Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Transkript

1 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20

2 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges som arbejdsheste i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen, F -fordelingen (vennerne) Γ-fordelingen og tæthed for χ 2 -fordelingen Måske lidt om den centrale grænseværdisætning I eftermiddag Lidt mere om R med Susanne SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 2 / 20

3 χ 2 -fordelingen Definition Hvis U 1,...,U k er iid. N(0,1)-fordelte så kaldes fordelingen af X = U U2 k for χ2 -fordelingen med k frihedsgrader. Vi skriver sommetider: X χ 2 k eller X χ 2 (k) χ 2 (k)-fordelingen har middelværdi for alle k: Hvorfor? Hvad er middelværdien? SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 3 / 20

4 χ 2 -fordelingen For k = 1 kan vi finde tætheden som tætheden via fordelingsfunktionen: p(x) = x 1/2 e x/2 2π, x > 0 Sætning Tætheden for χ 2 -fordelingen med k frihedsgrader er p(x) = x k/2 1 e x/2 c k 2 k/2, x > 0 hvor π, k = 1 c k = (k/2 1)!, k = 2,4,6... (k/2 1)(k/2 2) 1/2 π, k = 3,5,7... Det viser vi lidt senere... SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 4 / 20

5 Tæthed for χ 2 -fordelingen Tæthed for χ 2 -fordelingen med hhv. 1, 3, 5, 8 frihedsgrader SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 5 / 20

6 t-fordelingen Definition Hvis U og Z er uafhængige, U N(0,1) og Z χ 2 (f ), så kaldes fordelingen af T = U Z/f for t-fordelingen med f frihedsgrader. Vi skriver T t f eller T t(f ). Tætheden kan findes vha. sætning 6.3.4: p(t) = konst ( 1 ) (f +1)/2, t R 1 + t2 f Normeringskonstanten er grim og involverer Γ-funktionen står på s Sætning (X,Y ) kontinuert med tæthed p og X koncentreret på mængde M. Givet funktion f : R R med f > 0 på M. Så er Z = Y /f (X ) kontinuert og har tæthed q(z) = p(x,f (x)z)f (x)dx, z R SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 6 / 20

7 Tæthed for t-fordelingen Tæthed for t-ford. med hhv. 1, 3, 8 frihedsgrader, samt tæthed for N(0,1) SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 7 / 20

8 t-fordelingen Bemærk: Tætheden er symmetrisk om nul: p( t) = p(t) Tungere haler end normalfordelingen T har middelværdi hvis og kun hvis f > 1. Hvad er så ET? T har varians hvis og kun hvis f > 2. t(f )-fordelingen ligner N(0, 1) når f er stor T -teststørrelser optræder ved såkaldt simple hypoteser, fx. test for en specifik middelværdi for en enkelt stikprøve eller sammenligning af to grupper. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 8 / 20

9 F -fordelingen Definition Hvis Z 1 og Z 2 er uafhængige, og Z 1 χ 2 (f 1 ), Z 2 χ 2 (f 2 ) så kaldes fordelingen af X = Z 1/f 1 Z 2 /f 2 for F -fordelingen med (f 1,f 2 ) frihedsgrader. Tætheden findes vha. sætning 6.3.4: Husk T = p(x) = konst x f 1/2 1 (f 2 + f 1 x) (f 1+f 2 )/2, x > 0 U. Hvad er fordelingen af T 2? Z/f Bruges ved test for ens varianser (SaSt2) og især ved test af såkaldt sammensatte hyoteser, fx. ved sammenligning af tre eller flere grupper. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 9 / 20

10 Tæthed for F -fordelingen Tæthed for F -fordelingen med hhv. (6,10), (6,4), (6,2), (2,2) frihedsgrader SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 10 / 20

11 Fordeling af ( X,SSD) og T Sætning X 1,...,X n iid. N(µ,σ 2 )-fordelte. Definer X = 1 n (X x n ), SSD = T = så er X og SSD uafhængige X N(µ,σ 2 /n) n( X µ) SSD/(n 1) = n i=1 n( X µ) SSD σ 2 χ 2 (n 1), dvs. SSD/σ 2 χ 2 (n 1) T t(n 1) hvorfor? s (X i X ) 2 Specielt: E(SSD) = σ 2 (n 1) så E(s 2 ) = E ( SSD/(n 1) ) = σ 2. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 11 / 20

12 Eksempel 1: hormonkoncentration hos køer Cow Initial (µg/ml) Final (µg/ml) Diff. (µg/ml) Antag: D 1,...,D 9 iid. N(µ,σ 2 ). Estimater: ˆµ = d = 13.78, ˆσ = s = Hvis vi vil undersøge om µ er nul, virker det rimeligt at vurdere om d ligger tæt på 0 eller langt fra nul. Forskellen skal normeres: 9( d 0) t = = 2.71 s Hvis µ faktisk er 0, hvor sandsynligt er det så at observere en værdi af T der er mindst lige så langt fra nul som de 2.71? Beregn i t(8)-fordelingen! SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 12 / 20

13 Eksempel 2: Antallet af punkter i en en punktsky Det sande antal punkter er 161. Person Average guess Antag: Y 1,...,Y 7 iid. N(µ,σ 2 ). Estimater: ȳ = , ˆσ = s = Hvis vi vil undersøge om µ er 161, virker det rimeligt at vurdere om ȳ ligger tæt på eller langt fra 161. Forskellen skal normeres: 7(ȳ 161) t = = s Hvis µ faktisk er 161, hvor sandsynligt er det så at observere en værdi af T der er mindst lige så langt fra 0 som de 1.24? Beregn i t(6)-fordelingen! SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 13 / 20

14 Skål Øl Gosset = Student SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 14 / 20

15 Γ-fordelingen Parametre α > 0 og β > 0 givet. Betragt funktionen p(x) = x α 1 e x/β β α konst, x > 0 Specialtilfældet α = 1: hvilken fordeling er der tale om? Er f overhovedet integrabel? Hvordan skal konstanten defineres for at p er en tæthed? Fordelingen på (0, ) der har tætheden p kaldes Γ-fordelingen med formparameter α og skalaparameter β. Skalaparameter β: hvis X er Γ-fordelt med formpar. α og skalapar. 1, så er βx Γ-fordelt med formpar. α og skalapar. β. Opgave 8.1 i næste uge. χ 2 (1)-fordelingen er et specialtilfælde: α = 1/2, β = 2. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 15 / 20

16 Tæthed for F -fordelingen Tæthed for F -fordelingen med (α, β) lig (0.5,6), (1,3), (3,1), (12,0.25) SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 16 / 20

17 Γ-funktionen Altså: Afhænger kun af α (ikke af β)! konst = y α 1 e y dy =: Γ(α) 0 Så er tætheden p(x) = x α 1 e x/β β α Γ(α), x > 0 Γ evalueret i heltal og halvtal : Regn på Γ(α + 1). Hvad er Γ(1)? Hvad er altså Γ(n) for n heltallig (og positiv)? Hvad er Γ(1/2)? Hvad er Γ(k/2) for k ulige? SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 17 / 20

18 Foldning af Γ-fordelinger Sætning X 1,...,X n uafhængige og Γ-fordelte med formparametre α 1,...,α n og samme skalaparameter β. Så er Z = X X n Γ-fordelt med formparameter α α n og skalaparameter β. Bevises ved induktion efter n. For n = 2: Brug korrollar 6.3.2: Indsæt Γ-tæthederne og regn... q(z) = p 1 (x)p 2 (z x)dx Genkend afhængigheden af z fra den ønskede Γ-tæthed. Normeringskonstanten passer automatisk. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 18 / 20

19 Tæthed for χ 2 -fordelingen Sætning Tætheden for χ 2 -fordelingen med k frihedsgrader er hvor Bevis: p(x) = x k/2 1 e x/2 c k 2 k/2, x > 0 π, k = 1 c k = (k/2 1)!, k = 2,4,6... (k/2 1)(k/2 2) 1/2 π, k = 3,5,7... χ 2 (k)-fordelingen er foldningen af k χ 2 (1)-fordelinger. Dvs. foldningen af k Γ-fordelinger med formparameter 1/2 og skala 2. χ 2 (k) er altså Γ-fordelingen med formparameter k/2 og skala 2. Indsæt i Γ-tætheden. SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 19 / 20

20 Resume Resume fra sandsynlighedsregning: Tætheder og fordelingsfunktioner og deres sammenhæng Middelværdier og varianser Transformationer Normalfordelingen og dens venner Både endimensionalt og flerdimensionalt SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 20 / 20