sýnir að það er einmitt erfitt að skipta um faglegt samhengi ef kennarinn er sá sem lætur sér detta það í hug. Þetta samræmist ágætlega fræðilegri þekkingu á að skilning megi skýra út sem hæfileikann til að setja fram og gera grein fyrir venslum mismunandi framsetningarmáta. Það er einmitt það að skipta um framsetningarmáta sem krefst skynjunar (erkendelse) á að um er að ræða það sama. Skiptin sjálf eru erfið. En að að slík skipti á samhengi opni jafnan þeim, sem þau ná til, nýja vídd í skilningi, dregur einmitt skýrt fram þann vanda sem kennarinn glímir stöðugt við: Ef skipti á samhengi takast, eykur það vídd við skilninginn. Ef þau takast ekki, stöðvast sú hugsun sem nemandi er þegar að fást við. Ástæðan fyrir því að vel gekk að lokum í þetta skipti þótt ég skipti um efni (samhengi) og yfir í eitthvað sem Eva tengdi ekki við aðstæðurnar var kannske sú að Eva eins og öll önnur börn, sem vilja komast að einhverju, þau búa yfir ótrúlegum vilja til að ná fram ósk sinni um nám. Bara ef kennarinn býr ekki til of háar hindranir. Það sem nemandinn vill gjarnan ná, er frumkrafturinn í öllu námi, óháð því hvort hann lærir hratt eða hægt. - og svo bíður ís í brauðformi. Lokaorð Tilgangurinn með þessari grein er að draga þau börn, sem veikast standa að vígi, inn í umræðuna um stærðfræðinám. Ég hef reynt að sýna að þau þurfa ekki sérstakar kennsluaðferðir. Að þau eigi forsendur og möguleika allt eins og önnur börn. Að þau byggi upp þekkingu sína og kunnáttu á sama hátt og önnur börn. Að það sé enn mikilvægara fyrir kennara en elle að byggja á forsendum slíks nemanda og möguleikum og að finna hvaða verkfæri hann geti best nýtt sér til að hugsa með. Nýju skólalögin - og einkum þó stærðfræðiheftið (faghæfte i matematik) sem kom í kjölfarið - bera með sér sýn á nám sem er eins og það sem stendur í þessari grein. En hvernig framkvæmdin verður á eftir að koma í ljós. Kennari býr við erfiðar starfsaðstæður og pólitískar umræður gera þær ekki auðveldari, umræður sem beina fyrst og fremst kastljósi að því að duglegi nemandinn læri of lítið. Umræða þar sem það er nánast sjálfgefið að sé hugsað um nemandann sem erfitt á með nám hljóti sá duglegi að gleymast. Það er jafnvel sagt að um allt of langt skeið hafi verið tekið of mikið tillit til þeirra sem erfitt eiga með nám. Ætlan mín með greininni er líka að setja fram efasemdir um að hér sé um andstæður að ræða. 7
Heimildir: 1. Dorrit Christensen og Kirsten Rasmussen. Undervisningsdifferentiering - set gennem praksis. Danmarks lærerforening, 1993. 2. Dan B. Eriksen, 1993. Personlige og sociale sider ved elevernes tilegnelse af faglig viden og kunnen i folkeskolens matematikundervisning. 3. Vagn Rabøl Hansen, Inge Horn og Ole Robenhagen. Undervisningsdifferentiering 1 - idé og grundlag. Danmarks pædagogiske institut, 1992. 4. Ole Harrit, Mogens Jansen og Hans Jørgen Kristensen. Undervisningsministeriet, 1993. 5. Marit Johnsen Høines. Begynderopplæringen Fagdidaktik for matematikkundervisningen i 1.-6. klasse. Caspars forlag, 1989. 6. Matematik. Faghæfte 1. Undervisningsministeriet. Folkeskoleafdelingen, 1995. 8