Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer"

Transkript

1 Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion Forbrugerteorien i mikroøkonomi beskæftiger sig med forbrugerens valg af varer i forhold til hinanden. Normalt beskriver vi forbrugeren vha. præferencer, der repræsenteres via en nyttefunktion. Ved hjælp af nyttefunktionen og forbrugerens budgetbetingelse kan vi finde udtryk for forbrugerens efterspørgsel efter de varer, der eksisterer i økonomien. Generelt vil forbrugerens efterspørgsel efter hver af vare afhænge af priserne på alle varer i økonomien og forbrugerens indkomst. I denne note vil vi beskæftige os nærmere med de effekter, der opstår på efterspørgslen efter en vare, når vi ændrer på prisen på den samme vare. 1 2 Effekterne af prisændringer Når prisen på en vare ændres, er det naturligt at antage, at forbrugerens optimale valg påvirkes. Normalt vil man have, at når prisen på en vare falder, så stiger efterspørgslen efter varen, eller analogt at når prisen på en vare stiger, så falder efterspørgslen efter varen. 1 Det er selvfølgelig også interessant at se hvad der sker med efterspørgslen, når man ændrer på priser på andre varer i økonomien, hvilket dog ikke behandles i denne note. Teknikken er dog ganske analog, og ikke væsentligt mere kompliceret. For en beskrivelse, se fx Varian (1992) s eller Mas-Collel, Whinston & Green (1995), s

2 2 EFFEKTERNE AF PRISÆNDRINGER Sådanne varer kaldes for ordinære. Det modsatte kan dog også i helt særlige tilfælde gøre sig gældende, altså at når prisen på en vare falder, så falder forbruget af varen, eller analogt at når prisen på en vare stiger, så stiger forbruget af varen. Sådanne varer (eller goder) kaldes for Giffen-goder. Det vil sige, at Ordinære goder: x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x < 0, altså at forbruget falder, når prisen på varen stiger. Giffen-goder: x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x > 0, altså at forbruget stiger, når prisen på varen stiger. I det specialtilfælde, hvor x(px,py,i) p x = 0 er godet således hverken et ordinært gode eller et Giffen-gode. Ofte bliver sådanne varer dog også kaldt for ordinære goder. Giffen-goder er opkaldt efter økonomen Sir Robert Giffen ( ), der var den første til at bemærke den teoretiske mulighed for en positiv sammenhæng mellem prisen på en vare og efterspørgslen efter varen. Bemærk dog, at Giffen-goder primært skal opfattes som et teoretisk kuriosum. Giffen-goder optræder kun i ekstremt sjældne tilfælde, og det er også årsagen til, at de eksempler der som oftest findes i lærebøgerne kan synes noget perifere. Varian (2003) bruger et eksempel med en forbruger, der kun har de to varer vælling og mælk at vælge imellem. Betragt da en situation med en forbruger, der initialt vælger at forbruge lige mange enheder af vælling og mælk. Antag derefter at prisen på vælling falder. Hvis forbrugeren vælger at fastholde antallet af enheder vælling efter prisændringen, så har han flere penge til at købe mælk for, og kan derfor købe mere mælk end før. Det kan også være sådan, at forbrugeren nu vælger at reducere forbruget af vælling for at kunne købe endnu mere mælk, da forbrugeren relativt set er blevet rigere, og derfor kan vælge at øge sit forbrug af mælk på bekostning af vælling. Bemærk, at det vigtige for eksemplet er, at vi har at gøre med varer, der som regel opfattes som varer af lav kvalitet, og hvor en real indkomststigning vil sænke forbruget af varen. Det vender vi tilbage til senere. En vigtig bemærkning: Man hører ofte argumentet om, at mærkevarer er Giffen-goder fordi at en høj pris er en kvalitet i sig selv, og derfor stimulerer efterspørgslen efter varen. Det er ikke korrekt. Mærkevarer er ikke et eksempel på en Giffen-gode. Det er i stedet et udtryk for det, der i økonomiske termer kaldes for pengeillusion. Pengeillusion er det fænomen, at folk antager, at en vare er mere værd simpelthen fordi prisen er høj. Dette er 2

3 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT imidlertid antaget væk ved at præferencerne (og dermed nyttefunktionen) ikke afhænger af priser og indkomst. Med begreberne på plads vil vi nu gå i gang med at se nærmere på substitutions- og indkomsteffekter. 3 Substitutions- og indkomsteffekt Vi har nu indset, at ændringer i prisen på en vare kan påvirke efterspørgslen efter varen. Det vi nu er interesseret i, er om vi kan sige noget mere om det der sker, når efterspørgslen ændres ved en ændring i prisen. Effekten af en prisændring kan opdeles i to effekter: 2 Substitutionseffekt. Substitutionseffekten angiver effekten på efterspørgslen af at det relative prisforhold har ændret sig. Dvs. at vi vil isolere effekten af en ændring i de relative priser, ved at udelade effekten på den reale indkomst af prisændringen. Indkomsteffekt. Indkomsteffekten angiver effekten på efterspørgslen af den reale indkomstændring, som prisændringen har givet anledning til. Hvis prisen på en vare falder, giver det anledning til en højere real indkomst, mens en stigning i prisen på en vare giver anledning til en lavere real indkomst. Denne effekt vil selvfølgelig påvirke efterspørgslen i sig selv. Situationen er illustreret i Figur 1. Her er der tale om en prisstigning på vare x, der gør at budgetlinien rykker sig fra den blå i udgangspunktet til den røde. Vi ser, at der er tale om, at forbruget af vare x falder, mens forbruget af vare y i dette konkrete tilfælde er uændret. Vi vil gerne have dekomponeret bevægelsen fra punktet A = (12, 4) til punktet C = (4, 4) (vektoren AC) 3 i Figur 1 i en substitutions- og en indkomsteffekt ved at indføre et nyt punkt B, således at bevægelsen fra A til B (vektoren AB) angiver substitutionseffekten, mens effekten fra B til C (vektoren BC) angiver indkomsteffekten. 3.1 Et første forslag Et umiddelbart forslag kunne være, at indføre punktet B, der skal isolere effekten af ændringen i de relative priser, ved at holde forbrugerens købekraft uændret. Det vil altså 2 Uddybende beskrivelse i fx Pindyck & Rubinfeld (2005), s eller Varian (2003), s Man kan vælge at indføre vektorer til at angive effekter og beregninger, men det er ikke nødvendigt. 3

4 3.1 Et første forslag 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT Figur 1: Udgangssituationen med efterspørgslen før og efter prisændringen sige, at vi isolerer effekten af prisændringen ved at betragte forbrugerens valg under de nye priser, men med en indkomst, der sikrer at han stadig kan opnå sit gamle varebundt. Det gøres ved at pivotere (dreje) budgetlinien omkring det gamle optimum A, således at budgetlinien har samme hældning som den nye budgetlinie, men går igennem det gamle punkt. Det er illustreret i Figur 2 ved den stiplede blå linie. I Figur 2 har punktet B koordinaterne B = (10, 10). Denne dekomponering af effekten af en prisændring i en Figur 2: Slutsky substitutions- og indkomsteffekt substitutions- og en indkomsteffekt kaldes for Slutsky-substitutions- og indkomsteffekt, opkaldt efter den ukrainske matematiker, statistiker og økonom Eugen E. Slutsky (1880 4

5 3.1 Et første forslag 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT 1948). Her kan substitutionseffekten fra Figur 2 på vare x findes som x A B = x B x A = = 2, mens substitutionseffekten på vare y kan findes som y A B = y B y A = 10 4 = 6. Isoleret set giver substitutionseffekten altså et fald i forbruget af vare x på 2 enheder, og en stigning i forbruget af vare y på 6 enheder i denne situation, hvor prisen på vare x stiger. Skrevet op på vektorform er notationen: Substitutionseffekt = AB = x A B y A B = x B x A = = 2 y B y A Indkomsteffekten på vare x findes derefter som x B C = x C x B = 4 10 = 6, mens indkomsteffekten på vare y bliver y B C = y C y B = 4 10 = 6. I dette tilfælde bliver indkomsteffekten på efterspørgslen efter begge varer således negativ. Det fald i den reale indkomst, som den højere pris på vare x giver anledning til, giver altså i dette konkrete tilfælde en negativ effekt på efterspørgslen efter både vare x og vare y. Opskrevet med vektornotation: Indkomsteffekt = BC = x B C y B C = x C x B y C y B = = 6 6 Den totale effekt 4 12 = 8 skal selvfølgelig svare til summen af substitutionsog indkomsteffekten, hvilken heldigvis også viser sig at være tilfældet: AB + BC = = = AC Problemet med Slutsky-metoden til at dekomponere effekten af en prisændring på, er imidlertid at metoden ikke tager højde for forbrugerens mulighed for at substituere mellem de to varer. Der tages udgangspunkt i det gamle optimum, når man skal isolere effekten af ændringen i de relative priser. Det er ikke rimeligt, da det gamle optimum kun i ganske specielle tilfælde vil være lig med det optimale valg under de nye priser og en indkomst, der sikrer at det gamle optimum lige akkurat kan opnås. 4 Derfor anvendes ofte en anden metode til at dekomponere effekten af en prisændring på efterspørgslen efter 4 Det gør sig fx gældende for tilfældet med perfekte komplementer, hvor punkterne A og B vil være sammenfaldende, svarende til at der ikke er nogen substitutionseffekt. For en række gode eksempler med figurer kan kapitel 8 i Varian (2003) anbefales. 5

6 3.2 Hicks-dekomponering 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT varen. Det ser vi på i det næste afsnit. 3.2 Hicks-dekomponering For at sikre, at vi stiller forbrugeren lige så godt som før, når vi indfører prisændringen og vil isolere effekten af ændringen i de relative priser, er det logisk at fastholde forbrugerens nytte i forhold til det gamle optimum frem for at fastholde punktet, som under Slutskydekomponering. Denne type dekomponering, hvor vi fastholder nytteniveauet i stedet for den indkomst, der sikrer at den gamle punkt kan opnås, kaldes for Hicks-dekomponering, opkaldt efter en af det 20. århundredes mest berømte økonomer Sir John Hicks ( ). 5 Fordelen ved Hicks-dekomponering i forhold til Slutsky-dekomponering er, at vi undgår den overkompensation af forbrugeren, som er illustreret i Figur 2 ved, at forbrugeren her opnår en højere nytte i punktet B end i det oprindelige punkt A. I Figur 3 er Hicks-dekomponering anvendt til at finde substitutions- og indkomsteffekter ved den samme prisændring (stigning i prisen på vare x), som vi så på under Slutskydekomponering. Punktet B har nu koordinaterne B = (9.1, 9.1). Figur 3: Hicks substitutions- og indkomsteffekt Det er denne dekomponering (Hicks), der som hovedregel anvendes i mikroøkonomi, 5 Sir John Hicks har tilført væsentlige bidrag til den økonomiske videnskab, både inden for mikro- og makroøkonomi. Mest berømt er han nok for sin fortolkning af Keynes teorier i form af IS/LM modellen og for sine bidrag til efterspørgselsteorien i mikroøkonomi samt generel ligevægtsteori. Sir John Hicks modtog sammen med Kenneth Arrow Nobel-prisen i økonomi i 1972 netop for sit arbejde inden for generel ligevægtsteori. 6

7 3.3 Den praktiske tilgang 3 SUBSTITUTIONS- OG INDKOMSTEFFEKT da det er den klart mest konsistente måde at foretage dekomponeringen på. Substitutionsog indkomsteffekterne er beregnet som: Substitutionseffekt = AB = x A B y A B Indkomsteffekt = BC = x B C y B C Den totale effekt 8 0 = x B x A = = 2.9 y B y A = x C x B y C y B = = svarer naturligvis også her til summen af substitutions- og indkomsteffekten, og den totale effekt er selvfølgelig også den samme som når der anvendes Slutsky-dekomponering, idet dekomponeringsmetoden alene påvirker placeringen af indskudspunktet B. AB + BC = Den praktiske tilgang = 8 0 = AC Som tidligere nævnt anvendes som hovedregel Hicks-dekomponeringen af effekten af prisændring med mindre andet eksplicit er angivet. Det betyder, at den hovedregel, man skal bruge, når man rent grafisk skal indtegne punktet B i sit diagram er som følger: Når man skal dekomponere effekten af en prisændring i en substitutions- og en indkomsteffekt skal man parallelforskyde den nye budgetlinie indtil den præcis rører (tangerer) den gamle indifferenskurve. I dette punkt findes punktet B og effekten fra det gamle optimum A til B er substitutionseffekten, mens effekten fra punktet B til det nye optimum C er indkomsteffekten. Hvis man i stedet vil beregne substitutions- og indkomsteffekten kan dette gøres ved følgende procedure: 1. Beregn nytten i det gamle optimum ved at indsætte koordinaterne til punktet A i nyttefunktionen 7

8 3.4 Ny og gammel? 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER 2. Beregn hvilken indkomst der skal til at opnå dette nytteniveau ved at indsætte de generelle udtryk for den optimale efterspørgsel efter de to varer i nyttefunktionen, indsætte de nye (!) priser og sætte dette lig med det fundne nytteniveau. 3. Når denne indkomst er fundet findes punktet B blot ved at indsætte den fundne indkomst i udtrykkene for efterspørgslen. 3.4 Ny og gammel? En lille bemærkning er, at dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt naturligvis afhænger af hvad der er det nye og hvad der er det gamle optimum. Det er altså bestemt ikke ligegyldigt om man bytter rundt på punkterne A og C. Det kan illustreres ved at betragte den omvendte situation end før, altså hvor vi bytter rundt på nyt og gammelt optimum i Figur 3. Betragt eksemplet i Figur 4, hvor det klart fremgår, at punktet B kommer til at ligge et helt andet sted, når vi bytter rundt på nyt og gammelt optimum og dermed ser på et prisfald frem for en prisstigning på vare x. Figur 4: Hicks substitutions- og indkomsteffekt ved prisfald 4 Giffen-goder og inferiøre goder Ved hjælp af de udviklede værktøjer til at dekomponere effekten af en prisændring i en substitutions- og en indkomsteffekt kan vi nu sige lidt mere om hvordan disse effekter kan 8

9 4.1 Lidt mere om Giffen-goder 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER anvendes til at give nogle kvalitative udsagn om et gode. Vi har allerede set nærmere på hvad man skal gøre, når man skal afgøre hvorvidt et gode er et ordinært gode eller et Giffen-gode. Her ser man nærmere på den totale effekt af prisændringen på varen, som vi beskrev det i afsnit 2 på side 2. Det er med andre ord et spørgsmål om at afgøre fortegnet på x p x (p x, p y, I) = x(px,py,i) p x. Hvis den er positiv, så er varen et Giffen-gode, ellers er der tale om et ordinært gode. Opdelingen i normale goder og inferiøre goder relaterer sig ikke til priser, men til indkomst. Det smarte er imidlertid, at vi kan bruge dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt til at afgøre om en vare er et normalt gode eller et inferiørt gode. For at gøre dette ses nærmere på indkomsteffekten. Indkomsteffekten beskriver netop effekten på efterspørgslen af at den reale indkomst er ændret som følge af prisændringen. Vi kan sige følgende: Et normalt gode er defineret som et gode, hvor x(px,py,i) I > 0, altså er et normalt gode det tilfælde, hvor en stigning i indkomsten resulterer i en stigning i efterspørgslen efter varen. Hvis indkomsteffekten er negativ ved en prisstigning er eller hvis indkomsteffekten er positiv ved et prisfald, er der tale om et normalt gode. Et inferiørt gode er defineret som et gode, hvor x(px,py,i) I < 0, altså er et inferiørt gode det tilfælde, hvor en stigning i indkomsten resulterer i et fald i efterspørgslen efter varen. Hvis indkomsteffekten er positiv ved en prisstigning er eller hvis indkomsteffekten er negativ ved et prisfald, er der tale om et inferiørt gode. Således kan man anvende dekomponeringen i substitutions- og indkomsteffekt til at afgøre ikke alene om et gode er et ordinært gode eller et Giffen-gode, men også til at afgøre om et gode er et normalt gode eller et inferiørt gode. 4.1 Lidt mere om Giffen-goder I det eksempel vi har kigget på i denne note, har det generelt været sådan, at substitutionseffekten har trukket entydigt i retning af mere forbrug af den vare, der blev relativt billigere, og mindre forbrug af den vare, der blev relativt dyrere. Det er ikke tilfældigt. Sådan er det helt generelt. Substitutionseffekten trækker entydigt i retning af mere forbrug af den vare, der bliver relativt billigere og mindre forbrug af den vare, der bliver relativt dyrere. Betragt vores situation fra Figur 3. Her bliver vare x dyrere. Substitutionseffekten 9

10 4.1 Lidt mere om Giffen-goder 4 GIFFEN-GODER OG INFERIØRE GODER (effekten fra punktet A til punktet B) giver lavere forbrug af vare x og højere forbrug af vare y. Hvis en vare skal være et Giffen-gode skal den samlede effekt indebære, at efterspørgslen efter varen stiger når prisen stiger. Hvis vi igen sammenligner med eksemplet fra før, så betyder det altså at da substitutionseffekten entydigt trækker i retning af mindre forbrug af varen, når denne stiger, da skal det være på grund af indkomsteffekten, at Giffen-gode situationen opstår. Det betyder med andre ord, at indkomsteffekten skal trække tilstrækkeligt meget i retning af mere forbrug af varen, når prisen stiger, og den reale indkomst dermed er blevet mindre. Sådanne varer har vi netop identificeret som inferiøre. Derfor gælder det altså, at for et gode skal være et Giffen-gode, skal det være inferiørt. Ikke alene skal det være inferiørt det skal være tilstrækkeligt inferiørt. Giffengoder er altså goder, der er meget inferiøre. En anden måde at formulere det på er, at alle Giffen-goder er inferiøre. Bemærk dog, at ikke alle inferiøre goder er Giffen goder: Giffen-gode Inferiørt gode (4.1) men inferiørt gode Giffen-gode (4.2) 10

11 A APPENDIKS A Appendiks I dette matematiske appendiks tages en stringent matematisk tilgang til substitutions- og indkomsteffekter. Vi behandler såvel Slutsky-dekomponering som Hicks-dekomponering efter tur. I begge tilfælde benyttes den såkaldte Slutsky-ligning, der anvendes både for Slutsky-dekomponering og for Hicks-dekomponering, hvilket ind i mellem kan give anledning til lidt forvirring. A.1 Slutsky-dekomponering Vi tager her udgangspunkt i Slutsky-dekomponeringen, hvilket vil sige, at vi holder det oprindelige punkt fast, og fastsætter substitutionseffekten ud fra, at forbrugeren skal kunne opnå det oprindelige optimum, som vi benævner ( x, ȳ). Dette optimum er fundet under priserne ( p x, p y ) og indkomsten Ī = p x x + p y ȳ. Sætning A.1 Ændringen i efterspørgslen efter en vare x ved en ændring i prisen på varen kan dekomponeres i en substitutions- og en indkomsteffekt vha. følgende ligning: x ( p x, p y, Ī) = xs (p x, p y, x, ȳ) x ( px, p y, Ī) x p x p x I hvor x s (p x, p y, x, ȳ) er den såkaldte Slutsky-efterspørgselsfunktion, der angiver forbrugerens efterspørgsel efter vare x ved priserne ( p x, p y ) og indkomst, der sikrer at forbrugeren kan opnå det oprindelige punkt ( x, ȳ). Bevis: 6 Tag udgangspunkt i definitionen af Slutsky-efterspørgselsfunktionen: x s (p x, p y, x, ȳ) x s (p x, p y, p x x + p y ȳ) (A.1) Hvis vi differentierer (A.1) fås ved anvendelse af kædereglen for differentiation af funktioner af flere variable 7 x s (p x, p y, x, ȳ) p x = x ( px, p y, Ī) + x ( px, p y, Ī) x (A.2) p x I 6 Beviset kan genfindes i omskrevet form i Varian (2003), s eller et mere generelt bevis i Mas-Collel, Whinston & Green (1995), p Se fx Sydsæter (2000), s Hvis z = F (x, y), hvor x = f(t) og y = g(t), gælder at dz dt = F x(x, y) dx dt + F y(x, y) dy dt. 11

12 A.2 Hicks-dekomponering A APPENDIKS Ved at rearrangere (A.2) fås x ( p x, p y, Ī) = xs (p x, p y, x, ȳ) x ( p x, p y, Ī) x p x p } {{ x I } } {{ } substitutionseffekt indkomsteffekt (A.3) hvilket fuldender beviset. A.2 Hicks-dekomponering Vi tager nu udgangspunkt i Hicks-dekomponeringen, hvilket vil sige, at vi holder nytten fra det oprindelige punkt fast, og fastsætter substitutionseffekten ud fra, at forbrugeren skal kunne opnå den samme nytte som i det oprindelige optimum. Dette nytteniveau benævner vi ū. Dette optimum er fundet under priserne ( p x, p y ) og indkomsten Ī. Sætning A.2 Ændringen i efterspørgslen efter en vare x ved en ændring i prisen på varen kan dekomponeres i en substitutions- og en indkomsteffekt vha. følgende ligning: x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) x p x p x I hvor x h (p x, p y, ū) er den såkaldte Hicks-efterspørgselsfunktion 8, der angiver forbrugerens efterspørsel efter vare x ved priserne ( p x, p y ) og en krævet nytte på ū. Bevis: 9 Vi indfører nu endnu en funktion, nemlig udgiftsfunktionen, der er et udtryk for den minimale indkomst der skal til for at opnå nytten ū ved priserne (p x, p y ), og vi benævner den ved e(p x, p y, ū) Bemærk dernæst, at vi definitorisk kan skrive (A.4) x h (p x, p y, ū) = x (p x, p y, e(p x, p y, ū)) (A.5) 8 eller kompenserede efterspørgselsfunktion 9 Beviset kan genfindes i omskrevet form i Varian (1992), s

13 A.2 Hicks-dekomponering A APPENDIKS Ved at differentiere (A.5) med hensyn til p x fås ved anvendelse af kædereglen 10 x h (p x, p y, ū) = x (p x, p y, I) + x (p x, p y, I) e (p x, p y, ū) p x p x I p x (A.6) Ved at rearrangere (A.6) fås x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) e (p x, p y, ū) p x p x I p x (A.7) For at fuldende beviset mangler vi blot at e(px,py,ū) p x = x, hvilket er sandt for små ændringer evalueret under (p x, p y ), 11 idet ændringen i den minimale udgift, der skal til at opnå nytten ū ved en stigning i p x netop svarer til antallet af købte enheder af varen x. Dermed fås samlet set, at hvilket fuldender beviset. x (p x, p y, I) = xh (p x, p y, ū) x (p x, p y, I) x p x p } {{ x I } } {{ } substitutionseffekt indkomsteffekt (A.8) 10 Se fodnoten til beviset i Slutsky-dekomponeringstilfældet på s Antagelsen om at evaluere i (p x, p y ) bør faktisk gøres eksplicit her for at fuldende beviset. 13

14 REFERENCES REFERENCES References Mas-Collel, A., Whinston, M. D. & Green, J. R. (1995), Microeconomic Theoru, 1st edn, Oxford University Press. Pindyck, R. S. & Rubinfeld, D. L. (2005), Microeconomics, 6th edn, Pearson Prentice Hall. Sydsæter, K. (2000), Matematisk Analyse, Bind 1, 7th edn, Gyldendal Akademisk. Varian, H. R. (1992), Microeconomic Analysis, 3rd edn, W. W. Norton and Company. Varian, H. R. (2003), Intermediate Microeconomics, 6th edn, W. W. Norton & Company. 14

Kapitel 8: Slutsky ligningen

Kapitel 8: Slutsky ligningen November 25, 2008 Forbrugerens valg: Vælg dets bedste mulige varebundt Efterspørgselsfunktion: x 1 (p 1, p 2, m) og x 2 (p 1, p 2, m) Kapitel 6: hvordan ændres efterspørgselsfunktionen med p 1, p 2 og

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale

Læs mere

Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori

Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori Opgaver til kapitel 1 og 2 Opgave 1 I lærebogen på side 15 nævnes begrebet cost benefit analyse. Giv et forslag til, hvilke elementer der skal inddrages i

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Spørgsmål 1 : Ligning (1) er ligevægtsbetingelsen for varemarkedet i en åben økonomi. Det private forbrug afhænger

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Kapitel 3 Forbrugeradfærd

Kapitel 3 Forbrugeradfærd Emner Kapitel 3 orbrugeradfærd Præferencer udgetbegrænsning orbrugsvalg hapter 3: onsumer ehavior Slide Introduktion Virksomheder har brug for at kende forbrugeradfærd, når de prisfastsætter et produkt.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En inferiør vare er defineret som en vare, man efterspørger

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

1 Kapitel 5: Forbrugervalg

1 Kapitel 5: Forbrugervalg 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af

Læs mere

Efterspørgsel og udbud

Efterspørgsel og udbud J.Andersen og H.Keiding: Introduktion til Nationaløkonomi Kapitel 2, side 1 Kapitel 2 Efterspørgsel og udbud 1. Efterspørgsel og hvad der ligger bag Prisdannelsen og markedsmekanismens funktion er et af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi.

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. Det har ikke været nødvendigt at skelne mellem 1) Indenlandsk efterspørgsel efter varer 2) Efterspørgsel efter indenlandske varer For den åbne økonomi er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del

Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del Kønsmainstreaming af HK-KL-overenskomst kvantitativ del Mona Larsen, SFI September 2015 1 1. Indledning I henhold til ligestillingslovgivningen skal kommunerne indarbejde ligestilling i al planlægning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/Juni,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder 14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 15MABA61

Læs mere

18 Multivejstræer og B-træer.

18 Multivejstræer og B-træer. 18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere

navigation introduktion 1 Vejskilte og stifindere om navigationsdesign

navigation introduktion 1 Vejskilte og stifindere om navigationsdesign navigation introduktion 1 Vejskilte og stifindere om navigationsdesign navigation introduktion 2 definition Navigation betyder at beregne en kurs - at have et mål og finde ud af hvordan man lettest når

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Hjemmeopgave 1. af Hans Jacob Simonsen (c973782)

Hjemmeopgave 1. af Hans Jacob Simonsen (c973782) Hjemmeopgave 1 af Hans Jacob Simonsen (c973782) Grundkursus i økonomi IPL DTU Efterår 2002 1 Spørgsmål 1 Prisen på brosten stiger fra 9 kr. til 10 kr. Dvs. en stigning på 11,11%. Jesper kommer tit inde

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

2. del. Reaktionskinetik

2. del. Reaktionskinetik 2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Forbrugeren som agent

Forbrugeren som agent Kapitel 2: Budgetbegrænsninger Forbrugeren som agent 1. Paradigme: Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Lyder banalt og noget abstrakt - men... 3....viser sig at give en

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 14MABA61

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2014/ Januar 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori

Investerings- og finansieringsteori Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q

Læs mere

Det danske boligmarked

Det danske boligmarked HA-almen, 6. Semester Bacheloropgave Nationaløkonomisk institut Forfatter: Anders Krog Vejleder: Anna Piil Damm Det danske boligmarked Handelshøjskolen i Århus Maj 2011 Executive summery The title of this

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Evaluering af Soltimer

Evaluering af Soltimer DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Vismandsspillet og makroøkonomi

Vismandsspillet og makroøkonomi Vismandsspillet og makroøkonomi Dette notat om makroøkonomi er skrevet af Henrik Adrian, Helge Gram Christensen, Morten Gjeddebæk og Ernst Jensen på et udviklingsseminar mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked N O T A T Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked Baggrund og resume Efter i årevis at have rapporteret om et fastfrosset boligmarked, har de danske

Læs mere