Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock
|
|
- Hanna Bro
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009
2 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være lidt mere præcise, men Mat A bogen giver en udemærket introduktion og motivation for at beskæftige os med matematisk logik. Hvis man er interesseret i at læse mere om logik på dansk, kan man læse bogen Moderne elementær logik [3]. Denne bog er mest loso sk orienteret. For brug i matematik er bogen Logic for Mathematicians [2] mere relevant. Denne fremstilling bygger dog på mange ande kilder end de ovennævnte bøger. 2 Udsagn Et udsagn er en ytring noget, som kan antage en af to værdier. I logik kaldes disse værdier sand og falsk. Enhver ytring vil naturligvis blive sagt eller skrevet i en bestemt person i en bestemt situation. Tolkningen af udsagnet vil afhænge af situationen. Med mindre vi kender konteksten kan det derfor være svært at tillægge et udsagn en sandhedsværdi. Eksempel 1 Udsagnet "Månen er lavet af grøn ost" vil vi tildele sandhedsværdien falsk. Udsagnet "manden hedder Søren" har ikke på samme måde en bestemt sandhedsværdi. Sandhedsværdien vil afhænge af hvem vi henviser til, når vi siger "manden". Hvad man mener med ordet sand, er noget som har optaget losofer i årtusinder, men er faktisk ikke så interessant for den teori vil skal kigge på. Følgende de nition står ikke bogen Mat A, men burde gøre det noget noget klarere hvordan hvordan begrebet logisk ækvivalens skal forstås. De nition 2 Ved en udsagnsform vil vi forstå et udsagn skrevet på en bestemt måde. En udsagsform er med andre ord en sekvens af symboler (bogstaver, tal, matematiske og logiske symboler osv.). To udsagnsformer siges at være logisk ækvivalente dersom de har samme sandhedstabel. Hvis P og Q betegner udsagn, skal vi ifølge ovenstående de nition opfatte P ^ Q og (P ^ Q) som forskellige udsagnsformer, som er ækvivalente. Opgave 3 Vis at P er logisk ækvivalent med : (:P ) : Opgave 4 Vis de Morgans regler : (P ^ Q) (:P ) _ (:Q) ; : (P _ Q) (:P ) ^ (:Q) : 1
3 Opgave 5 Vis de kommutative, associative og distributive love: A ^ B = B ^ A ; A _ B = B _ A ; (A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C) ; (A _ B) _ C = A _ (B _ C) ; A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C) ; A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C) : Opgave 6 Vis at A ) B (:B) ) (:A) : Opgave 7 Vis at hvis A ) B og B ) C så gælder også A ) C: Da de associative regler gælder vil vi fremover udelade de tilsvarende paranteser. Vi vil også indføre den konvention at : kun virker på det umiddelbart efterfølgende udsagn i en udsagnsform med mindre der står en parantes. Vil vi således opfatte :A ^ B som ækvivalent med (:A) ^ B fremfor : (A ^ B) 2.1 Logiske konnetiver og ligninger Det er ret udbredt at bruge symbolerne,; ); _ osv. ved løsning af ligninger. Tegnene benyttes især ved beregninger på tavle hvor symbolerne benyttes som en slags stenogra. Her er det dog vigtigt at huske at symbolerne giver en præcisering af dagligsprogets konnektiver men alle de fordele og ulemper det giver. Ulempen er at man skal være mere prcis for ikke at komme til at bruge symbolerne forkert. Dagligsprogets konnektiver er ofte ikke helt præcise og dermed åbne over for en vis fortolkning. Omvendt vil de logiske konnektiver kunne bruges til at give et godt overblik over beregningerne. Lad os som eksempel tage løsning af en 2.-gradsligning. x 2 6x + 8 = 0 m x 2 6x = 1 m (x 3) 2 1 = 0 ((x 3) + 1) ((x 3) 1) = 0 m m (x 3) + 1 = 0 _ (x 3) 1 = 0 m x = 2 _ x = 4: 2
4 En løsning til en ligning vil sige et x; som gør ligningen til et sandt udsagn. Vi er interesseret i at omforme ligningen i et antal skrit således at løsningsmængden ikke ændrer sig under vejs. Idet vi har brugt tegnet, korrekt fra top til bund, må der også gælde at x gør den først linje sand netop vis x gør den sidste linje sand. I dagligdags sporg vil det være helt legalt at sige "ligningen har løsningerne 2 og 4". Det er dog tydeligt, at dagligdagssprogets "og" i dette tilfælde skal oversættes til _ og ikke til ^; som man måske kunne være fristet til. Der kan jo ikke være tale om at x både er lig med 2 og er lig med Normalform Vi skal nu se at enhver tænkelig sandhedstabel er sandhedstabel for en udsagnsform, som kun indeholder konnektiverne :; ^ og _: I stedet or at skrive et formelt bevis vil vi give et eksempel som illustrerer princippet. Vi betragter sandhedstabellen A B C s s s f s s f s s f s f s f f f f s s s f s f f f f s f f f f s Vi leder efter en udsagnsform dannet af A; B og C samt konnektiverne :; ^ og _; så sidste søjle i tabellen bliver sandhedstabellen for denne udsagnsform. Vi ser at udsagnsformen skal være sand i tre tilfælde. Det første tilfælde er hvis A er sand, B er sand og C er falsk, eller med andre ord at A ^ B ^ (:C) skal være sand. Den anden mulighed er at : Den sidste mulighed er at :A ^ :B ^ :C: Da netop disse tre muligheder skal give sand og alle andre skal give falsk, kan vi tage disjunktionen af mulighederne (:A ^ B ^ C) _ (:A ^ B ^ C) _ (:A ^ :B ^ :C) ; hvilket netop en udsagnsform som giver den ønskede sandhedstabel. Enhver udsagnsform har en sandhedstabel, er enhver udsagnsform ækvivalent en sådan disjunktion af konjunktioner. En udsagnsform omskrevet på denne måde siges at være på disjunktiv normalform. Man kan sige at disjunktiv normalform er en anden måde at skrive en sandhedstabel på. Opgave 8 Omskriv udsagnsformen : (A _ : (B _ :C)) til disjunktiv normalform ved hjælp af de distributive love og de Morgans regler. 3
5 2.3 Tilstrækkelige mængder af konnektiver I bogen blev A () B de neret som værende ækvivalent med (A ) B) ^ (B ) A) : Det er imidlertid ikke det eneste konnektiv som kan de neres ud fra andre konnektiver. Opgave 9 Vis A ) B (:A) _ B: De nition 10 En tilstrækkelig mængde af konnektiver er en mængde sådan at enhver sandhedsfunktion kan repræsenteres ved en udsagnsform, som kun indeholder konnektiver fra denne mængde. En af konsekvenserne af den foregående afsnit er, at f:; ^; _g er en tilstrækkelig mængde af konnektiver. Dette resultat kan bruges til at nde andre tilstrækkelige mængder af konnektiver. Sætning 11 Mængderne f:; ^g ; f:; _g og f:; )g er tilstrækkelige mængder af konnektiver. Bevis. Enhver udsagnsform kan skrives på disjunktiv normalform. Da A _ B er logisk ækvivalent med : (:A ^ :B) ndes der en udsagnsform som er logisk ækvivalent med den disjunktive normalform men kun indeholder : og ^: Enhver udsagnsform kan skrives på disjunktiv normalform. Da A ^ B er logisk ækvivalent med : (:A _ :B) ndes der en udsagnsform, som er logisk ækvivalent med den disjunktive normalform men kun indeholder : og _: Da enhver udsagnsform er logisk ækvivalent med en udsagnsform som kun indeholder : og _; og da A _ B er logisk ækvivalent med (:A) ) B; er enhver udsagnsform logisk ækvivalent med en udsagnsform som kun indeholder : og ) : Eksempel 12 Udsagnsformen ((:A) _ B) ) C er logisk ækvivalent med hver af følgende udsagnsformer: : ((:A) _ B) _ C: : (: (A ^ :B) ^ :C) : (A ) B) ) C: Fra konnektiverne :; ^; _, ) og, har vi set tre måder at vælge et tilstrækkeligt par. Ingen andre par er tilstrækkelige. For at se det betragt først mængden f^; _; );,g af konnektiver: Vi kan nu spørge om udsagsformen som kun antager værdien f kan udtrykkes ved hjælp af disse konnektiver. Dette er imidlertid ikke muligt, idet udsagnsformen, som kun indeholder konnektiver fra f^; _; );,g ; altid vil have sandhedsværdien s, hvis alle de udsagn som indgår har værdien s: Derfor er hverken f^; _; );,g eller nogen af dens delmængder tilstrækkelig. 4
6 Opgave 13 Vis at mængden f:;,g ikke er tilstrækkelig. Der ndes andre konnektiver. Faktisk de nerer enhver sandhedstabel et konnektiv, men de este konnektiver de neret ud fra sandhedstabeller svarer ikke til noget begreb, som er kendt fra dagligsproget. Gensidig afvisning Dette konnektiv betegnes # og har sandhedstabellen A B A # B s s f s f f f s f f f s Udsagnsformen A # B svarer i dagligdagssprog ret godt til "hverken A eller B". Alternativ afvisning Dette konnektiv betegnes j og har sandhedstabellen A B AjB s s f s f s f s s f f s Dette konnektiv svarer ikke rigtigt til noget dagligdagsudtryk på dansk. Det nærmeste man kommer er "A og B er ikke begge sande". Vores interesse for konnektiverne # og j skyldes primært følgende sætning. Sætning 14 Hver af mængderne f#g og fjg er en fuldstændig mængde af konnektiver. Bevis. Vi vil starte med at vise at mængden f#g er fuldstændig. Først bemærker vi at :A er logisk ækvivalent med A # A: Endvidere er (A # A) # (B # B) logisk ækvivalent med A ^ B: Da f:; ^g er en fuldstændig mængde af konnektiver, gælder det samme for f#g : Vi vil nu vise at mængden fjg er fuldstændig. Som ovenfor danner vi først AjA og ser at denne udsagnsform er logisk ækvivalent med :A: Udsagnsformen (AjA) j (BjB) er logisk ækvivalent med A _ B: Da f:; _g er en fuldstændig mængde af konnektiver, gælder det samme for f#g : Opgave 15 Skriv udsagnsformen A ) B ved udelukkende ved brug af gensidig afvisning. Opgave 16 Skriv sandhedstabeller for (A # B) # (A # B) : Bevis. I nogen tilfælde, hvor en størrelse kan antage to værdier kan vi vælge at kalde den ene "sand" og den anden "falsk". I en tændt computer vil en given ledning have en spænding på enten 0,5 Volt eller på 5 Volt. Man vil da normalt identi cere 0,5 V med tallet 0 og 5 V med tallet 1, men vi kunne lige så godt kalde dem "sand" og "falsk". i computeren vil et konnektiv være en 5
7 elektronisk komponent som laver en kombination af inputs om til et bestemt output. En mængde af konnektiver er fuldstændig, hvis komponenterne er i stand til at producere et vilkårligt ønskeligt output med netop disse komponenter til rådighed. Komponenten svarende til # kaldes f.eks. en nor-gate og resultatet er at en vilkårlig kompliceret komputer i princippet kunne bygges med denne ene komponen og tilstrækkelig store mængder ledning. 3 Aksiomatisk struktur Hidtil har vi brugt sandhedstabeller til at afgøre hvilke udsagsformer, der er tautologier. Fra sandhedstabellerne har vi udledt er række regler såsom de Morgans regler. Nu er det imidlertid sådan at nogle af reglerne kan anses for at være mere fundamentale end andre i den forstand, at de øvrige regler kan bevises ved hjælp af de fundamentale regler. Hvad vi vælger at anse for at være fundamentale regler er langt hen af vejen et valg vi skal gøre. I andre fremstillinger end denne, vil valget af fundamentale regler være anderledes end vores valg. 3.1 Syntaks Vi starter med at beskrive, hvilke slags udtryk vi er interesserede i. Vi betragter en mængde G; som har to regneoperationer som vi betegner ^ og _: Det vil sige, at for g 1 og g 2 i G betegner g 1 ^ g 2 og g 1 _ g 2 nye elementer i G: Vi vil bruge det sædvanlige lighedstegn = til at angive at to elementer er ens. Vi vil bruge paranteser på sædvanlig vis, g 1 _(g 2 ^ g 3 ) betyder at vi først skal udregne h = g 2 ^ g 3 og derefter g 1 _ h: Denne syntaks forudsætter naturligvis at vi er fortrolige med begrebet mængde og relationen =. Hvis disse begreber ikke forudsættes kendte, skal man starte med noget andet som er kendt. 3.2 Gitre Et aksiom er en fundamental regel som vi benytter til at udlede andre regler fra. Ordet er græsk og betyder egentlig "oplagt", men nutildags kræver vi ikke at aksiomer skal være oplagte. Aksiom 17 Regneoperationerne ^ og _ opfylder følgende aksiomer A ^ B = B ^ A A _ B = B _ A kommutative love (A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C) (A _ B) _ C = A _ (B _ C) associative love (A _ B) ^ A = A (A ^ B) _ A = A absorbstionslove A ^ A = A A _ A = A idempotente love : En matematisk struktur, som opfylder disse regler, kaldes et gitter. I stedet for at kalde det aksiomer, kunne man sige, at vi har lavet en de nition af hvad det vil sige at en matematisk struktur er et gitter. 6
8 Det er let at checke at udsagnslogik udgør et gitter, hvis vi opfatter ækvivalente udsagnsformer som identiske (vi har identi ceret ækvivalente udsagnsformer). Vi skal blot checke at vi får tautologier, hvis vi erstatter lighedstegnene med, : Der er imidlertid andre interessante matematiske strukturer, som er gitre. Eksempel 18 Lad L betegne de naturlige tal og lad _ betegne mindste fælles multiplum. For naturlige tal m; n er m _n det mindste tal som både m og n går op i. Således er 15 _ 9 = 45 idet 45 er det minste tal som både 5 og 9 går op i. Vi lader ^ betegne største fælles divisor. Således er 15 ^ 9 = 3 idet 3 er det største tal som går op i både 15 og 9: Det er lige til at checke at vi får et gitter på denne måde. De nition 19 Vi skriver A B dersom A ^ B = A: Sætning 20 For alle A; B; C 2 G gælder og hvis så gælder A A; A B og B C A C: Endelig gælder at hvis A B og B A så er A B og A = B: Opgave 21 Bevis denne sætning. Hvis G er en endelig mængde, så ndes et mindste element, som vi vil kalde?; og et største element, som vi vil kalde >: Disse svarer til en kontradiktion og en tautologi. Eksempel 22 De naturlige tal med gitterstruktur som beskrevet betyder m n at m går op i n: Tallet 1 er mindre end alle andre naturlige tal idet 1 går op i alle andre tal. Der er intet største element. Der gælder hverken 3 5 eller 5 3 idet 3 ike går op i 5 og 5 ikke går op i Boolske algebraer Vi indfører nu et antal de nitioner for at få et mere nuanceret sprog til at tale om gitre. De nition 23 Et gitter siges at være distributivt dersom A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C) ^ er distributiv over _ A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C) (_ er distributiv over ^) 7
9 De nition 24 Et endeligt gitter siges at være ortofuldstændig dersom der ndes en afbildning : : G! G der opfylder A _ :A = > og A ^ :A =?: De nition 25 Et endeligt gitter siges at være en Boolsk algebra dersom det er distributivt og ortofuldstændigt. Ved hjælp af sandhedstabeller kan vi se at udsagnslogik udgør en Boolsk algebra, men vi kender andre eksempler. Eksempel 26 Lad M være en mængde og lad G betegne mængden af delmængder af M: Da er G en Boolsk algebra hvor ^ identi ceres med \ (fællesmængde) og _ identi ceres med [ (foreningsmængde). At A B betyder at A B (A er en delmængde af B). I dette gitter vil :A blive identi ceret med komplementærmængden {A; hvilket er mængden af elementer i M som ikke er element i A: Endvidere er? lig med? og > er lig M: Teorien for Boolske algebraer er således ikke kun en teori for udsagnslogik, men kan også bruges til at beskrive andre strukturer. Med dette system af aksiomer og de nitioner vil vi nu gå i gang med at afklare en række vigtige spærgsmål, som vi giver overskrifterne: konsistens, fuldstændighed og uafhængighed. 3.4 Konsistens Et system af aksiomer og de nitioner siges af være konsistent dersom det er uden indre modsigelser. Hvis systemet af aksiomer og de nitioner indeholdt indre modsigelser, ville der slet ikke være nogen matematiske strukturer, som levede op til systemet af aksiomer og de nitioner. Hvis vi så alligevel lod somom systemet var konsistent, ville vi kunne bruge systemet til at bevise absurditeter. Fra disse absurditeter ville vi kunne bevise andre absurditeter og hele matematiken kunne blive in ceret. For at vise at aksiomerne og de nitionerne for Boolske algebraer er konsistent, er det tilstrækkeligt at nde en struktur som er en Boolsk algebra. Vi tager en mængde M med 1 element. Denne har de to delmængder M og?: Vi kan skrive regneoperationerne ud i alle detaljer: [? M?? M M M M \? M??? M? M og {? = M og {? = M: Det er ligetil at checke at de forskellige regler der skal gælde for Boolske algebraer er opfyldte. Aksiomer og de nitioner for Boolske algebraer er dermed konsistente. 8
10 Hvis vi tilføjede et aksiom, der sagde at A ^ B = A eller A ^ B = B ville systemet af aksiomer og de nitioner stadig være konsistent, idet dette faktisk gælder for den Boolske algebra af delmængder af en mængde med et element. Et sådant aksiom ville faktisk medføre at den Boolske algebra kun havde to elementer. Hvis vi tilføjede et aksiom der sagde, at der ndes et A 2 G så A _ > er forskellig fra > så ville vi få et inkonsistent system. Ud fra dette system ville man kunne udlede hvadsomhelst. 3.5 Fuldstændighed Vi har på den ene side udsagnslogik og på den anden side Boolsk algebra. I udsagnslogik kan vi checke om et udtryk er en tautologi ved hjælp en sandhedstabel. I Boolsk algebra har vi et antal aksiomer og de nitioner, og ud fra disse kan vi udlede at visse udtryk er lig med >: Spørgsmålet er nu om alt hvad der er sandt i udsagnslogik kan udledes ud fra de få aksiomer og de nitioner som bruges til at karakterisere en Boolsk algebra. Hvis dette er tilfældet siger vi at aksiomerne og de nitionerne tilsammen udgør en fuldstændig aksiomatisering af udsagnslogik. Det vil vi nu gå i gang med at vise ved at bevise en række sætninger. Først et par ord om sætninger og beviser. En sætning er et udsagn som indeholder nogle premisser og en konklusion. Beviset for sætningen en en sekvens af udsagn. De første udsagn i et bevis er premisserne. Det sidste udsagn i et bevis er konklusionen. Ethvert udsagn efter premisserne i et bevis følger umiddelbart af de foregënde udsagn i beviset. At checke at et bevis er korrekt er derfor i princippet en nærmest mekanisk procedure som kan foretages uden nærmere indsigt i emnet. At lave et bevis vil derimod ofte kræve en del indsigt. Sætning 27 Lad A og B være elementer i en Boolsk algebra. Hvis A^:B =? og A _ :B = >; så er A = B: Bevis. Antag at A ^ :B =? og A _ :B = >: Nu gælder B = B ^ (B _ :B) ifølge loven om absorbtion. Da B _ :B = > gælder også B = B ^ >: Ifølge en af vore præmisser gælder A _ :B = >; så B = B ^ (A _ :B) : 9
11 De distributive love medfører at B = (B ^ A) _ (B ^ :B) : Heraf ses at B = (B ^ A) _?: Ifølge en af vore præmisser gælder A ^ :B =? så B = (B ^ A) _ (A ^ :B) : Ifælge de kommutative love gælder B ^ A = A ^ B så B = (A ^ B) _ (A ^ :B) : Ved hjælp af de distributive love får vi B = A ^ (B _ :B) : Nu gælder B _ :B = > og dermed B = A ^ >: Ved brug af ligningen > = A _ :A fås B = A ^ (A _ :A) : Endelig giver absorbtionsloven at B = A: Ofte vil man skrive beviser i mere kompakt form, hvor nogen af ledene i beviset springes over. Læseren forventes da selv at kunne fylde hyllerne ud. Pointen er imidlertid, at ethvert bevis i princippet kan skrives så detaljeret ned, at enhver kan checke det. Hvis man derfor støder på et bevis "man ikke forstår" vil det være mere præcist at sige at man ikke selv er i stand til at fylde hullerne ud. En kortere version af ovenstående bevis kunne se således ud: B = B ^ (B _ :B) = B ^ (A _ :B) = (B ^ A) _ (B ^ :B) = (B ^ A) _ (A ^ :B) = A ^ (B _ :B) = A ^ (A _ :A) = A: De efterfølgende beviser vil ikke blive skrevet ud i alle detaljer. 10
12 Sætning 28 Lad A være element i en Boolsk algebra. Da er : (:A) = A: Bevis. Vi benytter ortofuldstændighed på :A og får Kommutativitet giver da :A _ : (:A) = > :A ^ : (:A) =? : : (:A) _ :A = > : (:A) ^ :A =? : Resultatet følger nu ved brug af Sætning 27. Sætning 29 De Morgans regler gælder i enhver Boolsk algebra. Bevis. Vi vil vise, at : (C _ D) = :C ^ :D: Vi kalder :C ^ :D for A og : (C _ D) for B: For at vise at A = B er det ifølge sætning 27 tilstrækkeligt at vise at A ^ :B =? og A _ :B = >: Først bemærker vi at :B = C _ D: Vi vil nu vise at A ^ :B =?: Vi har A ^ :B = (:C ^ :D) ^ (C _ D) = ((:C ^ :D) ^ C) _ ((:C ^ :D) ^ D) = ((:C ^ C) ^ :D) _ (:C ^ (:D ^ D)) = (? ^ :D) _ (:C ^?) =? _? =?: Tilsvarende kan vi vise at A _ :B = >: Det foregår som følger A _ :B = (:C ^ :D) _ (C _ D) = (:C _ (C _ D)) ^ (:D _ (C _ D)) = ((:C _ C) _ D) ^ ((:D _ D) _ C) = (> _ D) ^ (> _ C) = > ^ > = >: Beviset for at : (C ^ D) = :C _ :D foregår på samme måde. Med de aksiomer, de nitioner og sætninger vi nu har til rådighed kan ethvert nok så kompliceret udtryk omskrives til disjunktiv normalform. Hvis udtrykket er en tautologi, kan disjunktiv normalform herefter vises at være lig med >: 3.6 Uafhængighed Vi har set at aksiomerne og de nitionerne for Boolske algebraer er tilstrækkelige til bevise alle sande sætninger i udsagnslogik. Spørgsmålet er om de alle er 11
13 nødvendige eller om nogle kunne udelades. Da alle aksiomer og de nitioner giver sande egenskaber for Boolske algebraer, er spørgsmålet om en af vil kunne bevises ud fra de andre. Hvis ingen kan bevises ud fra de andre siges de enkelte aksiomer og de nitioner at være uafhængige. Sætning 30 Lad G være et gitter i hvilket der gælder for alle A; B; C 2 G: Da gælder også for alle U; V; W 2 G: Bevis. Vi har A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C) U _ (V ^ W ) = (U _ V ) ^ (U _ W ) (U _ V ) ^ (U _ W ) = ((U _ V ) ^ U) _ ((U _ V ) ^ W ) = U _ ((U ^ W ) _ (V ^ W )) = (U _ (U ^ W )) _ (V ^ W ) = U _ (V ^ W ) : Det viser sig at de øvrige aksiomer og de ntioner er uafhængige. At bevise uafhængighed består i et aksiom og erstatter det sit negerede. Det fremkomne system skal så vises at være konsistent, hvilket gøres ved at nde en matematisk struktur som opfyder netop disse aksiomer. Dette skal gøres for hvert enkelt aksiom. References [1] P. Bregendal, S. Nitschky Schmidt og L: Vestergaard, MAT A. Systime, [2] A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians. Cambridge University Press, anden og reviderede udgave [3] V. F. Hendricks og S. A. Pedersen, Moderne elementær logik. Høst Humaniora,
BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereIntroduktion til abstrakt matematik
Matematik Y Introduktion til abstrakt matematik Flemming Topsøe 2002 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-11-2 c Matematisk Afdeling 2002 Indhold Indhold Forord 5 BML:
Læs mereOm matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen
Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereLyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys!
Og der blev lys! OPGAVEFORMULERING:... 2 DESIGN AF SEKVENS:... 3 PROGRAMMERING AF PEEL KREDS... 6 UDREGNING AF RC-LED CLOCK-GENERAOR:... 9 LYSDIODER:... 12 KOMPONENLISE:... 13 DIAGRAM:... 14 KONKLUSION:...
Læs mereUdsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013
Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereLigeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2
VisiRegn ideer 4 Ligeværdige udtryk Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 Elevaktiviteter til Ligeværdige udtryk 4.1 Ligeværdige
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave Jesper Lützen Juli 2019 ii Indhold Introduktion ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?..................
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereAlt dette er også grundlaget for digitalteknikken, som er baseret på logiske
Gates Logiske kredse Læren om logisk tænkning eller læren om tænkningens love og former er den beskrivelse, man ofte møder, når begrebet logik skal forklares. Det er almindeligt at anvende udtrykket,»det
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMatematikkens fundament i krise
Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereIndholdsfortegnelse :
Rapporten er udarbejdet af Daniel & Kasper D. 23/1-2001 Indholdsfortegnelse : 1.0 STEPMOTEREN : 4 1.1 Stepmotorens formål : 4 1.2 Stepmotorens opbygning : 4 2.0 PEEL-KREDSEN 4 2.1 PEEL - Kredsen Generelt
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereAt lære at læse er noget af det mest bemærkelsesværdige, der sker i løbet af barndommen. Gennem det skrevne sprog åbnes en ny verden af muligheder.
At lære at læse er noget af det mest bemærkelsesværdige, der sker i løbet af barndommen. Gennem det skrevne sprog åbnes en ny verden af muligheder. (Ingvar Lundberg, svensk professor i læsning) Denne pjece
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereDen mundtlige dimension og Mundtlig eksamen
Den mundtlige dimension og Mundtlig eksamen Mål med oplægget At få (øget) kendskab til det der forventes af os i forhold til den mundtlige dimension At få inspiration til arbejdet med det mundtlige At
Læs mereVidenskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998
A Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998 Semmelweis er læge. Wiensk hospital i 1840'erne. Unormal forekomst af barselsfeber. Semmelweis foretager en række undersøgelser af mulige årsager
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereMatematik, maskiner og metadata
MATEMATIK, MASKINER OG METADATA VEJE TIL VIDEN Matematik, maskiner og metadata af CHRISTIAN BOESGAARD DATALOG IT Development / DBC 1 Konkrete projekter med machine learning, hvor computersystemer lærer
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBedømmelseskriterier Dansk
Bedømmelseskriterier Dansk Grundforløb 1 Grundforløb 2 Social- og sundhedsassistentuddannelsen Den pædagogiske assistentuddannelse DANSK NIVEAU E... 2 DANSK NIVEAU D... 5 DANSK NIVEAU C... 9 Gældende for
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereHoldninger til socialt udsatte. - Svar fra 1.013 danskere
Holdninger til socialt udsatte - Svar fra 1.13 danskere Epinion for Rådet for Socialt Udsatte, februar 216 Introduktion Rådet for Socialt Udsatte fik i oktober 213 meningsmålingsinstituttet Epinion til
Læs mereLigninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7
Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion
Læs mereTalteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning
1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereEvaluering af kompetencer
Evaluering af kompetencer Odense den 13. maj 2013 http://tinyurl.com/cca2glm Montaigne Man burde spørge hvem der ved rigtigst, ikke hvem der ved mest. KOMPIS http://tinyurl.com/d4m295w Målsætning og planlægning
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereEpistemisk logik og kunstig intelligens
Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs meredcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet)
dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Talrepræsentation På maskinkodeniveau (Instruction Set Architecture Level) repræsenteres ordrer og operander ved bitfølger
Læs mereKapitel I til Grafisk design. Kromatisk/akromatisk opbygning af gråkomponenten
Kapitel I til Grafisk design opbygning af gråkomponenten Kapitel I 2 opbygning af gråkomponenten Det følgende kapitel er en præcisering af side 101 i bogen»grafisk design«. De seks første lodrette farvefelter
Læs mereLEKTION 22 FARVEBEHANDLING
LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereDet tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?
75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mere