Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
|
|
- Karla Thomsen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre matematiske begreber. F.eks. kunne man måske sige, at tallet 1 var det objekt, der repræsenterede antallet af næser, du har (hvis vi antager, at du er et nogenlunde normalt menneske); eller hvis man er til mængdelære, ville man måske definere 1 som { }. Men begge disse metoder beskriver blot tallet 1 med hhv. kardinaliteter og mængder. Er det ikke muligt, at definere hvad et tal er uafhængigt af anden matematik? Dette er, hvad matematikeren og filosoffen Gottlob Frege ( ) ville prøve at give sig i kast med. Nærmere betegnet ville han gerne kunne definere alle de naturlige tal udelukkende ved brug af logik 3. Han fik opbygget en yderst elegant og intuitiv teori, som dog senere hen blev angrebet og endte ud i, at han opgav teorien fuldstændigt - dette ledte dog andre filosoffer, såvel som matematikere, til at videreudvikle hans idéer. Vi vil her vise, hvordan hans teori så ud, og hvad der fik hele fundamentet til at smuldre. Først og fremmest skal vi lige have et par småting på plads for at kunne forstå definitionerne. Et begreb er ment som en grundlæggende tanke omkring beskrivelsen af objekter - f.eks. er at være rød et begreb, da dette kan bruges til at beskrive røde objekter. Derudover siger vi, at et objekt falder ind under et begreb, hvis objektet bliver beskrevet af begrebet - med ovenstående eksempel kan vi så sige, at jordbær falder ind under begrebet at være rød. 3 Egentlig havde han til mål at dække al matematik, men han startede nu engang beskedent ud med tal.
2 Dan Saattrup Nielsen 13 Frege definerer så, at tallet 0 dækker over et begreb, hvis det, lige meget hvad a er, altid holder, at a ikke falder ind under begrebet. Altså hvis begrebet eksempelvis er menneske uden hjerne, så for at et objekt kan falde under et sådan begreb, kræver det, at objektet er et menneske og ikke har en hjerne. Men da et sådant objekt ikke eksisterer (håber jeg stærkt på), vil det derfor gælde, at tallet 0 dækker over menneske uden hjerne. Bemærk, at vi ikke har defineret hvad tallet 0 er, men kun hvad dette mystiske objekt dækker over. Herfra definerer han så rekursivt, at tallet (n + 1) dækker over et begreb F, hvis der findes et objekt a, som falder ind under F, og at tallet n dækker over begrebet falder ind under F, men er ikke identisk 4 med a - for at forstå dette en smule bedre vil vi forsøge at definere 1. Lad os starte med begrebet F som værende er eiffeltårnet i Paris. For at 1 kan dække over dette begreb, skal der først og fremmest findes et objekt, som falder ind under det; det overlades som en øvelse til læseren. Dernæst skal tallet 0 dække over begrebet falder ind under F men er ikke identisk med eiffeltårnet i Paris, som, ved at indsætte begrebet F, bliver til falder ind under er eiffeltårnet i Paris, men er ikke identisk med eiffeltårnet i Paris. Da der ikke findes nogen objekter, som falder ind under dette begreb, dækker 0 per definition over det; altså dækker 1 over F. For at have en definition af tallene selv og ikke bare hvad de dækker over, definerer han, at n er et tal, hvis og kun hvis at der findes et begreb, som n dækker over. Altså er tallene defineret! Der er blot et lille problem. Disse definitioner lægger op til, at der findes mange forskellige former for 0, 1 osv. Da dette bliver 4 Frege bruger identisk, som værende at man kan udskifte de to med hinanden uden at ændre sandhedsværdien. 23. årgang, nr. 1
3 14 Hvad er et tal? noget bøvl, vælger Frege at definere 0 som tallet, der dækker over begrebet ikke lig med sig selv og (n + 1) til at være tallet, som dækker over begrebet lig med n. Tjek at denne definition faktisk er et specialtilfælde af den foregående! Nu kunne man komme til at tro, at vi var færdige. Men alt, hvad vi har gjort, er at definere en hulens masse. Jovist, vi har retfærdiggjort en eksistens af disse objekter, som vi tillader os at kalde for tal. Men for at det virkelig er tal, så kræver det, at de opfører sig, som vi forventer, at tal nu engang gør. Men hvordan kan vi overhovedet sige, hvornår at et tal er lig med et andet tal? Hvordan ved vi at 1 er større end 0? Hvad er 1 + 1? Han lagde ud med at besvare identitetsspørgsmålet, ved at tillade Humes princip som et logisk aksiom: Definition 1 (Humes princip) For alle begreber F, G, gælder det, at tallet, der dækker over F, er identisk med tallet, der dækker over G, hvis og kun hvis der er en en-til-en korrespondance imellem objekterne, som falder under F og G. Dette viste sig dog at skabe komplikationer, for dette princip skabte, hvad der bliver kaldt for Cæsar-problemet - som egentlig blot er, at princippet ikke kan svare på, om tallet, dækkende over et begreb F, er identisk med Julius Cæsar. Et fjollet spørgsmål kunne man måske tænke, men humlen ligger i, at princippet ikke kan sammenligne tal, der dækker over et begreb og andre objekter, der ikke nødvendigvis falder indenfor denne kategori. Frege var ikke tilfreds. Hans løsning var at erstatte Humes princip med noget bedre, som, han besluttede, skulle handle om udvidelser af begreber. En udvidelse af et begreb skal ses som et objekt, der indeholder alle de objekter, der falder under begrebet. Altså kan man vælge
4 Dan Saattrup Nielsen 15 at se det som en slags mængde af objekter, uden at det direkte har noget med mængdelære at gøre. Hans formulering af hans erstatning blev kaldt det originale navn Basic Law V : Definition 2 (Basic Law V) For alle begreber F, G, gælder det, at udvidelsen af F er identisk med udvidelsen af G, hvis og kun hvis det for alle objekter a gælder, at a falder under F, hvis og kun hvis a falder under G. For at dette havde relevans til tal, redefinerede han hans definition af tal, til at et tal dækker over et begreb F, hvis og kun hvis tallet er en udvidelse af begrebet har en en-til-en korrespondance med begrebet F. Igen er n et tal, hvis og kun hvis der er et begreb, som n dækker over. Dette er hvad, der senere hen skabte problemer for Frege - men inden vi blot frastøder hans idéer, så kan vi lige se, hvordan han brugte dette til at vise, at der var uendelig mange naturlige tal. Med identitetsproblemet fikset ville Frege nu finde en logisk måde at repræsentere tallenes orden; han besluttede at benytte følger. Han definerede, at n direkte følger m i følgen af naturlige tal, hvis og kun hvis der er et begreb F og et objekt x faldende under F, så tallet, som dækker over begrebet F, er n, og at tallet, som dækker over begrebet falder under F men er ikke identisk med x, er m. Det er en lille mundfuld, men det fanger dog den intuitive fornemmelse af dét at direkte følge efter noget andet. Fra dette kunne han så let bevise at Dermed kunne han definere n + 1 som værende det tal, som direkte følger n i følgen af naturlige tal, hvilket medfører at = 2, da tallet 2 dækker over begrebet lig med 1. 5 Altså at 0 < 1 og intet naturligt tal findes imellem de to. 23. årgang, nr. 1
5 16 Hvad er et tal? Hans sidste udfordring var at definere, at der findes uendelig mange naturlige tal. Selvfølgelig havde han ikke induktion til rådighed, da han arbejder nede på det grundlæggende niveau, så han måtte komme på andre idéer. Han formulerede sætningen som Sætning 3 Tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal, sluttende med n, følger n direkte i følgen af naturlige tal. Beviset giver han kun en kort skitse af, da det ellers would take us too far afield. Et af lemmaerne, der skal bruges til beviset, er Lemma 4 Hvis a direkte følger d i følgen af naturlige tal, og hvis tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med d, direkte følger d i følgen af naturlige tal, så gælder det, at tallet, som dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med a, direkte følger a i følgen af naturlige tal. Til at bevise dette skal det bl.a. vises, at a er tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal, men er ikke lig med a, og for at bevise dette skal det vises, at dette begreb har den samme udvidelse som begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med d. Til at vise dette skal det først bevises, at intet endeligt 6 objekt kan følge sig selv i følgen af naturlige tal. Ja, det samlede bevis bliver ret langhåret. Efter alt dette kunne han dog definere det første uendelige tal ℵ 0 7 som tallet, der dækker over begrebet er et endeligt tal. 6 Han definerer endelige tal som tal, der tilhører følgen af naturlige tal begyndende med 0. 7 Han brugte notationen 1, men her er brugt den moderne notation.
6 Dan Saattrup Nielsen 17 Frege kom igennem hele det ovenstående bevis og fik bevist, at der er uendeligt mange tal og vigtigere, at tallene kunne defineres logisk (han mente også, at Basic Law V var selvindlysende logisk). Ni år senere, i år 1902, fik Frege et brev fra Bertrand Russell. I dét fremlagde Russell et paradoks, som han lige havde opdaget - et paradoks, som nu kaldes Russells paradoks: Lad R være begrebet, der dækker over et objekt x, hvis og kun hvis der er et begreb F, sådan at x er udvidelsen af F, og at x ikke falder under F. Lad nu r være udvidelsen af R og antag at r falder under R. Da findes der et begreb F, så r er udvidelsen af F, og r ikke falder under F. Jf. Basic Law V falder r heller ikke under R, modstrid. Altså må r ikke falde under R. Dermed findes der et begreb F (nemlig R), så r er udvidelsen af F, og r ikke falder under F. Men per definition af R betyder dette, at r falder under R, modstrid. Dermed er Basic Law V inkonsistent. Frege sendte et høfligt brev tilbage til Russell, hvori han nævnte, at Russells opdagelse var ekstraordinær, og vil betyde en masse fremskridt indenfor logikken, men at det desværre også gjorde, at hele Freges arbejde gik til grunde. Efter dette forsøgte Frege at redde, hvad han kunne, men han endte med at opgive hele projektet. Russell tog dog faklen op og konstruerede hans egen teori fra bunden, kaldet typeteori, hvor han undgik disse problemer. Der forskes stadig i typeteori den dag i dag som et fundament for al matematik. Hans teori bruger dog aksiomer, som ikke kan retfærdiggøres ud fra logik alene, så Freges forsøg på at opbygge al matematik ud fra logik er i stedet blevet genoptaget af nylogicismen, som går tilbage og begynder fra Humes princip igen. Disse nylogicister 23. årgang, nr. 1
7 18 Hvad er et tal? findes stadig i dag - så hele ånden i at logikken må ligge som et grundfundament lever stadig. Litteratur [1] Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau, Oversat af Michael S. Mahoney. [2] Shapiro, Stewart. Thinking about mathematics: the philosophy of mathematics. Oxford University Press, 2000.
Den sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereMatematikkens fundament i krise
Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970
Læs mereDM13-1. Obligatorisk opgave E.05. Jacob Aae Mikkelsen
DM13-1. Obligatorisk opgave E.05 Jacob Aae Mikkelsen - 191076 26. september 2005 Indhold Analyse af problemstillingen........................ 2 Spørgsmål 1................................. 3 Spørgsmål
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereSANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives
SANDELIG! STAKKELS PLUTO I 1930 opdagede en astronom fra den amerikanske delstat New Mexico et ganske lille objekt. Ved nærmere efterforskning viste det sig at bevæge sig i en bane omkring solen, der lå
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDen matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen
Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010 Asger Haugstrup Helene Juncher Søren Frejstrup Grav Petersen Mikkel Nichlas Rauf Rasmus Sylvester Bryder Indhold 1 Problemformulering 2 2 Indledning 2 3 Logicisme
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013 SuperSune: Præmieopgaveløseren af stål Redaktion Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar,
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereArgumentationsanalyse
Navn: Jan Pøhlmann Jessen Fødselsdato: 10. juni 1967 Hold-id.: 4761-F14; ÅU FILO Marts 2014 Åbent Universitet Københavns Universitet Amager Filosofi F14, Argumentation, Logik og Sprogfilosofi Anvendte
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereQuaternioner blev første gang beskrevet
vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik
, september 2013 Oplag: 400 stk. ISSN: 1903-2722 Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø http://www.math.ku.dk/famos/ Famøs er et internt
Læs mereEksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation
Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereModellering. Matematisk undersøgelse af omverdenen. Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden.
Modellering Matematisk undersøgelse af omverdenen. 1 Modellering hvad? Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden. Matematisk modellering omfatter noget udenfor
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereVtMat-projekt. Mette Engelbrecht, Kim Pedersen, Morten Hornbech og Jerôme Baltzersen. Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
Mette Engelbrecht, Kim Pedersen, Morten Hornbech og Jerôme Baltzersen Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Torsdag den 4. januar 2007 1 Problemformulering I denne opgave vil vi beskæftige
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mere5 hurtige til de voksne
16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereUndersøgelser i nyere geometri
Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,
Læs mereThomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005
Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs merehttp://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6
Fortællingen som tilgang til matematik Spørger man manden på gaden, eller vore elever for den sags skyld, vil de typisk opfatte mennesket som et fornuftsvæsen, dvs. mene, at vi i bund og grund er styret
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereGuide til lektielæsning
Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen
Læs mereModul 2: Udkast til undervisningsdesign Lena Smedegaard og Begitte Hauge Cluster 4
Modul 2: Udkast til undervisningsdesign Lena Smedegaard og Begitte Hauge Cluster 4 Hvad er vores udfordring Under overskriften Partnerskab for fremtiden søsatte Herning Kommune i 2009 en vision for entreprenørskabsundervisningen
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMeditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInformationssøgning. Målret din søgning skriv bedre opgaver få en bedre karakter. Henning Lorentzen Pædagogisk IT-koordinator
Informationssøgning Målret din søgning skriv bedre opgaver få en bedre karakter Henning Lorentzen Pædagogisk IT-koordinator Hvordan kommer jeg i gang Sæt tid af, 5 minutter er ikke nok Begynd med det du
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereDen sene Wittgenstein
Artikel Jimmy Zander Hagen: Den sene Wittgenstein Wittgensteins filosofiske vending Den østrigske filosof Ludwig Wittgensteins (1889-1951) filosofi falder i to dele. Den tidlige Wittgenstein skrev Tractatus
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKæmpestore tal og uendelig
Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereQuestion Question Type % of Respondents Submitting. Details 1 Multiple Select 100% Details 2 Multiple Select 100% Details 3 Multiple Select 100%
Survey Results Survey: Grammatikkursus 2002 Switch to: View by respondent 73 respondents took this survey Question Summary Question Question Type % of Submitting Details 1 Multiple Select 100% Details
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereVejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division
Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mere