Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 16 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Kun skemaet tillægges betydning ved besvarelsen. Opgaveteksten skal dog afleveres i sin helhed, inden eksamen forlades også selv om du vælger at aflevere blankt. Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave VII.1 VII.2 VIII.1 VIII.2 IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 XI.1 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave XI.2 XII.1 XII.2 XIII.1 XIII.2 XIV.1 XV.1 XVI.1 XVI.2 XVI.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Der ses herunder et boxplot af 100 datapunkter Spørgsmål I.1 (1): Hvilket af følgende udsagn er mest korrekt? 1 Gennemsnit 4, spredning 4. 2 Gennemsnit 4, spredning 1. 3 Median 4, Q 1 0, Q Median 4, Minimum 3, Maximum 5. 5 Median 4, Q 1 3, Q

3 Opgave II I et studium af overlevelse i perioden 1. juli december 1981 for personer på Fyn som i periodens begyndelse havde fået konstateret diabetes fandt man bl.a. følgende data: Alder (år) 1/ Antal personer 1/ Antal døde juli 1973 dec Mænd Kvinder Mænd Kvinder Spørgsmål II.1 (2): Betragt data for mændene. Et χ 2 -test af hypotesen om, at der ingen forskel er på overlevelsesandelen i de to aldersgrupper giver følgende resultat: 1 Teststørrelse= 1.65, så P-værdi> Teststørrelse= 10.5, så P-værdi< Teststørrelse= 1.42, så P-værdi> Teststørrelse= 6.07, så P-værdi< Teststørrelse= 16.3, så P-værdi< Spørgsmål II.2 (3): Betragt data for den ældste aldersgruppe. Et 95% konfidensinterval for forskellen i overlevelsesandelen mellem mænd og kvinder fås som: 1 43/79 29/78 ± /122 29/107 ± /122 78/107 ± /122 78/107 ± /122 29/43 ±

4 Spørgsmål II.3 (4): Der planlægges et nyt studium for at bestemme overlevelsen i nutiden i de fire grupper. Hvis man bruger den mindste af de fire observerede overlevelsesandele i tabellen ovenfor som udgangspunkt, hvor mange personer skal man da inkludere i hver gruppe for at bestemme overlevelsesandelen i gruppen med en maximal fejl på 0.02 med 95% konfidens? personer personer personer personer personer. Opgave III For en bestemt kemisk process har man målt reaktionshastigheden ved fire forskellige koncentrationer af et bestemt stof. Resultaterne var Koncentration Reaktionshastighed Ifølge en kemisk model for processen skulle hastigheden afhænge lineært af koncentrationen. Spørgsmål III.1 (5): Parametrene og spredningen i den relevante lineære regressionsmodel ŷ = a + bx estimeres til: 1 a = , b = , s e = a = 49.66, b = 64.69, s e = a = , b = , s e = a = 64.69, b = 49.66, s e = Ingen af ovenstående. 4

5 Opgave IV Lad X 1 og X 2 være procent korrekte svar for en tilfældig udvalgt person i to forskellige eksamener. Det antages at sådanne procenter følger hver deres normalfordeling: I den ene med middelværdi 65 og spredning 15 (Eksamen 1), i den anden med middelværdi 80 og spredning 7 (Eksamen 2). Spørgsmål IV.1 (6): Hvis mindst 96% korrekte svar giver et 13-tal og 100 personer går til hver af de to eksamener, hvor mange 13-taller forventes der så givet i hver af de to eksamener? 1 Omtrent 2 i eksamen 1 og omtrent 1 i eksamen 2. 2 Ingen. 3 Omtrent 2 i begge eksamener. 4 Omtrent 1 i begge eksamener. 5 Omtrent 1 i eksamen 1 og omtrent 2 i eksamen 2. Spørgsmål IV.2 (7): Du får 85% korrekte svar i begge eksamener. Hvis der var 100 studerende til hver eksamen, hvor mange studerende må så forventes at ligge bedre end dig i hver af de to eksamener (afrundet til nærmeste hele tal)? 1 15 personer i begge eksamener i eksamen 1 og 20 i eksamen i eksamen 1 og 24 i eksamen i eksamen 1 og 10 i eksamen i eksamen 1 og 9 i eksamen 2. Spørgsmål IV.3 (8): Eksamen 1 er for et 10 ECTS kursus og eksamen 2 er for et 5 ECTS kursus. Et vægtet gennemsnit af procenterne for de to eksamener er givet ved: Y = 10X 1 + 5X 2 15 Hvad er middelværdien µ Y og spredningen σ Y for dette vægtede gennemsnit Y? 1 µ Y = 72.5 og σ Y = 37/3 2 µ Y = 72.5 og σ Y = 11 3 µ Y = 72.5 og σ Y = 949/3 4 µ Y = 70 og σ Y = 949/3 5 µ Y = 70 og σ Y = 11 5

6 Opgave V Kontrastniveauet blev vurderet på en kontinuert skala fra 0 til 15 for fire forskellige billeder på et Bang og Olufsen fladskærms-tv. Der blev foretaget 2 uafhængige vurderinger af hvert billede. Variansanalysetabellen blev: Kilde DF SS MS F Billeder (1) (3) Fejl (2) Total Spørgsmål V.1 (9): De 3 manglende værdier og den kritiske værdi for det relevante F-test på niveau 1% er: 1 (1)=11.02, (2)=0.601, (3)=0.932, F 0.01 (3,7) = (1)=11.02, (2)=0.601, (3)=18.3, F 0.01 (3,4) = (1)=33.064, (2)=2.405, (3)=13.7, F 0.01 (3,4) = (1)=11.02, (2)=0.601, (3)=18.3, F 0.01 (3,4) = (1)=33.064, (2)=2.405, (3)=18.3, F 0.01 (3,4) =

7 Opgave VI Ved en forureningsundersøgelse måltes SO 2 koncentrationen to på hinanden følgende år de samme 12 steder i et givet område. Resultaterne (i ppb) var: Sted År År Som hjælp til de følgende spørgsmål kommer her resultatet af to Splus-kørsler: (I xaar1 haves de 12 tal for år 1 og i xaar2 de 12 tal for år 2). > t.test(xaar1,xaar2) Standard Two-Sample t-test data: xaar1 and xaar2 t = , df = 22, p-value = alternative hypothesis: difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > t.test(xaar1,xaar2,paired=t) Paired t-test data: xaar1 and xaar2 t = , df = 11, p-value = alternative hypothesis: mean of differences is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x - y Spørgsmål VI.1 (10): Den mest korrekte konklusion baseret på det mest hensigtsmæssige af ovenstående er: 1 Idet P-værdien er lille er der forskel på de to år. 2 Idet P-værdien er lille er der ikke forskel på de to år. 3 Idet P-værdien er stor er der forskel på de to år. 4 Idet konfidensintervallet indeholder 0 er der ikke forskel på de to år. 5 Idet P-værdien er stor er der ikke forskel på de to år. 7

8 Opgave VII I et studie registreredes for 25 personer af hvert køn om de var farveblinde eller ej. Man fik følgende antal: mænd kvinder farveblind 4 0 normal Spørgsmål VII.1 (11): En passende metode til at undersøge om andelen af farveblinde er den samme for de to køn er: 1 Rank-sum test 2 z-test 3 Parret t-test 4 χ 2 -test 5 Ingen af ovenstående, idet antallet af observationer er for lavt for evt. relevante metoder. Spørgsmål VII.2 (12): Hvis man ud af de 50 undersøgte personer tilfældigt udtager 25 personer (uden tilbagelægning), hvad er da sandsynligheden for at ingen af disse er farveblinde? 1 (4/50) ! 4! 21! 46! 21! 5 4! 21! 46! 21! 50! 8

9 Opgave VIII En underviser evalueres (scores) for sine pædagogiske evner på en kategorisk skala fra 1 til 5 af de studerende. Fordelingen af studerende på de fem scorekategorier plejer at være som følger: Scorekategori Procent 0 1% 6% 35% 58% Spørgsmål VIII.1 (13): Hvad er middelværdien i denne fordeling af scoreværdier? Spørgsmål VIII.2 (14): Hvad er spredningen i denne fordeling af scoreværdier?

10 Opgave IX Et antal dommere vurderede hver især skarpheden af de samme Bang og Olufsen fladskærms TV-apparater på en kontinuert skala fra 0 til 15. Resultaterne fra en passende analyse af disse data i Splus ses herunder: Analysis of Variance Table Response: Skarphed Terms added sequentially (first to last) Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) TV Dommer Residuals Spørgsmål IX.1 (15): Hvor mange observationer, dommere og TV-apparater indgår i forsøget? 1 23 observationer, 7 dommere og 2 TV-apparater. 2 9 observationer, 7 dommere og 2 TV-apparater observationer, 7 dommere og 2 TV-apparater observationer, 8 dommere og 3 TV-apparater observationer, 8 dommere og 3 TV-apparater. Spørgsmål IX.2 (16): Den mest passende beskrivelse af konklusionen vedrørende skarphedsvurderingerne baseret på ovenstående analyse er: 1 Der er ikke forskel på hverken dommere eller TV-apparater. 2 Der er forskel på dommere men ikke på TV-apparater. 3 Der er ikke forskel på dommere men på TV-apparater. 4 Varianserne er store. 5 Der er forskel både på dommere og TV-apparater. 10

11 Spørgsmål IX.3 (17): Hvis man lavede en analyse af disse data som om hver dommer kun udførte en enkelt vurdering, således at antal dommere er lig med antal observationer, ville man få følgende sædvanlige teststørrelse for hypotesen om ingen forskel på TV-apparaterne: / ( )/ ( ) 2 /14 11

12 Opgave X En ingeniør bestemmer den maximale kraft (i kn) som to forskellige maskinopstillinger kan give. Følgende resultater opnåedes for henholdsvis 7 og 10 kørsler for hver opstilling: Opstilling n ȳ s Spørgsmål X.1 (18): Hvis man antager at de to varianser er ens, skal det sædvanlige tosidede hypotesetest på niveau α = 1% for om den maximale kraft i de to opstillingerne er ens, vurderes ved følgende kritiske værdi: 1 t 0.01 med ν = 16 frihedsgrader. 2 t 0.05 med ν = 15 frihedsgrader. 3 t med ν = 15 frihedsgrader. 4 χ χ med ν = 16 frihedsgrader. med ν = 1 frihedsgrad. Spørgsmål X.2 (19): Det sædvanlige test for om spredningerne for de to opstillinger er ens, giver følgende resultat: 1 Teststørrelse= 33.3, så P-værdi< Teststørrelse= 3.01, så P-værdi< Teststørrelse= 9.11, så P-værdi> Teststørrelse= 3.01, så P-værdi> Teststørrelse= 9.11, så P-værdi<

13 Opgave XI Ti målinger af en guldbarre gav et gennemsnit, der er 0.345mg større end 1 kg med en spredning på s = 0.478mg. Spørgsmål XI.1 (20): Er der noget der tyder på at målemetoden vejer systematisk forkert (hvis den rigtige vægt af guldbaren er 1 kg)? 1 Ja, for 1 ligger uden for 95% konfidensintervallet < σ < Ja, for 0 ligger uden for 95% konfidensintervallet ± Nej, for 0 ligger uden for 95% konfidensintervallet ± Ja, for 0 ligger uden for 99% konfidensintervallet ± Nej, for 0 ligger uden for 95% konfidensintervallet < σ < Spørgsmål XI.2 (21): Der planlægges et nyt sæt af målinger, hvor hensigten er at bestemme niveauet for målemetoden med en maximal fejl på 0.1mg med 95% konfidens. Man antager at spredningen på målingerne er Hvor mange målinger skal der foretages? 1 n = 1 16 ((1.96/0.1) n = 1 4 ((1.96/0.1) n = 0.48 (1 0.48)((1.96/0.1) n = ( /0.1) n = ( ) 2 /

14 Opgave XII En vejstrækning menes at have i gennemsnit 5 uheld om måneden. Spørgsmål XII.1 (22): Med den sædvanlige sandsynlighedsmodel for en sådan situation kan man beregne sandsynligheden for at der i en tilfældig måned slet ikke sker nogen uheld som: 1 e e x dx e x/5 dx e 5x dx 5 (1/2) 5 Spørgsmål XII.2 (23): Der observeres i en enkelt måned 9 uheld. Det mest korrekte svar på følgende spørgsmål: Er påstanden om i gennemsnit 5 uheld pr. måned bevist forkert?, er: 1 Ja, for P(X 10) = er lille. 2 Nej, for P(X 9) = er ikke specielt lille. 3 Nej, for P(X 9) = er ikke specielt lille. 4 Ja, for P(X < 9) = er ikke specielt lille. 5 Ja, for P(X = 9) = er lille. 14

15 Opgave XIII I et studie registreredes intelligenskvotienten hos begge børn (i 10-års alderen) i 12 2-børns familier, og man fik følgende resultater: Familie Førstefødte Andenfødte Spørgsmål XIII.1 (24): Hypotesen om ingen forskel i intelligens mellem søskende kan uden brug af normalfordelingsantagelser testes som følger: 1 t = > t (11) = 2.201, så hypotesen forkastes. 2 z = > z = 1.96, så hypotesen forkastes. 3 P-værdi=2 P(X 10) = , hvor X b(x; 12, 0.5), så hypotesen forkastes. 4 P-værdi=P(X < 10) = , hvor X b(x; 12, 0.5), så hypotesen accepteres. 5 P-værdi=P(X 6) = , hvor X b(x; 12, 0.6), så hypotesen accepteres. Spørgsmål XIII.2 (25): Antag nu at intelligenskvotienterne for førstefødte er normalfordelt med middelværdi µ = 100 og spredning σ = 12. Hvor mange førstefødte børn af en årgang på børn må forventes at have en intelligenskvotient på mindst 120? 1 Omtrent 9500 børn. 2 Omtrent 1000 børn. 3 Omtrent 5000 børn. 4 Omtrent 600 børn. 5 Omtrent 480 børn. 15

16 Opgave XIV I et gammelt studie registreredes for 205 ægteskaber både højden af manden og af kvinden på en kategorisk skala: lille, mellem eller høj: Kvinde Mand Høj Mellem Lille Total Høj Mellem Lille Total Spørgsmål XIV.1 (26): Hvilken af følgende metoder er bedst egnet til at analysere om der er nogen sammenhæng mellem højden af manden og kvinden i et ægteskab? 1 Rank-sum test 2 Ensidet variansanalyse 3 Parret t-test 4 Tosidet variansanalyse 5 χ 2 -test i en antalstabel 16

17 Opgave XV Der ses herunder fire normalfordelinger: a b c d Der oplyses følgende: To af disse fordelinger viser to forskellige populationer, A og B, mens de andre to viser fordelingerne for to forskellige stikprøvegennemsnit (n 1 < n 2 ) fra population A. Spørgsmål XV.1 (27): De tre fordelinger, der viser population A, stikprøvegennemsnit 1 (n 1 ) og stikprøvegennemsnit 2 (n 2 ) er (i nævnte rækkefølge): 1 b), c), d). 2 a), d), c). 3 c), a), d). 4 a), b), c). 5 b), d), c). 17

18 Opgave XVI Antag at man for 20 træer i en bevoksning har målt diameteren (D) og træets volumen (V ). Diametrene måltes i cm og volumen i dm 3. Den gennemsnitlige diameter for de 20 træer var 16.8, og summen af afvigelsernes kvadrater for de 20 diametre var 20 i=1 (D i 16.8) 2 = 176.3, hvor D i betegner diameteren af det i te træ. Ved estimation af parametrene i en lineær regressionsanalyse fandt man sammenhængen og variansen estimeredes til s 2 e = 322. ˆV = D Spørgsmål XVI.1 (28): Det sædvanlige hypotesetest for om hældningen er nul, er givet ved: (16.8) 2 / / / / (16.8) 2 /32 Spørgsmål XVI.2 (29): Et 95%-konfidensinterval for middelvolumenet af træer med diameter 17 cm fås som: (0.2) 2 / (16.8) / ± ± ±

19 Spørgsmål XVI.3 (30): Forklaringsgraden r 2 bliver: /