17 Søgning og Søgetræer.

Transkript

1 17 Søgning og Søgetræer. Lineær og inær søgning i lister. inære søgetræer. Søgning efter knude i træ. Indsættelse af knude i træ. Søgning i og sortering af inært søgetræ. Sletning af knude i inært søgetræ. alanceringskriterier. VL-træer. Indsættelse af knude i VL-træer. Der er skrevet mange øger, som eandler søgning. Det er dog værd at fremæve én frem for alle andre: Knut, Te art of Computer Programming (vol 3), Sorting and Searcing, ddison- Wesley. Selv om ogen er relativ gammel (fra 1973), indeolder den meget grundige diskussioner (intuitive såvel som tekniske), algoritmer (i pseudokode såvel som i assemler) og analyser. 255

2 Søgning i lister og arrays. 1 n element 1 element n indekser elementer Lineær søgning i en liste. Elementerne i listen gennemsøges én for én (1, 2,...), indtil listen er gennemløet, eller søgeelementet er fundet. Køretid: O(n). inær søgning i et sorteret array. ntag at elementerne i array-et er ordnet i stigende rækkefølge. inær-søgning(: array, e: element): indeks if er tom ten returner ikke fundet elseif [midterste indeks] = e ten returner midterste indeks elseif e er mindre end midterste element ten returner inær-søgning(venstre-alvdel (), e) else returner inær-søgning(øjre-alvdel (), e) Køretid: O(log n). inær søgning er eandlet i afsnit i Weiss. Den inære søgning i Weiss i afsnit er programmeret iterativt, i modsætning til den rekursive formulering på denne slide. Lister kan enten implementeres som kædede lister eller ved rug af et array. Dette ar vi diskuteret i kapitlet om arrays og lister. Lineær søgning kan udføres næsten lige effektivt på kædede lister og array-aserede lister. Det er ikke effektivt at lave inær søgning på kædede lister. Årsagen er, at vi i inær søgning skal opsøge det midterste element i listen; i en kædet liste er dette relativt kostart, nemlig O(n). På denne slide ar vi derfor formuleret inær søgning på arrays. Tidskompleksiteten log(n) for inær søgning fremkommer ved, at vi alverer søgeintervallet i vert rekursivt kald. lgoritmer vil ofte i disse noter live vist på skitseform, i en Pascal-agtig notation. Det er dermed vores mål at sætte fokus på den algoritmiske ide frem for detaljer. Der envises til de enyttede læreøger for en mere præcis og fyldestgørende eskrivelse af algoritmerne. 256

3 inære søgetræer. Lad < være en total ordning af knuderne i et inært træ. Et inært træ T kaldes et søgetræ, vis der for alle knuder N i T gælder at for alle knuder L i N's venstre undertræ: L < N. for alle knuder i N's øjre undertræ: N < En total ordning af en mængde er en ordning < som involverer alle mængdens elementer, således at for to forskellige elementer a og i mængden gælder enten at a < eller < a. Endvidere skal < være transitiv. (Se også under kapitlet Sortering 1, slide Sorteringsprolemet (1), og sammenlign også med en partiel ordning, som vi omtalte i kapitlet Nedarvning II da vi studerende klassen PT_COMP). I eksemplet på denne slide er der vist et inært søgetræ vori knudernes nøgler er eltal. Ordningen mellem knuderne er estemt af ordningen mellem nøglerne. I dette tilfælde er ordningen afledt af den sædvanlige ordning "<" på eltal. I søgetræet vist ovenfor nøjes vi med at vise nøglerne i knuderne. I en realistisk situation vil der være forskellige andre data, som er knyttet til nøglen. Disse andre data vil vi kalde satellitinformation. Det er som regel satellit-informationen vi søger efter, givet vi ar kendska til nøglen. emærk, at der er nøgler og data i såvel indre knuder som i lade. Senere i kurset vil vi møde træer, vor indre knuder udelukkende udgør et indeks til data, som er gemt i ladene. Når vi taler om søgetræer er det vigtigt, at vi tager udgangspunkt i ordnede træer. inære træer er dog, pr. definition, altid ordnede. (Husk på, at dette etyder, at undertræerne af en knude er ordnede, se forelæsningen om træer). Hvis en knude i et inært søgetræ kun ar ét undertræ, er det endvidere vigtigt, at vi kan udnævne dette undertræ til enten at være det venstre eller det øjre undertræ. Opgave. Det er vigtigt at man via eksemplet liver fortroligt med definitionen af inære søgetræer. esvar derfor følgende spørgsmål: (1) Hvilke tal kan indsættes i stedet for knuden 34 i ovenstående træ, uden at ændre træets form? (2) Samme spørgsmål for knuden

4 Søgning i inært søgetræ i Eiffel as (v: like item): OOLEN is -- Is tere a node wit item v in te tree? -- Nodes are compared wit sallow equality. require item_exists: v /= Void do if equal(v, item) ten esult := true elseif v < item ten esult := not left_cild.void and ten left_cild.as (v) else esult := not rigt_cild.void and ten rigt_cild.as (v) end end På denne slide er funktionen as fra klassen INY_SECH_TEE vist. Has returnerer vorvidt dataelementet v findes i det inære søgetræ. Operationen er taget fra Eiffel ilioteket (version 2.3, og tilpasset til Eiffel 3). Typen af v er erklæret ved association til item, som er en anden feature i klassen INY_SECH_TEE. Se afsnit i "Eiffel te Language" angående sådanne typer. emærk også rugen af "and ten" i funktionen as. Det naturlige resultat af en søgning er enten true eller false, altså oolsk. Et mere nyttigt resultat er derimod void eller en reference til en knude i træet. (I nogle inærer søgetræes DT-er kan dette dog opfattes som et rud på den 'information iding' vi ønsker os, nemlig vis knuder er et internt egre, som vi ikke ønsker klienter af inære søgetræer skal kende til). Med det alternative resultat i ånden kan vi undersøge eller ændre træet på det sted, vortil søgningen ragte os. 258

5 Indsættelse af et element i et inært søgetræ. Indsæt(e: element, T: inært-søgetræ) if T ikke er tom ten if e < T.key ten Indsæt(e, venstre undertræ af T ) elseif e > T.key ten Indsæt(e, øjere undertræ af T ) else Indsæt en dulet af e i roden af T else Opret en ny knude K, som indeolder e ; Indsæt knuden K på T's plads Degenererede søgetræer: Et søgetræ kan udvikle sig til en enkeltkædet liste, vis elementerne indsættes i stigende eller faldende orden. Søgning i et inært søgetræ foregår elt analog til inær søgning i et ordnet array. Hvis man derimod skal indsætte eller slette elementer i samlingen, viser det sig, at inære søgetræer er overlegne i forold til inær søgning i et array. Mere konkret kan vi oservere, at køretiden for indsættelse af et nyt element i et ordnet array er O(n), vor n er antallet af elementer i array-et. Vi får samme dårlige tidskompleksitet ved indsættelse i en kædet liste, idet vi skal søge efter det korrekte indsættelsessted. Indsættelse af et nyt element i et alanceret inært søgetræ vil i køretid være O(log(n)). Dette ses ved at oservere, at antallet af eregningstrin, der er nødvendig for indsættelse af elementet, svarer til dyden af knuden K i ovenstående algoritme. Den maksimale dyde af K er træets øjde. Vi vender tilage til alanceringsprolematikken senere i denne forelæsning, vor vi også vil gøre det præcist, vad vi mener, når vi taler om et alanceret inært søgetræ. Det kan anefales at studere Eiffel implementationen af ovenstående indsættelsesoperation. Der envises til operationen put i klassen INY_SECH_TEE. 259

6 Sletning af et element i et inært søgetræ. Slet(e: element, T: inært-søgetræ): Find knuden K, som indeolder elementet e ; If K er et lad ten Slet K umiddelart elseif K ar netop ét undertræ U ten Lad roden af U indtage K s plads i T 1 2 else -- K ar netop to undertræer: Slet det største element x i K's venstre undertræ ; Erstat indoldet af K med x 3 Sletning af en knude i et inært søgetræ skal efterlade træet som et inært søgetræ. Lad os argumentere for, at ovenstående er korrekt, og at det efterlader træet som et inært søgetræ. Tilfælde 1 er oplagt, og tilfælde 2 er næsten lige så let. Når den slettede knude K kun ar ét undertræ U, vil alle knuderne i U opfylde ordnings-etingelserne i forold til (en evt) far af K. I tilfælde 3 erstatter vi K med en nøje udvalgt knude, som vi er vil kalde X. X kan vælges som knuden, der indeolder det største element i K's venstre undertræ. 1. X kan slettes fra træet, idet det enten er et lad, eller det ar netop et venstre undertræ. I modsat fald ville X ikke være det største element i K's venstre undertræ. 2. Måden vorpå vi sletter X fra træet falder altså under tilfælde 1 eller 2 i ovenstående algoritme. 3. X erstatter nu K. Vi skal overevise os om, at ordnings-relationerne mellem X og dens far v. ørn er opfyldt: 4. Hvis vi antager, at K var rod i øjre undertræ af sin far, ved vi at alle knuder i dette undertræ er større end K s far. Dette gælder også for X. ltså opfylder X etingelser ift. sin nye far. Tilsvarende argumenteres, vis K er rod i venstre undertræ. (Tænk over vad der gælder, vis K er rod i T). 5. X skal være større end alle knuder i sit nye venstre undertræ. Da X er udvalgt som det største element i dette undertræ, må alle andre elementer være mindre. 6. X skal endvidere være mindre end alle knuder i sit nye øjre undertræ. Men da alle knuder, og specielt X, i K's oprindelige venstre undertræ, var mindre end knuderne i K s øjre undertræ, er dette krav også opfyldt. X kunne alternativt være valgt som det mindste element i K's øjre undertræ. Køretiden af sletningen af et element er O(log n). Sletningen involverer (1) lokalisering af en knude samt (2) sletningen af knuden. idrag 1 koster O(log n). idrag 2 er i tilfældene 1 og 2 konstante, og i tilfælde 3 O(log n). lt dette under forudsætning af, at træet er alanceret. 260

7 alanceringskriterier for inære træer. Perfekt alance: Et inært træ T er perfekt alanceret vis der for enver knude N i T gælder at antal-knuder(venstre-undertræ(n)) - antal-knuder(øjre-undertræ(n)) <= 1. VL alance: Et inært træ T er alanceret efter VL-kriteriet, vis der for enver knude N i T gælder, at øjden(venstre-undertræ(n)) - øjden(øjre-undertræ(n)) <= 1. Vi ar set, at den attraktive, logaritmiske tidskompleksitet af søgning, indsættelse og sletning opnåes, vis træet er i en eller anden form for alance. Mere konkret kræves der, at træet ikke liver for øjt (se definitionen af øjden af et træ i forelæsningen om træer). åde vad angår søgning, indsættelse og sletning er tidskompleksiteten af operationerne egrænset af træets øjde. Vi ar indset, at i visse ueldigesituationer kan træet degenerere til en kædet liste, i vilket tilfælde træets øjde liver én mindre end antallet af knuder i træet. Givet et (evt. degenereret) inært søgetræ kan man transformere det til et perfekt alanceret søgetræ. Det er imidlertid mere interessant og nyttigt at lade det inære søgetræ overolde en invariant, der sikrer at træet på etvert tidspunkt (imellem træ-operationer) er alanceret. På de følgende slides vil vi se, vordan vi kan udforme en indsættelsesoperation, der opretolder VL alancen af det inære søgetræ. 261

8 Indsættelse et element i et VL-træ. Før indsættelse Indsættelse Efter indsættelse Tilfælde 1 Tilfælde 2 a L C c -1 d a c +1 På denne og følgende slide illustreres indsættelse af et nyt element i et inært søgetræ, der overolder VL-kriteriet. Et sådant træ vil vi kalde for et VL træ. Det øjde-forøgende element, som indsættes, er på figurerne indsat i de træer, der er tegnet med fede linier. Navne på knuder er med store ogstaver, og navne på (under)træer er med små ogstaver. Inde i træerne er angivet øjden af træerne, som en funktion af en variael. Vi kan uden ta af generalitet antage, at vi indsætter et øjde-forøgende element i 's øjre undertræ. Indsættelser i det venstre undertræ af er, naturligvis, symmetriske. Vi ønsker, at ualancen skal forekomme i knude. er altså roden i det dyeste undertræ, vori der forekommer VL ualance som følge af indsættelse af et element i træet. Tilfælde 1: Vi indsætter et øjdeforøgende element i 's venstre undertræ. Det venstre undertræ af vil være af øjde +1. Vi vil inkludere roden af 's venstre undertræ, og kalde denne knude for C. Ualancen opstår således enten ved, at der indsættes et øjdeforøgende element i det venstre undertræ () eller i det øjre undtræ (c) af C. Lad os er antage at øjdeforøgelsen sker i. (Det andet tilfælde er symmetrisk). Under denne antagelse ar c øjden -1. Højden af træet d er idet vi jo ar antaget, at øjdeforøgelsen sker i 's venstre undertræ, samt at ualancen forekommer i knuden, og ikke i. Tilfælde 2: Vi indsætter et øjde-forøgende element i 's øjre undertræ, som vi kalder c. Vi kunne naturligvis nuancere tegningen af c til at omfatte en knude (C) og to undertræer, men da den efterfølgende transformation ikke ændrer dette træ, er denne detalje i figuren unødvendig. Tilfælde 1 identificeres som L-tilfældet, idet ualancen set i forold til forekommer ved først at følge referencen fra til øjre (igt) undertræ, og dernæst følge referencen til venstre (Left) undertræ. f samme årsag identificeres tilfælde 2 som -tilfældet. De to tilfælde, vi ikke ar vist på denne slide, kaldes v. L og LL tilfældene. 262

9 a Tilfælde 1 Tilfælde 2 L C a d c -1 c +1 L-Transformation -Transformation C a c -1 d a c +1 (fortsat) Denne slide viser resultatet af transformationerne, ét for vert af de to tilfælde vi identificerede på den forrige slide. Øverst er vist de to træer, vi identificerede nederst på forrige slide. Husk igen på, at knuden er den dyeste knude i træet, vor vi ar identificeret et rud af VL alancekriteriet. emærk, at undertræerne af de tegnede knuder ikke ændres overovedet i transformationerne. Vi er således istand til at realisere transformationerne gennem nogle få manipulationer af referencer mellem knuder. Der er to ting vi skal sikre os, når vi etragter resultatet af en transformation: 1. Er ordningen af knuder og deltræer uforandret (med andre ord: er det transformerede træ et inært søgetræ med de samme knuder som det oprindelige træ). 2. Er alanceringskriteriet opfyldt for det transformerede træ (med andre ord: er det transformerede træ et VL-træ). I tilfælde 1 er in-order ordningen a C c d, såvel før som efter transformationen. I tilfælde 2 er in-order ordningen a c, såvel før som efter transformationen. Det er let at overevise sig om, at de resulterende træer er VL-træer. I en praktisk udformning af disse transformationer (ved programmeringen af operationer i træ- DTen) vil vi antage, at vi direkte kan aflæse alanceringen af et træ. Dette kan naturligvis gøres ved at lagre øjden af etvert undertræ i træet; det er dog smartere at lagre den relative alance af et træ, vilket fortæller, om træet ælder én til venstre, én til øjre, eller om det er i alance. Hvis vi sammenligner de transformerede træer med træet, som det så ud før indsættelsen, kan vi se, at disse træer alle er af øjde +2. Det medfører, at der ikke er flere knuder mellem det transformerede træ og roden, vori der forekommer VL ualance. Med andre ord, er det kun nødvendigt at foretage én transformation for at genoprette alancen for ele træet. 263

10 Sortering af ojekterne i et inært søgetræ. ntag at der er eov for åde effektiv søgning, indsættelse og sletning samt sortering af af en samling af data med total ordning. Samlingen af data repræsenteres som et alanceret inært søgetræ. Operation Søgning, indsættelse og sletning Sortering: in-order gennemlø af træet. Køretid O(log n). O(n). Den emærkelsesværdige tidskompleksitet af sorteringen eror naturligvis på, at data i et inært træ allerede er ordnede. Hvert element er omyggeligt indsat på sin rette plads i træet for en pris, der er i størrelsesordenen O(log n). Hvis vi derfor ønsker at sortere en samling af data ved (1) at opygge et inært søgetræ, og (2) at gennemløe træet, er tidskompleksiteten ikke edre end kendte, gode sorteringsalgoritmers tidskompleksitet. 264