φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j

Transkript

1 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½ Å ÌÄ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ Ã ÖÒ Ð Å Ø Ó ÊÓ ÖØ Ë ØØ Ò Ö Ø Ó ÇØÓ Ö ¾¼ ¾¼½½ Ì Ø Ð Ö ÔÓÖØ ÓÒØ Ò ÓÑ ÓÔ ÙÐÐÝ ÐÔ ÙÐ ØÙ ÓÖ ÛÖ Ø Å Ì¹ Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÖÒ Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÓ Ý Ö Ù Ö ÓÒØ Ò Ú ÖÝ ÓÓ ÓÑÔ Ø Ø Ú ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Å ÌÄ ÔÖÓ¹ Ö Ñ ÒÓØ Ø Ø ÑÝ ÓÛÒ Å ÌÄ Ò ÓÙØ Ø ÒØ ÕÙ Ú Ö ÓÒ ÓÖÖݺºº ½ à ÖÒ Ð ÈÓ ÒØ Ï ÙÑ x, y ØÓ Ú ØÓÖ Ò R d Û ÓÒ Ö Ö Ð ÖÒ Ð Ó Ø ÓÖÑ K(x,y) = φ( x y 2 ), ÓÖ ÐÐ x, y R d. ½º½ ÈÓ ÒØ Ë Ø Ï ØÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Å ÌÄ» ÇÊÌÊ Æ ØÝÐ ÖÓÛ Ó Ñ ØÖ Û Ø d ÓÐÙÑÒ º º x 1,...,x M R d ÖÓÛ Ó Ñ ØÖ Ü X R M d º ÆÓØ Ø Ø Å ÌÄ ÖÙÒ Ø ÖÓÙ ÖÖ Ý Ò ÓÐÙÑÒÛ Û Ý Ð ÇÊÌÊ Æº Ì Ù ÙÒ ÝÑÑ ØÖ ÖÖ Ý ÓÙÐ ÐÛ Ý ØÓÖ Ù Ø Ø Ø Ö Ö ÑÓÖ ÖÓÛ Ø Ò ÓÐÙÑÒ º ÓÖ ÙÒ Ú Ö Ø ÒÓØ Ø Ø Å ÌÄ ÕÙ Ð Ø ¹½ ¼º¼½ ½ Ò¹ Ö Ø ÖÓÛ ÒÓØ ÓÐÙÑÒº ÊÓÑ Ø Ó n ÔÓ ÒØ Ò d Ñ Ò ÓÒ Û Ø Ò [0,1] d Ö Ö Ø Ú Ô Ö Ò µº ÌÓ Ö Ø ÖÓÑ ÔÓ ÒØ Ò[a,b] d Ù Ô ¹ µ Ö Ò µº Ê ÙÐ Ö Ö Ö Ö Ø Ý Ø Ñ Ö ÓÑѺ Ì Ø Ö ¾ ÐÓÓ Ð Ü Ý Ñ Ö µ ÓÖ Ö Ø ÔÓ ÒØ Ò [a,b] 2 Û Ø Ô hº ÙØ Ø Ö ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ò ÓÙÖ Ñ ØÖ Ü ÓÒÚ ÒØ ÓÒº ÓØ Ü Ý Ö Ñ ØÖ Ó Ø Ñ Ô Û Ø ÒØ Ð ÓÐÙÑÒ ÓÖ ÖÓÛ º Í

2 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ¾ Ô Ü µ Ý µ ØÓ Ø ÔÓ ÒØ Ñ ØÖ Ü Û Ø ØÛÓ ÓÐÙÑÒ º Ì ÒÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü Ö Ô Ô ½µ Þ Üµµ Ý Ö Ô Ô ¾µ Þ Ýµµ ØÓ Ö Ø ÔÓ ÒØ ÓÓÖ Ø ÒØÓ Ø ÓÖÖ Ø ÓÖ Öº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Þ ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ Ó Ú ÐÙ Ø Ø ÔÓ ÒØ Ô ÓÒ Ó Ø Ò Ò ØÓ Ö Ô Ø Ý ÞÖ Ö Ô Þ Þ Üµµ ØÓ Ø Ô Ó Ü ÓÖ Ýº ½º¾ Ø Å ØÖ Ê Ð ÖÒ Ð Ö Ù Ù ÐÐÝ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÐ Ò Ø º ÁÒ Å ÌÄ Ø Ö Ñ ØÓ Ù ÚÓ Ð ÐÓÓÔ Ø Ù Û Ñ Ø ÖÒ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ ØÖ ÒÓØ ÓÒ Ð ÔÓ ÒØ Ø º Á Ø Ö Ö M ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø x Ö ÙÑ ÒØ N ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø y Ö ÙÑ ÒØ º º Û Û ÒØ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü A XY Û Ø ÒØÖ φ( x j y k 2 ), 1 j M, 1 k N, Û Ú ØÛÓ ÒÔÙØ ÔÓ ÒØ Ñ ØÖ X R M d Y R N d ØÓ Ö Ø Ò M N Ñ ØÖ Ü Û Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ó ÒØÖ X T e i Y T e j 2 2 = X T e i Y T e j 2 2 2e T i XY T e j ÓÖ 1 i M, 1 j Nº Ñ ØÖ Ü Ø ÕÙ Ð ØÓ 2XY T ÔÐÙ ØÛÓ Ñ ØÖ ÓÒ Ø Ó ÒØ Ð ÖÓÛ ÓÐÙÑÒ ÓÖÑ Ý ÕÙ Ö ÒÓÖÑ Ó ÔÓ ÒØ º Ì Ù Ø ÑÓÖ ÒØ ØÓ ÐÙÐ Ø ÕÙ Ö Ø Ú Ý ØÛÓº À Ö Ò Ñ¹ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÚ ÓÖÑÙÐ Ò ÐÚ ÓÖÑ Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÐÓÓÔ Û Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(MNd)º ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Õ Ô Õµ ± ÐÙÐ Ø ÒÔ ÒÕ Ñ ØÖ Ü Ó ÐÚ ÕÙ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ø ± Û Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø Ô Õ Ó ÒÔ ÒÕ ÔÓ ÒØ º ÒÔ Ô Ñ Þ Ôµ ÒÕ Õ Ñ Þ Õµ Ô Ñ Õ Ñ ÖÖÓÖ ³ÔÓ ÒØ Ø Ó ÙÒ ÕÙ Ð Ñ Ò ÓÒ³µ

3 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË Ô Ñ ½ Ø Ö ÔÑ Ø Ô ½ ÒÕµ¹Ö ÔÑ Ø Õ³ ÒÔ ½µµº ¾»¾ Ö ØÙÖÒ Ø Ô Õ³ Ô ÙÑ Ôº Ôµ³µ»¾ ± ÕÙ Ö ÒÓÖÑ Ó Ô ÔÓ ÒØ ÖÓÛ ÐÚ Õ ÙÑ Õº Õµ³µ»¾ ± ÕÙ Ö ÒÓÖÑ Ó Õ ÔÓ ÒØ ÖÓÛ ÐÚ Ø Ö ÔÑ Ø Ô³ ½ ÒÕµ Ö ÔÑ Ø Õ ÒÔ ½µ¹ Ø ÆÓØ Ø Ø Ø Ñ¹ Ð Ó ÒÓØ Ó ÒÝ Ðº Ì Ø Ö Û Ý ØÓ Ù Ð ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ø Ù ØÓ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ö ÐÚ Ø ÓÚ ØÓ ÔÔÐÝ Ø ÙÒ Ð ÖÒ Ð Ò Ø ÓÖÑ K(x,y) := f( x y 2 2/2) = f(s), s := x y 2 2 /2 Ù Ø ÙÒØ ÓÒ f(s) = φ( 2s) Ù Ø Ø φ(r) = f(r 2 /2)º Ë Ø ÓÒ ½º º ÓÖ Ø Ù Ó Ö Ð ÖÒ Ð Ò f ÓÖѺ Ï ÐÐ Ù Ø Ø ÖÑ S Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ñ ØÖ Ó ÐÚ ÕÙ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ø º ½º à ÖÒ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ë ËÙ È Ã µ Ê Ð ÖÒ Ð ÓÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÐÚ ÕÙ Ö Ó ¹ Ø Û Û Ò Å ÌÄ Ø Ý ÓÙÐ ÔÔÐ Ð Ð Ñ ÒØÛ ØÓ ÙÐÐ Ñ ØÖ Üº Ì Ö Ø Ö Ý ØÓ Ó ÙØ Ø Ö Ö ÓÑ ÔÖ ÙØ ÓÒ º ½º º½ ÚÓ ËÙÐ Ö Ø Ë ËÍ È Ã Ëµ Ì Ø ÔÐ Ø ÔÐ ÖØ Ò ÖÒ Ð ÒÚÓÐÚ Ð ÙÒØ ÓÒ Ú ÙÐ Ö Ø Ø Ø ÓÖ Òº Ø Ó Ø Ò Ð Ó Ù ÒØ ØÖ ØÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Å ÌÄ Ô ØÓ Ø Ö Ö ÙÑ Òغ ÑÓÖ ÓÔ Ø Ø ÔÔÖÓ ÛÓÙÐ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÐÓ Ð Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÖÓÙÒ Þ ÖÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÐÓ ÐÐݺ ÙØ Ø Ø ÐÐ ØÓ ÓÒ ººº

4 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½º º¾ ÌÖÙÒ Ø ÈÓÛ Ö Ë ËÍ È Ã Ìȵ ÓÖ ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ö Ð ÖÒ Ð ÓÒ Ó Ø Ò Ò ØÖÙÒ Ø ÔÓÛ Ö { } s s k + := k s > 0 0 s 0 Ð Ñ ÒØÛ ÓÒ Ñ ØÖ º Ì Ø Ö ØÖ Ò Å ÌÄ ØÓ Ù Ñ Ü Þ ÖÓ Þ µµ µº Ò ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ Ô Ø ÐÐ ÐÓÓÔ º ½º º à ÖÒ Ð ÊÓÙØ Ë ËÍ È Ã Ãʵ ÇÙÖ Ø Ö Û Ý ØÓ ÐÙÐ Ø Û Ø ÖÒ Ð Ó Ø ÓÚ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ Å ÌÄ Ñ¹ Ð Ö ºÑ Ó Ø ÓÖÑ Ö Ñ Ø Ö Ñ Ø µ Û Ø Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ó ÐÚ ÕÙ Ö Ø Ú ÐÙ Ø Ø k Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø ÖÒ Ð ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ò Ñ ØÖ Ü Ö Ñ Ø Ó Ø Ñ ÓÖÑ Ñ Øº Í Ö Ö ØÖÓÒ ÐÝ Ú ÒÓØ ØÓ Ù Ø ÖÓÙØ ÓÖ Ð ÔÓ ÒØ º Ì Ý Ö Ø ÐÓÖ ÓÖ Ù ÓÒ Ñ Ð ¹ Þ Ñ ØÖ º ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ö Ö ÒÓ ÔÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÒ Ð ÓÖ ÐÐ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÐÓ Ð Å ÌÄ Ú Ö Ð Ê ØÝÔ Ê Ô Ö Ê Ð ØÓ ÜÔÐ Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ º ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ð ØÓÖ c ÒÓØ ÓÒ Û Ø Ò Ö º ÁØ Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ Ú Ø ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ê Ð ÙØ Ø Ñ Ð Ø Õ ºÑ Ó ÒÓØ Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ð ÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ø Ö Ø Õ ºÑº Ò Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ý Ê Ô Ö Ô ÓÒ Ø ØÝÔ Ó ÖÒ Ð Û Ð Ø ØÝÔ Ó ÖÒ Ð Ð Ø Ý ØØ Ê ØÝÔ ØÓ Å ÌÄ ØÖ Ð ³ ³ ÓÖ Ø Ù Òº Ì Ð Ø Ó ÙÖÖ ÒØ ÓÔØ ÓÒ ÓÖ Ê ØÝÔ Ù Ò φ(r) = exp( r 2 /2) Û Ø f(s) = exp( s) ÐÐ k N 0 ÒÓ Ê Ô Ö

5 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ÑÕ ÅÙÐØ ÕÙ Ö φ(r) = (1 + r 2 /2) β/2 Û Ø f(s) = (1 + s) β/2 ÐÐ k N 0 Û Ø Ê Ô Ö βº ÁÒÚ Ö ÑÙÐØ ÕÙ Ö Ò ØÖ Ø Ý ÓÓ Ê Ô Ö β Ò Ø Ú º Ô ÈÓÛ Ö φ(r) = r β Û Ø f(s) = ( 2s) β ÐÐ k N 0 Û Ø Ê Ô Ö βº Ñ Å Ø ÖÒ»ËÓ ÓÐ Ú φ(r) = K ν (r)r ν ÐÐ k N 0 Û Ø Ê Ô Ö νº Û ÐÐ C 2m ÏÐ ÙÒØ ÓÒ φ 3,m ÓÖ m =Ê Ô Ö 0 ÐÐ k N 0 ØÔ Ì ÔÐ Ø ÔÐ φ(r) = r 2m log r ÓÖ ÒØ Ö 2m =Ê Ô Ö> 0 ÐÐ k N 0 º ÆÓØ Ø Ø ÙÖÖ ÒØÐÝ Ø Ö Ö ÒÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÓÖ Öº ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø ÏÐ ÙÒØ ÓÒ Ð ÙÖÖ ÒØÐÝ Ö ØÖ Ø ØÓ ÖÒ Ð ÛÓÖ Ò R 3 º Ì ÔÖÓ Ö Ñ Ö ºÑ Ù Ø ÐÙÐ Ø Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø k Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø ÖÒ Ð Ø Ó ÒÓØ Ö ÓÖ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ü Ø Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ö Ú Ø Ú º ÙÐÐ Ð Ø Ö ÙÒØ ÓÒ Ý Ö µ ± ¹Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ö ÖÒ Ð Ò ÓÖÑ º º ± ÙÒØ ÓÒ Ó Ö ¾»¾º ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ± ³ ³ Ù Ò ³ÑÕ³ ÅÙÐØ ÕÙ Ö Øºº ÐÓ Ð Ê Ô Ö ± Ô Ö Ñ Ø Ö Ô ÓÒ Ê ØÝÔ Û Ø ÐÓÛ Ö Ê ØÝÔ µ ³ ³µ ± ³ ³ Ù Ò ÑÓ ¾µ ¼ Ý ÜÔ ¹ µ Ð Ý ¹ ÜÔ ¹ µ ³ÑÕ³µ ± ³ÑÕ³ ÅÙÐØ ÕÙ Ö ÒÚ Ö ÓÖ ÒÓغºº ½ ÓÖ Ô Ö Ê Ô Ö Û Ð ÓÖ ¼ ÓÖ ÓÖ ¹½ Ô Ö Ô Ö Ô Ö¹¾ Ý ½ ¾ µº Ô Ö»¾µ

6 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ³Ô³µ ± ÔÓÛ Ö ½ ÓÖ Ô Ö Ê Ô Ö Û Ð ÓÖ ¼ ÓÖ ÓÖ ¹½ Ô Ö Ô Ö Ô Ö¹¾ Ý ¾ Ô µº Ô Ö»¾µ ³ØÔ³µ ± Ø Ò¹ÔÐ Ø ½ ÓÖ Ô Ö Ê Ô Ö Ù ¼ Û Ð ÓÖ ¼ ÓÖ ÓÖ ¹½ ÓÖ ¹½ Ù ½ Ð Ù Ù Ô Ö Ô Ö Ô Ö Ô Ö¹¾ Ý ¾ Ô µº Ô Ö»¾µ Ý Ýº ÐÓ ¾ Ô µ»¾ Ù Ý ³Ñ ³µ ± Å Ø ÖÒ»ËÓ ÓÐ Ú Ý ¹½µ Ð Ê Ô Ö¹ ÕÖØ ¾ Ô µµº ººº ÕÖØ ¾ Ô µµº Ê Ô Ö¹ µ ³Û³µ ± ÏÐ ÙÒØ ÓÒ º ± Û Ù ÓÒÐÝ Ø Ó Û Ö ÔÓ º º ± Ò Ñ Ò ÓÒ Ø ÑÓ Ø º Ó ÜÔÓÒ ÛÓ ¾ Ê Ô Ö¹ µ Ö ÕÖØ ¾ µ Ö ½µ Ù Þ ÖÓ Þ µµ Ô ÓÒ Þ µµ ÐÓ Ö µ ÓÖ ½ ÐØ Ó µ Ù Ù Ó µ Ô

7 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË Ô Ôº ÐÓ Ù Ùº ½¹ ÐÓµº ÜÔÓÒ Ý Þ ÖÓ Þ µµ Ý µ ¹½µ Ù ÓØ ÖÛ ÖÖÓÖ ³Ê ØÝÔ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ³µ ½º Ê ÙÖ Ú Ë Ð Ö Ê Ð Ö Ú Ø Ú Ì Ø ÓÒ Ö ÓÛ Ø Ö Ú Ø Ú Ó ÙÒ Ð Ö Ð ÖÒ Ð Ò Ø f ÓÖÑ Ò ÐÙÐ Ø º Ì Ù Ø Ò ÜÔÐØ ÓÒ Ó ÓÛ Ö Ñ Ø µ ÛÓÖ ÓÖ ÔÓ Ø Ú Ö Ú Ø Ú ÓÖ Ö º Ï ÛÖ Ø Ò ÙÒ Ð Ö Ð ÖÒ Ð K(x,y) := f( x y 2 2 /2). ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ØÖ Ø ÖØ Ò Ú Ò¹ Ø Û Ò ÐÙÐ Ø Ö Ú Ø Ú º ÙØ Ð Ø Ö Û ÐÐ Ð Ú K c (x,y) := f( x y 2 2/(2 )) = K(x/c,y/c) Û Ø c Ý Ø ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ê Ð º Ì Ð Ø c Ø Ð ÙÔÔÓÖØ Ö Ù Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ò Û Ð Ø ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔÔÓÖØ ÙÒ Ð Ö Ð ÖÒ Ð K Ú ÓÖ x y 2 > 1º ½º º½ Ù Ò Ì Ù ÒK(x,y) = exp( x y 2 2 /2) Ù f(s) = exp( s) Û Ø ÑÔÐ Ø ÔÓ Ð Ö Ú Ø Ú º ½º º¾ ÅÙÐØ ÕÙ Ö Ì ÑÙÐØ ÕÙ Ö φ β (r) := (1+r 2 ) β/2 Û Ø β / 2N 0 Ð ØÓ Ø Ý Ö ÙÖ ÓÒ f β (s) := (1+2s) β/2 f β (s) := β(1+2s)β/2 1 = βf β 2 (s) ÐÐÓÛ ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ö ØÖ ÖÝk ÓÖβ / 2N 0 º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÐÙ ÒÚ Ö ÑÙÐØ ÕÙ Ö º

8 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½º º ÈÓÐÝ ÖÑÓÒ ÖÒ Ð ÓÖ Ø ÔÓÛ Ö φ β (r) := r β Û Ø β > 0, β / 2Z Û Ø f β (s) = (2s) β/2 f β (s) = β(2s)β/2 1 = βf β 2 (s) ÓÖ Ø Ø ÔÐ Ø ÔÐ φ β (r) := r β log(r) Û Ø β 2Z Û f β (s) = (2s) β/2 log( 2s) = 1 2 (2s)β/2 (log(s)+log(2)) f β (s) = 1 2 β(2s)β/2 1 (log(s)+log(2))+(2s) β/2 1 = βf β 2 (s)+(2s) β/2 1. ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò sº ½º º Ì Ö Å Ø ÖÒ»ËÓ ÓÐ Ú ÖÒ Ð φ ν (r) := K ν (r)r ν Û Ø Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÒ º ÁØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Ò Ì Ò K ν(z) = K ν+1 (z)+ ν z K ν(z) = K ν 1 (z) ν z K ν(z) f ν (s) := φ ν ( 2s) = K ν ( 2s)( 2s) ν. f ν(s) = K ν( 2s) 1 ( 2s) ν +K ν ( 2s)ν( 2s) ν 1 1 2s 2s = K ν( 2s)( 2s) ν 1 +νk ν ( 2s)( ( 2s) ν 2 = K ν 1 ( 2s) ν K ν ( ) 2s) ( 2s) ν 1 +νk ν ( 2s)( 2s) ν 2 2s = K ν 1 ( 2s)( 2s) ν 1 = f ν 1 (s).

9 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½º º ÏÐ ÙÒØ ÓÒ Ï ÒÓÛ Ð Ø ÏÐ ÛÐ ½ ¹½ ÛÐ ¾¼¼ ¹½ ÖÒ Ð ÙØ ÒÓØ Ø Ø Û ÒÓÛ Ú ØÓ Ö ÙÐ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÓÖ º Ö Ø Û Ö ÛÖ Ø Ø Ñ Ò ÓÒ Û Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÛÐ ¾¼¼ ¹½ I(φ)(r) := r tφ(t)dt = φ( 2s) ds r 2 /2}{{} =:f(s) =: Ĩ(f)(t), t = r 2 /2, I(φ)( 2t) = Ĩ(f)(t) = f(s)ds Ĩ = Id. Ì ÏÐ ÙÒØ ÓÒ Ö Ú t Û Ö ÛÖ Ø Ø Ñ Ò Ø ÓÖÑ Ì Ò φ d,k = I k φ d/2 +k+1, φ l (r) = (1 r) l + φ d,k (s) := φ d,k ( 2s), φl (s) = φ l ( 2s) = (1 2s) l +. φ d,k (s) = φ d,k ( 2s) = (I k φ d/2 +k+1 )( 2s) = Ĩk φ d/2 +k+1 (s) φ d,k (s) = Ĩk 1 φ d/2 +k+1 (s) = Ĩk 1 φ (d+2)/2 +k 1+1 (s) = φ d+2,k 1 (s) Ö Ú Ø Ú Ö ÙÖ ÓÒ Û Ý ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ö ÙÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ð º Ï ÐÐ Ö ÐÓÛ ÓÛ Ø Ó Ò ÐÙÐ Ø Ò Ö Ðº ÆÓØ Ø Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ö Ö ÒØ ÖÓÑ Û Ø Ù Ù ÐÐÝ Ò Ò Ø Ð Ó ÏÐ ÙÒØ ÓÒ º À Ö Ò Ü ÑÔÐ Û Ø ÓÖÖ Ø ØÓÖ Û Ò Ø ÖØ Û Ø Ø ØÓÔÑÓ Ø ÓÒ φ 3,3 (r) = (1 r) 8 + (32r3 +25r 2 +8r +1) φ 5,2 (r) = 22(1 r) 7 + (16r2 +7r +1) φ 7,1 (r) = 528(1 r) 6 +(6r +1) φ 9,0 (r) = 22176(1 r) 5 +

10 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½¼ Ò Ý Û Ý ØÓ Ø Ö ÏÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ö Ú Ø Ú ØÓ Ø ÖØ Û Ø ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð w l (r) := (1 r) l Ø Ò ØÓ Ö Ô Ø Ø Å ÈÄ Ø Ø Ñ ÒØ Û ¹ ÒØ Ö Û Öµ Û ØÓÖ Û¹ Ù Ö ½ Ûµµ ÓÙÔÐ Ó Ø Ñ º Ì ÓÒ Ô ÖØ Ø Ø ÓÖÖ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ØÓ Ð Ø Ø Ö ÙÐØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ø ½º Ì ÔÖÓ Ö Ø Ø ÓÚ ÕÙ Û Ö Û Ò Ø ÖØ Û Ø 22176(1 r) 5 º ÌÓ Ø φ d,k ÓÒ ØÓ Ø ÖØ Û Ø w l (r) := (1 r) l ÓÖ l = d/2 +k+1 Ô Ö ÓÖÑ k Ø Ô º Ì Ö ¹ ÙÐØ C 2k ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ñ Ò ÓÒ ÙÔ ØÓdº Ï Ø Ó Ö Ø ÓÒ ØÙÖ ÓÒ Ò Ö Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó ÓÖ Ø Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Ò¹ Ù º Á Û Ø ÖØ ÖÓÑ w l (r) := (1 r) l Ô Ö ÓÖÑ Ø ÓÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ k Ø Ñ ÓÒ Ò Ø ÓÚ ÔÖÓ Ø ÖØ ÖÓÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p 0 = 1 ÔÖÓ ÙØ Ú ÐÝ Ú 1 ÓÖ n = 0,...,k 1º Ì Ñ Ò Û Ø r s(1 s) l+n p n (s)ds = (1 r) l+n+1 p n+1 (r) d ( (1 r) l+n+1 p n+1 (r) ) = r(1 r) l+n p n (r) dr p n (r) = n a j,n r j j=0 Ø Ö ÑÔÐ Ö ÙÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ó ÒØ Ú r(1 r) l+n p n (r) = (l+n+1)(1 r) l+n p n+1 (r)+(1 r) l+n+1 p n+1(r) rp n (r) = (l+n+1)p n+1 (r)+(1 r)p n+1 (r) r n j=0 a j,nr j = (l+n+1) n+1 j=0 a j,n+1r j +(1 r) n j=1 ja j,n+1r j 1 a j 1,n = (l+n+1)a j,n+1 +(j +1)a j+1,n+1 ja j,n+1 a j 1,n = (l+n+1+j)a j,n+1 +(j +1)a j+1,n+1 1 a j,n+1 = l+n+1+j ((j +1)a j+1,n+1 +a j 1,n ) Û Ö ÓÖ j = n+1,...,0º Á Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ O(k 2 ) Ò ÔÔ Ø Ó ÒÓØ ÓÒØÖ ÙØ ÒØÐÝ ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ì ÓÐÐÓÛ Å ÌÄ Ó Ö Ø Ø Ò ÖÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÒØ Ò ÓÖ Ö Ý ÔÔÐÝ Ø ÓÚ Ö ÙÖ ÓÒº

11 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½½ ÙÒØ ÓÒ Ó ÜÔÓÒ ÛÓ µ ± ÐÙÐ Ø Ó ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ± Ô ÖØ Ô ß Ð Öµ Ó ÏÐ ÙÒØ ÓÒ ± Ô ß Ð Öµ Ô ß Ð Öµ ½¹Öµ ÜÔÓÒ ÜÔÓÒ ÐÓÓÖ»¾µ ½ Ó Þ ÖÓ ½ ½µ Ó ½ ½µ ½ ÓÖ Ò ¼ ¹½ Ó Ò ¾ ½µ Ó Ò ½ ½µ» Ò ÜÔÓÒ ¾µ ÓÖ Ò ½ ¹½ ¾ Ó ½µ Ó ½ ½µ Ó ¹½ ½µµ» ÜÔÓÒ µ ÜÔÓÒ ÜÔÓÒ ½ Ó ½ ½µ Ó ¾ ½µ» ÜÔÓÒ Ì Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ò Ö ºÑ Û Ò ÐÐ ÓÖ Ø k¹ø Ö Ú Ø Ú ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò s ÓÖÑ Ø ÓÚ Ð Ø Ó Ö ºÑµº ÆÓØ Ø Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó ÏÐ ÖÒ Ð Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø Ý Ö ÓÙÒ º ½º º Ê Ñ Ö ÁØ Ñ ØÓ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ð Ó Ö Ð ÖÒ Ð Ö ÐÓ ÙÒØ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ý Ö ÛÖ ØØ Ò Ò f ÓÖѺ ÙØ Ø ÒÓ Ñ Ö Ð º Ì Ö ÓÒ Ø Ø Ø Ð Ö ÐÓ ÙÒ Ö Ö Ð ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ò f ÓÖÑ Ø Ò Ò Ö ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ð ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑÑÙØ Û Ø Ö ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø f ÓÖѺ ½º ÅÙÐØ Ú Ö Ø ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ë ËÍ ÅÎȵ ÁÒ Ú Ö ÓÙ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ Ð Û Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÒ Ð Û Ò Ø M Q Ñ ØÖ Ü ÔÓÐÚ ÐÙ Ó Ú ÐÙ Ó ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÓÑ ÓÖ Ö ÓÖ Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ M d Ñ ØÖ Ü ÔÓ ÒØ Ó M ÔÓ ÒØ Ò d Ñ Ò ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ö Ñ Ò Ö +1 Ö Ø Ñ Ò ÓÒ Q Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ö m Ø Ô Ñ Ò ÓÒ d Ú Q = ( ) m+d 1 d º ÇÙÖ ÑÔÐ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ú ÙÒ Ð ÑÓÒÓÑ Ð º º Û ÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ü Ó Ú ÐÙ x α j ÓÖ ÐÐj, 1 j M ÐÐ ÑÙÐØ α Z d 0 Û Ø 0 α := α 1 < m Û Ö m Ø ÓÖ Öº Ò Ø ÖÓÛ Ü Û ÐÐ ÖÙÒ ÓÚ Ö ÔÓ ÒØ º º ÖÓÑ 1 ØÓ M = º Í Ö

12 ½ à ÊÆ ÄË Æ ÈÇÁÆÌË ½¾ ÓÙÐ ÛÓÖ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÙØ ÓÒÐÝ Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ø Ý ÓÙÐ ÔÓ ÐÝ ÔÔÐÝ ÓÑ Ðº ÙÒØ ÓÒ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÓ ÒØ ÓÖ Öµ ± Ö Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ÔÓ ÒØ ÙÔ ØÓ ÓÖ Ö ± Ì ÓÖ Ö ÅÍËÌ ÒÖ ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Øº ÒÙÑÔÓ ÒØ Ñ Þ ÔÓ ÒØ µ ± Ð ØÖ Ú Ð Ö Ø ÓÖ Ö ¼ ÔÓÐÚ ÐÙ Ö ØÙÖÒ ÓÖ Ö ½ ÔÓÐÚ ÐÙ ÓÒ ÒÙÑÔÓ ÒØ ½µ Ö ØÙÖÒ ÓÖ Ö ¾ ÔÓÐÚ ÐÙ ÓÒ ÒÙÑÔÓ ÒØ ½µ ÔÓ ÒØ Ö ØÙÖÒ Ñ ½ ÔÓÐÚ ÐÙ Þ ÖÓ ÒÙÑÔÓ ÒØ ÓÖ Öµ ÔÓÐÚ ÐÙ ½µ ÓÒ ÒÙÑÔÓ ÒØ ½µ ÔÓÐÚ ÐÙ ¾µ ÔÓ ÒØ ½µ ÓÖ ÓÖ Ö ÔÓÐÚ ÐÙ µ ÔÓÐÚ ÐÙ ¹½µº ÔÓ ÒØ ½µ Ö ØÙÖÒ ± Ö Ð ÓÒ Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÓ ÒØ ÓÖ Ö¹½µººº ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ü Ø ÓÖ Ö ÔÓ ÒØ ÓÖ Öµ Ì Ö ÙÖ ÓÒ Ò Ø ÓÚ ÔÖÓ Ö Ñ Ù ÙÒØ ÓÒ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ü Ø ÓÖ Ö ÔÓ ÒØ ÓÖ Öµ ± Ö Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÓÖ Ö ÓÒ ÔÓ ÒØ ÒÙÑÔÓ ÒØ Ñ Þ ÔÓ ÒØ µ ± Ö Ø ÓÑ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ö ½ ÔÓÐÚ ÐÙ ÓÒ ÒÙÑÔÓ ÒØ ½µ Ö ØÙÖÒ

13 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ ÓÖ Ö ¾ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓ ÒØ Ö ØÙÖÒ Ñ ½ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓ ÒØ ½µº ÓÖ Ö¹½µ Ö ØÙÖÒ ± Ï Ø ÓÐÐÓÛ ÖÙ Ö ÙÖ Ú Ñ ÓÚ Ö Ø ÁÅ ÆËÁÇƺ ± ËÓÑ Ó Ý ÅÍËÌ ÛÖ Ø ØØ Ö ÓÒ ºººº ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓ ÒØ Ñµº ÓÖ Ö¹½µ ÓÖ ¾ ÓÖ Ö¹½ Ô ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ü Ø ÓÖ Ö ÔÓ ÒØ ½ ѹ½µ µ ÔÔ ÔÓ ÒØ Ñµº ÓÖ Ö¹ µ ÖÔ Ô Þ Ô µ ± ÔÔ Þ ÔÓ ÒØ Ñµº ÓÖ Ö¹ µµ ÓÖ ½ Ô ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓÐÚ ÐÙ Ô µº ÔÔ ÔÓÐÚ ÐÙ ÔÓÐÚ ÐÙ ººº ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ü Ø ÓÖ Ö ÔÓ ÒØ ½ ѹ½µ ÓÖ Öµ Ì ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ñ ÒØ ÛÖغ ØÓ Ô Ö ÒØ º º Ý Ú º ¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ë ËÍ È Ã Á µ Ø Ö ÕÙ Ö ÖÒ Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ M K(x k,x j )a j = y k, 1 k M j=1 ÓÖ ÙÒÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ö Ð ÖÒ Ð Ù Ù ÐÐÝ Ø ÙÔ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ Ñ ØÖ Ü Ú ÒØÑ Ø Ö Ø Õ µ»ê Ð ¾ ¼µ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ø ÖÒ Ð Ö Ø ÖÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø º Ï Ò Ù Ø Ö Å ÌÄ ÖÓÙØ ÖÑ ØºÑ ÓÖ Ø Ù ÒØÑ Ø ÖÑ Ø µ

14 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø ÖÑ Ø µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ñ Ø Ö Ø Õ µ»ê Ð ¾ ¼µ Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ú ØÓÖ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø Ú ØÓÖ Ý Ú ÒØÑ Ø Ý ÙØ Ø ÐÛ Ý ÓÓ ØÓ Ø Ð Ý ÔÖ Ø Û Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØÑ Øµ ØÓ ÚÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Ø Ö Ø Ó ÒØ Ú ØÓÖ ÓÒ ÛÓÙÐ Ù Ù ÐÐÝ Ð ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ º º ÓÖ Ù ÕÙ ÒØ ÔÐÓØغ Ì Û ÐÐ Ò ÑÙ Ö ÔÓ ÒØ Ø Ø Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø ÐÐ Ö º Ì Ö ÙÐØ Ú ÐÙ Ø Ø ÔÓ ÒØ Ö Ó Ø ÖÓÑ Ú ÐÑ Ø ÖÑ Ø µ Ú ÐÙ Ú ÐÑ Ø ÓÖ Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Û ÐÐ Ø ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø ØÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ð Ö Ý Ø Ñ Ù Ð Ö ÙÒ ÝÑÑ ØÖ ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü ØÓ ÓÖÑ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ú ÐÙ Ú ØÓ Ö Ô Ø ÔÓ ÒØ Ò Ö Ö Ú ÖÓÑ Ñ Ö ÓÑѺ Ì Ø Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ¾ Ø Ù ÓÑ Ø Ð Ü Ý Ñ Ö ºººº µ Ü µ Ý µ Ú ÐÑ Ø ÖÑ Ø µ Ú ÐÙ Ú ÐÑ Ø ÙÖ ÙÖ Ü Ý Ö Ô Ú ÐÙ Þ Ü µµµ ÙÐÐ ÑÔÐ Ð Ø Ó Ø Ñ¹ Ð Ø Ø ÒØºÑ ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó Ø Å Ì¹ Ä Ô ÙÒØ ÓÒ Ò [ 3,3] 2 Ö

15 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ Ð Ö ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ÐÓ Ð Ê Ô Ö ÐÓ Ð Ê Ð Ö ³ Ø Ø ³ ¼µ Ê Ð ¼º Ê ØÝÔ ³ ³ Ê Ô Ö º ÒÔ ½ ± Ö ÙÐØ Ò ÒÔ ¾ ÔÓ ÒØ Ô Ö ÒÔ ÒÔ ¾µ¹ ± Ù Ø ÓÖ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ ± ÓÖ Ø Ò ÜØ ØÛÓ Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÔÓ ÒØ ± ÜÔ ÝÔ Ñ Ö ¹» ÒÔ¹½µ ¹» ÒÔ¹½µ µ ± Ô ÜÔ µ ÝÔ µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ½µ ÔÐÓØ Ô ½µ Ô ¾µ ³º³µ Ø ØÐ ³ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ³µ Þ Ô Ô ½µ Ô ¾µµ Ü Ý Ñ Ö ¹ ¼º¼ ¹ ¼º¼ µ Ô Ü µ Ý µ Þ Ô Ü Ý µ Ñ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Øµ Ó Ñ Ø Þ Ñ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ Ú Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ¾µ ÙÖ Ü Ý Þ µ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ Ú Ò ÙÒØ ÓÒ³µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³Ê ÓÒ ØÖÙØ ÙÒØ ÓÒ³µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý Þ ¹Ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ ÖÖÓÖ³µ Ì Ö ÙÐØ Ö Ô Ø Ò ÙÖ ½º ÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ö¹

16 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ ÙÖ ½ Ê ÙÐØ ÙÖ ÓÖ Ø Ø ÒØºÑ Ò Ð Ó ÓÖ Ö m ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò M ÔÓ ÒØ ÓÖÑ ÔÓ ÒØ Ñ ØÖ Ü ÓÒ Ò Ò ÜØ (M +Q) (M +Q) Ñ ØÖ Ü ( ) AX,X P X P T X 0 Q Q Û Ø Ñ ØÖ A X,X = (K(x j,x k )), 1 j,k M P X = (p i (x j )), 1 j M, 1 i Q Q Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ R d ÙÔ ØÓ ÓÖ Ö m Ù p 1,...,p Q º Ì ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ø y 1,...,y M Ú ØÓ ÜØ ØÓ Ú ØÓÖ (y T,0 Q ) T ÓÖÑ Ø Ö Ø ÓÖ Ø ÓÚ Ý Ø Ñº Ì Ó ÒØ Ö Ø Ò Ú ØÓÖ (a T,b T ) T R M+Q Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÔÓ ÒØ Ø Y Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ú ØÓÖ ÔÖÓ ÙØ ( ) a (A Y,X P Y ) b

17 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ ØÓ Ö Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐ Òس Ú ÐÙ ÓÒ Y º ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÒØ È ºÑ ÐÓÛ Û Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÙÖ ¾º Ë ÓÛ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÒØºÑ Û Ð ØÐÝ ÑÓ ØÓ ÛÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ø º Ð Ö ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ÐÓ Ð Ê Ô Ö ÐÓ Ð Ê Ð Ö ³ Ø Ø ³ ¼µ Ê Ð ¼º Ê ØÝÔ ³ØÔ³ Ê Ô Ö ¾ ÓÖ Ö ¾ ÒÔ ½ ± Ö ÙÐØ Ò ÒÔ ¾ ÔÓ ÒØ ± Ô Ö ÒÔ ÒÔ ¾µ¹ ± Ù Ø ÓÖ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ ± ÓÖ Ø Ò ÜØ ØÛÓ Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÔÓ ÒØ ÜÔ ÝÔ Ñ Ö ¹» ÒÔ¹½µ ¹» ÒÔ¹½µ µ Ô ÜÔ µ ÝÔ µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ½µ ÔÐÓØ Ô ½µ Ô ¾µ ³º³µ Ø ØÐ ³ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ³µ Þ Ô Ô ½µ Ô ¾µµ Ü Ý Ñ Ö ¹ ¼º¼ ¹ ¼º¼ µ Ô Ü µ Ý µ Ô Ü Ý µ Ñ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ ÔÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÓÖ Öµ ÒÔÔ Õ Þ ÔÑ Øµ Ñ Ø Ñ Ø ÔÑ Ø ÔÑ Ø³ Þ ÖÓ Õ Õµ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Øµ Þ Þ Þ ÖÓ Õ ½µ Ó Ñ Ø Þ Ñ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ Ô Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÓÖ Öµ Ú Ð Ñ Ø Ô Ñ Ø Ó Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ¾µ ÙÖ Ü Ý µ ÒØ ÖÔ

18 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ Ø ØÐ ³ Ú Ò ÙÒØ ÓÒ³µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³Ê ÓÒ ØÖÙØ ÙÒØ ÓÒ³µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý ¹Ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ ÖÖÓÖ³µ ÙÖ ¾ Ê ÙÐØ ÙÖ ÓÖ Ø Ø ÒØ È ºÑ

19 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ½ ¾º½ Ä Ö Ë ËÍ È Ã Ä µ ÓÖ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÒ Ð ÔÓ ÒØ Ñ ØÖ Ü Ó M ÔÓ ÒØ Ø Ä Ö ÙÒØ ÓÒ u 1 (x),...,u M (x) ÓÐÚ Ø Ý Ø Ñ M K(x k,x j )u j (x) = K(x k,x), 1 k M. j=1 ÌÓ Ú Ù Ð Þ Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ó N ÔÓ ÒØ y i Ú Ò Ý Ñ ØÖ Ü Y ÓÒ ÓÙÐ ÐÓÓ Ø M u j (y i )K(x j,x j ) = K(y i,x k ), 1 k M. j=1 Ì Ñ ØÖ Ü ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ U A = B Ø Ù ÓÒ Ø Ø Ñ ØÖ Ü U = (u j (y i )) 1 i N, 1 j M = B A 1 Ý ÓÐÚ A T U T = AU T = B T Ú ÙÑ Ø ÒØÑ Ø Ú ÐÑ Ø³µ³ Ø Ñ ØÖ ÒØÑ Ø Ú ÐÑ Ø Ö ÐÖ Ý ÐÙÐ Ø ØÓÖ ÓÚ º Ì Ý Ö Ò ÒÝÛ Ý ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û Û Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº ÆÓÛ Ø ÓÐÙÑÒ Ó ÙÑ Ø Ý Ð Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ä Ö ÙÒØ ÓÒ º ÓÖ ¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ ÔÐÓØØ ÓÒ Ñ Ö Ø Ø Ý ÑÙ Ø Ö Ô º Ò Ü ÑÔÐ ÓÐÐÓÛ ÐÓÛº Ä Ö Ö Ô Ð Ó Ø Ô ÒØ Ò º ¾º¾ ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ Ë ËÍ È Ã È µ ÇÒ Ø Ä Ö Ø ÓÒ Ò ÐÙÐ Ø Ø ÕÙ Ö Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ ÕÔÓÛËÈ µ Ø Ø ÔÓ ÒØ y i Ú P 2 (x) = K(x,x) P 2 (y i ) = K(y i,y i ) = f(0) M u j (x)k(x j,x) j=1 M u j (y i )K(x j,y i ) j=1 M u j (y i )K(x j,y i ). j=1 ½µ

20 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ¾¼ Ì ÙÒØ ÓÒ ÖÙ Ð Ö ÒØ Ó ÖÖÓÖ ÓÙÒ Ò Ø ØÓ Ø ØØ Ø Ö Ø Ú Ö Ó Ø ÔÖ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ø x ÖÓÑ ÃÖ ÔÖ ØÓÖ º º Ø ÖÒ Ð ÒØ ÖÔÓÐ Òص Ù Ø Ú Ð Ð Ø Ø Ø x j º Ï Ø Ø Ñ ØÖ Ö Ú ÓÚ ÓÒ Ò ÓÖÑ ÙÑ Øº Ú ÐÑ Ø ØÓ Ø Ø N M Ñ ØÖ Ü Ó ÐÐ ÔÖÓ ÙØ u j (y i )K(x j,y i )º Ï Ò Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÖÓÛ ÙØ Ø ÙÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Å ÌÄ ÙÑ ÓÚ Ö ÓÐÙÑÒ Ö Ø ÖÓÛº Ì Ù ÔÓÛÚ Ð Ö ¼ ¼µ¹ ÙÑ ÙÑ Øº Ú ÐÑ Øµ³µ³ Ý Ð Ø ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ Ó Ú ÐÙ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ú ÐÙ¹ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ º ÓÖ ¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ ÔÐÓØØ ÓÒ Ñ Ö Ø Ø Ý ÑÙ Ø Ö Ô º Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ ÒØ Ð ÓÖ ÖØ Ò Ö Ý Ñ Ø Ó º º ¾ º À Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø ØÐ ºÑ ÓÖ Ä Ö ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÙÒÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ø ÓÙØÔÙØ Ò ÙÖ º Ð Ö ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ÐÓ Ð Ê Ô Ö ÐÓ Ð Ê Ð Ö ³ Ø Ø ³ ¼µ Ê Ð ¼º Ê ØÝÔ ³ ³ Ê Ô Ö º ÒÔ ½½ ± Ô Ö ÒÔ ÒÔ ¾µ¹ ÜÔ ÝÔ Ñ Ö ¹»ÒÔ ¹»ÒÔ µ Ô ÜÔ µ ÝÔ µ Ü Ý Ñ Ö ¹ ¼º¼ ¹ ¼º¼ µ Ô Ü µ Ý µ ÒØÑ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØÑ Øµ Ú ÐÑ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ ÙÑ Ø ÒØÑ Ø Ú ÐÑ Ø³µ³ ÐÓÓÖ ÒÔ ÒÔ ½µ»¾µµ Ù ÔÐÓØ ½ ½µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô ÙÑ Ø µ Þ Ü µµµ

21 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ¾½ ÒØ ÖÔ Ü ÕÙ Ö Ø ØÐ ÔÖ ÒØ ³Ä Ö ÙÒØ ÓÒ ± ³ µµ ÔÓÛÚ Ð Ö ¼ ¼µ¹ ÙÑ Ú ÐÑ Øº ÙÑ Øµ³µ³ Ù ÔÐÓØ ½ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô ÔÓÛÚ Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ü ÕÙ Ö Ø ØÐ ³Èº º³µ Ù ÔÐÓØ ½ µ ÔÐÓØ Ô ½µ Ô ¾µ ³º³ Ô ½µ Ô ¾µ ³Ó³µ Ø ØÐ ³ÈÓ ÒØ ³µ Ü ÕÙ Ö ÙÖ Ê ÙÐØ ÙÖ ÓÖ Ø ØÐ ºÑ ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ u j Ö ÒÓØ Ø Ø Ö Ä Ö Ù K ÓÒ ØÓ Ù Ø ÓÖÑÙÐ ÕÔÓÛ Òµ M P 2 (x) = K(x,x) 2 u j (x)k(x j,x) j=1 M + u j (x)u k (x)k(x j,x k ) j, ÓÖ Ø ÒÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒº Ì Ù ÙÐ ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Ó ÐÝ Ó Ò ÖÒ Ð º º Ä Ö u j ÓÑ ÖÓÑ Ö ÒØ ÖÒ Ð Ò ÖØ º Ì ÔÖÓ Ö Ñ Û Ö Ù ØÓ ÔÖ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò ½ º ¾µ

22 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ¾¾ ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ä Ö u 1,...,u M ØÓ ÜØ Ý Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ v 1,...,v Q ØÓ ÓÐÚ ÓÖ Ý Ø Ý Ø Ñ ( ) ) AX,X P X Û Ø P T X 0 Q Q ÇÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Y Û Ø ( AX,X P X PX T 0 Q Q )( u(x) v(x) = ( KX (x) p(x) K X (x) = (K(x 1,x),...,K(x M,x)) T, p(x) = (p 1 (x),...,p Q (x)) T. )( UY V Y ) = ( AX,Y Ø ÖÓÛ Ó U Y Ö ÒÓÛ Ø Ä Ö ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Y º Ì ÕÙ Ö Ó Ø ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ ¾ ÕÔÓÛ Òµº ÁÒ Ø ÙÒÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ø ÕÙ Ö Ø Ø ÖÑ Ð Û Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ö Ø ÖÑ Ø Ù ÑÔÐ Ý ØÓ ½ ÕÔÓÛËÈ µº ÁÒ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ P 2 X (x) = f(0) 2uT (x)k X (x) u T (x)a X,X u(x) = f(0) u T (x)k X (x) u T (x)p X v(x), ØÓ ÚÓ ÛÓÖ ÓÒ M M Ñ ØÖ º Á Û Ù N ÔÓ ÒØ ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Y ÔÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÑ Ø = (u j (y k )) = UY T, 1 k N, 1 j M ÚÑ Ø = (v i (y k )) = VY T, 1 k N, 1 i Q Ú ÐÑ Ø = (K(y k,x j )) = A Y,X, 1 k N, 1 j M ÔÑ Ø = (p i (x j )) = P X, 1 j M, 1 i Q Û Ø Ø ÖÓÛ Ü Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ø Ø Ò Ø ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ Ó Ú ÐÙ P 2 X (Y) Ò ÐÙÐ Ø Ò Å ÌÄ ÒÓØ Ø ÓÒ Ú f(0) u T (x)k X (x) u T (x)p X v(x) = Ö ¼ ¼µ¹ ÙÑ ÙÑ Øº Ú ÐÑ Ø ÚÑ Ø ÔÑ Ø³µµ³µ³ À Ö Ò ÐÓ ÓÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ø ØÐ È ºÑ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø Ø ÓÙØÔÙØ Ò ÙÖ º ÆÓØ Ø ÖÓÑ Ø ØÐ ºÑº P T Y ) Ð Ö ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ÐÓ Ð Ê Ô Ö

23 ¾ ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇÆ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ¾ ÐÓ Ð Ê Ð Ö ³ Ø Ø ³ ¼µ Ê Ð ¾ Ê ØÝÔ ³ØÔ³ Ê Ô Ö ¾ ÓÖ Ö ¾ ÒÔ ½½ ± Ô Ö ÒÔ ÒÔ ¾µ¹ ÜÔ ÝÔ Ñ Ö ¹»ÒÔ ¹»ÒÔ µ Ô ÜÔ µ ÝÔ µ Ü Ý Ñ Ö ¹ ¼º¼ ¹ ¼º¼ µ Ô Ü µ Ý µ Ñ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ ÔÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÓÖ Öµ ÒÔÔ Õ Þ ÔÑ Øµ Ñ Ø Ñ Ø ÔÑ Ø ÔÑ Ø³ Þ ÖÓ Õ Õµ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Øµ Ô Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÓÖ Öµ ÔÔ Õ Þ Ô Ñ Øµ Ú ÐÑ Ø Ö Ø Õ Ô Ôµ»Ê Ð ¾ ¼µ Ñ Ø Ñ Ø Ú ÐÑ Ø³ Ô Ñ Ø³ ÙÑ Ø Ñ Ø ½ ÒÔÔ ½ÔÔµ³ ÚÑ Ø Ñ Ø ÒÔÔ ½ ½ÔÔµ³ ÐÓÓÖ ÒÔ ÒÔ ½µ»¾µµ Ù ÔÐÓØ ½ ½µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô ÙÑ Ø µ Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ü ÕÙ Ö Ø ØÐ ÔÖ ÒØ ³Ä Ö ÙÒØ ÓÒ ± ³ µµ ÔÓÛÚ Ð Ö ¼ ¼µ¹ ÙÑ ÙÑ Øº Ú ÐÑ Ø ÚÑ Ø ÔÑ Ø³µµ³µ³ Ù ÔÐÓØ ½ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô ÔÓÛÚ Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ü ÕÙ Ö Ø ØÐ ³Èº º³µ Ù ÔÐÓØ ½ µ ÔÐÓØ Ô ½µ Ô ¾µ ³º³ Ô ½µ Ô ¾µ ³Ó³µ Ø ØÐ ³ÈÓ ÒØ ³µ Ü ÕÙ Ö

24 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ ÙÖ Ê ÙÐØ ÙÖ ÓÖ Ø ØÐ È ºÑ ÜÔÐ Ø ÅÙÐØ Ú Ö Ø Ö Ú Ø Ú Ì Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÑ ÑÔÓÖØ Û Ò Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ö Ù ÓÖ ÓÐÚ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÇÒ Ò ÔÐ ÒØÝ Ó Ö Ú Ø Ú Ó Ö Ð ÖÒ Ð ÓÒ ØÓ Ö ÓÖ Ð ÓÑ ØÖݺ Ï ÙÑ x, y ØÓ Ú ØÓÖ Ò R d º Ï K c (x,y) := f( x y 2 2 /2c2 ) = f(s), s := x y 2 2 /2c2 Ù ÔÓ Ø Ú Ð ØÓÖ cº Ï Ð Ó ÙÑ M ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø x Ö ÙÑ ÒØ N ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø y Ö ÙÑ ÒØ ØÓÖ ÖÓÛ Ó Ñ ØÖ X R M d Y R N d º ÙÖØ ÖÑÓÖ Û ÙÑ Ñ ØÖ Ü ØÓ ÔÖ ÐÙÐ Ø º º Ý S XY := ( X T e i Y T e j 2 2/2) 1 i M, 1 j N Ë Ø Õ µ» ¾ Ò Å ÌÄ Û ÐÐ ÔÖÓÚ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÒ Ð Ö Ú ¹ Ø Ú ÓÒ Ù ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ÓÖ Ð Ö Ö Ú Ø Ú Û Ø Ù Ú ØÓ ÐÙÐ Ø Ò M N Ñ ØÖ Üº Ë Ö Ó ÒÓØ Ð Û Ú ØÓ Ö ÓÖ Ø Ð Ö º

25 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ Í Ö Û ÐÐ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÙØ ÐÐ Ó Ð ÓÛÒ ØÓ ÐÐ Ó Ö Ë µ ÓÖ Ú Ö ÓÙ Ñ ØÖ Ë Ö Ú Ø Ú ÓÖ Ö º Á Ø ÖÓÙØ Ö Ù Ò Ú ÐÝ Ø Ö Û ÐÐ ÑÙÐØ ÔÐ ÐÐ ÓÖ Ü ØÐÝ Ø Ñ Ë Ò Ö ÒØ ÖÓÙØ º Ï Ò ÓÔØ Ñ Þ ÓÖ Ô Ù Ö ÓÙÐ Ø Ü ÙØ Ø Ö ÕÙ Ö ÐÐ ÓÙØ Ó Ø ÖÓÙØ ØÓÖ Ø Ö ÙÐØ ÒØÓ ÐÓ Ð Ú Ö Ð ÚÓ ÐÐ Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ º º½ Ö Ø Ö Ú Ø Ú Ì s Ö Ú Ø Ú Ò Ð Ö ÓÖÑ Ö Ø Ý ÓÙÖ ÐÐ ÓÚ Ö Ò º º Ò s = + x i y i x i s = x i y i y i K c (x,y) = f (s) s x j x j = f (s) (x j y j ) K c (x,y) = f (s) s y k y k = f (s) (x k y k ). ÁÒ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ ÓÖ 1 i M, 1 j N, 1 k d ( ) K c (x,y) x k ij ( ) K c (x,y) y k ij = f (S XY ij ) (X ik Y jk ) = f (S XY ij ) (X ik Y jk ) Ï ÔÖÓÚ Ø Ö Å ÌÄ ÖÓÙØ ÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ø ÓÖÑÙÐ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ö ÖÑ Ø µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÙÐÐ Ö ÒØ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð º ± Ì Ö ÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ ÒÝ Ø Ñ Ü Ý

26 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ö ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ñ Ø Ö Ø Õ µ»ê Ð ¾ ½µ»Ê Ð ¾ Ñ Ø Þ ÖÓ ÒÜ ÒÝ Üµ ÓÖ Ñ ½ Ü Ñ Ø Ñµ Ñ Øº Ö ÔÑ Ø Ñµ ½ Òݵ¹Ö ÔÑ Ø Ñµ³ ÒÜ ½µµ Ì ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ö ÖÑ Ø µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÙÐÐ Ö ÒØ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð º ± Ë Ö ÖÑ Ø ÓÖ Ø Ð º Ñ Ø ¹ Ö ÖÑ Ø µ ÙØ Ò Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÛÓÙÐ ÔÖ Ö ØÓ ÐÐ ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÖÓÙØ º º¾ ÆÓÖÑ Ð Ë ËÙ ÆÓÖÑ Ðµ Ë Ð Ö ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ö ÔÖ Ö Ú Ò Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü N Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ø ÓÒ ÖÓÛ Û Ø d ÓÐÙÑÒ º Á Ø ÒÓÖÑ Ð Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø X ÔÓ ÒØ Ø Ö Ö M ÒÓÖÑ Ð ÓØ ÖÛ Nº Ì ÔÓ ÒØÛ := ν j nj := N jk x k ν j x K c (x,y) = N jk K c (x,y) x k N jk (x k y k ) = f (s)

27 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ ν j y K c (x,y) = N jk K c (x,y) y k N jk (x k y k ) = f (s) ÒÓÛ ÓÖ ÙÐÐ Ñ ØÖ Û Ø 1 i M, 1 j N ( x ) K c (x,y) = f (Sij XY ) N ν ik (X ik Y jk ) ( y ) K c (x,y) ν ij ij = f (Sij XY ) ((NX T ) ii (NY T ) ij ) = f (Sij XY ) N jk (X ik Y jk ) = f (S XY ij ) ((XN T ) ij (NY T ) jj ) Ï ÔÖÓÚ Å ÌÄ ÖÓÙØ ÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ø ÓÖÑÙÐ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð º ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ Òݺ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ñ Ø Ö Ø Õ µ»ê Ð ¾ ½µ»Ê Ð ¾ Ñ Ø Ñ Øº Ö ÔÑ Ø Æ ³µ ½ Òݵ¹ Æ ³µ µ Ì ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð º ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ Òݺ Ñ Ø ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ³

28 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ º Ë ÓÒ Ö Ú Ø Ú Ï Ø ÖØ Û Ø Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ K c (x,y) = ( ) f (s) (x x r x p x r p y p ) = f (s) (x p y p )+(x p y p ) ( ) f (s) x r x r = f (s) δ rp + x p y p f (s) s x r = f (s) δ rp +f (s) x r y r x p y p ( ) K c (x,y) x r x p ij K c (x,y) = y s y k y s ( ) K c (x,y) y s y k ij y k x p K c (x,y) = y k ( ) K c (x,y) y k x p ij ij ) δ rp + f (S XY ij ) = f (S XY (X c 4 ir Y jr )(X ip Y jp ) ( ) f (s) (x k y k ) = f (s) (x k y k ) (x k y k ) ( ) f (s) y s y s = f (s) δ sk x k y k f (s) s y s = f (s) δ sk +f (s) x s y s x k y k ij ) δ sk + f (S XY ij ) = f (S XY (X c 4 is Y js )(X ik Y jk ) ( ) f (s) (x p y p ) = f (s) (x p y p )+(x p y p ) ( ) f (s) y k y k = f (s) δ kp + x p y p f (s) s y k = f (s) δ kp f (s) x p y p ij ) = f (S XY x k y k δ kp f (S XY ij ) c 4 (X ip Y jp )(X ik Y jk ) Ì ÓÖÑÙÐ Ö ÒÓØ Ý Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Û ÒÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ó Öº ÁÒ Ø Û ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ô Ð ÐÓÛº

29 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ º Ä ÔÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ë ËÙ Ä ÔÐ Òµ ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ø x K c (x,y) = df (s) = df (s) y K c (x,y) = df (s) = df (s) =: g(s), + f (s) c 4 x y sf (s) + f (s) c 4 x y sf (s) g(s) Ò ÓÒ Ö Ð Ò Û ÖÒ Ð Ö Ø Ý g Ò Ø Ó fº ÁÒ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ ( x K c (x,y)) ij = g(s XY ij ) = ( x yk c (x,y)) ij ij ) g(sij XY ) = df (S XY Û Ø Ö Ø Ö ØÖ Ú Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ + 2SXY ij f (S XY ij ) ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ± Ö Ø Ä ÔÐ Ò Ó ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ ÒÝ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ð ÔÐ ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ñ Ø Ü Ö ½µ ¾ º Ö ¾µµ»Ê Ð ¾ ÓÖ Ð Ø Ö Ù Û ÓÐÐ Ø Ö Ú Ø Ú Ó g g (s) = df (s) + 2(sf (s)) = df (s) + 2f (s) = (d+2)f (s) + 2sf (s) + 2sf (s),

30 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¼ º g (s) = (d+2)f (s) + 2(sf (s)) = (d+2)f (s) = (d+4)f (s) Å Ü Ö Ú Ø Ú + 2f (s) + 2sf(4) (s). + 2sf(4) (s) À Ö Û ÐÓÓ Ø Û Ö Ö ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÓÒ Ø x y Ö ÙÑ ÒØ Ó ÖÒ Ðº º º½ Å Ü ÆÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ë ËÙ Å Ü ÆÓÖÑ Ð µ ÓÖ Ñ Ü ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Û ¹ ÙÑ ØÛÓ Ñ ØÖ N X N Y Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ø ÓÒ ÛÖغ Ø ÔÓ ÒØ Ò X Y º Ì ÔÓ ÒØÛ ν i x ν p y K c (x,y) = = = j=1 j=1 j=1 N X ij N X ij N X ij = f (s) f (s) c 4 x j ( N Y pk N Y pk N Y pk ) K c (x,y) y k K c (x,y) x j y k ( f (s) δ kj f (s) x ) j y j x k y k N X ij NY pj j=1 ( )( ) Nij X (x j y j ) Npk Y (x k y k ) j=1

31 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ½ ÓÖ Ñ ØÖ Û Ø ( x y ) K c (x,y) ν ν = f (S XY ij ) f (S XY = f (S XY ij ) c 4 ij ) ij ) ij N X ik NY jk ( )( ) Nik(X X ik Y jk ) Njk(X Y ik Y jk ) (N X (N Y ) T ) ij f (S XY ( )( ) (N X X T ) c 4 ii (N X Y T ) ij (X(N Y ) T ) ij (N Y Y T ) jj ÇÙÖ Å ÌÄ ÔÖÓ Ö Ñ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ Æ µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð ± Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð º ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ Òݺ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ñ Ø Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ñ Ø ¹ Ö Ñ Ø ½µº Æ Æ ³µ»Ê Ð ¾¹ººº Ö Ñ Ø ¾µ»Ê Ð º ººº Ö ÔÑ Ø Æ ³µ ½ Òݵ¹Æ ³µº Æ ³¹Ö ÔÑ Ø Æ ³µ³ ÒÜ ½µµ º º¾ Å Ü Ä ÔÐ Ò Ë ËÙ Å Ü Ä ÔÐ Ò µ Å Ü Ð Ö Ä ÔÐ Ò Ú ÐÙ Ö x y K c (x,y) = d g (s)+ 2s g (s) = d ( (d+2)f (s) ) + 2sf (s) + 2s ( ) (d+4)f (s) + 2sf(4) (s) = 1 c 4 ( d(d+2)f (s)+4s(d+2)f (s)+4s 2 f (4) (s) )

32 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ¾ Ø Ý Ò ÐÝ Ø ÒØÓ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ Ý Ö ÔÐ s Ý S XY ij º ÇÙÖ Å ÌÄ ÔÖÓ Ö Ñ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ± Ö Ø Ä ÔÐ Ò Ó ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± Ø Ä ÔÐ Ò ÔÔÐ ØÓ ÇÌÀ Ö ÙÑ ÒØ º ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ ÒÝ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ð ÔÐ ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ñ Ø Ü Ü ¾µ Ö ¾µ Ü ¾µ º Ö µ º ¾º Ö µµ»ê Ð º º Å Ü ÆÓÖÑ Ð Ä ÔÐ Ò Ë ËÙ Å Ü ÆÓÖÑ ÐÄ ÔÐ Òµ Ì Ö Ø Ð Ö ν i x y K c (x,y) = = = g (s) = g (s) N X ik N X ik x k y K c (x,y) g(s) x k Nik X s x k Nik X (x k y k ) Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ ( x ) y K c (x,y) ν ij = g (S XY ij ) Nik(X X ik Y jk ) = g (S XY ij ) ( (N X X) ii (N X Y T ) ij ) Û Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ð ÔÐ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ

33 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð ± Ø Ä ÔÐ Ò ÛÖغ Ø Ú Ö Ð ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ Òݺ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ð ÔÐ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ñ Ø½ Ü ¾µ Ö Ë ¾µ ¾ ˺ Ö Ë µµ»ê Ð Ñ Ø Ñ Ø½º Ö ÔÑ Ø Æ ³µ ½ Òݵ¹ Æ ³µ µ Ì ÓØ Ö Ð Ö y x K c (x,y) = N Y jk x K c (x,y) ν j y k = N Y jk g(s) y k = g (s) N Y s jk y k = g (s) N c jk(x Y 2 k y k ) Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ ( y ) x K c (x,y) ν ij = g (S XY ij ) Njk Y (X ik Y jk ) = g (S XY ij ) ( (X(N Y ) T ) ij (N Y Y T ) jj ) Û Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ø Ð ÔÐ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ ± Ö Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ ± ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ø ± ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Æ ÛÖغ Ø Ú Ö Ð

34 ÈÄÁ ÁÌ ÅÍÄÌÁÎ ÊÁ Ì ÊÁÎ ÌÁÎ Ë ± Ø Ä ÔÐ Ò ÛÖغ Ø Ú Ö Ð ± Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÒÜ Ø Ñ Òݺ ÐÓ Ð Ê Ð ÒÜ Ü Þ µ ÒÝ Ý Þ µ Ü Ý ÖÖÓÖ ³ÍÒ ÕÙ Ð Ô Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ð ÔÐ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Ö ÙÑ ÒØ ³µ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ñ Ø½ Ü ¾µ Ö Ë ¾µ ¾ ˺ Ö Ë µµ»ê Ð Ñ Ø Ñ Ø½º Ö ÔÑ Ø Æ ³µ³ ÒÜ ½µ¹ Æ ³µ µ º º Ö Ú Ø Ú Ó ÆÓÖÑ Ð Ö Ú Ø Ú Ë ËÙ Å Ü ÆÓÖÑ Ð Ö µ Å Ü Ô ÖØ Ð Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ú Ø Ú Ò Ø Ð Ö ÓÖ 1 p d Ö ( ) x K c (x,y) = f (s) N y p ν j y p jk (x k y k ) ( ) f (s) = N y p jk (x k y k ) f (s) N jp = f (s) s y p N jk (x k y k ) f (s) N jp = f (s)(x p y p ) c 4 ( y K c (x,y) = f (s) x p ν j x p ( = = f (s) f (s) x p s x p N jk (x k y k ) f (s) N jp ) N jk (x k y k ) = f (s)(x p y p ) c 4 ) N jk (x k y k ) f (s) N jp N jk (x k y k ) f (s) N jp N jk (x k y k ) f (s) N jp Ì ÓÖÑÙÐ Ö ÒÓØ Ý Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖѺ

35 Ä ÍÄ ÌÁÇÆË ÇÊ ÈÇÁËËÇÆ ÈÊÇ Ä ÅË º º Ö Ú Ø Ú Ó Ä ÔÐ Ë ËÙ Å Ü Ö Ä Ôµ Ì Ô ÖØ Ð Ó Ä ÔÐ Ö Ú Ø Ú Ö Ò Ø Ð Ö y K c (x,y) = g(s) x j x j = g (s) s x j = g (s) x j y j c 2 x K c (x,y) = g (s) x k y k y k Ì ÓÖÑÙÐ Ö ÒÓØ Ý Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖѺ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÈÓ ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ì ÓÐÐÓÛ Ü ÑÔÐ Ö ÓÛ ØÓ Ø ÙÔ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÓÐÚ u = f Ω u = f D u n = fn Ò Ω R d Ò D Γ := Ω R d Ò N Γ := Ω R d Ú Ö Ð Þ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÛÙ ½ ¾¹½ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ã Ò ³ ÓÐÐÓ Ø ÓÒ Ø ÕÙ º Ì ÐÐÝ Û Ù Ø Ö Ø Þ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ x j, y k, z l Ó ÒÓØ Ö Û Ö Ø ÔÓ ÒØ Ð º Ì ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ø Ð Ó ÓÐÚ ÐÐ ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ö Ð Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ø Ö ÔÖ ¹ Ö ÓÒ Ø Ñ Ô ÖØ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÖ Û Ö ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ö ÔÖ ¹ Ö Ò Ø ÓÑ Òº ÓÖ ÔÙÖ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÐÚ Ö ÓÒ Ñ Ø Ð Ö Ð Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ï Ù Ò ÙÒÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÒ Ð Ø ÖÓÙ ÓÙغ º½ Å ØÖ Ï Ù Ø Ö Ø Ó ÔÓ ÒØ ØÓÖ Ò Ñ ØÖ Ü ½º ÔÓ ÒØ x j, 1 j J ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ò J d Ñ ØÖ Ü X ¾º ÔÓ ÒØ y k, 1 k K ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ ÖÖ Ò K d Ñ ØÖ Ü Y

36 Ä ÍÄ ÌÁÇÆË ÇÊ ÈÇÁËËÇÆ ÈÊÇ Ä ÅË º ÔÓ ÒØ z j, 1 l L ÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ö¹ Ö Ò L d Ñ ØÖ Ü Z Û Ø Ö Ø ÓÒ ÒÓÖÑ Ð µ Ò ÒÓØ Ö L d Ñ ØÖ Ü Nº Ï Ö Ø ÕÙ Ö Ø Ñ ØÖ Ý Ø Ö Ð ÖÙÐ ÓÖ Ø Á Û ÓÐÐ Ø ÐÐ ÔÓ ÒØ ÒØÓ Ñ ØÖ Ü Û Ú S AB := ( a i b j 2 2 /2c2) i,j S XX, S XY, S XZ, S YY, S YZ, S ZZ. P := (X T,Y T,Z T ) T R (J+K+L) d S PP = S XX S XY S XZ (S XY ) T S YY S YZ (S XZ ) T (S YZ ) T S ZZ Ï Ó ÒÓØ ØÓÖ Ø S PP Ñ ØÖ Ü ÙØ Û Ò Ø ÓÚ Ð ÝÓÙØ ÓÖ Ø ÖÒ Ð Ñ ØÖ Ü ØÓ Ö Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº º¾ ÙÐÐ Ý Ø Ñ Ì Ð Ö Ý Ø Ñ Û ÐÐ Ú Ñ ØÖ Ü Ó Ø ÓÖÑ A XX A XY A XZ (A XY ) T A YY A YZ (A XZ ) T (A YZ ) T A ZZ Û Ö Ø ÐÓ Ò Ö ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó Ø ÖÒ Ð K c (x,y) Å ØÖ Ü ÊÓÛ ÓÐÙÑÒ A XX ÓÒ x ÓÖ X ÓÒ y ÓÖ X A XY ÓÒ x ÓÖ X Î ÐÙ ÓÒ y ÓÖ Y A XZ ÓÒ x ÓÖ X ÆÓÖÑ Ð ÓÒ y ÓÖ Z A YY Î ÐÙ ÓÒ x ÓÖ Y Î ÐÙ ÓÒ y ÓÖ Y A YZ Î ÐÙ ÓÒ x ÓÖ Y ÆÓÖÑ Ð ÓÒ y ÓÖ Z A ZZ ÆÓÖÑ Ð ÓÒ x ÓÖ Z ÆÓÖÑ Ð ÓÒ y ÓÖ Z ÑÔÐ Å ÌÄ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ.

37 Ä ÍÄ ÌÁÇÆË ÇÊ ÈÇÁËËÇÆ ÈÊÇ Ä ÅË ÙÒØ ÓÒ Ú Ð Ó ÙÐÐÔÓ ÓÒ ÓÐÚ Ö Æ µ ÐÓ Ð Ê Ð Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ Ë Ø Õ µ»ê Ð ¾ ± ËÈÈ Ë Ë Ë Ë ³ Ë Ë Ë ³ Ë ³ Ë Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ÖÑ Ø µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ Æ µ Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ Ð ÔÐ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ Æ µ ³ ³ ³ ÓÒ ÓÒ Ø µ Þ Þ µ ÓÒ ½º¼ ½ ÖÖÓÖ ³ ÓÒ Ø ÓÒ ØÓÓ Ð Ö ³µ Ó Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ÖÑ Ø µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ Ú Ð Ó ÁØ Ð Ó Ò ÔÓ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ ÓÒ Û ÐÐ Ò Ú Ð Û Ð Ø Ó ÒØ ÛÖغ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ó º À Ö Ö Ú Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÙÐÐÔÓ ÓÒ ÓÐÚ ÖºÑ Ð Ö ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÐÓ Ð Ê ØÝÔ ÐÓ Ð Ê Ô Ö ÐÓ Ð Ê Ð Ê Ð ¼º

38 Ä ÍÄ ÌÁÇÆË ÇÊ ÈÇÁËËÇÆ ÈÊÇ Ä ÅË Ê ØÝÔ ³ÑÕ³ Ê Ô Ö ¹¾ Ü ¾ Ý Ü Þ Ü Ü ¼º½ ÜÜ ÝÜ Ñ Ö ¹½ Ü ½ ¹½ Ü ½µ ÜÜ µ ÝÜ µ Ð ÒÜ ÐØ ½µµ Ý ¼º½ Ý ¹½ Ý ½µ³ Ý ¹ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Ý ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Ð ÒÝ ÐØ ½µµ ¹ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Ý ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Ý Ð ÒÞ ÐØ ½µµ Æ ¹ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Þ ÖÓ ÐØ Ý µ ½µ ººº ÓÒ ÐØ Ý µ ½µ Þ ÖÓ ÐØ Ý µ ½µ ¹¾ Ó ½µµº Ò ¾µµ Ó ½µµº Ò ¾µµ ¹ Ò ½µµº Ò ¾µµº Æ ½µ ººº Ó ½µµº Ó ¾µµº Æ ¾µ ¼º¼ Ü Ý Ñ Ö ¹½ ½ ¹½ ½µ Ü µ Ý µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ½µ ÔÐÓØ ÜÜ ÝÜ ³ º³ ½µ ¾µ ³Öܳ ½µ ¾µ ³ Ó³µ ± Ð ³Ä ÔÐ Ø ³ ³ Ö Ð Ø Ø ³ ³Æ ÙÑ ÒÒ Ø ³µ ÓÐ ÓÒ ÕÙ Ú Ö ½µ ¾µ Æ ½µ Æ ¾µµ Ø ØÐ ³ Ø ÐÓ Ø ÓÒ ³µ Ú Ð Ó ÙÐÐÔÓ ÓÒ ÓÐÚ Ö Æ µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ ¾µ ÙÖ Ü Ý Ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ³µ ÖÚ Ð Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ÖÑ Ø µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ Ó Ö Ð Ø ÒÓÖÑ ÒÓÖÑ ÖÚ Ð¹ µ ÞÚ Ð Ð ÔÐ ÖÑ Ø µ ÖÑ Ø µ ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø Æ µ Ó ÐØ ¼º¼¼¼¼¼¼½ ÔÐÙ ÐØ Æ ÞÒ ÙÚ Ð Ð ÔÐ ÖÑ Ø ÔÐÙ µ ÖÑ Ø ÔÐÙ µ ººº

39 Ê Ê Æ Ë ÒÓÖÑ Ð ÖÑ Ø ÔÐÙ Æ µ Ó Ò ÙÑ ÒÒ ÒÓÖÑ Ö Ø Þ ÒÓÖÑ ¹ ÞÒ ÙÚ Ð¹ÞÚ Ðµ» ÐØ µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý Ó Ü µº Ò Ý µµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ³µ Ù ÔÐÓØ ¾ ¾ µ ÙÖ Ü Ý Ó Ü µº Ò Ý µ¹ö Ô Ú Ð Þ Ü µµµ ÒØ ÖÔ Ø ØÐ ³ ÖÖÓÖ³µ ÁØ ÓÙØÔÙØ Ò ÙÖ º Ì Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ u(x,y) = cos(x)sin(y)º Ì ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö Ð Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ø Ö ÑÔÐ ÓÒ ¾ ÔÓ ÒØ ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ Ð Ø Ö Ö ½ ÑÔÐ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ ÓÖ ÒØ ÖÔÓРع Ø Ä ÔÐ Òº Ì Ñ ¾ Ü ¾ Ñ ØÖ Üº Ê Ö ½ Ëغ Å Ö Êº Ë º ËØ Ð ØÝ Ó ÖÒ Ð¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Úº Ò ÓÑÔº Å Ø º ¾ ½ ½ ½ ¾¼½¼º ¾ ËØ ÒÓ Å Ö Êº Ë Àº Ïк Æ Ö¹ÓÔØ Ñ Ð Ø ¹ Ô ÒØ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Úº ÓÑÔÙغ Å Ø º ¾ µ ½ ¼ ¾¼¼ º º º Ù Öº Å Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Å Ø Ó Û Ø Å ÌÄ ÚÓй ÙÑ Ó ÁÒØ Ö ÔÐÖÝ Å Ø Ñ Ø Ð Ë º ÏÓÖÐ Ë ÒØ ÈÙ ¹ Ð Ö Ë ÔÓÖ ¾¼¼ º º º Ã Ò º ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó À Ö Ý³ ÑÙÐØ ÕÙ Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÓ Ý ÖÓ¹ ÝÒ Ñ º ÁÒ ÈÖÓº ½ Ë ÑÙк ÓÒ º ÎÓк Ô ½½½ ½½ ½ º ź È ÞÓ٠ʺ Ë º ÓÖ ÖÒ Ð¹ Ô º ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ¾¼½½º ØÓ ÔÔ Öº Àº Ïк È Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÓ Ø Ú Ø ÓÑÔ ØÐÝ ÙÔ¹ ÔÓÖØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ó ÑÑ Ð Ö º Ú Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ½ º Àº Ïк Ë ØØ Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼ º

40 Ê Ê Æ Ë ¼ 1.5 Data locations Approximate solution Exact solution x 10 4 Error ÙÖ Ê ÙÐØ ÙÖ ÓÖ Ø Ø ÙÐÐÔÓ ÓÒ ÓÐÚ ÖºÑ º ÏÙº À ÖÑ Ø Ö Ó ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó ØØ Ö Ø Ý Ö Ð ÙÒØ ÓÒ º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ»¾ ½ ½¼ ½ ¾º