Two-sided quadratic residual iteration 厦门大学博硕士论文摘要库

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Two-sided quadratic residual iteration 厦门大学博硕士论文摘要库"

Kirsten Lange
4 år siden
Visninger:

1 Ú Ó Û UDC Ù Æ ÖÌÃ Two-sided quadratic residual iteration Å ÖĐÑ Æ Ø Ñ Þ Ù Ðß ÔÓ 2008 Ò 4 Ð ÏÔÓ 2008 Ò Ø ÔÓ 2008 Ò Á Æ² ß 2008 Þ 4 ³

2 ÞÞ³ ÓÒ¹Å µ ¹ Æ¹ Æ Û Û ¹ Æ ¹» Ã Ò Û ÑÆ¹ Ç Ç ¹ Æ Ë¾»Ø ¹¾Ì½ È È ÖÈ À

3 ÞÞ³ ¹ ²¹Å ¹ ³È ¾Ñ ¾ µ ¹ ¾ ¾ÎÙº Ó ÒÛ Ô ¹ Ý ¾ µ ¹ Î ÆĐÂÙ ¹Ï Ô ÈÁ ¾ µ ¹ ¾Ñ ÐÏÐ Ú ¾ µ ¹ Î À µ ¹ÆÈÀ È ¹ ¹ µ ¹ 1 À Æ ÈÀ È ¹ 2 À Æ Æ Þ» ÖÈ À ÖÈ À

4 À i Ý Ø ½ µ.... iii ± µ.... iv Ü.... v È Ï Å ¹ Ï Å ¹ Å¾ ÈÏ Õ ËÂ ÈĐ Ï ÕËÂ È Ï ÕËÂ É Ï ÕËÂ È ¹ Ñ »... 22

5 À ii Contents Abstract (in Chinese)...iii Abstract (in English)... iv Notation... v Chapter Preface Qudratic Eigenvalue Problem(QEP) Method for solving QEP Main work of this paper...3 Chapter Æ Residual inverse iteration... 6 Chapter Quadratic residual iteration...9 Chapter Two-sided quadratic residual iteration Motivation Two-sided quadratic residual iteration Chapter Numerical experiment References...19 Acknowledgements... 22

6 À iii ÙÄ (QRI) Ä Å Æ Ù» Æ Ò Ò Ì Æ QRI Ä Ü» ² ± ² Ù» Î ÀÆ Ù» Æ Í» ÆÀ» ÆÀ Ö ÚÂ¾ ºÆ ± QRI Æ È ¾Æ ÙÄ (TQRI) ± TQRI Æ Ù» Æ Ò Ä Æ Ò Ì ( Ritz Ì ) TQRI» ² Æ Ì Æ Ò ß ± Ù» Î ÀÆ Ù» Æ ¼ÚÄ» ² ÆÜ Õ Å Ä Î Ò ß Ê»Æ Ò Ì ¼ Æ µ ½ Æ ± TQRI ÆµÂ Å Ä Î Á Ð À± Æ Ritz Ú Æº Æ Ð Ú Ô º Ù Æ Ì ÐÄ» ÆÄ Ï Ê ± Ù» ÐÆ ÏÊ ±Ä ÐË Ñ ÏÊ ± ÙÄ (QRI) ÐÏÊ ± ¾ ÙÄ Ä ÏÆ Â Ä± Æ ¾ Ù Ä Æ Â ± ¾ ÙÄ ± Æ Ä ½ ± Ä½ Û Æ ÙÄ Û ¼Æµ Ñ ÙÄ ¾ ÙÄ

7 À Abstract iv Qudratic residual iteration (QRI) is an algorithm to find the approximate eigenvalue and the corresponding right appriximate eigenvector of the quadratic eigenvalue problem(qep). QRI generate an orthogonal basis, and orthogonal projection is applied to the QEP to reduce to the QEP with matrix dimension of lower order. This paper introduce a variant of QRI called two-sided quadratic residual iteration(tqri). We use TQRI to solve the approximate eigenvalue and the corresponding left and right approximate eigenvector(or Ritz vector). Given a pair of starting vectors, TQRI generate biorthonormal bases of two subspaces. And the oblique projection is considered. The left and right approximating eigenvector can be solved from the two spaces at the same time. And the convergence behaviors of both right and left appriximating eigenvectors are essentially the same. Numerical experiment is given to identify the method. The advantage of TQRI is mainly embodied in two aspects. First, the Ritz value can approach the exact value more exactly. Second, it can approach the left eigenvector directly, especially for the nonsymmetric eigenvalue problem. In chapter 1, we give an introduction of quadratic eigenvalue problem(qep), and the methods to solve it. In chpter 2, we introduce the Residual inverse iteration and the convergence behaivors of the approximate eigenvector and the approximate eigenvalue. In chapter 3, we introduce quadratic residual iteration. In chpter 4, we first introduce the motivation of the two-sided quadratic residual iteration we prsent in the paper in section 4.1. In section 4.2, we present the two-sided quadratic residual iteration. Lastly, we present the superiority of our method using the numerical experiments. Key word: QRI, biorthonomal bases, oblique projection, TQRI.

8 À Ü Ð v Ä Æ λ C λ ÄÄ x C n Ì x Ä n ÄÆ Ì H Æ Ð C n n n n Ä Æ x Ì x ÆÆ σ σ ÆÐ I ² sign(ω) ω ÆÂ

9 ÉË ÊÇ 1 Å Å»¹ µø¼ ² ÅĐÇ Ú Ø¼ ºß Đ «ß ÃÓº Ó ĐÑ» ß º Ó Ð Ú Ø¼ 1.1 À«º Ú Ø¼ ÅÚĐ λ C Í x C n y C n Q n (λ)x = (λ 2 M + λc + K)x = 0, y H Q n (λ) = y H (λ 2 M + λc + K) = 0 (1.1) Ñ M, C, K Å n n Å λ Q n (λ) Ï Ø Í x, y ÅÅ Í Í ³ (λ, x, y) Q n (λ) ³ Ú Ø¼ Å Å Î ÃÓ Ø¼ Å¼ Ø¼ Õ Ø¼ SEP : Ax = λx (1.2) GEP : Ax = λbx (1.3) ß Ü Å½ ÎÖ ĐÇ SEP GEP ¼ µ Ð Å Ú Ø¼ ½ 2n Ï Ø Å Û ½ 2n Ï Í 2n Ï Í Å n 2n Ï ( ) Í ÅÃÓÅÐ ½Û Ú Ø¼ Å ÜÅÅÓ SEP shur Ç GEP Õ shur Ç Ë¼²ĐÇ Ú Ø¼ À [10] Ç Ë±² Ú Ø¼ Ñ ³ Ø 1.2 ÐÐ À«º Ç Í ½»ĐÇ Ú Ø¼ Ð Û Å ÅÅ ÃÓ«² Õ ¾ Đ Ú Ø¼

10 ÉË ÊÇ 2 Ø ÑÅ Í Ë± ÃÓ«Å Å Å Ã ¾ Ö Ú Ø¼ ÅÚĐ λ C Í x C n Q n (λ)x = (λ 2 M + λc + K)x = 0 C K D =, G = M 0, z = λx (1.4) I 0 0 I x Ï Ú Ø¼ Û «¾ Õ Ø¼ Q n (λ)x = (λ 2 M + λc + K)x = 0 (1.5) Dz = λgz (1.6) Æ½ÑÞÎ³ ÃÓ«Û ÂÖ À [10 19] ÚÁ n Å Ð ¾ Û ³ QZ Ø [3] ÑÞÕ ĐÇ¼ (1.6) Ü½ Ø ¹ Í ¹ ÐÖÉ Û Á³ Krylov Arnoldi Lanczos Ó ĐÇÑ Õ Ø ¹ Í ÅØ ÅÕ ½ÛÛ» Ï Ó Ø Ì Û Đ»Ï Ø Å ÃÓ«ÅÜÅ ±ÓÑ Î ÃÓ«¼ ÖÉ Å ¼ µ Ü µø Ë¼ ÑÚ ÃÓ«¼ Ü ½ Ó ÑÅ Þ Ó ( Table 1) ÝÃÓ«¹Ú³½ Å ¼ ĐÇĐ ÊÅÚ º ÅÅ Õ ĐÇ Å Ú Ø¼ Õ Å Ï Á Ú Ø¼ ĐÇ º Î ¼ Á Ð Ï Û ³ ÃÓ«ĐÇ² ÜÕ µø Å ²Ø» Å µ Å º Ý ÅÕ ³ ¼ ½ Ë ÏÃÓ«M, C, K Ü ½ Ó ³½Å Å ¼ Ü ½ Ó Å Þ ³½

11 ÉË ÊÇ 3 Å SOAR[8] Jacobi-Davidson[6] Å Õ ĐÇ Ì Õ ¼ ÃÓ«1.3 Ç 2000 KARL Å [1] ² ÚÅ (QRI) QRI Å «Õ ĐÇ QRI É Jacobi-Davidson ÅÅÓ Ó ³ V k Ó Í x k Ü Ç Í ½ Ó k + 1 ÅÍ v k+1 V k+1 = [V k v k+1 ] Ó ³ Ñ Í v k+1 ±ÜÅËÏÎ α C Í x k + αv k+1 Ü Đ Í Å [2] Û Ñ«QRI Ü Í v k+1 ± Ï Đ º QRI Ü Ç Ó ³ ³ ³ º Û Ï Å Å ¾ Ï ÕÅ ßĐ Å Å Õ Ç ³ Ï Ó ½ ³ V k W k ¾ Û ³ ³ n Á Å k Á Q k (λ) = W H k Q n(λ)v k Ñ Q k (λ) Ø Í (θ, f, g) Û Ý Â Ð (θ, x, y) = (θ, V k f, W k g) Å Q n (λ) Ritz Ø ¹ Ritz Í Å ¼ Ó ³ Å¼ Ø Ã «Å Ï Â Ñ Á³ Ø Đ Ritz ØÛ Ð» Ç Ð Û Û Ø Ô Ñ ³ Õ» Ú Ø Í ÑÅ¹ ¹ ¼ ½ ÐÛ ÜÃ º ¾ ÌÛ Å Ritz Ø ½ÛÛ Å¹ Ritz Í

12 ÉË ÊÇ 4 Ñß Å ¾ Ë±²Å º QRI Ø Ë±² ÚÅ (QRI) Ø É Ñ ² ÚÅ (TQRI) ²Ø Æ «Ø Ã µ Å Ø ³µØ Ù Ë¼ ÑÏ Ø¼ Î ÇÊ ¼ TQRI QRI Ø Ú «Ü Ø Ó

13 ÉË ÊÇ 5 Ó Ø Ó Í Ó M Ó 2n Ï Ø M Ó ½ ÐÐ Ø Ø Å x Å¹ λ M,C,K ²Å Í Ê x Å¹ H ¹ λ Í H Ø Å x Å¹ λ M,C,K Å Hermi- Í tian Ê x Å¹ λ H ¹ Í M Å Hermitian C,K Å Hermitian ± Ø M,K Å Hermi- Ø Å x Å¹ λ tian Û M ÕÖ Í Å Å (λ, λ H ) Ê x Å¹ λ H C = C H ¹ Í M,K Å ¹ ØÅÕÖ C = C T Table 1: Ú Ø¼ Ü ½ Ó [10]

14 Ë 6 Å ÅĐÇ Ø¼ ¹ Ç Ó ½ Ð Ì Ó Å¹ ÃÓ Ø¼ ³ ĐÇ ¹ ÜÕ µø Ð Neumaier A.[2] ³Å ¹ Î ²Å ÜÃ ÜÅ ¼ Å ¾ ½Á ÃÓ Ø¼ A(λ)x = 0, λ C, x C n {0} Ñ A : C C n n Å Ï Ú Ø ² σ C Å Ï Ñ ß λ Û A(σ) Å Ó e Å Ï «Í ± e H x = 1; Î e Å Ï Í ÛÅÍ x ØµÐ Ø 1 Å Å Ã 2.1 ÍÄ. 1.» l = 0 µø x Ï ÓØ x 0 ± A(σ) x 0 = b, x 0 = x 0 /e H x 0 ; 2. µø Â Ñ Ï Đ λ l+1 x H l A(λ l+1 )x l = 0 (2.1) e H A(σ) 1 A(λ l+1 )x l = 0 (2.2) Ñ A(λ) Å Hermitian Û λ l Å Ç (2.1) Đ λ l+1 ÁÊ Ç (2.2) Û λ l º λ l+1 3. µøå r l = A(λ l+1 )x l.

15 4. µø ³ «Í Ë 7 A(σ)dx l = r l 5.» l = l + 1 Å Æ 2 x l+1 = x l dx l, x l+1 = x l+1 /e H x l+1 A(λ) = A λi ºÅ ½ (A σi) x l+1 = (A σi)x l (A σi)dx l = (A σi)x l (A λ l+1 I)x l = (λ l+1 σ)x l. x l+1 (A σi) 1 x l ÜÉ ÏÎ µ x l+1 (A σi) 1 x l ÅÅÜÉ ÏÎ µ Å Å A(λ) = A λi Å Đ Å ¾ Å ½ Ð Ì Ó ¹ ÃÓ Ø¼ Ì Ó ÅÅ ÂÅÅ Ì Ó ÎÔ 1 [2] ˆλ Å A(λ) Ï Ø ˆx ÅÅ «Í ± e Hˆx = 1. Ï σ ˆλ Å ÅÌ Û½ x l+1 ˆx x l ˆx = O( σ ˆλ ). λ l+1 ˆλ = O( x l ˆx t ). Ñ ÅØ 2.1 ĐÇ Å (2.2) t = 1 A(λ) Å Hermitian ˆλ ½ÛÅØ 2.1 ĐÇ Å (2.1) t = 2 1 ÆÛ ÂÖ À [2] ß ²Å Ì Ó ÆÅ ½ÃÓÌ Ó Å Å Ñ Ó Í x l σ Đ Ó Ø λ l+1 Ï Í x l A 1 (σ)a(λ l+1 )x l Û» Ç º Û 1 ¾ Û Ñ«Å Û Ý

16 Ë 8 σ ¼ Ì Õ ÚÅĐ λ l+1 x l+1 Æ σ λ l+1 Ø Ï Å Ì ÓÛ ÝÅ Ú ßÅ Ú Å Å Ú ² µø Ï A(σ) ÃÓ ³ σ Ø ÜÕ µø Û Ð ¾ Ü ÅÑ ² σ Ø

17 Degree papers are in the Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database. Full texts are available in the following ways: 1. If your library is a CALIS member libraries, please log on and submit requests online, or consult the interlibrary loan department in your library. 2. For users of non-calis member libraries, please mail to etd@xmu.edu.cn for delivery details.

Relaterede dokumenter

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò

ÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑÑº ØÙº Â Ò Ãº Å