Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tallet π er irrationalt Jens Siegstad"

Transkript

1 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser ([3]) Der skulle gå over 2 år før Aristoteles påstand blev bevist! I 1768 gav den schweiziske matematiker Johann Heinrich Lambert som den første et bevis for irrationaliteten af π Vi skal i denne artikel se det elegante bevis som den canadisk-amerikanske matematiker Ivan Niven gav i 1946 Sætning 1 Tallet π er irrationalt Bevis Antag for modstrid at π er rational Da kan vi finde naturlige tal a og b således at π a b Lad n være et naturligt tal, og definer funktionen f n : R R ved f n (x) xn (a bx) n Påstand 1 For ethvert n N og for < x < π gælder at < f n (x) sin(x) < πn a n Bevis Da x > har vi at bx >, og dermed har vi at < a bx < a, og således gælder at < (a bx) n < a n For < x < π gælder at < sin(x) 1 Ved at benytte disse uligheder finder vi at < f n (x) sin(x) < πn a n Famøs januar 213

2 Jens Siegstad 33 Påstand 2 Der gælder at π n a n for n Bevis Husk at den naturlige eksponentialfunktion har rækkefremstillingen e x x n n og ovenstående rækkefremstilling er gyldig for ethvert x R Vi har således at πn a n er det (n + 1) te led i den konvergente række e πa (πa) n n π n a n n og dermed har vi at πn a n for n Ved at benytte ovenstående observationer kan vi konkludere at integralet f n(x) sin(x) dx er positivt men mindre end π πn a n π n+1 a n som konvergerer mod for n ifølge Påstand 2 Vi vil i det følgende vise at vores antagelse om at π er rational medfører at dette integral er et heltal, hvorved vi opnår den ønskede modstrid Vi definerer nu funktionen F n : R R ved n F n (x) ( 1) i f n (2i) (x) i hvor f (j) n betegner den j te afledede af f n 22 årgang, nr 2

3 34 Tallet π er irrationalt Påstand 3 Funktionen x F n(x) sin(x) F n (x) cos(x) er en stamfunktion til x f n (x) sin(x), og der gælder at Bevis Vi finder at f n (x) sin(x) dx F n () + F n (π) ( F n (x) sin(x) F n (x) cos(x) ) F n (x) sin(x) + F n(x) cos(x) F n(x) cos(x) + F n (x) sin(x) sin(x) ( F n (x) + F n (x) ) Vi simplificerer nu F n (x) + F n (x) n n F n (x) + F n (x) ( 1) i f n (2i+2) (x) + ( 1) i f n (2i) (x) i i ( ) f n (2) (x) f n (4) (x) + f n (6) (x) + ( 1) n f n (2n+2) ( ) + f n (x) f n (2) (x) + f n (4) (x) + ( 1) n f n (2n) (x) f n (x) idet f n (2n+2) (x) da f er polynomium af grad 2n Dermed har vi at (F n(x) sin(x) F n (x) cos(x)) f n (x) sin(x) som ønsket Vi finder nu at som ønsket [ ] π f n (x) sin(x) dx F n(x) sin(x) F n (x) cos(x) F n () + F n (π) Famøs januar 213

4 Jens Siegstad 35 Påstand 4 Der gælder at f n (j) () og f n (j) (π) er et heltal for ethvert j N Bevis For at vise ovenstående omskriver vi udtrykket for f n ved at benytte binomialformlen: f n (x) xn (a bx) n ( ) xn n n a n j ( b) j x j j j 1 ( ) n n a n j ( b) j x j+n j j 1 ( ) 2n n a 2n j ( b) j n x j j n 1 jn 2n jn c j x j hvor c j ( ) n a 2n j ( b) j n j n Det ses af ovenstående at hvis vi differentierer f n mindre end n gange, fås et polynomium uden konstantled Dermed har vi at f n (j) () for j < n Hvis j > 2n, har vi at f n (j), og specielt har vi at f n (j) () Differentierer vi f n j gange hvor n j 2n, fås netop ét konstantled, og heraf følger det at f n (j) () er lig med dette konstantled Vi finder at f n (j) () j!c j, og da j n, er dette tal et heltal For at vise at f n (j) (π) er et heltal, får vi behov for 22 årgang, nr 2

5 36 Tallet π er irrationalt følgende identitet Lad x R Da a bπ har vi at Heraf følger det at f n (x) f n (π x) for alle x R (1) f n (x) xn (a bx) n xn (bπ bx) n (bx)n (π x) n f n (π x) (b(π x))n (π (π x)) n ( ( n b a b x))n x n xn (a bx) n f n (x) og dermed har vi vist (1) Ved gentagen anvendelse af kædereglen er det rasende nemt at vise atf n (j) (x) ( 1) j f n (j) (π x) Dermed er f n (j) () ( 1) j f n (j) (π), og heraf følger at f n (j) (π) ligeledes er et heltal for ethvert j N Påstand 1 giver at der findes et n N således at < f n (x) sin(x) dx < 1 Famøs januar 213

6 Jens Siegstad 37 Af påstand 4 samt definitionen af F n, følger det at F n () og F n (π) er heltal Dermed har vi at f n (x) sin(x) dx F n () + F n (π) er et heltal, og dermed har vi den ønskede modstrid Vi kan således konkludere at π er irrationalt Litteratur [1] Dan Beltoft og Klaus Thomsen Talfølger og -rækker Introduktion til Matematisk Analyse Aarhus Universitet 21 [2] Ivan Niven A simple proof that π is irrational Bulletin of the American Mathematical Society 53 (6) pp 59 [3] Martin Aigner, Günter M Ziegler Proofs from THE BOOK, Springer, Fourth Edition årgang, nr 2

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

God sommer fra Famøs-redaktionen!

God sommer fra Famøs-redaktionen! FAMØS God sommer fra Famøs-redaktionen! I sommerferien har redaktionen planlagt at: hyrde køer, sætte tibetanske bedeflag op, nyde en kold øl, danse til den tidlige morgen, tage til Copenhagen Jazz Festival,

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Et katalog over paradokser

Et katalog over paradokser Et katalog over paradokser Hans Hüttel Oktober 2009 Øen i søen har kun én barber Til gengæld så klipper han alt hvad han ser Han klipper sin fætter, sin hund og sit får Han klipper billetter, når færgerne

Læs mere

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse 0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................

Læs mere

Ledige kommer i arbejde, når der er job at få

Ledige kommer i arbejde, når der er job at få Ledige kommer i arbejde, når der er job at få Langtidsledige har markant nemmere ved at finde arbejde, når beskæftigelsen er høj. I 08, da beskæftigelse lå på sit højeste, kom hver anden langtidsledig

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Eudaimonia som moderne lykkebegreb

Eudaimonia som moderne lykkebegreb Asger Abel Sørensen Susanne Nørregård Christensen Eudaimonia som moderne lykkebegreb Filosofi & Vidensekabsteori Eudaimonia som Moderne Lykkebegreb Asger Abel Sørensen Susanne Nørregård Christensen Vejleder:

Læs mere