Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
|
|
- Martin Pedersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion Forbrugerteorien i mikroøkonomi beskæftiger sig med forbrugerens valg af varer i forhold til hinanden. Normalt beskriver vi forbrugeren vha. præferencer, der repræsenteres via en nyttefunktion. Ved hjælp af nyttefunktionen og forbrugerens budgetbetingelse kan vi finde udtryk for forbrugerens efterspørgsel efter de varer, der eksisterer i økonomien. Generelt vil forbrugerens efterspørgsel efter hver af vare afhænge af priserne på alle varer i økonomien og forbrugerens indkomst. I denne note vil vi beskæftige os nærmere med de effekter, der opstår på efterspørgslen efter en vare, når vi ændrer på prisen på den samme vare. 1 2 Effekterne af prisændringer Når prisen på en vare ændres, er det naturligt at antage, at forbrugerens optimale valg påvirkes. Normalt vil man have, at når prisen på en vare falder, så stiger efterspørgslen efter varen, eller analogt at når prisen på en vare stiger, så falder efterspørgslen efter varen. 1 Det er selvfølgelig også interessant at se hvad der sker med efterspørgslen, når man ændrer på priser på andre varer i økonomien, hvilket dog ikke behandles i denne note. Teknikken er dog ganske analog, og ikke væsentligt mere kompliceret. For en beskrivelse, se fx Varian (1992) s eller Mas-Collel, Whinston & Green (1995), s
2 2 EFFEKTERNE AF PRISÆNDRINGER Sådanne varer kaldes for ordinære. Det modsatte kan dog også i helt særlige tilfælde gøre sig gældende, altså at når prisen på en vare falder, så falder forbruget af varen, eller analogt at når prisen på en vare stiger, så stiger forbruget af varen. Sådanne varer (eller goder) kaldes for Giffen-goder. Det vil sige, at Ordinære goder: x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x < 0, altså at forbruget falder, når prisen på varen stiger. Giffen-goder: x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x > 0, altså at forbruget stiger, når prisen på varen stiger. I det specialtilfælde, hvor x(px,py,i) p x = 0 er godet således hverken et ordinært gode eller et Giffen-gode. Ofte bliver sådanne varer dog også kaldt for ordinære goder. Giffen-goder er opkaldt efter økonomen Sir Robert Giffen ( ), der var den første til at bemærke den teoretiske mulighed for en positiv sammenhæng mellem prisen på en vare og efterspørgslen efter varen. Bemærk dog, at Giffen-goder primært skal opfattes som et teoretisk kuriosum. Giffen-goder optræder kun i ekstremt sjældne tilfælde, og det er også årsagen til, at de eksempler der som oftest findes i lærebøgerne kan synes noget perifere. Varian (2003) bruger et eksempel med en forbruger, der kun har de to varer vælling og mælk at vælge imellem. Betragt da en situation med en forbruger, der initialt vælger at forbruge lige mange enheder af vælling og mælk. Antag derefter at prisen på vælling falder. Hvis forbrugeren vælger at fastholde antallet af enheder vælling efter prisændringen, så har han flere penge til at købe mælk for, og kan derfor købe mere mælk end før. Det kan også være sådan, at forbrugeren nu vælger at reducere forbruget af vælling for at kunne købe endnu mere mælk, da forbrugeren relativt set er blevet rigere, og derfor kan vælge at øge sit forbrug af mælk på bekostning af vælling. Bemærk, at det vigtige for eksemplet er, at vi har at gøre med varer, der som regel opfattes som varer af lav kvalitet, og hvor en real indkomststigning vil sænke forbruget af varen. Det vender vi tilbage til senere. En vigtig bemærkning: Man hører ofte argumentet om, at mærkevarer er Giffen-goder fordi at en høj pris er en kvalitet i sig selv, og derfor stimulerer efterspørgslen efter varen. Det er ikke korrekt. Mærkevarer er ikke et eksempel på en Giffen-gode. Det er i stedet et udtryk for det, der i økonomiske termer kaldes for pengeillusion. Pengeillusion er det fænomen, at folk antager, at en vare er mere værd simpelthen fordi prisen er høj. Dette er 2
3 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT imidlertid antaget væk ved at præferencerne (og dermed nyttefunktionen) ikke afhænger af priser og indkomst. Med begreberne på plads vil vi nu gå i gang med at se nærmere på substitutions- og indkomsteffekter. 3 Substitutions- og indkomsteffekt Vi har nu indset, at ændringer i prisen på en vare kan påvirke efterspørgslen efter varen. Det vi nu er interesseret i, er om vi kan sige noget mere om det der sker, når efterspørgslen ændres ved en ændring i prisen. Effekten af en prisændring kan opdeles i to effekter: 2 Substitutionseffekt. Substitutionseffekten angiver effekten på efterspørgslen af at det relative prisforhold har ændret sig. Dvs. at vi vil isolere effekten af en ændring i de relative priser, ved at udelade effekten på den reale indkomst af prisændringen. Indkomsteffekt. Indkomsteffekten angiver effekten på efterspørgslen af den reale indkomstændring, som prisændringen har givet anledning til. Hvis prisen på en vare falder, giver det anledning til en højere real indkomst, mens en stigning i prisen på en vare giver anledning til en lavere real indkomst. Denne effekt vil selvfølgelig påvirke efterspørgslen i sig selv. Situationen er illustreret i Figur 1. Her er der tale om en prisstigning på vare x, der gør at budgetlinien rykker sig fra den blå i udgangspunktet til den røde. Vi ser, at der er tale om, at forbruget af vare x falder, mens forbruget af vare y i dette konkrete tilfælde er uændret. Vi vil gerne have dekomponeret bevægelsen fra punktet A = (12, 4) til punktet C = (4, 4) (vektoren AC) 3 i Figur 1 i en substitutions- og en indkomsteffekt ved at indføre et nyt punkt B, således at bevægelsen fra A til B (vektoren AB) angiver substitutionseffekten, mens effekten fra B til C (vektoren BC) angiver indkomsteffekten. 3.1 Et første forslag Et umiddelbart forslag kunne være, at indføre punktet B, der skal isolere effekten af ændringen i de relative priser, ved at holde forbrugerens købekraft uændret. Det vil altså 2 Uddybende beskrivelse i fx Pindyck & Rubinfeld (2005), s eller Varian (2003), s Man kan vælge at indføre vektorer til at angive effekter og beregninger, men det er ikke nødvendigt. 3
4 3.1 Et første forslag 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT Figur 1: Udgangssituationen med efterspørgslen før og efter prisændringen sige, at vi isolerer effekten af prisændringen ved at betragte forbrugerens valg under de nye priser, men med en indkomst, der sikrer at han stadig kan opnå sit gamle varebundt. Det gøres ved at pivotere (dreje) budgetlinien omkring det gamle optimum A, således at budgetlinien har samme hældning som den nye budgetlinie, men går igennem det gamle punkt. Det er illustreret i Figur 2 ved den stiplede blå linie. I Figur 2 har punktet B koordinaterne B = (10, 10). Denne dekomponering af effekten af en prisændring i en Figur 2: Slutsky substitutions- og indkomsteffekt substitutions- og en indkomsteffekt kaldes for Slutsky-substitutions- og indkomsteffekt, opkaldt efter den ukrainske matematiker, statistiker og økonom Eugen E. Slutsky (1880 4
5 3.1 Et første forslag 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT 1948). Her kan substitutionseffekten fra Figur 2 på vare x findes som x A B = x B x A = = 2, mens substitutionseffekten på vare y kan findes som y A B = y B y A = 10 4 = 6. Isoleret set giver substitutionseffekten altså et fald i forbruget af vare x på 2 enheder, og en stigning i forbruget af vare y på 6 enheder i denne situation, hvor prisen på vare x stiger. Skrevet op på vektorform er notationen: Substitutionseffekt = AB = x A B y A B = x B x A = = 2 y B y A Indkomsteffekten på vare x findes derefter som x B C = x C x B = 4 10 = 6, mens indkomsteffekten på vare y bliver y B C = y C y B = 4 10 = 6. I dette tilfælde bliver indkomsteffekten på efterspørgslen efter begge varer således negativ. Det fald i den reale indkomst, som den højere pris på vare x giver anledning til, giver altså i dette konkrete tilfælde en negativ effekt på efterspørgslen efter både vare x og vare y. Opskrevet med vektornotation: Indkomsteffekt = BC = x B C y B C = x C x B y C y B = = 6 6 Den totale effekt 4 12 = 8 skal selvfølgelig svare til summen af substitutionsog indkomsteffekten, hvilken heldigvis også viser sig at være tilfældet: AB + BC = = = AC Problemet med Slutsky-metoden til at dekomponere effekten af en prisændring på, er imidlertid at metoden ikke tager højde for forbrugerens mulighed for at substituere mellem de to varer. Der tages udgangspunkt i det gamle optimum, når man skal isolere effekten af ændringen i de relative priser. Det er ikke rimeligt, da det gamle optimum kun i ganske specielle tilfælde vil være lig med det optimale valg under de nye priser og en indkomst, der sikrer at det gamle optimum lige akkurat kan opnås. 4 Derfor anvendes ofte en anden metode til at dekomponere effekten af en prisændring på efterspørgslen efter 4 Det gør sig fx gældende for tilfældet med perfekte komplementer, hvor punkterne A og B vil være sammenfaldende, svarende til at der ikke er nogen substitutionseffekt. For en række gode eksempler med figurer kan kapitel 8 i Varian (2003) anbefales. 5
6 3.2 Hicks-dekomponering 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT varen. Det ser vi på i det næste afsnit. 3.2 Hicks-dekomponering For at sikre, at vi stiller forbrugeren lige så godt som før, når vi indfører prisændringen og vil isolere effekten af ændringen i de relative priser, er det logisk at fastholde forbrugerens nytte i forhold til det gamle optimum frem for at fastholde punktet, som under Slutskydekomponering. Denne type dekomponering, hvor vi fastholder nytteniveauet i stedet for den indkomst, der sikrer at den gamle punkt kan opnås, kaldes for Hicks-dekomponering, opkaldt efter en af det 20. århundredes mest berømte økonomer Sir John Hicks ( ). 5 Fordelen ved Hicks-dekomponering i forhold til Slutsky-dekomponering er, at vi undgår den overkompensation af forbrugeren, som er illustreret i Figur 2 ved, at forbrugeren her opnår en højere nytte i punktet B end i det oprindelige punkt A. I Figur 3 er Hicks-dekomponering anvendt til at finde substitutions- og indkomsteffekter ved den samme prisændring (stigning i prisen på vare x), som vi så på under Slutskydekomponering. Punktet B har nu koordinaterne B = (9.1, 9.1). Figur 3: Hicks substitutions- og indkomsteffekt Det er denne dekomponering (Hicks), der som hovedregel anvendes i mikroøkonomi, 5 Sir John Hicks har tilført væsentlige bidrag til den økonomiske videnskab, både inden for mikro- og makroøkonomi. Mest berømt er han nok for sin fortolkning af Keynes teorier i form af IS/LM modellen og for sine bidrag til efterspørgselsteorien i mikroøkonomi samt generel ligevægtsteori. Sir John Hicks modtog sammen med Kenneth Arrow Nobel-prisen i økonomi i 1972 netop for sit arbejde inden for generel ligevægtsteori. 6
7 3.3 Den praktiske tilgang 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT da det er den klart mest konsistente måde at foretage dekomponeringen på. Substitutionsog indkomsteffekterne er beregnet som: Substitutionseffekt = AB = x A B y A B Indkomsteffekt = BC = x B C y B C Den totale effekt 8 0 = x B x A = = 2.9 y B y A = x C x B y C y B = = svarer naturligvis også her til summen af substitutions- og indkomsteffekten, og den totale effekt er selvfølgelig også den samme som når der anvendes Slutsky-dekomponering, idet dekomponeringsmetoden alene påvirker placeringen af indskudspunktet B. AB + BC = Den praktiske tilgang = 8 0 = AC Som tidligere nævnt anvendes som hovedregel Hicks-dekomponeringen af effekten af prisændring med mindre andet eksplicit er angivet. Det betyder, at den hovedregel, man skal bruge, når man rent grafisk skal indtegne punktet B i sit diagram er som følger: Når man skal dekomponere effekten af en prisændring i en substitutions- og en indkomsteffekt skal man parallelforskyde den nye budgetlinie indtil den præcis rører (tangerer) den gamle indifferenskurve. I dette punkt findes punktet B og effekten fra det gamle optimum A til B er substitutionseffekten, mens effekten fra punktet B til det nye optimum C er indkomsteffekten. Hvis man i stedet vil beregne substitutions- og indkomsteffekten kan dette gøres ved følgende procedure: 1. Beregn nytten i det gamle optimum ved at indsætte koordinaterne til punktet A i nyttefunktionen 7
8 3.4 Ny og gammel? 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER 2. Beregn hvilken indkomst der skal til at opnå dette nytteniveau ved at indsætte de generelle udtryk for den optimale efterspørgsel efter de to varer i nyttefunktionen, indsætte de nye (!) priser og sætte dette lig med det fundne nytteniveau. 3. Når denne indkomst er fundet findes punktet B blot ved at indsætte den fundne indkomst i udtrykkene for efterspørgslen. 3.4 Ny og gammel? En lille bemærkning er, at dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt naturligvis afhænger af hvad der er det nye og hvad der er det gamle optimum. Det er altså bestemt ikke ligegyldigt om man bytter rundt på punkterne A og C. Det kan illustreres ved at betragte den omvendte situation end før, altså hvor vi bytter rundt på nyt og gammelt optimum i Figur 3. Betragt eksemplet i Figur 4, hvor det klart fremgår, at punktet B kommer til at ligge et helt andet sted, når vi bytter rundt på nyt og gammelt optimum og dermed ser på et prisfald frem for en prisstigning på vare x. Figur 4: Hicks substitutions- og indkomsteffekt ved prisfald 4 Giffen-goder og inferiøre goder Ved hjælp af de udviklede værktøjer til at dekomponere effekten af en prisændring i en substitutions- og en indkomsteffekt kan vi nu sige lidt mere om hvordan disse effekter kan 8
9 4.1 Lidt mere om Giffen-goder 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER anvendes til at give nogle kvalitative udsagn om et gode. Vi har allerede set nærmere på hvad man skal gøre, når man skal afgøre hvorvidt et gode er et ordinært gode eller et Giffen-gode. Her ser man nærmere på den totale effekt af prisændringen på varen, som vi beskrev det i afsnit 2 på side 2. Det er med andre ord et spørgsmål om at afgøre fortegnet på x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x. Hvis den er positiv, så er varen et Giffen-gode, ellers er der tale om et ordinært gode. Opdelingen i normale goder og inferiøre goder relaterer sig ikke til priser, men til indkomst. Det smarte er imidlertid, at vi kan bruge dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt til at afgøre om en vare er et normalt gode eller et inferiørt gode. For at gøre dette ses nærmere på indkomsteffekten. Indkomsteffekten beskriver netop effekten på efterspørgslen af at den reale indkomst er ændret som følge af prisændringen. Vi kan sige følgende: Et normalt gode er defineret som et gode, hvor x(px,py,i) I > 0, altså er et normalt gode det tilfælde, hvor en stigning i indkomsten resulterer i en stigning i efterspørgslen efter varen. Hvis indkomsteffekten er negativ ved en prisstigning er eller hvis indkomsteffekten er positiv ved et prisfald, er der tale om et normalt gode. Et inferiørt gode er defineret som et gode, hvor x(px,py,i) I < 0, altså er et inferiørt gode det tilfælde, hvor en stigning i indkomsten resulterer i et fald i efterspørgslen efter varen. Hvis indkomsteffekten er positiv ved en prisstigning er eller hvis indkomsteffekten er negativ ved et prisfald, er der tale om et inferiørt gode. Således kan man anvende dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt til at afgøre ikke alene om et gode er et ordinært gode eller et Giffen-gode, men også til at afgøre om et gode er et normalt gode eller et inferiørt gode. 4.1 Lidt mere om Giffen-goder I det eksempel vi har kigget på i denne note, har det generelt været sådan, at substitutionseffekten har trukket entydigt i retning af mere forbrug af den vare, der blev relativt billigere, og mindre forbrug af den vare, der blev relativt dyrere. Det er ikke tilfældigt. Sådan er det helt generelt. Substitutionseffekten trækker entydigt i retning af mere forbrug af den vare, der bliver relativt billigere og mindre forbrug af den vare, der bliver relativt dyrere. Betragt vores situation fra Figur 3. Her bliver vare x dyrere. Substitutionseffekten 9
10 4.1 Lidt mere om Giffen-goder 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER (effekten fra punktet A til punktet B) giver lavere forbrug af vare x og højere forbrug af vare y. Hvis en vare skal være et Giffen-gode skal den samlede effekt indebære, at efterspørgslen efter varen stiger når prisen stiger. Hvis vi igen sammenligner med eksemplet fra før, så betyder det altså at da substitutionseffekten entydigt trækker i retning af mindre forbrug af varen, når denne stiger, da skal det være på grund af indkomsteffekten, at Giffen-gode situationen opstår. Det betyder med andre ord, at indkomsteffekten skal trække tilstrækkeligt meget i retning af mere forbrug af varen, når prisen stiger, og den reale indkomst dermed er blevet mindre. Sådanne varer har vi netop identificeret som inferiøre. Derfor gælder det altså, at for et gode skal være et Giffen-gode, skal det være inferiørt. Ikke alene skal det være inferiørt det skal være tilstrækkeligt inferiørt. Giffengoder er altså goder, der er meget inferiøre. En anden måde at formulere det på er, at alle Giffen-goder er inferiøre. Bemærk dog, at ikke alle inferiøre goder er Giffen goder: Giffen-gode Inferiørt gode (4.1) men inferiørt gode Giffen-gode (4.2) 10
11 A APPENDIKS A Appendiks I dette matematiske appendiks tages en stringent matematisk tilgang til substitutions- og indkomsteffekter. Vi behandler såvel Slutsky-dekomponering som Hicks-dekomponering efter tur. I begge tilfælde benyttes den såkaldte Slutsky-ligning, der anvendes både for Slutsky-dekomponering og for Hicks-dekomponering, hvilket ind i mellem kan give anledning til lidt forvirring. A.1 Slutsky-dekomponering Vi tager her udgangspunkt i Slutsky-dekomponeringen, hvilket vil sige, at vi holder det oprindelige punkt fast, og fastsætter substitutionseffekten ud fra, at forbrugeren skal kunne opnå det oprindelige optimum, som vi benævner ( x, ȳ). Dette optimum er fundet under priserne ( p x, p y ) og indkomsten Ī = p x x + p y ȳ. Sætning A.1 Ændringen i efterspørgslen efter en vare x ved en ændring i prisen på varen kan dekomponeres i en substitutions- og en indkomsteffekt vha. følgende ligning: x ( p x, p y, Ī) = xs (p x, p y, x, ȳ) x ( px, p y, Ī) x p x p x I hvor x s (p x, p y, x, ȳ) er den såkaldte Slutsky-efterspørgselsfunktion, der angiver forbrugerens efterspørgsel efter vare x ved priserne ( p x, p y ) og indkomst, der sikrer at forbrugeren kan opnå det oprindelige punkt ( x, ȳ). Bevis: 6 Tag udgangspunkt i definitionen af Slutsky-efterspørgselsfunktionen: x s (p x, p y, x, ȳ) x s (p x, p y, p x x + p y ȳ) (A.1) Hvis vi differentierer (A.1) fås ved anvendelse af kædereglen for differentiation af funktioner af flere variable 7 x s (p x, p y, x, ȳ) p x = x ( px, p y, Ī) + x ( px, p y, Ī) x (A.2) p x I 6 Beviset kan genfindes i omskrevet form i Varian (2003), s eller et mere generelt bevis i Mas-Collel, Whinston & Green (1995), p Se fx Sydsæter (2000), s Hvis z = F (x, y), hvor x = f(t) og y = g(t), gælder at dz dt = F x(x, y) dx dt + F y(x, y) dy dt. 11
12 A.2 Hicks-dekomponering A APPENDIKS Ved at rearrangere (A.2) fås x ( p x, p y, Ī) = xs (p x, p y, x, ȳ) x ( p x, p y, Ī) x p x p } {{ x I } } {{ } substitutionseffekt indkomsteffekt (A.3) hvilket fuldender beviset. A.2 Hicks-dekomponering Vi tager nu udgangspunkt i Hicks-dekomponeringen, hvilket vil sige, at vi holder nytten fra det oprindelige punkt fast, og fastsætter substitutionseffekten ud fra, at forbrugeren skal kunne opnå den samme nytte som i det oprindelige optimum. Dette nytteniveau benævner vi ū. Dette optimum er fundet under priserne ( p x, p y ) og indkomsten Ī. Sætning A.2 Ændringen i efterspørgslen efter en vare x ved en ændring i prisen på varen kan dekomponeres i en substitutions- og en indkomsteffekt vha. følgende ligning: x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) x p x p x I hvor x h (p x, p y, ū) er den såkaldte Hicks-efterspørgselsfunktion 8, der angiver forbrugerens efterspørsel efter vare x ved priserne ( p x, p y ) og en krævet nytte på ū. Bevis: 9 Vi indfører nu endnu en funktion, nemlig udgiftsfunktionen, der er et udtryk for den minimale indkomst der skal til for at opnå nytten ū ved priserne (p x, p y ), og vi benævner den ved e(p x, p y, ū) Bemærk dernæst, at vi definitorisk kan skrive (A.4) x h (p x, p y, ū) = x (p x, p y, e(p x, p y, ū)) (A.5) 8 eller kompenserede efterspørgselsfunktion 9 Beviset kan genfindes i omskrevet form i Varian (1992), s
13 A.2 Hicks-dekomponering A APPENDIKS Ved at differentiere (A.5) med hensyn til p x fås ved anvendelse af kædereglen 10 x h (p x, p y, ū) = x (p x, p y, I) + x (p x, p y, I) e (p x, p y, ū) p x p x I p x (A.6) Ved at rearrangere (A.6) fås x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) e (p x, p y, ū) p x p x I p x (A.7) For at fuldende beviset mangler vi blot at e(px,py,ū) p x = x, hvilket er sandt for små ændringer evalueret under (p x, p y ), 11 idet ændringen i den minimale udgift, der skal til at opnå nytten ū ved en stigning i p x netop svarer til antallet af købte enheder af varen x. Dermed fås samlet set, at hvilket fuldender beviset. x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) x p x p } {{ x I } } {{ } substitutionseffekt indkomsteffekt (A.8) 10 Se fodnoten til beviset i Slutsky-dekomponeringstilfældet på s Antagelsen om at evaluere i (p x, p y ) bør faktisk gøres eksplicit her for at fuldende beviset. 13
14 REFERENCES REFERENCES References Mas-Collel, A., Whinston, M. D. & Green, J. R. (1995), Microeconomic Theoru, 1st edn, Oxford University Press. Pindyck, R. S. & Rubinfeld, D. L. (2005), Microeconomics, 6th edn, Pearson Prentice Hall. Sydsæter, K. (2000), Matematisk Analyse, Bind 1, 7th edn, Gyldendal Akademisk. Varian, H. R. (1992), Microeconomic Analysis, 3rd edn, W. W. Norton and Company. Varian, H. R. (2003), Intermediate Microeconomics, 6th edn, W. W. Norton & Company. 14
Kapitel 8: Slutsky ligningen
November 25, 2008 Forbrugerens valg: Vælg dets bedste mulige varebundt Efterspørgselsfunktion: x 1 (p 1, p 2, m) og x 2 (p 1, p 2, m) Kapitel 6: hvordan ændres efterspørgselsfunktionen med p 1, p 2 og
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Spørgsmål 1 : Ligning (1) er ligevægtsbetingelsen for varemarkedet i en åben økonomi. Det private forbrug afhænger
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereFinansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori
Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori Opgaver til kapitel 1 og 2 Opgave 1 I lærebogen på side 15 nævnes begrebet cost benefit analyse. Giv et forslag til, hvilke elementer der skal inddrages i
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereForbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereRettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi
Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.
Læs mereVejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En inferiør vare er defineret som en vare, man efterspørger
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereDen automatiske sanseforventningsproces
Den automatiske sanseforventningsproces Af forsknings- og institutleder Flemming Jensen Det kunne ikke gøres enklere. Jeg ved, at for nogle ser meget teoretisk ud, mens det for andre måske endda er for
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mere1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består
Læs mereVejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given
Læs mereForbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer
Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Introduktion Undervisningsnote til Mikro A, af Ole Kveiborg og Michael Teit Nielsen Vi har kigget en hel del på, hvordan forbrugeren reagerer
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs merenavigation introduktion 1 Vejskilte og stifindere om navigationsdesign
navigation introduktion 1 Vejskilte og stifindere om navigationsdesign navigation introduktion 2 definition Navigation betyder at beregne en kurs - at have et mål og finde ud af hvordan man lettest når
Læs mereMatematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder
14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereKapitel 3 Forbrugeradfærd
Emner Kapitel 3 orbrugeradfærd Præferencer udgetbegrænsning orbrugsvalg hapter 3: onsumer ehavior Slide Introduktion Virksomheder har brug for at kende forbrugeradfærd, når de prisfastsætter et produkt.
Læs mereKønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del
Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del Mona Larsen, SFI September 2015 1 1. Indledning I henhold til ligestillingslovgivningen skal kommunerne indarbejde ligestilling i al planlægning
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereKonjunkturteori I: Den statiske model. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet
Konjunkturteori I: Den statiske model Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet 1 Agenda Lidt rammeantagelser Husholdningerne (den repræsentative husholdning) Nyttemax. valg af fritid
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori
Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereAppendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala
Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereFysisk aktivitet i den boglige undervisning
Fysisk aktivitet i den boglige undervisning 1 Battle Øve begreber, teorier og beregninger i de naturvidenskabelige fag Besvare redegørende eller analyserende spørgsmål af tekster i fx historie, samfundsfag
Læs mere18 Multivejstræer og B-træer.
18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.
Læs mereBilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.
Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereØvelse 13 - Rente og inflation
Øvelse 13 - Rente og inflation Tobias Markeprand 1. december 2008 Opgave 14.4 Beregn realrenten ved hhv den nøjagtige formel og den approksimative formel for hvert af de følgende tilfælde a) i = 6% og
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereAppendiks 2 til Bilag 2 - Eksempler på tekster til tilbagemeldinger, case: Matematik i 6. klasse
Uddannelsesudvalget L 101 - Bilag 3 Offentligt Appendiks 2 til Bilag 2 - Eksempler på tekster til tilbagemeldinger, case: Matematik i 6. klasse Undervisningsministeriets udbud - Fremme af evalueringskultur
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereBOLIG&TAL 9 BOLIGØKONOMISK VIDENCENTER. Et nyhedsbrev, der præsenterer tendenser, de seneste tal og oversigter om boligmarkedet 1
BOLIGØKONOMISK BOLIG&TAL 9 VIDENCENTER Et nyhedsbrev, der præsenterer tendenser, de seneste tal og oversigter om boligmarkedet 1 BOLIGPRISERNE I 4. KVARTAL 215 Sammenfatning For første gang ser Boligøkonomisk
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereUndervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole
Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereTilbagegang i arbejdernes lønindkomst siden krisen
Tilbagegang i arbejdernes lønindkomst siden krisen Siden 1985 har både rige og fattige danskere oplevet en stigning i deres indkomst. I løbet af de seneste år er indkomstfremgangen imidlertid gået i stå
Læs mereEt oplæg til dokumentation og evaluering
Et oplæg til dokumentation og evaluering Grundlæggende teori Side 1 af 11 Teoretisk grundlag for metode og dokumentation: )...3 Indsamling af data:...4 Forskellige måder at angribe undersøgelsen på:...6
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereEvaluering af Soltimer
DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel
Læs mereIndkomster i de sociale klasser i 2012
Indkomster i de sociale klasser i 2012 Denne analyse er den del af baggrundsanalyserne til bogen Klassekamp fra oven. Analysen beskriver indkomstforskellene i de fem sociale klasser og udviklingen i indkomster
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere