9.1 Egenværdier og egenvektorer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "9.1 Egenværdier og egenvektorer"

Transkript

1 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der findes v V \{0}, så T (v) =λv. v kaldes da en egenvektor for T associeret til, eller svarende til, λ. 2. Lad A Mat n,n (F). λ F er en egenværdi for A hvis der findes z F n \{0}, så Az = λz. z kaldes da en egenvektor for A associeret til, eller svarende til, λ. Eksempler Ethvert tal λ R er en egenværdi for differentiation D : C (R) C (R); f(t) =e λt er en tilsvarende egenvektor. (En egenvektor i et funktionsrum kaldes ofte en egenfunktion.) 2. 2, 2 er egenværdier for [ ] 1 1 Mat 1 1 2,2 (R), idet [ ][ ] = [ ], [ ][ ] = [ ]. Lemma Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v 1,..., v n }, og lad T : V V være en lineær transformation. Så er λ en egenværdi for T λ er en egenværdi for M(T ) V,V, og v V er en egenvektor for T associeret til λ [v] V er en egenvektor for M(T ) V,V associeret til λ. Da koordinatisering mht. V giver en isomorfi V F n, gælder T (v) =λv [T (v)] V =[λv] V M V,V (T )[v] V = λ[v] V. Da v = 0 [v] V = 0 følger udsagnet umiddelbart. 155

2 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Pga. lemma vil vores udregning af egenværdier og egenvektorer næsten altid foretages for matricer men det er oftest egenskaber af lineære transformationer, som vi dermed prøver at afdække. Se f.eks. Application 1 og Application 2 i [L], 6.1. Det er nemlig sådan, at vi kan udregne egenværdier og egenvektorer for en matrix på algoritmisk vis: Proposition ([L], s. 302) Lad A Mat n,n (F), λ F. Følgende er ækvivalente: (a) λ er en egenværdi for A. (b) Ligningssystemet (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning. (c) N(A λi) {0}. (d) A λi er singulær. (e) det(a λi) = 0. (a) (b): Der findes z F n \{0} så Az = λz, så 0 = Az λz =(A λi)z, og z er en ikke-triviel løsning til (A λi)x = 0. (b) (c): En ikke-triviel løsning z til (A λi)x = 0 ligger i N(A λi), og er ikke 0. (b) (d): Sætning (d) (e): Sætning (c) (a): Lad z N(A λi) \{0}, så 0 =(A λi)z = Az λz og Az = λz. Da z 0 er λ en egenværdi for A. Proposition Hvis det(a λi) beregnes for et ubestemt λ, så fås et polynomium af grad n i λ, p A (λ) = det(a λi); vi har p A (λ) =( 1) n λ n +( 1) n tr(a)λ n det(a) hvor tr(a) =a a nn er summen af diagonalindgangene i A. 156

3 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Den (i,j) te indgang i A λi er { a ij a ii λ Korollar foretæller, at det(a) = hvis i j hvis i = j σ S n a σ(1),1... a σ(n),1 sgn(σ) anvendt på A λi ser vi, at det(a λi) er en sum af produkter af n elementer, som er enten en a ij,i j eller en a ii λ. p A (λ) = det(a λi) er således et polynomium af grad højst n; det er dog af grad n, idet leddet (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ) er det eneste af de indgående produkter, hvor λ n optræder. Vi ser, at den optræder med koefficient ( 1) n. Hvis σ S n ikke er identiteten, så er σ(i) i for mindst to i {1,..., n}, (hvis σ afbilder n 1 af 1,..., n til sig selv, så må den også afbilde det sidste element til sig selv, idet den er surjektiv), så λ n 1 optræder i p A (λ) også kun i produktet (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ): vi ser, at den optræder med koefficient ( 1) n 1 (a a nn ) = ( 1) n 1 tr(a). Endelig er konstant-leddet i p A (λ) det(a), idet dette konstante led er p A (0) = det(a 0I) = det(a). Notation p A kaldes det karakteristiske polynomium for A. Korollar Lad A Mat n,n (F). λ 0 er en rod for p A (dvs. p A (λ 0 )=0) λ 0 er en egenværdi for A, og hvis λ 0 er en egenværdi for A så er v en tilsvarende egenvektor v N(A λ 0 I) \{0}. Vi kan således finde samtlige egenværdier og egenvektorer for A Mat n,n (F): 1. Find alle rødderne λ 1,..., λ k for p A. 2. For i =1,..., k, find en basis {z i1,..., z i,ni } for N(A λ i I) (her n i = dim N(A λ i I)). Så er λ 1,..., λ k de eneste egenværdier for A og for i =1,..., k er egenvektorerne for λ i givet som ikke-trivielle lineære kombinationer af z i1,..., z i,ni. 157

4 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Notation N(A λ i I) kaldes egenrummet E A (λ i ) svarende til λ i : og dets dimension kaldes den geometriske multiplicitet Geo A (λ i ) af λ i. Den algebraiske multiplicitet Alg A (λ 0 ) af λ 0 er derimod det antal gange, λ λ 0 går op i p A (λ): hvis p A (λ) =(λ λ 0 ) m0 q(λ), hvor q(λ 0 ) 0, så er m 0 = Alg A (λ 0 ). Eksempel Lad A = Mat 3,3 (R) λ 0 7 p A (λ) = det 3 2 λ λ [ ] =( 1) λ 7 (2 λ) 8 6 λ = (2 λ)((9 λ)( 6 λ) + 56) = (2 λ)(λ 2 3λ + 2) = (2 λ) 2 (1 λ). Egenværdierne er derfor λ 1 =1, med algebraisk multiplicitet 1, og λ 2 =2med algebraisk multiplicitet R 3 R 3 +R R A = R R 2 R 2+3R R R 1 R R / /8, så Geo(λ 1 ) = 1. og Geo(λ 2 )=2. E A (λ 1 )=N(A ) = Span 7 3 ; A 2 = E A (λ 2 )=N(A 2 ) = Span 1, 0 ;

5 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Eksempel Lad [ ] cos θ sin θ A = Mat sin θ cos θ 2,2 (R). A er SMR for rotationen R θ af planen gennem en vinkel θ, hvis θ 0,π, så er Av, v ikke parallelle for v R 2 \{0}, så A har ingen egenværdi. Hvis vi udregner ser vi, at p A (λ) har rødder p A (λ) = (cos θ λ) 2 + sin 2 θ = λ 2 2λ cos θ +1 2 cos θ ± 4 cos 2 θ 4 2 så rødderne er ikke reelle når sin θ 0, dvs. når θ 0,π. = cos θ ± i sin θ, Sætning (Algebraens Fundamentalsætning) Lad p være et ikke-konstant komplekst polynomium. Da har p en rod. Faktisk kan p skrives på formen p(x) =a(x x 1 ) n1... (x x k ) n k hvor a C \{0} og x 1,..., x r C er p s rødder. Vi vil ikke vise denne sætning i dette kursus, der henvises i stedet for til bøger eller kurser i kompleks analyse. Notation n i er multipliciteten af x i som rod af p; p har n = n n k rødder talt med multiplicitet. Korollar Lad A Mat n,n (C). Da har Anegenværdier, talt med algebraisk multiplicitet. Når en matrix har reelle indgange, så kan den også opfattes som en kompleks matrix, fordi de reelle tal er indlejrede i de komplekse. Så vi kan, og ofte vil, betragte komplekse egenværdier for en reel kvadratisk matrix. Mange udredninger og udregninger bliver meget nemmere, når komplekse egenværdier tages i betragtning, også selv om det er reel information, der søges. 159

6 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Lemma Lad A Mat n,n (R); lad λ C \ R være en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor v. 1. λ er en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor v. 2. λ, λ har den samme geometriske multiplicitet som egenværdier for A. 1. Vi har Av = λv. Konjuger: Av = λv; så A v = λ v, idet A har reelle indgange. 2. Antag, at {v 1,..., v k } er en basis for E λ (A). Så er v 1,..., v k E λ(a). De er uafhængige, for Så dim E λ(a) dim E λ (A). c 1 v c k v k =0 c 1 v c k v k =0 c 1 =0,..., c k =0 c 1 =0,..., c k =0, Med λ erstattet med λ i det ovenstående fås dim E λ(a) dim E λ(a); da λ = λ har vi vist dim E λ (A) = dim E λ(a). Lemma Lad A Mat n,n (R); lad λ R være en egenværdi for A. Så har λ den samme geometrisk multiplicitet, uanset om A betragtes som en reel eller en kompleks matrix. Lad E R A(λ) ={x R (A λi)x = 0}, E C A(λ) ={z C (A λi)z = 0}; så dim EA R (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet som reel matrix, mens dim EA C (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet som kompleks matrix. Lad A λ H i RREF. Da A λ har reelle indgange kan denne rækkeækvivalens fås ved reelle rækkeoperationer, og i så fald gælder A λ H uanset om A λ og H betragtes som reelle eller komplekse matricer. Vi har da, ifølge Proposition 3.2.8, 1, at som påstået. dim E R A(λ) =Antal søjler uden pivot i H = dim E C A(λ), 160

7 SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Lemma ([L], 6.1.1) Lad A, B Mat n,n (F) være similære. 1. p A = p B. 2. Hvis λ 0 er en egenværdi for A og B, så er Geo A (λ 0 ) = Geo B (λ 0 ). 1. Der gælder, at B = S 1 AS, hvor S Mat n,n (F) er invertibel. Vi har for et ubestemt λ Så S 1 (A λ )S = S 1 AS S 1 (λ )S = B λ. p B (λ) = det(b λ ) = det(s 1 (A λ )S) = det(s 1 ) det(a λ ) det(s) = det(a λ ) = p A (λ). (Vi har brugt, at det(s 1 ) det(s) = det(s 1 S) = det( ) = 1). 2. Lad {v 1,..., v k } være en basis for N(B λ 0 ). Vi har da for i =1,..., n så Sv 1,..., Sv k N(A λ 0 ). Sv 1,..., Sv k er uafhængige: for antag, at Så er (A λ 0 )Sv i = S(B λ 0 )v i =0, c 1 Sv c k Sv k = 0, så S(c 1 v 1,..., c k v k )=0. c 1 v c k v k = S 1 S(c 1 v c k v k )=S 1 0 = 0; og c 1 =0,..., c k =0fordi v 1,..., v k er uafhængige. Så dim N(A λ 0 ) dim N(B λ 0 ). På samme måde ses, at hvis {w 1,..., w l } er en basis for N(A λ ), så er S 1 w 1,..., S 1 w l N(B λ ), og uafhængige, så dim N(A λ 0 ) dim(b λ 0 ). Så Geo A (λ 0 ) = dim N(A λ 0 ) = dim N(B λ 0 ) = Geo B (λ 0 ). 161

8 9.2 Diagonalisering Definition Lad L : V V være en lineær transformation. L er diagonaliserbar hvis der findes en basis V = {v 1,..., v n } for V bestående af egenvektorer for L. Hvis egenværdien svarende til v i er λ i, for i =1,..., n, så er M V,V (L) = [[L(v 1 )] V,..., [L(v n )] V ] = [[λ 1 v 1 ] V,..., [λ n v n ] V ] =[λ 1 e 1,..., λ n e n ] λ 1 0 =, 0 λ n en diagonalmatrix. Definition 9.2.2, fortsat 2. Lad A Mat n,n (F). A er diagonaliserbar, hvis der findes en basis V = {v 1,..., v n } for F n bestående af egenvektorer for A. L A er således diagonaliserbar, og, som ovenfor, hvis egenværdien svarende til v i er λ i for i =1,..., n, så er Ifølge Korollar er M V,V (L A )= λ 1 λ n. M V,V (L A )=K V,E M E,E (L A )K E,V, hvor K E,V er koordinatskiftematricen til E-koordinater (dvs. standard-koordinater) fra V-koordinater (se slides 3.3). Skriv V =[v 1,..., v n ] i søjleform. Ifølge Lemma (se også [L], s ) er K E,V = V, K V,E = V 1 ; da M E,E(LA ) = A har vi λ 1 λ n = V 1 AV. Leon ([L], s. 326) definerer A til at være diagonaliserbar vha. denne formel. Definitionerne er ensbetydende: 162

9 Lemma ([L], 6.3.2) Lad A Mat n,n (F). Følgende er ækvivalente: (1) Der findes en basis for F n bestående af egenvektorer for A. (2) Der findes n lineært uafhængige egenvektorer for A. (3) Der findes en invertibel matrix V Mat n,n (F) så V 1 AV er en diagonalmatrix. (1) (2): er oplagt. (2) (1): 3.1.4, (eller [L], 3.4.3,I). (2) (3): Lad v 1,..., v n være lineært uafhængige egenvektorer for A; lad λ 1,..., λ n være de tilsvarende egenværdier. Skriv V =[v 1,..., v n ] i søjleform. Vi har AV = A[v 1,..., v n ]=[Av 1,..., Av n ] λ 1 0 =[λ 1 v 1,..., λ n v n ] = [v 1,..., v n ] = VD 0 λ n hvor λ 1 0 D = er diagonal. 0 λ n Da V har uafhængige søjler er den invertibel. Vi har derfor V 1 AV = V 1 VD= D. (3) (2): Antag, at der findes invertibel X Mat n,n (F) så X 1 AX = D, hvor D er diagonal, λ 1 0 D =. 0 λ n Skriv X =[x 1,..., x n ] i søjleform. Da X er invertibel, er x 1,..., x n uafhængige. Vi har AX = X(X 1 AX) = XD, dvs. [Ax 1,..., Ax n ] = [λ 1 x 1,..., λ n x n ]. Men så er Ax i = λ i x i for i =1,..., n; x 1,..., x n er n uafhængige egenvektorer for A. Lemmaet undgår behændigt at nævne koordinatskift; alligevel er det nyttigt at huske, specielt i anvendelser, at et koordinatskift er involveret. 163

10 Det er nemt at regne med potenser af en diagonaliserbar matrix: Lemma Lad A Mat n,n (F) være diagonaliserbar, og lad v 1,..., v n være en basis af F n bestående af egenvektorer for A med tilsvarende egenværdier λ 1,..., λ n. 1. Der gælder, at for alle c 1,..., c n F og k N. A k (c 1 v c n v n )=c 1 λ k 1v c n λ k nv n ( ) 2. Lad V =[v 1,..., v n ]. Der gælder, at A k = V 1 λ k 1 V λ k n for k N. 1. For k N er A k (c 1 v c n v n )=c 1 A k v c n A k b n = c 1 λ k 1v c n λ k nv n 2. ( ) kan omskrives som A k V c 1. c n = V λ k 1 λ k n c 1. c n for alle c 1. c n F n, så A k V = V λ k 1 λ k n og A k = V λ k 1 V 1. λ k n 164

11 Eksempel ([L] 3.5, Application 1) Vi har set på dette eksempel tidligere (i begyndelsen af sektion 3.3). Det handler om befolkningsændringer i en storby: hvert år flytter 6% af befolkningen fra midtbyen til omegnskommuner, mens 2% flytter den anden vej. Hvis 30% af befolkningen bor i midtbyen, 70% i omegnskommunerne nu, hvad bliver fordelingen ad årene? Vi skrev [ ] 0, 94 0, 02 A =, x 0, 06 0, 98 0 = [ 0, 30 0, 70 så giver x n = Ax n 1,n=1, 2,... denne fordeling efter n år. Vores løsningsmetode var egentlig at identificere egenvektorer [ ] [ ] 1 1 u 1 =, u 3 2 = 1 for A; vi så, at Au 1 = u 1, Au 2 =0, 92u 2. (Vi kan naturligvis også finde egenværdierne fra det karakteristiske polynomium» 0, 94 λ 0, 02 p A(λ) = = λ 2 1, 92λ +0, 92 = (λ 1)(λ 0, 92), 0, 06 0, 98 λ og egenvektorer ved en nulrums- (egenrums-)udregning f.eks. Vi har da Da E 1 = N A I = N ] ; [ 1 = R ) 3] A n (au 1 + bu 2 )=aa n u 1 + ba n u 2 = au 1 + b(0, 92) n u 2. (det er her, der skiftes koordinater!) er x 0 =0, 25u 1 0, 05u 2 (1) x n = A n x 0 =0, 25u 1 0, 05(0, 92) n u 2 0, 25u 1 når n. (2) Da u 1, u 2 er uafhængige, er A diagonaliserbar, og, hvis U =[u 1, u 2 ], så er [ ] [ ] A n 1 0 = U 0 (0, 92) n U 1, så A n 1 0 x 0 = U 0 (0, 92) n U 1 x 0. og Da U 1 = K U,E er U 1 x 0 =[x 0 ] U = Da U = [ ] 0, 25 0, 05 [ ] A n 0, 25 x 0 = U (0, 92) n. 0, 05 [ ] 1 1 udregnes A n x = men formuleringen i (2) er måske nemmere at overskue. (fra (1)) [ 0, 25 + (0, 92) n 0, 05 0, 75 (0, 92) n 0, 05 ] 165

12 Uafhængigheden af egenvektorer svarende til forskellige egenværdier gælder generelt: Lemma ([L], 6.3.1) Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. Lad v 1,..., v k være tilsvarende egenvektorer. Så er v 1,..., v k uafhængige. Lad S = Span(v 1,..., v k ); og lad r = dim S. Vi må vise, at r = k. Antag, modsætningsvis, at r < k. Efter omnummerering kan vi antage, at v 1,..., v r udgør en basis for S, så der findes Så er dvs. c 1,..., c r F med v r+1 = c 1 v c r v r (1) Av r+1 = A(c 1 v c r v r )=c 1 Av c r Av r, Træk λ r+1 gange ligning (1) fra ligning (2): λ r+1 v r+1 = c 1 λ 1 v c r λ r v r (2) 0=c 1 (λ 1 λ r+1 )v c r (λ r λr + 1)v r. Da v 1,..., v r er uafhængige er koefficienterne c 1 (λ 1 λ r+1 ),..., c r (λ r λ r+1 ) i denne lineære relation alle 0. Da λ i λ j for i j må dette betyde, at c 1,..., c r alle er 0. Ligning (1) giver så, at v r+1 =0. Modstrid idet v r+1 er en egenvektor. Så vores antagelse var forkert, og r = k; v 1,..., v k er uafhængige. Vi konkluderer, at mange matricer er diagonaliserbare: Korollar Lad A Mat n,n (F); antag, at A har n forskellige egenværdier. Så er A diagonaliserbar. 166

13 Vi kan vise mere omkring uafhængigheden af egenvektorer: Korollar Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. For i =1,..., k, lad v ij,j=1,..., m i være uafhængige egenvektorer for A svarende til λ i. Så er {v ij :1 i k, 1 j m i } uafhængige. Betragt en lineær relation k m i c ij v ij =0 (1) i=1 j=1 med c ij F. Skriv x i = m i j=1 c ijv ij ; så relationen bliver til x x k =0. (2) Vi påstår, at x i =0for i =1,..., k. Antag, modsætningsvis, at nogle af x i erne ikke er 0; efter omnummerering kan vi antage, at x 1,..., x r 0, x r+1,..., x k =0. Så (2) bliver til x x r =0. (3) For 1 i r er x i en egenvektor for A svarende til λ i, da den er ikke 0 og en lineær kombination af elementer af E A (λ i ), så selv et element af E A (λ i ). Ifølge Lemma er x 1,..., x r uafhængige. (3) giver en modstrid. Så vores antagelse var forkert, og x i = 0 for i =1,..., k. Altså 0 = x i = c i1 v i1 + + c ini v ini for i =1,..., k. Da v i1,..., v ini er uafhængige fås, at c i1 =0,..., c ini =0for i =1,..., k; så er uafhængige. v ij, 1 i k, 1 j n i, Korollar Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. Så er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ) n. Ifølge Korollar er foreningen af baser for E A (λ 1 ),..., E A (λ k ) en uafhængig mængde i F n, så har højst n elementer. 167

14 Vi får nu en karakterisering af diagonaliserbare matricer: Proposition Lad A Mat n,n (F), og lad λ 1,..., λ k være de forskellige egenværdier for A. A er diagonaliserbar n = Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ). : Lad {v 1,..., v n } være en basis for F n bestående af egenvektorer. Antag, for i =1,..., k, at n i af dem er indeholdt i egenrummet E A (λ i ). Da disse n i elementer er uafhængige, er Geo(λ i ) = dim E A (λ i ) n i. Da alle egenvektorer må have én af λ 1,..., λ k som tilsvarende egenværdi, har vi n = n n k ; så n Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ). Vi har faktisk lighed, ifølge Korollar : Lad V i være en basis for E A (λ i ) for i =1,..., k; lad V = V 1 V k. Ifølge Korollar består V af uafhængige elementer. Da V i har Geo(λ i ) elementer har V Geo(λ i )+ + Geo(λ k )=n elementer. Så V er en basis for F n, en basis bestående af egenvektorer for A. Med tanke på beregningsteknikken for egenværdier og egenvektorer er det nærliggende at inddrage de algebraiske multipliciteter. Lemma Lad A Mat n,n (F); og lad λ 0 være en egenværdi for A. Så er Geo A (λ 0 ) Alg A (λ 0 ). Lad v 1,..., v k være en basis for E A (λ 0 ); så Geo(λ 0 )=k. Udvid til en basis v 1,..., v n for F n. Lad V =[v 1,..., v n ] i søjleform. V er invertibel. Vi har, for i =1,..., k. (V 1 AV )e i = V 1 Av i = V 1 λ 0 v i = λ 0 V 1 V e i = λ 0 e i. I blokform har vi da V 1 AV = k n k k [ λ0 I B 0 C n k ]. 168

15 , fortsat Da A, V 1 AV er similære er p A (λ) =p V 1 AV (λ) [ (λ0 λ)i B = det 0 C λi Ved at udvikle determinanten og de efterfølgende minorer k gange efter første søjle fås så Alg(λ 0 ) k = Geo(λ 0 ). p A (λ) =(λ 0 λ) k det(c λi), ]. Det giver en alternativ karakterisering af diagonaliserbare matricer: Sætning Lad A Mat n,n (F); lad λ 1,... λ k F være de forskellige egenværdier for A. Så er A diagonaliserbar (1) Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k )=n (2) Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1,..., k. Bemærkning Hvis F = C gælder (1) altid. : hvis (1) og (2) gælder, så er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ n )=n og A er diagonaliserbar ifølge Proposition : hvis A er diagonaliserbar er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ n )=n. Da p A er et polynomium af grad n har det højst n rødder, talt med multiplicitet, så Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ) n. Ifølge Lemma er Alg(λ i ) Geo(λ i ) for i =1,..., k ( ) så n Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ) Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k )=n. Vi må altså have ligheder hele vejen i denne kæde af uligheder; så n = Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ), mens ligheden Alg(λ 1 )+ + Alg(λ n ) = Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ) sammen med ( ) implicerer, at Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1,..., k. 169

16 Vi får en generel fremgangsmåde til at undersøge, om en kvadratisk matrix A Mat n,n (F) er diagonaliserbar, og til i givet fald at udføre diagonaliseringen: 1. udregn det karakteristiske polynomium p A (λ) = det(a λi) for A, 2. find de forskellige rødder λ 1,..., λ k F for p A (λ), 3. Løs for hvert i k det homogene ligningssystem (A λ i I)v = 0, og find derved en basis {v i1,..., v i,di }, bestående af d i vektorer, for N(A λ i I)=E A (λ i ). Lad n i være multipliciteten af λ i som rod af p A. Hvis n n k <n, så er A ikke diagonaliserbar. Hvis n n k = n, men d i <n i for mindst en af i =1,..., k, så er A ikke diagonaliserbar. Ellers er {v ij :1 i k, 1 j d i } en basis for F n bestående af egenvektorer for A. Eksempel [ ] a 1 Lad A = Mat 0 a n,n (F). Da er ([ ]) a λ 1 p A (λ) = det =(a λ) 2, 0 a λ så A har kun [ én] egenværdi, a, med algebraisk multiplicitet Alg A (a) = A a =, i RREF, så 0 0 så Geo A (a) =1< Alg A (a). A er ikke diagonaliserbar. ([ 1 E A (a) =N(A a ) = Span ; 0]) Eksempel Lad A = Vi finder egenværdier og egenvektorer. Først beregnes det karakteristiske polynomium, p A (λ) = det(a λ ) 16 20λ = det λ λ λ 170

17 Eksempel , fortsat Vi har 16 20λ p A (λ) = det λ λ 2 (R 4 R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) 20 20λ 20 20λ 20 20λ 20 20λ 16 20λ = 1 λ 20 3 det λ λ λ = 1 λ 20 3 det λ λ 2 (S i S i S 4,i=1, 2, 3) = 1 λ 15 20λ 1 0 [ ] 20 3 det λ 0 (1 λ)(14 20λ) 15 20λ 1 = λ 3 det λ = (1 λ)(14 20λ)((15 20λ)2 1 2 ) = (1 λ)(14 20λ)2 (16 20λ) = (1 λ)( 7 10 λ)2 ( 8 10 λ). Vi beregner E A ( 7 10 ): A 7 10 = Så På lignende vis fås ( ) ( 7 E A = N A ) 1 = Span 1 0, E A (1) = N(A ) = Span 1 1, 1 1 E A ( 8 10 )=N(A 8 10 ) = Span

18 Eksempel , fortsat A er diagonaliserbar, hvor 1 V 1 AV = 8/10 7/10 7/ V = og V 1 =

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 = Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere