NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

Transkript

1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales ved større ændringer. Det er ikke tilladt at yde eller modtage hjælp til besvarelsen af opgaven. Det er ikke tilladt eksaminanderne på nogen måde at kommunikere med hinanden om noget som helst fra opgaven udleveres og indtil afleveringsfristen er udløbet. Opgaven udleveres fra Mette Jensens kontor ( B) fra torsdag 1. juli kl 11:00 og kan samtidigt hentes elektronisk på kursushjemmesiden. Besvarelsen afleveres samme sted eller på sekretariatet senest fredag 2. juli kl 11:00. Alternativt kan besvarelsen afleveres i den hvide postkasse ved sekretariatet. Derimod kan besvarelsen ikke afleveres elektronisk ved denne eksamen. Besvarelser, der afleveres for sent, vil blive bedømt til 0 point. Besvarelsen skal mærkes med eksamensnummer. Data til opgave 4 findes som tekstfil via kursets Absalonside. Bemærk at alle eksaminander benytter det samme datamateriale. I sættet er der = 16 delopgaver, der gives samme vægt ved bedømmelsen. Sættet indgår i den endelige karakter med vægten 80%. 1

2 Opgave 1 En reel stokastisk variabel X er Burr-fordelt med eksponent 2 hvis den har tæthed 2 α x f α (x) = for x > 0, (1) (1 + x 2 ) α+1 med hensyn til Lebesguemålet på den reelle akse. Her er α > 0 en ukendt parameter. Spørgsmål 1.1. Vis at familien af sandsynlighedsmål med tæthed (1) med parameter α > 0 er en eksponentiel familie og angiv den kanoniske stikprøvefunktion, den kanoniske parameter og det kanoniske parameterområde. Find middelværdi og varians af den kanoniske stikprøvefunktion. Lad nu X 1,...,X n være uafhængige, identisk fordelte stokastiske variable med fordeling givet ved (1) med ukendt parameter α. Spørgsmål 1.2. Find middelværdien af Y i = 1/(1 + Xi 2 ) for i = 1,..., n, og konstruer en momentestimator for α baseret på gennemsnittet Y = 1 Y i. n Gør rede for at denne momentestimator er konsistent. Spørgsmål 1.3. Find maksimum likelihood estimatoren ˆα for α. Spørgsmål 1.4. Gør rede for at maksimum likelihood estimatoren for parameterfunktionen φ(α) = 1/α er central. Undersøg om den er variansminimal. Spørgsmål 1.5. Opstil kvotientteststørrelsen for hypotesen H 0 : α = α 0 for en vilkårlig værdi af α 0 > 0. Vis at kvotienttestet er ævkivalent med et tosidet test, baseret på teststørrelsen ˆα/α 0. 2

3 Opgave 2 Lad X N 3 (0, Σ) hvor Σ = Spørgsmål 2.1. Find fordelingen af BX hvor [ ] B = Afgør om BX er regulært eller singulært normalfordelt. Spørgsmål 2.2. Vis at der findes en vektor v R 3 \ {0} så v T X = 0 med sandsynlighed 1. Spørgsmål 2.3. Gør rede for at der findes vektorer u, w R 3 så X har samme fordeling som uy 1 +wy 2, hvor Y 1 og Y 2 er uafhængige standardnormalfordelte reelle stokastiske variable. Opgave 3 Lad X 1,...,X n, X n+1,...,x 2n være uafhængige reelle stokastiske variable med fordeling giver ved X i N(α + β 1 t i, σ 2 ), X n+i N(α + β 2 t i, σ 2 ) for i = 1,..., n Spørgsmål 3.1. Gør rede for at den angivne model for (X 1,..., X 2n ) er en generel lineær model. Opstil designmatricen og skitser middelværdistrukturen (enten med en tegning eller med ord). Antag at kovariaterne t 1,...,t n opfylder at n t i = 0. Indfør forkortelserne SS t = t 2 i, SP 1 = t i X i, SP 2 = t i X n+i. 3

4 Spørgsmål 3.2. Find udtryk for estimatorerne for parametrene i modellen og angiv deres simultane fordeling. Udtryk estimatorerne ved hjælp af de angivne forkortelser. Spørgsmål 3.3. Opstil en teststørrelse for et test af hypotesen H 0 : β 1 = β 2 og angiv fordelingen af denne teststørrelse under hypotesen. Opgave 4 I et eksperiment interesserer man sig for hvordan harskning af kød afhænger af den behandling kødet får. En række kødstykker udsættes for én af tre behandlinger (for nemheds skyld kaldet A, B og C) og placeres i et kølehus ved henholdsvis 1 o C ( koldt ) og 3 o C ( varmt ). Efter en 48 timer måles det såkaldte LBTA-tal: jo højere LBTA-tal jo mere fremskreden er harskningen. Datamaterialet er anført til sidst i opgaven, sammen med visse hjælpestørrelser. Datamateriale er også tilgængeligt fra kursets Absalon-side. Vi antager i det følgende at de målte LBTA-tal kan ses som realisationer af uafhængige, normalfordelte stokastiske variable med samme varians σ 2 og med en middelværdi der potentielt afhænger af behandlingen og opbevaringstemperaturen. Vi indicerer observationerne ved mængden I, og betragter to faktorer: Behandling : I {A, B, C} Temperatur : I {Kold, V arm} Spørgsmål 4.1. Gør rede for at de to faktorer er geometrisk ortogonale og opstil en passende statistisk model for data. Spørgsmål 4.2. Undersøg om der er en signifikant vekselvirkning mellem de to faktorer. Spørgsmål 4.3. Undersøg dernæst om der er en signifikant forskel på de to opbevaringstemperaturer, og opstil et 95%- konfidensinterval for forskellen. Test endelig om behandlingsmetoden påvirker harskningen. 4

5 Spørgsmål 4.4. Estimer parametrene i den model du nu er nået frem til og angiv deres simultane fordeling. Spørgsmål 4.5. De to behandlinger A og B er tæt beslægtede, hvorimod behandling C er af en helt anden natur. Dermed kan det tænkes at behandling A og B virker ens. Opstil og test denne hypotese. Data: A B C Sum Kold Varm Sum Kvadratsummer: Faktor I Beh Temp Behandling Temperatur 1 SS