18 Multivejstræer og B-træer.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "18 Multivejstræer og B-træer."

Transkript

1 18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer. B+ træer. 265

2 Multivejstræer og multivejs-søgetræer. Et multivejstræ er et ordnet træ af grad større end 2. Et multivejs-søgetræ af grad n er et multivejstræ T af grad n, som opfylder: Nøglerne Ni i roden af T er ordnede, 1 <= i <= (n - 1). For alle nøgler L i Ti-1 og for alle nøgler R i Ti : L < Ni < R (1 <= i < n). T0... Tn-1 er multivejs-søgetræer. T: n = 4 N1 N2 N3 T0 T1 T2 T Motivationen for at se på multivejstræer er at kunne arbejde med søgetræer, der egner sig til at blive lagret på pladelager (disk). Emnet er altså ekstern søgning. Det er ikke attraktivt at benytte binære søgetræer på et sekundært og langsomt lagermedium. Årsagen er, at i et binært træ skal relativ mange, små knuder aflæses/påvirkes for at gennemføre en given operation (søgning, indsættelse, sletning). I et multivejstræ kan der repræsenteres mange dataobjekter i én knude i træet. Knudestørrelsen kan afpasses efter blokstørrelsen på pladelageret. Ligesom vi kender det fra binære søgetræer, vil vi her antage, at en nøgle højst er tilstede én gang i et multivejs-søgetræ. Hvis vi vil arbejde med balancerede multivejstræer, giver vi køb på udnyttelsesgraden af træets knuder. Mao. vi accepterer, at der i visse situationer er uudnyttet plads i knuderne. Ovenstående viser et eksempel på et multivejs-søgetræ af graden 4. En prik i en knude betyder en null-pointer (void). Bemærk at der højst kan være 3 nøgler (data) i en knude i dette multivejstræ. 266

3 Søgning i multivejs-søgetræer. Multivejs-søgning(T: Multivejs-søgetræ, N: Nøgle): Søgeresultat: Søg efter N i roden af T ; If N er fundet then Returner det dataobjekt hvori N er nøgle elseif find nøglerne N0 og N1 i roden af T så N0 < N < N1 ; If der findes et ikke-tomt undertræ U mellem N0 og N1 then Returner Multivejs-søgning(U, N) else Returner roden af T Søg efter N i roden af T : Binær søgning Lineær søgning Ovenstående algoritmeskitse for søgning i et multivejstræ returnerer enten det dataobjekt, hvori N er nøgle, eller den knude i multivejstræet hvori et evt. objekt med N som nøgle kan indsættes, hvis der senere bliver behov for dette. Når vi skriver dataobjekt mener vi nøglen og satellit-informationen tilsammen. Hvis N i ovenstående algoritmeskitse er mindre end den mindste nøgle i en knude eksiterer N0 naturligvis ikke. Tilsvarende hvis N er større end den største nøgle i knuden eksisterer N1 ikke. I disse tilfælde refererer U til undertræet mest til venstre, hhv. undertræet mest til højre i knuden. Som antydet, kan man enten benytte lineær søgning eller binær søgning for at finde nøglen i knuden. 267

4 Praktisk lagring af data i multivejstræer. 1. Objekt 1 Objekt 2 Objekt 3 2. N1 N2 N3 Dataområde Objekt 1 Objekt Objekt Det vises på denne slide, hvordan en udvalgt knude fra træet forneden til venstre kan repræsenteres. I tilfælde 1 er selve de tre dataobjekter (inden i hvilke nøglerne og andre data befinder sig) lagret inden i knuden. Dette giver en stor knude. Dette kan være uhensigtsmæssigt, idet man under søgning (og dermed også indsættelse og sletning) vil være tvunget til at læse dataobjekterne af en række irrelevante knuder ind fra sekundært lager til primært lager, i selve søgeprocessen. I tilfælde 2 er kun nøglen af objekterne lagret i knuderne i træet. Selve dataobjekterne er lagret i et særskilt dataområde. De stiplede pile angiver referencer til (adresser på) disse objekter. I kapitlet om filer og indekser vil vi vende tilbage til problematikken om dataområder (som en abstraktion over filer hvorpå der kan lagres objekter). 268

5 B-træer. Et B-træ af grad n er et multivejs-søgetræ af grad n hvor: 1. Knuder, som ikke er blade eller roden, har x sønner, hvor n/2 <= x <= n. 2. Roden har mindst 2 sønner (medmindre den er et blad). 3. Knuder, som ikke er roden, har y dataobjekter, hvor n/2-1 <= y <= n Indre knuder med k sønner indeholder k-1 dataobjekter. 5. Alle blade har samme dybde Punkt 3 følger af punkt 4 pånær i tilfælde af bladene. Den egentlige rolle af punkt 3 er altså at begrænse antallet af dataobjekter i bladene. Et B-træ af graden n kan maksimalt have n-1 dataobjekter (nøgler) pr. knude. Hvis n er ulige, f.eks. 7, siger ovenstående definition, at 3.5 <= antal sønner <= 7. I praksis betyder dette, at antallet af sønner er 4, 5, 6 eller 7. Ligeledes siger ovenstående definition, at 2.5 <= antal dataobjekter <= 6. Dette betyder, at antallet af dataobjekter pr. knuder er 3, 4, 5 eller 6. Sidste punkt i definitionen af B-træ afspejler, at træet er vel afbalanceret. Der er vist et konkret eksempel på et B-træ, som vi antager har grad 5. Nøglerne repræsenterer her dataobjekterne, og nøglerne er heltal. I dette træ har alle knuder (på nær roden) 3, 4 eller 5 sønner; og alle knuder (igen pånær roden) har 2, 3 eller 4 dataobjekter. Det er vigtigt at bemærke, at B-træer, som defineret i disse noter, er anderledes end B-træerne der diskuteres i Weiss. Vi kalder Weiss' B-træer for B+ træer. Vi diskuterer kort B+ træer i slutningen af dette kapitel. 269

6 Indsættelses-algoritme for B-træer. Indsæt( T: B-træ, Obj: Data-objekt): Resultat := Multivejs-søgning( T, Obj.nøgle); If Obj ikke er fundet i Resultat then -- Resultat er knuden, hvori Obj skal indsættes Indsæt-i-knude(Resultat, Obj) Indsæt-i-knude(K: B-træes-knude; Obj: Data-objekt) if plads til endnu et objekt i K then indsæt Obj på den rigtige plads i K else del K i to knuder L og M, samt et opadstigende data-objekt Op ; If K.far eksisterer then F := K.far else F := En ny rod ; Indsæt-i-knude(F, Op ); Indsæt L og M som undertræer af F Proceduren anvender 'multivejs-søgning', som er vist tidligere i denne forelæsning. Det er let at indse, at hvis dataobjektet ikke findes i forvejen i B-træet, da bliver 'insæt-i-knude' kaldt på et blad i 'indsæt'. På ét punkt er proceduren 'indsæt-i-knude' ikke dækkende : Hvis et element indsættes i forældre knuden til K, og hvis denne forældre knude igen skal deles, hvordan indsættes L og M i "de to forældreknuder"? Hvis der ikke er plads til et dataobjekt i en knude i B-træet kunne det være en god ide at undersøge, om der er god plads i søskende-knuderne. Hvis dette er tilfældet, er det forholdsvis let at foretage en omfordeling af objekter mellem to søskende knuder. Bemærk, at en sådan omfordeling også involverer et dataobjekt i de to søskendeknuders fælles forældreknude. I indsættelse-scenariet herefter, er der diskuteret et tilfælde af en sådan omfordeling. 270

7 Indsættelses-scenario i et B-træ (1). Indsætter 50: Indsætter 11, 19, 34, 60: På denne og de følgende fire slides vises, hvordan et B-træ af grad 5 udvikler sig ved indsættelse af en række tal. De indsatte tal skal opfattes som nøgler for de egentlige objekter i B-træet. Knuder, som er indrammet med fed streg (eller lignende), tjener kun som identifikation af en knude på tværs af to øjebliksbilleder på samme slide. 271

8 Indsættelses-scenario i et B-træ (2). Indsætter 78, 87: Indsætter 65: Når 65 indsættes i det øverste B-træ har vi illustreret, at knuden med de fire dataobjekter opdeles i to knuder. Hvis vi i stedet for foretog en omfordeling af dataobjekter i de to blade (som jo er søskende) kunne vi i dette tilfælde have undgået at dele knuden. Dette giver en bedre udnyttelse af knuderne i B-træet. Det resulterende B-træ er vist nedenfor:

9 Indsættelses-scenario i et B-træ (3). Indsætter: 38, 40, 90, 26, 29: Indsætter: 45: Tallet 45 skal indsættes mellem 40 og 50 i knuden med den fede ramme i træet øverst på sliden. Da træet er af grad 5, er denne knude fyldt op. Indsættelsesalgoritmen siger, at vi skal dele knuden i to, samt at vi skal indsætte et opadstigende objekt (45) i faderen, hvor der er i vort tilfælde er god plads til den. 273

10 Indsættelses-scenario i et B-træ (4) Indsætter 32: Træet foroven er identisk med træet forneden på forrige slide. Når vi indsætter 32 ser vi, at det hører hjemme i bladet til venstre; her er ikke plads, og derfor deles dette blad i to knuder samt et opadstigende objekt (26). Der er stadig plads til dette objekt i roden i B-træet. 274

11 Indsættelses-scenario i et B-træ (5). Indsætter 27, 33, 63, 75: Indsætter 83: Efter at have indsat 27, 33, 63 og 75 opstår der en interessant situation når vi indsætter 83. Der er ikke plads til objektet med nøgle 83 i bladet længst til højre, hvor det jo hører hjemme. Vi deler derfor knuden i to samt et opadstigende objekt: 83. Nu er der imidlertid ikke plads til 83 i roden, hvorfor vi også må dele roden i to knuder, samt et nyt opadstigende objekt (45), der nu placeres i en ny rod. Det resulterede træ er vist nederst. Dette afslutter vores indsættelses-scenario. 275

12 Sletning af dataobjekter fra B-træer. Fremgangsmåde. Givet: Nøglen N og B-træet T. Ønskes: Slet dataobjektet D med nøglen N i B-træet T. Metode: 1. Find dataobjektet D med nøglen N i T ; 2. Hvis D er i en indre knude: 2a. Erstat D med det største dataobjekt X, der er mindre end D ; 2b. Slet dataobjektet X, som altid vil være i et blad. 3. Hvis D er i et blad b: 3a. Hvis b indeholder mere end det min. antal dataobjekter: Slet D umiddelbart. 3b. Ellers: Hvis b har minimalt dataindhold: 3ba. Lån om muligt et dataobjekt fra en af b's søskende knuder. 3bb. Ellers: Slå b sammen med en af b's søskendeknuder, og træk objektet mellem disse to knuder ned i den ny knude. Dette kan forårsage, at indre knuder slåes sammen, og ultimativt, at træets højde reduceres. Bemærk, at tilfælde 2b kan realiseres ved et rekursivt kald af den slette-operation, vi er ved at redegøre for. Opgave: Tag udgangspunkt i det resulterede B-træ i indsættelses-scenariet på de foregående slides, og slet alle de indsatte objekter (a) først i samme rækkefølge, som de blev indsat, (b) dernæst i modsat rækkefølge, som de blev indsat. Tegn passende øjebliksbilleder af B-træerne undervejs i slette-processen. 276

13 Facts om B-træer. T er B-træ af grad g og højde h: Maximum antal knuder: Maximum antal dataobjekter: Minimum antal dataobjekter: h h g - 1 g + g + g g = g h + 1 g - 1 g+1 ( ) h T er et B-træ af grad g med N dataobjekter: Højde af T <= log x ((N + 1)/2) hvor x = (g+1)/2. På denne slide antager vi af bekvemmelighedshensyn (for at undgå at skulle angive afrundinger), at B-træer har ulige grad. Bemærk, at vi skelner mellem knuder i B-træer og dataobjekter, hvoraf der jo kan være op til g-1 pr. knude, hvor g betegner B-træets grad. Lad a være det minimale antal dataobjekter pr. knude og lad b være det minimale antal sønner pr. knude. Hvis g er lige er a = g/2-1, og b = g/2. Hvis g er ulige er a = (g-1)/2 og b = (g+1)/2. Det minimale antal dataobjekter i B-træet er nu 1 + 2a +2ba + 2bba+... Når man regner lidt på denne sum får man ovenstående resultat. Vurderingen af højden opnåes ud fra en observation om, at hvis et B-træ af højde h indeholder N dataobjekter vil der være N+1 "stopklodsknuder" (se nedenfor) på højde-niveau h+1 i træet. Endvidere gælder, at der minimum vil være 2 b^h knuder på dette "stopklodsniveau", hvor b har samme betydning som ovenfor. Dette giver ovenstående vurdering. "Stopklodsknuder" er tænkte knuder på et niveau dybere end bladknuderne i et B-træ. I stedet for stopklodsknuder kan vi tale om nil-pointere til undertræer. Der er stopklodsknuder før, mellem og efter alle dataobjekter i de egentlige blad-knuder i træet. 277

14 Køretid af søgning, indsættelse og sletning i B-træer. T er et B-træ af grad g med N dataobjekter: Søgning efter dataobjekt i T: Køretid = arbejdet pr. knude. højden af træet <= k 1. log(g). log x ((N + 1)/2) = O(log(g). log(n)) Indsættelse eller sletning af et dataobjekt i T: Køretid = arbejdet pr. knude. højden af træet <= k 2. g. log x ((N + 1)/2) = O(g. log(n)) I ovenstående anvender vi vurderingen af højden af T fra forrige slides. Ret beset er det ikke højden af T, som indgår ovenfor, men antallet af niveauer i træet (som er højden + 1). Denne lille forskel berører dog ikke O(...) vurderingen af køretidsresultaterne, idet vi jo ser bort fra lavere ordens led i O(...). Log(x) betegner ovenfor logaritmefunktionen med grundtal

15 B+ træer (1). Et B+ træ af grad n er et ordnet træ af grad n hvor Alle dataobjekter findes i bladene. De indre knuder udgør et indeks til dataobjekterne og hvor Knuder, som ikke er blade eller roden, har mellem n/2 og n sønner. Roden har mindst 2 sønner. Blade har mellem n/2 og n dataobjekter. Alle blade har samme dybde Denne slide giver Weiss' definition af et B+ træ på en form, som er sammenlignelig med vores tidligere definition af et B-træ. Hvis n er et ulige tal, skal størrelsen n/2 ovenfor rundes op. De understregede dele af definitionen ovenfor angiver afvigelserne fra vores tidligere definition af B-træer. Et B+ træ er ikke et søgetræ (men det minder en del om et søgetræ). Forskellen består i, at et søgetræ har dataobjekter i indre knuder. I et B+ træ udgør de indre knuder et indeks, og elementerne i dette indeks findes også i bladene. Et element i en indre knude udvælges som den mindste nøgle i det højre undertræ. Efter indsættelse og sletning justeres indekset efter denne regel. Der er altså ikke i B+ træer noget opadstigende eller nedaddalende dataobjekt at tage vare på under indsættelse hhv. sletning. Dette berøres også på næste slide. Nederst er vist B+ træet, som svarer til B-træet fra sliden med navn "B-træer". 279

16 B+ træer (2). I en indre knude af et B+ træ af grad n: For alle nøgler L i blade af T i-1 og for alle nøgler R i blade af T i : L < N i <= R (1 <= i < n). Søgning: Analog til søgning i multivejs-søgetræ. Indsættelse: Ved knude-delning må strukturen af indekset tilpasses. Intet "opad-stigende" element. B+ træer vokser på samme måde som B-træer. Indre knude: N1 N2 N3 Blad: n = 4 n = 4 N1 N2 N3 Ubrugt T0 T1 T2 T3 O1 O2 O3 Referencer til sønner. Referencer til dataobjekter. Bemærk den strukturmæssige lighed mellem indre knuder og blade. I blade er der et ubrugt pointer-plads, som passende kan bruges til at kæde alle blade sammen. Dette vil gøre det meget effektivt at løbe alle data igennem i ordnet rækkefølge. I B+ træer er der begrebsmæssig forskel på blade og indre knuder. Derfor kan maximumsantallet af nøgler i bladene gøres helt uafhængig af maximumsantallet af nøgler i indre knuder. 280

19 Hashtabeller. Noter. PS1 -- Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse.

19 Hashtabeller. Noter. PS1 -- Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse. 19 Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse. Sammenligning af hashtabeller og søgetræer. 281 Hashing-problemet (1). Vi ønsker at afbilde n objekter på en tabel

Læs mere

17 Søgning og Søgetræer.

17 Søgning og Søgetræer. 17 Søgning og Søgetræer. Lineær og inær søgning i lister. inære søgetræer. Søgning efter knude i træ. Indsættelse af knude i træ. Søgning i og sortering af inært søgetræ. Sletning af knude i inært søgetræ.

Læs mere

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.

22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. 22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Abstrakte datatyper C#-version

Abstrakte datatyper C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Abstrakte datatyper C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Abstrakte Datatyper Denne note introducerer kort begrebet abstrakt datatype

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser.

Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser. 25 Sortering III. Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser. Sortering ved fletning, med fire bånd, i én fase (balanceret fletning). Polyfase fletning med tre bånd. Generaliseret

Læs mere

Videregående Programmering for Diplom-E Noter

Videregående Programmering for Diplom-E Noter Videregående Programmering for Diplom-E Noter 1. Uddelegering Ét af de væsentlige principper i objektorienteret programmering er, at enhver klasse selv skal kunne "klare ærterne". Enhver klasse skal altså

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Indhold. OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14

Indhold. OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14 OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14 Indhold Indhold... 1 Tabulatorer... 2 Kontroltegn... 4 Indrykninger... 5 Punktopstilling... 5 Indstilling for tal og bogstaver... 7 Indstilling for punkttegn...

Læs mere

2. del. Reaktionskinetik

2. del. Reaktionskinetik 2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!

Læs mere

Spil om LEDELSE. Rigtig god fornøjelse!

Spil om LEDELSE. Rigtig god fornøjelse! Alle virksomheder har medarbejdere, som ledes af ledere. Derfor spørger både ledere og medarbejdere sig selv, hvad effektiv ledelse egentlig er og hvad det består af. Undersøgelser har samtidig vist, at

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Vejledning til at lave almindelige bordkort i Draw Side 1

Vejledning til at lave almindelige bordkort i Draw Side 1 Side 1 Når du åbner skabelonen til alm. bordkort ser du en side med 10 bordkort. For at få de stiplede linjer frem skal du evt. lige klikke i linealen foroven eller i siden. De stiplede linjer er for at

Læs mere

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr. 117 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr. 117 Side 1 Side 1 I denne vejledning skal vi bruge 7 billeder som skal sættes ned i størrelse. Bagefter sættes de sammen 3 i den ene rækker og 4 i den anden. Til sidst sættes de 2 rækker sammen så det er som en collage.

Læs mere

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer

Læs mere

Sortering af information er en fundamental og central opgave.

Sortering af information er en fundamental og central opgave. Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. 3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb.

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb. Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Befolkningsprognose. Syddjurs Kommune 2011-2023

Befolkningsprognose. Syddjurs Kommune 2011-2023 Befolkningsprognose Syddjurs Kommune 211-223 219 215 211 27 23 1999 1995 1991 1987 1983 1979 4 8 12 16 2 24 28 32 36 4 44 48 52 56 6 64 68 72 76 8 84 88 92 96-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 Befolkningsprognosen

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Differentialkvotient bare en slags hældning

Differentialkvotient bare en slags hældning Differentialkvotient bare en slags hældning Et kort eksperiment som indledning til differentialregning Forfatter: Behrndt Andersen, Texas Instruments, behrndt@ti.com Matematisk område+niveau: Differentialregning

Læs mere

Programmering i C. Lektion 4. 5. december 2008

Programmering i C. Lektion 4. 5. december 2008 Programmering i C Lektion 4 5. december 2008 Funktioner Eksempel Fra sidst 1 Funktioner 2 Eksempel Funktioner Eksempel Eksempel: 1 / f u n k t i o n s p r o t o t y p e r / i n t i n d l a e s ( void )

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Søren Christiansen 22.12.09

Søren Christiansen 22.12.09 1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft

Læs mere

BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt

BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt 1. Kursusintroduktion 2. Java-oversigt (A): Opgave P4.4 3. Java-oversigt (B): Ny omvendings -opgave 4. Introduktion til næste kursusgang Kursusintroduktion:

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Tilbagegang i arbejdernes lønindkomst siden krisen

Tilbagegang i arbejdernes lønindkomst siden krisen Tilbagegang i arbejdernes lønindkomst siden krisen Siden 1985 har både rige og fattige danskere oplevet en stigning i deres indkomst. I løbet af de seneste år er indkomstfremgangen imidlertid gået i stå

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Aluproff I Midtager 9-11 I 2605 Brøndby I Tlf: +45 43600063 I Email: aluproff@aluproff.dk I www.aluproff.dk 2/2

Aluproff I Midtager 9-11 I 2605 Brøndby I Tlf: +45 43600063 I Email: aluproff@aluproff.dk I www.aluproff.dk 2/2 SB 3001 Stoffet klippes (husk sømrum) og 2 cm sidesømme syes Velcrobåndet påsyes foroven på gardinet, og der syes en 2,5 cm løbegang forneden. Lommebånd påsyes med ca. 20-25 cm afstand på tværs af gardinet.

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Opgave: FIL File Paths

Opgave: FIL File Paths Opgave: FIL File Paths danish BOI 2015, dag 2. Tilgængelig hukommelse: 256 MB. 1.05.2015 Byteasar kan godt lide at leve på kanten. Han løber med sakse, indsender besvarelser til konkurrenceproblemer uden

Læs mere

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype.

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. 16 Træer. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. Gennemløb af binære træer. Træer i Eiffel. 229 Definition af et træ.

Læs mere

Sortering ved fletning (merge-sort)

Sortering ved fletning (merge-sort) Sortering 1 Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 2 Del-og-hersk Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data S i to disjunkte

Læs mere

14 Algoritmeanalyse. Noter. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. Køretid for forskellige kontrolstrukturer.

14 Algoritmeanalyse. Noter. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. Køretid for forskellige kontrolstrukturer. 14 Algoritmeanalyse. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. O og Ω. Køretid for forskellige kontrolstrukturer. Eksempler på algoritmeanalyse. Eksponentiel og polynomiel

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer

Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer Når du skal indsende prøver af materiale til analyse i Teknologisk Instituts fugtlaboratorium, er det vigtigt, at du har udtaget prøverne

Læs mere

Del 3: Statistisk bosætningsanalyse

Del 3: Statistisk bosætningsanalyse BOSÆTNING 2012 Bosætningsmønstre og boligpræferencer i Aalborg Kommune Del 3: Statistisk bosætningsanalyse -Typificeringer Indholdsfortegnelse 1. Befolkningen generelt... 2 2. 18-29 årige... 2 3. 30-49

Læs mere

Linket viser jer frem til billedet nedenfor, her skal du blot skrive jeres brugernavn og adgangskode. Indtast din adgangskode her:

Linket viser jer frem til billedet nedenfor, her skal du blot skrive jeres brugernavn og adgangskode. Indtast din adgangskode her: Brugervejledning til håndtering af respondenter til MUS i SurveyXact Indledning Denne manual beskriver, hvordan SurveyXact kan anvendes til forberedelse af MUS. Der tages udgangspunkt i handlinger, den

Læs mere

Brugermanual til Wordpress 3.2.x Content Management System

Brugermanual til Wordpress 3.2.x Content Management System Indhold Brugermanual til Wordpress 3.2.x Content Management System Kontrolpanelet 2 Brugerniveauer 2 Log ud 3 Profil 4 Generel Info (vigtigt) 5 Tilføj nyt indlæg(1) 6 Tilføj nyt indlæg(2) 7 Tilføj nyt

Læs mere

Befolkningsprognose. Syddjurs Kommune 2010-2022

Befolkningsprognose. Syddjurs Kommune 2010-2022 Befolkningsprognose Syddjurs Kommune 21-222 22 216 212 27 23 1999 1995 1991 1987 1983 1979 4 8 12 16 2 24 28 32 36 4 44 48 52 56 6 64 68 72 76 8 84 88 92 96-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 Befolkningsprognosen

Læs mere

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr. 118 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr. 118 Side 1 Side 1 I stedet for blot at sende en mail med kun hvid baggrund, kan man pynte mail'en lidt op - f.eks. ved at indsætte en personlig billedcollage med tekst i toppen af mail'en inden man begynder at skrive.

Læs mere

ipad for let øvede modul 8 Underholdning på ipad Læsning

ipad for let øvede modul 8 Underholdning på ipad Læsning 02092015AS ipad for let øvede modul 8 Underholdning på ipad Læsning Indledning I dette modul vil vi beskæftige os med nogle af de muligheder, der er for at læse på ipad'en. Aviser/dagblade Vi har i modul

Læs mere

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2 . 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og har lært om linjer på formen f(x) = ax + b. Han har prøvet at tegne nogle linjer på papir for at finde ud af hvilke koordinater

Læs mere

Profilmodel 2012 Højeste fuldførte uddannelse

Profilmodel 2012 Højeste fuldførte uddannelse Profilmodel 12 Højeste fuldførte uddannelse En fremskrivning af en ungdomsårgangs højeste fuldførte uddannelse Profilmodel 12 er en fremskrivning af, hvordan en ungdomsårgang vil uddanne sig i løbet af

Læs mere

Athena DIMENSION Varmeanlæg 4, Eksempel

Athena DIMENSION Varmeanlæg 4, Eksempel Athena DIMENSION Varmeanlæg 4, Eksempel Marts 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Oprettelse af ny sag............................. 3 3 Tilretning af kataloger............................

Læs mere

Procedurer og funktioner - iteration og rekursion

Procedurer og funktioner - iteration og rekursion Procedurer og funktioner - iteration og rekursion Procedurer De første procedurer vi så på var knyttet til handlinger, der skulle udføres, fx at klikke på en knap for at lukke en form eller afslutte et

Læs mere

Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer.

Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer. Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer. Der er ikke mange billeder, der er perfekte fra starten. Du kan gøre billeder bedre ved hjælp af de værktøjer som vises, når du åbner

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del

Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del Mona Larsen, SFI September 2015 1 1. Indledning I henhold til ligestillingslovgivningen skal kommunerne indarbejde ligestilling i al planlægning

Læs mere

Brug Photo Story 3 en let introduktion

Brug Photo Story 3 en let introduktion Brug Photo Story 3 en let introduktion Denne vejledning forudsætter at programmet Photo Story 3 er installeret på din computer. Se andetsteds for vejledning i at installere programmet, der kan findes gratis

Læs mere

SOLRØD KOMMUNE VISITATIONS- OG KOORDINATIONSENHEDEN. Tilfredshedsundersøgelse blandt beboerne og deres pårørende på Christians Have

SOLRØD KOMMUNE VISITATIONS- OG KOORDINATIONSENHEDEN. Tilfredshedsundersøgelse blandt beboerne og deres pårørende på Christians Have SOLRØD KOMMUNE VISITATIONS- OG KOORDINATIONSENHEDEN Tilfredshedsundersøgelse blandt beboerne og deres pårørende på Christians Have Indholdsfortegnelse Indhold Indholdsfortegnelse... 1 1. Forord... 1 2.

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Ledigheden i byerne i 2010. Stigning i antallet af arbejdsløse i 2010

Ledigheden i byerne i 2010. Stigning i antallet af arbejdsløse i 2010 Arbejdsmarked 2011:1 Ledigheden i byerne i 2010 Stigning i antallet af arbejdsløse i 2010 Stigning i antallet af medio ledige og i antallet af berørte af ledighed Antallet af medio ledige i byerne var

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Løsning af skyline-problemet

Løsning af skyline-problemet Løsning af skyline-problemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Efter at have overvejet problemet en stund er min første indskydelse, at jeg kan opnå en løsning ved at tilføje en bygning til den aktuelle

Læs mere

Velkommen til IT for let øvede

Velkommen til IT for let øvede Velkommen til IT for let øvede Kursus er hjælp til selvhjælp og I får mest ud af det, hvis I også derhjemme afsætter nogle timer til øvelser på jeres computer. Vi sørger for hjemmeopgaver!! Der er masser

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Sådan gør du Microsoft Word 2013

Sådan gør du Microsoft Word 2013 Microsoft Word 2013 Microsoft Word 2013 Indholdsfortegnelse Anvend skabelon... 3 Billede... 4 Dokumenthåndtering... 5 Flyt, kopier og sæt ind... 6 Flyt og kopier mellem dokumenter... 7 Gem... 8 Genbrug

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520 Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet.

Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet. Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet. Ringsekretærers indtastning af resultater og kritikker... 2 Kom i gang Opstart af programmet... 2 En anden bruger er i gang med ringen... 3 Dommer ændringer

Læs mere

LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005

LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005 LØN OG BESKÆFTIGELSE I SYGEHUSVÆSENET 2000-2005 Nye tal fra Sundhedsstyrelsen 2007 : 6 Redaktion: Sundhedsstyrelsen Sundhedsstatistik Islands Brygge 67 2300 København S. Telefon: 7222 7400 Telefax: 7222

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere