Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit"

Transkript

1 Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer man en oval? Og hvordan konstruerer man det gyldne snit?. Anvisninger på, hvordan det klares med passer og lineal, vises i denne artikel. I foråret 2008 skulle jeg som matematiklærer på en studietur til Rom, og opgaven var derfor at knytte noget matematik sammen med kunst eller arkitektur. Man får let tusindvis af hits, hvis man søger på ordene: Matematik, arkitektur og Rom (på dansk eller engelsk). Mindst lige så mange, som hvis man erstatter matematik med mystik og endda en del gengangere! Alle referencer inklusive et par fra LMFKbladet er dog fortrinsvis beskrivende, med kun meget lidt af det, som jeg på trods af to reformer af gymnasiet og folkeskolen stadig opfatter som dækkende for begrebet matematik. Mine valg af emner blev: Det gyldne snit og konstruktion af geometriske ovaler, da begge disse to emner, kan behandles ved konstruktionsgeometri. Konstruktion med passer og lineal, har ellers været forsvundet fra matematikundervisningen i mere end 30 år. Lidt synd måske, idet det netop var denne slags opgaver, som vakte min interesse for matematik i mellemskolen. I gymnasiet fyldte konstruktionsopgaverne stadig en del af den skriftlige prøve. De skriftlige prøver var naturligvis uden andre hjælpemidler end logaritmetabellen. De 103 matematiske formler måtte man altså bare kunne. Herons formel var for en del år tilbage genstand for mange artikler i LMFK-bladet, dog uden at det meget udspekulerede bevis, som afsluttede min lærebog i geometri for mellemskolen, nogensinde blev nævnt. Det gyldne snit har i de senere år fået en for mig uforståelig høj placering i matematikundervisningen. Især da man aldrig finder Euklids konstruktion og kun sjældent en udledning af den eksakte værdi =1,618. Som jeg plejer at sige til mine elever: Tallet er så nemt at huske, fordi trediveårskrigen som bekendt varede fra A-hva? Dan Brown omtaler i sine bøger 1,618 som et guddommeligt tal. Gudfaderbevares en bonderøv. Selvfølgelig kan en snusket, tilnærmet decimalbrøk ikke være guddommelig. Ovaler har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Der findes ovaler, f.eks. Cassinis, Descartes og Lamés ovaler, som kan beskrives som geometriske steder. Det, som man i almindelighed omtaler som oval, og som man genfinder i talrige renæssance bygninger, er imidlertid ikke et geometrisk sted på samme måde, som det gælder for keglesnittene. Tværtimod er en oval sammensat af to par cirkelbuer med forskellige radier. Geometriske ovaler I litteraturen kan man finde adskillige sindrige metoder med en em af gotisk mystik til at konstruere bestemte ovaler. Fra et matematisk synspunkt, hviler konstruktionen af en oval imidlertid på et aldeles trivielt faktum. Hvis man skal sammensætte to cirkelbuer med radier r 1 og r 2 til et differentiabelt kurvestykke, må centrene for de to cirkler nødvendigvis ligge på samme radiale linie til sammenstykningspunktet. De to cirkelbuer vil nemlig have en fælles tangent i dette punkt. Dette er til gengæld tilstrækkeligt grundlag for at tegne en vilkårlig oval. Nedenfor er vist tre figurer, som fører frem til konstruktionen af en oval. I den første figur er to cirkelbuer med centre på samme radiale linie forbundet til en differentiabel kurve. Når man skal tilføje det andet (symmetriske) sammenstykningspunkt, så skal radien r 2 af den lille cirkel være uforandret, og dets centrum skal ligge på en linie, som går gennem centrum C 1 for den store cirkel. Dette vil imidlertid være opfyldt for en vilkårlig linie, som går gennem C 1. Tegnes en sådan linie og tegnes den anden lille cirkelbue ud fra S 2, har man konstrueret en halv oval. 18 LMFK-bladet, nr. 1, januar 2009

2 For at tegne hele ovalen skal man blot konstruere den symmetriske 2. halvdel ved at gentage konstruktionen med to linier, der ligger symmetrisk med 1. aksen. Ud fra den 3. figur kan man nu indse, at man kan konstruere en vilkårlig oval ved først at tegne en rombe og forlænge siderne i to modstående vinkelspidser. Rombens hjørner er centrum for de 4 cirkelbuer, mens diagonalerne i romben er ovalens symmetrilinier. Radierne kan vælges vilkårligt, blot skal radius for den store cirkelbue være større end siden i romben. Ud fra figuren til højre kan man bestemme et udtryk for den halve storakse og lilleakse i en oval: a = r 2 + (r 1 r 2 ) cos(v) og b = r 1 (r 1 r 2 ) sin(v) For øjet er det næsten umuligt, at skelne en oval fra en ellipse. Når ovaler er brugt i arkitektur og udsmykning, er det oftest fordi, man ud fra den samme rombe, kan tegne (uendelig mange) koncentriske ovaler, hvilket er vist med et eksempel ovenfor. Det er derimod umuligt at tegne koncentriske ellipser, hvilket kan være en mulig årsag til at grundplanen for arenaer fra oldtiden ofte er en oval og ikke en ellipse. Peterspladsen i Rom er et af de kendeste eksempler på en oval form. På pladsen har man bygget to koncentriske søjlerækker. Befinder man sig i et af de to centre for ovalen, ses kun en søjlerække. S 2 S 2 S 3 C 2 C 2 C 1 r 2 r 1 S 1 C 2 C 1 C 1 C 1 r 2 r 1 S 1 v v C 2 r 2 r 1 S 1 S 4 Det gyldne snit Det gyldne snit er betegnelsen for det at dele et liniestykke i to stykker a og b, som opfylder relationen: a_ b = a + a b A a Dette kan omskrives til a_ b = 1 + b_ a. Sætter man forholdet a_ b = x, vil det gyldne snit opfylde ligningen: C b B x = 1 + 1_ x x 2 x 1 = 0 x = 1 ± 5 2 Forholdet mellem de to stykker, der deler liniestykket er derfor: a_ b = x = Den geometriske deling af et liniestykke i det gyldne snit er ikke helt ligetil. Konstruktionen på næste side kan føres tilbage til Euklid. Liniestykket betegnes AB. Uden indskrænkning, sætter vi AB = 2. LMFK-bladet, nr. 1, januar Matematik

3 E 5-1 Vi udregner da forholdet: AC CB = 5 1 ( 5 1)(3 + 5 ) 3 5 = (3 5 )(3 + 5 ) = = = Matematik A D 1 I punktet A oprettes en normal til AB, og man afsætter nedad stykket 1. Endepunktet for liniestykket betegnes D. ΔABD er retvinklet med kateterne 1 og 2. Vi finder derfor BD = = 5. Med centrum i D og radius 5 tegnes en cirkel. Punktet, hvor cirklen skærer normalen i A, betegnes E. Det ses, at AE = 5 1. Med centrum i A og radius AE tegnes en cirkel. Skæringspunktet med AB betegnes C. Påstanden er, at C deler AB i det gyldne snit AC = AE = 5 1 følgelig er CB = 2 AC = 3 5. b 2 5 k 144 k 72 C 3 5 a B som ses, at give det gyldne snit. Det gyldne snit dukker op i utallige mere eller mindre tilnærmede og spekulative sammenhænge. Geometrisk kan man vise, at to diagonaler i en femkant deler hinanden eksakt i et forhold, som er det gyldne snit. Siden i en femkant er en korde, der spænder over en vinkel på 72 i den omskrevne cirkel. Ifølge kordeformlen: v_ k = 2 R sin( 2 ) er siden: k 72 = 2R sin(36 ). En diagonal i femkanten spænder over 144, og følgelig er længden af diagonalen: k 144 = 2 R sin(72 ). En diagonal i en femkant er på grund af symmetrien parallel med den modstående side. De to viste trekanter er hermed ensvinklede, så forholdet mellem k 144 og k 72 er det samme som forholdet mellem stykkerne a og b. a_ b = k 144 k 72 a_ b = 2 R sin(72 ) 2 R sin(36 ) = cos(90 72 ) sin(36 ) = 1 = 2 sin(18 ) cos(18 ) 2 sin(18 )cos(18 ) Vi har ovenfor anvendt formlen: sin(2v) = 2 sin(v) cos(v). Imidlertid er sin(18 ) = kendt fra udledningen af udtrykket for korden k 10, altså korden i en regulær 10-kant. Indsættes dette finder man a_ b = k 144 k 72 1 = 2 sin(18 ) = ( 5 + 1) = ( 5 1)( 5 1) = 2( 5 + 1) 5 1 = altså det gyldne snit. 20 LMFK-bladet, nr. 1, januar 2009

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Workshop i Grafer og Geometri

Workshop i Grafer og Geometri Workshop i Grafer og Geometri Indholdsfortegnelse: 1. Øvelser i plangeometri side 1 Elementære geometriopgaver (C) side 1 Vejledende eksamensopgaver (B/A) side 4 Eksempler på projektopgaver i plangeometri

Læs mere

Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29. Bjørn Grøn. (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen)

Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29. Bjørn Grøn. (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen) Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29 Bjørn Grøn Fra græsk geometri til moderne algebra (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen) INDHOLD Oprindelsen... 2 Påvirkninger

Læs mere

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

VUC Aarhus Sådan skriver du SSO i fagene

VUC Aarhus Sådan skriver du SSO i fagene VUC Aarhus Sådan skriver du SSO i fagene Indhold Den større skriftlige opgave s.2 Forberedelse til SSO opgaven s.2 SSO i historie s.4 SSO i dansk. s.7 SSO i matematik. s.10 SSO i naturvidenskabelige fag.

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse 0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS Software version 2.1 introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS introduktion og eksempler Copyright 2010 by Texas Instruments Denne PDF-fil er gratis og må frit bruges til undervisningsformål.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Materialet er udarbejdet af Brian Olesen med assistance fra Bjørn Felsager. Dynamiske geometriprogrammer Dynamisk

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere