Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen

Transkript

1 Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger P l h l P h Første højdeforskel, h, er nivelleret over en strækning l Den tilhørende stokastiske variabel har varians l σ k, hvor σ k er kilemeterspredningen Variansen for h er større og målinger er dermed værre Spørgsmål: Hvordan kombinerer vi bedst gode og dårlige målinger af samme størrelse? /9 /9 Vægtet model Vægtrelationen Vi har n uafhængige målinger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målinger er ikke nødvendigvis af samme kvalitet Fx kan visse målinger være behæftet ved flere fejlkilder end andre, nogle kan være målt flere gange, etc Som tidligere er x,, x n realisationer af stokastiske variable X,, X n, hvor E(X i ) µ i og Var(X i ) σi, hvor σ i erne ikke nødvendigvis er ens Hver måling, x i, gives en vægt p i > 0, som afspejler kvaliteten af målingen desto højere vægt desto bedre måling Hver måling, x i, gives en vægt p i > 0, som afspejler kvaliteten af målingen desto højere vægt desto bedre måling Hvordan skal vægtene vælges? En måde (og den bedste) er at vægtene i overensstemelse med vægtrelationen: Definition: Vægtrelationen Vægtene, der er positive tal, siges at opfylde vægtrelationen, hvis p σ p σ p n σ n Vi antager altid at vægtrelationen er opfyldt 3/9 4/9

2 Vægtrelationen: Eksempel Vægtet gennemsnit Antag variansen på første måling er dobbelt så stor som på den anden (σ σ ) Et valg af vægte, der opfylder vægtrelationen, er p og p, idet p σ p σ σ σ Der er uendelig mange lige god valg af vægte!! Et andet valg er p 3 og p 3 Bemærk: I eksemplet er vægten på den bedste måling dobbelt så stor som vægten på den dårlige måling Antag at µ µ µ n µ, dvs alle observationer x,, x n er målinger af samme størrelse µ Fortsat er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle målinger Fx kan der være anvendt måleudstyr af forskellige fabrikat og/eller kvalitet Til at estimere µ bruges det vægtede gennemsnit x således mere præcise målinger (observationer med lav varians) vægter mere i gennemsnittet end dårligere bestemte målinger Definition: Vægtet gennemsnit For observationer x,, x n med vægte p,, p n er det vægtede gennemsnit x p n i p x + + i p n x n (p x + + p n x n ) 5/9 6/9 Det vægtede gennemsnit: Egenskaber Variansen for det vægtede gennemsnit Sætning: Egenskaber for det vægtede gennemsnit For den stokastiske variabel X p n i p X + + i p n X n (p X + + p n X n ) gælder følgende udsagn E( X ) µ, dvs X er en central estimator for µ uanset om vægtene opfylder vægt relationen eller ej For positive vægte p,, p n er Var( X ) mindst når vægtene opfylder vægtrelationen, dvs p σ p n σ n Idet vægtrelationen foreskriver p i σ i er ens for alle i, kan σ 0 indføres som σ 0 p σ p σ p n σ n Indtil videre har σ 0 ikke nogen naturlig fortolkning Sætning: Variansen af vægtet gennemsnit Lad p + og dermed X p p + X + p p + X + + pn p + X n Antag vægtrelationen er opfyldt, dvs σ0 p σ p n σn Da gælder Var( X σ0 ) i p i 7/9 8/9

3 Estimat af σ 0 Estimat af Var( X ) Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( Var( X ) og dermed X N µ, Estimat af σ 0 σ 0 Som estimat af σ0 anvendes s 0: s i 0 p i(x i x ) n i p ix i ( x ) n σ 0 ) Vi har, at s 0 er et centralt estimat for σ 0 Variansen for det vægtede gennemsnit er Var( X ) σ 0 Et centralt estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er derfor s 0 Der gælder desuden, at s 0 er et centralt estimat for σ 0 9/9 0/9 Estimat af Var(X i ) σ i Eksempel: Geometrisk nivellement Relationen mellem de enkelte varianser σi og σ 0 er givet ved vægtrelationen: σ0 p σ p n σn Dvs den i te varians σ i Estimat for σ i skrives som σ i σ 0/p i Variansen for σ i kan estimeres vha s i s 0/p i 3 En højdeforskel er nivelleret over n strækninger med samme kilometerspredning σ k Variansen over en længde l er fra tidligere givet ved σ k l Højdeforskel h Længde l Varians på h over l h l σ σ k l h l σ σk l h n l n σ n σ k l n Forskellig varianser på målinger pga forskellige strækninger, altså l i l j Da varianserne er forskellige benytter vi vægtede observationer /9 /9

4 Eksempel: Geometrisk nivellement valg af vægte Vægtrelationen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Indsættes udtrykket for σi l iσk har vi: Heraf fremgår det at hvis p i l i σ 0 p σ kl p n σ kl n er ligheden opfyldt: σ0 l σ kl l n σkl n σk σk Dvs vægte kan vælges til p i (l i ) altså er vægten den resiprokke længde Bemærk: Her har σ 0 en fortolkning: kilometerspredningen Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger Data: P h 347mm, l 67m h 356mm, l 853m Estimat af H H : x l h l P h /67 /67 + / / , 96mm /67 + /853 3/9 4/9 Eksempel - polygonvinkler Eksempel - fortsat Vi måler vinklerne i punkterne 3-6 Alle vinkler er målt med samme varians σ v Lad σm,i være variansen af middelsatsen i punkt i Punkt Antal satser σ m,i 3 σ m,3 σ v 4 3 σ m,4 σ v σm,5 σ v σm,6 σ v Ifølge vægtrelationen skal p i σm,i være ens for alle i, p 3 σ m,3 p 4 σ m,4 p 5 σ m,5 p 6 σ m,6 Jf udtrykkene fra forrige slide σv p 3 p σv 4 3 p σv 5 4 p σv 6 6 Således kan vægtene vælges lig antal satser for hvert punkt: p 3 p 4 3 p 5 4 p 6 6 Med disse vægte gælder σ 0 σ v 5/9 6/9

5 Eksempel - Vinkelmålinger Fordeling af slutfejl Vinkler målt med forskellige satser med samme vinkelspredning σ v Variansen på vinkler målt med k satser er fra tidligere givet ved σ v/k Vinkel v Sats k Varians på middelsats v k σ σv/k v k σ σv/k v n k n σ n σ v/k n Forskellig varians på målinger pga forskelligt antal satser, dvs vægtede observationer Vægtrelationen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Betragt en situation hvor vi ved at summen af vores observationer skal være lig en kendt værdi x 0 Dette kunne eksempelvis være: x 0 00 gon, hvor vores målinger er vinkler i en trekant x 0 0 mm, hvor vi nivellerer i et lukket net, dvs slut- og startpunkt er det samme x 0 H H, hvor målinger er for at bestemme kote til et punkt Slutfejlen er afvigelsen mellem x 0 og den faktiske sum af observationer Fra tabellen ses det at vægten kan vælges til p i k i dvs vægten er antal satser 7/9 8/9 Nivellement bestemmelse af kote Model Vi ønsker at beregne koten µ til punktet P med højdeforskelle h til P og h til P Længderne fra P til de to punkter P og P er henholdvis l og l P H l h P l h Punkterne P og P har kendte koter, hhv H og H To bud på koten i P : H + h og H h P H 5 P H l h P l h X H og X H er uafhængige stokatiske variable med E(X H ) E(X H ) µ, X H X H H + h H h Fra sidste gang har vi at Var(X H ) l σ k og Var(X H ) l σ k P H 9/9 0/9

6 Estimat af µ Til at estimere µ anvendes det vægtede gennemsnit x idet varianserne på højdemålingerne ikke nødvendigvis er ens, x p p + p (H + h ) + p p + p (H h ), hvor vægtene p og p opfylder vægtrelationen p l σ k p l σ k Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger P l P l h P H Dvs de reciprokke længder kan anvendes som vægte, Estimatet for µ er altså givet ved: p l og p l x l l l + l (H + h ) + l + l (H h ) /9 Data: H h H 743mm, h 47mm, l 67m H 788mm, h 56mm, l 853m Estimat af koten i punktet P : x /67 /67 + /853 (743+47)+ /853 (788 56) 7675, 36mm /67 + /853 /9 Estimat af µ - en omskrivning Slutfejlen r n Vi kan omskrive udtrykket for x således: x l l l + l (H + h ) + l + l (H h ) l l l l l l l + (H + h ) + l l l l + (H h ) l l l l l + l (H + h ) + l l + l (H h ) 6 På grund af målefejl er h + h H H Derfor indføres slutfejlen r n som korrektion h + h + r n H H H h H + h + r n Indsættes dette i udtrykket for x får vi x l l + l (H + h ) + l l + l (H h ) l l + l (H + h ) + l l + l (H + h + r n ) (H + h ) + l l + l r n Slutfejlen på estimatet x af koten µ skal under de anvendte vægte (reciprokke længdemål) fordeles proportionalt med vejlængden 3/9 4/9

7 Eksempel fortsat Slutfejl af vinkelmålinger i trekant Data: P H l h P P l H h H 743mm, h 47mm, l 67m H 788mm, h 56mm, l 853m Slutfejl: H H , h + h mm Slutfejl r n mm Estimat af koten i punktet P : (H + h )+ l r n ( 6) , 64 l + l Højdeforskelen h skal altså nedkorrigeres,64mm 5/9 α Betragt trekanten med sande vinkler α, β og γ Dvs α + β + γ 00 gon β X α X β X γ x α x β x γ E(X α ) α, E(X β ) β og E(X γ ) γ Var(X α ) Var(X β ) Var(X γ ) σ γ 6/9 Model for vinkler i trekant Estimat af α På grund af betingelsen om en vinkelsum på 00 gon, kan modellen simplificeres, X α 00 X β X γ x α 00 x β x γ Fra vores viden om lineære transformationer om E og Var har vi at, E(X α ) α E(00 X β X γ ) 00 β γ Var(X α ) σ Var(00 X β X γ ) σ 7 Idet variansen for de to observationer er forskellig anvendes det vægtede gennemsnit til at estimere α Bemærk at både x α (direkte måling) og 00 x β x γ (indirekte måling) er observationer til at estimere den sande værdi α x p p + p x α + p p + p (00 x β x γ ) Igen skal vægtene p og p opfylde vægtrelationen p σ p σ Idet σ σ og σ σ vælges p og p Hermed har vi x 3 x α + 3 (00 x β x γ ) 7/9 8/9

8 Slutfejlen r v på vinkelsummen Som i foregående eksempel er summen af x α, x β og x γ ikke 00 pga uundgålige målefejl Derfor indføres r v således x α + x β + x γ + r v x β x γ x α + r v, og dette indsættes i udtrykke for x, x 3 x α + 3 (00 x β x γ ) 3 x α + 3 (x α + r v ) x α + 3 r v Dvs slutfejlen fordeles ligeligt på alle vinkler uanset deres målte størrelser 9/9 8