Fra Taylorpolynomier til wavelets Ole Christensen DTU Matematik Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Ole.Christensen@mat.dtu.dk (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 1 / 27
Plan for foredraget Personlig introduktion Kontinuitet, differentiabilitet Tangenter og Taylorpolynomier af højere grad. 5 5 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 Wavelets - forbrydernes skræk. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 2 / 27
Personlig introduktion Født 1966 Student 1985 (Århus Katedralskole) Cand.scient 1990 (Århus Universitet) Ph.D. 1993 (Århus Universitet) Dr.scient 2002 (Århus Universitet/DTU) Undervisningsansvarlig, DTU Matematik, fra 2008 Leder af forskningsgruppen i Anvendt Funktionalanalyse, DTU, fra 2009 Professor 2010 (DTU) Har boet i Frankrig, USA, Østrig Lange forskningsophold i Kina, Korea, Argentina, Singapore,... (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 3 / 27
Funktionsteori En funktion f : A B er en forskrift, der til hvert element i mængden A knytter et element i mængden B. F.eks. f(x) = x 2, x R. En funktion f er kontinuert i et punkt x 0 hvis grafen for funktionen ikke springer i x 0. 1 K1 0 1 2 3 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 4 / 27
Eksempel på funktion der ikke er kontinuert: 1.0 0.5 K4 K2 0 2 4 6 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 5 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 1 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 1 1 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K1 K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 1 1 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K5.0 K2.5 0 2.5 5.0 K1 K1 K1 Tangenten giver ikke altid en god tilnærmelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. Fortolkning? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 2.5 0 2 4 6 K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 5 2.5 0 2 4 6 0 2 4 6 K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 5 5 2.5 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 5 5 The word "alone" 2.5 0.6 0.4 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 f(t) 0.2 0 0.2 K2.5 0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Time [sec] (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27
Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27
Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! Hvilken funktion f har du lyst til at regne på? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27
Eksempel For f(x) = e x er f (x) = f (x) = = e x. For x 0 = 0 fås P(x) = 1 + x + 1 2 x2 + 1 3! x3 + + 1 N! xn. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 9 / 27
Wavelets - forbrydernes skræk (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 10 / 27
Digitale sort-hvid billeder Et digitalt billede består af et antal små kvadrater - såkaldte pixels. F.eks. 256 256 pixels. Til hver pixel knyttes en gråtone på en skala f.eks. fra 0 til 100, der angiver farvenuancen det pågældende sted. F.eks.: 0: helt hvid 100: helt sort Talparrene bestående af en nummerering af de enkelte pixels og angivelse af den tilhørende farvenuance giver en komplet beskrivelse af billedet. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 11 / 27
Eksempel 100 80 60 40 20 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Pixelværdier i første række: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 12 / 27
Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med 256 256 pixels beskrives et billede af 65.536 talpar; Med 1024 1024 pixels beskrives et billede af 1.048.576 talpar. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27
Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med 256 256 pixels beskrives et billede af 65.536 talpar; Med 1024 1024 pixels beskrives et billede af 1.048.576 talpar. Når sidelængden i hver pixel reduceres med en faktor 4, øges datamængden med en faktor 16! Dyrt at lagre billeder i høj opløsning! At lagre et billede i god kvalitet koster ca. 13 Mb. En CD-ROM kan lagre ca. 60 billeder i god kvalitet. Ok til husbehov! Metoden er ikke brugbar til store mængder billeder! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27
Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27
Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. Løsning: Komprimering af datamængden! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27
Hvorfor virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27
Hvorfor virker det? Den første række i hunden beskrives af 256 talpar - men kan faktisk beskrives ved blot 4! Teknisk forstålse af metoden kræver avanceret matematik. Vi beskriver den simplest mulige udgave af metoden for et talsæt bestående af 8 tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27
Eksempel Vi betragter følgende tal: 56 40 8 24 48 48 40 16 Tallene opfattes som en serie på fire talpar, hvert indeholdende to tal: (56,40), (8,24), (48,48), (40,16) Hvert talpar erstatter vi af to nye tal, nemlig 1) gennemsnittet af de givne tal; 2) forskellen mellem det første tal i parret og den fundne gennemsnitsværdi. I formelsprog: hvert talpar (a, b) er blevet erstattet af et nyt talpar (g, d) givet ved g = a + b 2, d = a a + b 2. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 16 / 27
Eksempel, fortsat Det første talpar i det givne talsæt består af tallene 56 og 40; ovenstående procedure giver os Gennemsnitsværdien er 56+40 2 = 48 Forskelsværdien er 56 48 = 8. Ved at udføre denne process på alle fire talpar bliver tabellen 56 40 8 24 48 48 40 16 omformet til Gennemsnit: Forskelle: 48 16 48 28 8-8 0 12 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 17 / 27
Eksempel, fortsat Tallene g = a+b 2, d = a a+b 2 i tabellen 48 16 48 28 8-8 0 12 indeholder samme information som de oprindelige tal 56 40 8 24 48 48 40 16 Thi: vi kan komme tilbage til de oprindelige tal via inversion, Man taler om rekonstruktion. a = g + d, b = g d. Uklart hvad der er vundet ved omformningen! Vi gemmer spørgsmålet og gentager processen: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 18 / 27
Eksempel, fortsat Givet tabel: 56 40 8 24 48 48 40 16 Første anvendelse af metoden: 48 16 48 28 8-8 0 12 Metoden anvendes igen, men kun på de 4 gennemsnitstal: 32 38 16 10 8-8 0 12 Metoden anvendes igen, men kun på de 2 gennemsnitstal: 35-3 16 10 8-8 0 12 Man kan regne frem og tilbage mellem disse fire tabeller! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 19 / 27
Komprimeringsteknik Tal numerisk under 4 erstattes af nul (thresholding): dvs. tabellen 35-3 16 10 8-8 0 12 erstattes af 35 0 16 10 8-8 0 12 Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række): 59 43 11 27 45 45 37 13 56 40 8 24 48 48 40 16 Tallene ligger tæt på vores oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 20 / 27
Komprimeringsteknik Grovere threshold - smid tal under 9 væk: tabellen 35-3 16 10 8-8 0 12 erstattes af 35 0 16 10 0 0 0 12 Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række) : 51 51 19 19 45 45 37 13 56 40 8 24 48 48 40 16 De nye tal er i mange sammenhænge en acceptabel tilnærmelse. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 21 / 27
Komprimeringsteknik 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Første figur viser det originale signal nederst, og rekonstruktionen med thresholding ved 4 øverst. Anden figur viser det originale signal, og rekonstruktionen med thresholding ved 9. Talfølgen opnået ved rekonstruktion med thresholding ved 9 er i mange tilfælde en acceptabel tilnærmelse til det oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 22 / 27
Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? Ja! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27
Tilbage til FBI (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? Første år efter at metoden blev indført opklarede FBI 800 henlagte sager fra arkivet, herunder 50 mordsager. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27
Andre anvendelser Irisgenkendelse; Wavelets indgår i JPEG2000 (international standard for billedkompression); Videotransmission; Komprimering af musik (MP3-afspillere); Støjreduktion; (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 25 / 27
En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n Masterkursus 01716 (7.semester): fuld beskrivelse af waveletteori. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27
Interesseret i at studere matematik? Check internetsiden www.bliv-matematiker.nu (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 27 / 27