Kom i gang-opgaver til differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kom i gang-opgaver til differentialregning"

Transkript

1 Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul

2

3 Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke beskæftiger sig effektivt med de grundmetoder som besvarelsen er sammensat af Ved løsning af hjemmeopgaver i et nyt emne kan det virke uoverkommeligt at finde frem til de relevante grundmetoder, selv om disse har været gennemgået i timerne I dette hæfte er grundmetoderne derfor skrevet i rammer som der henvises til i opgaverne I modsætning til hvad der ofte er tilfældet, beskriver dette hæfte grundmetoderne på sådan en måde at også en begynder i emnet vil opfatte det som metoder

4

5 Opgave Diff 1 Begge billeder viser grafen for funktionen På hver af billederne er også tegnet en af grafens tangenter Der er en smart metode til at udregne tangenters hældningskoefficienter: Man skal bruge noget som kaldes funktionens differentialkvotient I mange formelsamlinger og lærebøger står at funktionen har differentialkvotienten Dette kan også skrives sådan ( ) = eller sådan Hvis f ( ) =, så er f ( ) = Ramme 1 Udregning af hældningskoefficienten r for tangenten på billedet til venstre Da 1) har differentialkvotienten og ) røringspunktet for tangenten har -koordinaten 0, 5 så kan man finde hældningskoefficienten for tangenten ved at indsætte 0, 5 for i Tangenten har altså hældningskoefficienten r = 1 Brug metoden fra ramme 1 til at finde hældningskoefficienten s for tangenten på billedet til højre Find differentialkvotienten for 1 i en formelsamling eller en lærebog Brug den til for funktionen 1 at finde hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat,5 Opgaven fortsætter på næste side! Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

6 Vi ser igen på grafen for Find hældningskoefficienten for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten, og for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten, En af grafens tangenter har hældningskoefficienten 11 Find -koordinaten til røringspunktet for denne tangent Opgave Diff Ramme Differentialkvotient for n ( ) =, ( ) = 5, ( ) = 5 Osv 8 Brug metoden fra ramme til at finde differentialkvotienten af Nu lader vi p være et bestemt tal, men du får ikke at vide hvad det er for et tal Skriv et p udtryk med og p som er differentialkvotienten af Ramme Differentialkvotient for "konstant gange funktion" ( ) = ( ) 7 7, ( ) = ( ) = ( ( 1) ) = ( 1) ( ), Osv De mellemregninger som er skrevet med småt, skrives normalt ikke Brug metoderne fra rammerne og til at finde differentialkvotienten for hver af funktionerne og Ramme Differentialkvotient for "konstant plus funktion" ( + ) = ( ) 1, ( + ) = ( ) 1, ( ) = ( ) 7 = ( 7 + ( ) ) ( + ) = ( ) 7 = ( + + ( 7) ), Osv De mellemregninger som er skrevet med småt, skrives normalt ikke, Brug metoderne fra rammerne, og til at finde differentialkvotienten for hver af funktionerne + og 1 Ramme 5 Differentialkvotient for "funktion plus funktion" ( ) = ( ) ( ), ( + ) = ( ) + () 1 1, Osv Brug metoden fra ramme 5 til at bestemme differentialkvotienten for hver af funktionerne + og 1 5 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

7 Opgave Diff Ramme 6 Differentialkvotient for " " ( ) = 1 Brug metoderne fra rammerne og 6 til at finde differentialkvotienten for funktionen Ramme 7 ( 5,) = 0, ( ) = 0, Osv Differentialkvotient for "konstant" Brug metoderne fra rammerne 5,, 6 og 7 til at finde differentialkvotienten for funktionen + Man får ikke differentialkvotienten af hvis man differentierer på begge sider af gange- prikken Begrund dette ved at udregne både ( ) og ()( ) Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for f ( ) g( ) Brug denne formel til at finde differentialkvotienten for Når resultatet reduceres, skulle det gerne give det samme som du fik før Kontrollér dette Find differentialkvotienten for funktionen 0,,6 +, 5 Opgave Diff Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for 1 Da 1 = 6 Brug dette og metoden fra ramme til at finde differen- b a b 6 a =, er c c 6 tialkvotienten for Slå op i en formelsamling eller en lærebog og find differentialkvotienten for f ( ) g( ) Brug denne formel til at finde differentialkvotienten for 6 Når resultatet reduceres, skulle det gerne give det samme som du fik før Kontrollér dette Hvilken brøk skal man gange 1 med hvis resultatet skal være lig 1? Brug dette og metoden fra ramme til at finde differentialkvotienten for 1 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

8 Opgave Diff 5 Ramme 8 Udtrykket "differentialkvotienten i " og symbolet f () Hvis f ( ) =, så er Om funktionen ) f ( ) = 6 f ( gælder 1) "Differentialkvotienten i " er "det tal som for " ) f () er "det tal som ) f () er "Differentialkvotienten i " 6 bliver når indsættes 6 bliver når indsættes for " ) f () er "hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat " Brug oplysningerne i ramme 8 til at løse følgende opgaver: a) For funktionen f ( ) = + skal du finde differentialkvotienten i b) For funktionen f ( ) = 5 skal du finde f () c) For funktionen f ( ) = 11 skal du finde hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet med -koordinat d) For funktionen f ( ) = skal du finde f () Find desuden et tal k som ikke er, så f ( k) = f () Opgave Diff 6 Brug metoder fra de foregående opgavers rammer til at løse følgende opgaver: a) En funktion f er givet ved f ( ) = + 15 Bestem f () b) Bestem f () når f ( ) = c) Bestem f ( 1) når f ( ) = + d) En funktion f er bestemt ved f ( ) = Bestem f () Bestem f () Hvilket tal skal indsættes for hvis f () skal blive? Kom i gang-opgaver til differentialregning Side af 15 5/8-0 Karsten Juul

9 Opgave Diff 7 Tallene i rammen er tilfældige og har ikke noget at gøre med figuren Ramme 9 Givet: punkt på linjen og dennes hældningskoefficient Find: ligning for linjen Hvis en linje har hældningskoefficienten og går gennem punktet P (, 5), så er ligningen y 5 = ( ) en ligning for linjen 1 Hvis en linje har hældningskoefficienten og går gennem punktet P (, 1), 1 så er ligningen y 1) = ( ) en ligning for linjen Osv ( Den krumme kurve på billedet er grafen for en funktion Den rette linje er en af tangenterne til denne graf Brug metoden fra ramme 9 til at finde en ligning for denne tangent Brug den ligning du har fundet, til at finde ud af hvor tangenten skærer y-aksen Kontrollér at dit svar passer med figuren På tangenten er der et punkt som har y-koordinaten 0 Brug den ligning du har fundet, til at finde dette punkts -koordinat Kontrollér at dit svar passer med figuren Reglen i ramme 9 er forklaret ved hjælp af to eksempler og et "osv" Hvis man i et af disse eksempler 1) erstatter tallene med bogstaver og ) skriver hvilke tal der må skrives på disse bogstavers pladser så får man en abstrakt formulering af reglen Skriv en abstrakt formulering af reglen Grafen skærer y-aksen i punktet A (0, 0,5) Grafens tangent i dette punkt har hældningskoefficienten 0, 9 Skriv en ligning for denne tangent Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 5 af 15 5/8-0 Karsten Juul

10 Opgave Diff 8 Den krumme kurve på billedet er grafen for funktionen 0, + Ramme 10 Givet: grafpunkts -koordinat Find: punktets y-koordinat Da 1) punktet P ligger på grafen for funktionen 0, + og ) -koordinaten for P er 0, 5 så kan man finde y-koordinaten for P ved at udregne det tal som 0, + bliver når 0, 5 indsættes for Altså er k = 0, 0,5 + 0,5 = 0, 5 Ramme 11 Givet: røringspunkts -koordinat Find: tangents hældningskoefficient Da 1) den viste linje er tangent til grafen for funktionen 0, + og ) røringspunktets -koordinat er 0, 5 så kan man finde linjens hældningskoefficient ved at 1) differentiere: ( 0, + ) = 0, + 1 og ) udregne det tal som 0, + 1 bliver når 0, 5 indsættes for Altså er a = 0, 0,5 + 1 = 0, 8 Et af punkterne på grafen har -koordinaten Dette punkt kalder vi Q Brug metoden fra ramme 10 til at finde y-koordinaten for Q Grafen har en tangent hvis røringspunkt er Q Denne linje kalder vi m Brug metoden fra ramme 11 til at finde hældningskoefficienten for m Brug metoden fra ramme 9 til at bestemme en ligning for linjen m Brug metoderne fra rammerne 9, 10 og 11 til at bestemme en ligning for den tangent hvis røringspunkt har -koordinaten 5 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 6 af 15 5/8-0 Karsten Juul

11 Opgave Diff 9 Den krumme kurve på billedet er grafen for funktionen + 0, 5 På grafens venstre gren ligger et punkt P som har y-koordinaten, 5 ( P er ikke vist) Ramme 1 Givet: grafpunkts y-koordinat Find: punktets -koordinat Da 1) P ligger på grafen for funktionen + 0, 5 og ) P har y-koordinaten, 5 så kan man finde -koordinaten for P ved at finde de tal der, når de indsættes for, får + 0, 5 til at blive, 5 Løsningerne til ligningen + 0,5 =, 5 er og Altså har P -koordinaten En af tangenterne til grafen har hældningskoefficienten, 5 Den rører grafen i et punkt som vi kalder Q (Hverken Q eller tangenten i Q er vist på billedet) Ramme 1 Givet: tangents hældningskoefficient Find: røringspunktets -koordinat Da 1) Q ligger på grafen for funktionen + 0, 5 og ) tangenten iq har hældningskoefficienten, 5 så kan man finde -koordinaten for Q ved at 1) differentiere: ( + 0,5) = ) finde de tal der, når de indsættes for, får til at blive, 5 Løsningen til ligningen =, 5 er, 5 Altså har Q -koordinaten, 5 Opgaven fortsætter på næste side! Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 7 af 15 5/8-0 Karsten Juul

12 Brug metoderne fra rammerne 1 og 1 til at finde de to tal som på billedet er kaldt s og t På grafens venstre gren ligger et punkt R som har y-koordinaten 0, 75 Brug metoderne i rammerne 1 og 11 til at finde hældningskoefficienten for grafens tangent i punktet R En linje med hældningskoefficient 6 er tangent til grafen i et punkt som vi kalder U Brug metoderne fra rammerne 1 og 10 til at finde koordinatsættet for U Opgave Diff 10 Ramme 1 Udtrykket "funktionsværdien i " og symbolet f () Hvis vi kalder funktionen for f ( ), så gælder 1) "Funktionsværdien i " er "det tal som bliver når indsættes for " ) f () er "det tal som bliver når indsættes for " ) f () er "funktionsværdien i " ) f () er "y-koordinaten til det punkt på grafen som har -koordinaten " I det følgende står *** for et eller andet regneudtryk med Vi kalder dette regneudtryk for g () Brug oplysningerne i ramme 1 til at skrive følgende sætninger i en ny udgave hvor det understregede er oversat til matematisk symbolsprog Hvis et punkt P ligger på grafen for *** og P har -koordinaten, så er y-koordinaten for P lig det tal som *** bliver når indsættes for Hvis røringspunktet for en tangent til grafen for *** har -koordinaten 1, så er røringspunktets y-koordinat det tal som *** bliver når 1indsættes for, da røringspunktet ligger på grafen Et punkt Q har -koordinaten 8 og ligger på grafen for en funktion h () Skriv med symboler koordinatsættet for Q Brug reglerne fra nogle af rammerne til for funktionen f ( ) = 7 at bestemme en, f () ligning for tangenten til grafen i punktet ( ) Brug computer til i samme koordinatsystem at få tegnet både grafen for f og linjen med den ligning du har fundet Kontrollér at linjen ser ud til at være tangent til grafen i det punkt hvis førstekoordinat er Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 8 af 15 5/8-0 Karsten Juul

13 Opgave Diff 11 Ramme 15 Givet: Grafen for f (ovenfor til venstre) Find: f () Vi skal finde differentialkvotienten f () Denne er lig hældningskoefficienten for tangenten i punktet med -koordinat 1) Denne tangent tegnes på øjemål så den passer bedst muligt med grafen omkring punktet med -koordinat (Se figuren ovenfor til højre) ) Derefter bestemmes tangentens hældningskoefficient: Koordinaterne til to punkter på tangenten aflæses: A (0, ) og B (5, 1,5) 1,5 Tangentens hældningskoefficient er = 0, Altså er f ( ) = 0, 5 En funktion g er givet ved grafen nedenfor Brug metoden fra ramme 15 til at finde g (0) Find det tal der skal indsættes for hvis g () skal blive 0 Brug en af oplysningerne i ramme 1 til at finde tallet g (0) Brug punkt ) i ramme 8 til at finde ud af hvilke tal man kan indsættes for hvis der skal gælde at g ( ) < 0? Definitionsmængden for g er intervallet ] 1,5 ;,5 [ Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 9 af 15 5/8-0 Karsten Juul

14 Opgave Diff 1 Billedet viser grafen for en funktion g () hvis definitionsmængde er ] ; ;5[ Brug punkt ) i ramme 1 til at finde tallet g (1), og til at finde ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at g ( ) < 0 Brug punkt ) i ramme 8 til at finde tallet g (0), og til at finde ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at g ( ) < 0 Funktionen g () er differentialkvotienten for en anden funktion som vi kalder h () Find ud af hvilke tal der kan indsættes for når der skal gælde at h ( ) > 0 Tegn grafen for en eller anden funktion f () som opfylder alle følgende betingelser: 1) f ( ) = 1 ) For ethvert tal mindre end gælder at når det indsættes for er f ( ) > 1 ) For ethvert tal større end gælder at når det indsættes for er f ( ) < 1 Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 10 af 15 5/8-0 Karsten Juul

15 Opgave Diff 1 Ramme 16 Givet: f () Gør rede for: f () er voksende eller aftagende i et interval Når en funktions differentialkvotient er positiv i et interval, så er funktionen voksende i intervallet, og når funktionens differentialkvotient er negativ i et interval, så er funktionen aftagende i intervallet Her er to eksempler: Da 1) har differentialkvotienten, og ) ] ;1[ er et interval, og ) bliver et negativt tal uanset hvilket tal fra ] ;1[ der indsættes for, kan sluttes at Da ) er aftagende i ] ; 1[ 1 1) + har differentialkvotienten +, og ) R er et interval, og ) + bliver et positivt tal uanset hvilket tal fra R der indsættes for, kan sluttes at 1 ) + er voksende i R Brug nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten for funktionen Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at er voksende i ] 1; [ Brug nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten for funktionen 1 Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at 1 er aftagende i R Når f () er funktionen 5 +, skal du bruge nogle af metoderne fra rammerne -7 til at finde finde f () Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at f () er voksende i R Vi vil nu undersøge en funktion som vi kalder g () Billedet nedenfor viser grafen for g () Da billedet ikke viser grafen for g (), kan metoden fra ramme 15 ikke bruges til at finde en differentialkvotient for g () Find differentialkvotienten g (,5 ) Brug metoden fra ramme 16 til at gøre rede for at g () er aftagende i intervallet ] 1; 7[ Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 11 af 15 5/8-0 Karsten Juul

16 Opgave Diff 1 Som bekendt er betingelsen for at en funktion er voksende, at uanset hvilke to punkter man vælger på grafen, så gælder at (*) det af punkterne der har den største -koordinat, har også den største y-koordinat På grafen for f er vist to punkter Vi ser at for disse to punkter gælder (*) Og vi ser at hvis vi vælger to andre punkter på grafen, så vil (*) også gælde for dem Altså er f () en voksende funktion selv om f () ikke er et positivt tal for enhver værdi af Brug punkt ) i ramme 8 til at finde det tal man skal indsætte for for at f () bliver 0 På grafen for g er vist to punkter Disse to punkter har samme y-koordinat, så g () er ikke en voksende funktion Da g () er 0 for alle tal i et interval, er g () ikke voksende Brug punkt ) i ramme 8 til at finde ud af hvilke tal man kan indsætte for når g () skal blive 0 Brug reglen i ramme 18 til at gøre rede for at funktionen intervallet ] ; 5] 1 f ( ) = 5 er aftagende i Brug reglen i ramme 17 til at gøre rede for at funktionen intervallet R 1 f ( ) = + er voksende i Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

17 Ramme 17 Givet: f () Gør rede for: at f () er voksende i et interval Hvis f () er et positivt tal eller 0 for enhver værdi af i et interval I, og f () er ikke 0 for alle tal i et interval der er en del af I, så gælder at f () er voksende i intervallet I Ramme 18 Givet: f () Gør rede for: at f () er aftagende i et interval Hvis f () er et negativt tal eller 0 for enhver værdi af i et interval I, og f () er ikke 0 for alle tal i et interval der er en del af I, så gælder at f () er aftagende i intervallet I Opgave Diff 15 Ramme 19 Givet: f () Gør rede for: Fortegn for f () Funktionen har differentialkvotienten 1 + 9, og ligningen = 0 har løsningerne 1 og Da differentialkvotienten kun kan skifte fortegn ved en værdi af hvor den er 0 eller ikke defineret, må den have samme fortegn for alle -værdier i intervallet ] 1; [, så da ligger i ] 1; [ og er som er negativ, må være negativ for enhver -værdi i ] 1; [ I ramme 19 undersøges funktionen Brug denne undersøgelse sammen med metoden fra ramme 18 at gøre rede for at funktionen er aftagende i intervallet [ 1; ] Som nævnt i ramme 19 har funktionen differentialkvotienten Brug metoden fra ramme 19 til at gøre rede for at differentialkvotienten bliver et positivt tal uanset hvilket tal fra intervallet ] ; [ der indsættes for Brug metoden fra ramme 17 til at gøre rede for at funktionen intervallet [ ; [ er voksende i Brug metoden fra rammerne 19 og 17 til at gøre rede for at funktionen voksende i intervallet ] ; 1] er Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

18 Ramme 0 Monotoniforhold Når der står at man skal finde monotoniforholdene for en funktion, så betyder det at man skal finde ud af hvor funktionen vokser, og hvor funktionen aftager Man kan bruge metoderne i rammerne til at finde monotoniforholdene (og til at begrunde at de er som man påstår) Facit kan skrives sådan: + er voksende i ] ; ], aftagende i [ ; 0] og voksende i [ 0; [ 1 Hvis en funktion er kaldt f (), kan facit skrives sådan: f er aftagende i ] ; 0[ og aftagende i ] 0; [ Opgave Diff 16 1 Lad f () betegne funktionen 8 Brug metoderne fra rammerne -7 til at finde differentialkvotienten f () Find løsningerne til ligningen f ( ) = 0 Brug metoden fra ramme 19 til at finde de værdier af hvor f () er positiv, og de værdier af hvor f () er negativ Læs ramme 0, og brug metoden fra rammerne 17 og 18 til at finde monotoniforholdene for f () Opgave Diff 17 Læs ramme 0, og bestem monotoniforholdene for funktionen f ( ) 1 = Brug computer til at få tegnet grafen for f () Kontrollér at de monotoniforhold du har angivet, er i overensstemmelse med grafen Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 1 af 15 5/8-0 Karsten Juul

19 Opgave Diff 18 En funktion f er givet ved f ( ) = 1 Bestem monotoniforholdene for f Bestem en ligning for den linje l som er tangent til grafen for f i punktet (, () ) Grafen for f har en anden tangent m der er parallel med l f Bestem koordinatsættet til røringspunktet for tangenten m Brug computer til i samme koordinatsystem at få tegnet både grafen for f, linjen med den ligning du har fundet, og punktet med det koordinatsæt du har fundet Kontrollér at de monotoniforhold du har fundet, er i overensstemmelse med figuren, at linjen ser ud til at være tangent til grafen i det punkt hvis førstekoordinat er, og at det fundne punkt ligger korrekt, herunder at det ser ud til at hvis man tegnede tangenten i punktet, ville den være parallel med l Kom i gang-opgaver til differentialregning Side 15 af 15 5/8-0 Karsten Juul

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Differentialkvotient bare en slags hældning

Differentialkvotient bare en slags hældning Differentialkvotient bare en slags hældning Et kort eksperiment som indledning til differentialregning Forfatter: Behrndt Andersen, Texas Instruments, behrndt@ti.com Matematisk område+niveau: Differentialregning

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx1-mat/a-170801 Fredag den 17. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx13-mat/b-1408013 Onsdag den 14. august 013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 13.00 STX091-MAB Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til de gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Erhvervsgymnasiet Grindsted Uddannelse HHx Fag og niveau Matematik B Lærer(e)

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere