EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad"

Transkript

1 EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad er kommet i en helt ny udgave, version 4. Og denne gang følger der oven i købet en dansk forhandler med, idet forlaget L&R Uddannelse har påtaget sig ikke blot at forhandle programmet i Danmark men også det omfattende job på glimrende vis at oversætte programmet inklusive hjælpeteksterne og de indledende eksempler til programmet til Dansk. For dem der allerede kender programmet er der sket en betydelig opstramning af vinduesbrugerfladen og Geometer/SketchPad fremtræder nu endeligt som et fuldt moderne windowsprogram med alt hvad man kan forvente sig af tastaturgenveje, musestyrede objekter og dokumentstyring med dertil hørende omfattende multimediestøtte. Men også den matematiske side af programmet har været en grundig tur gennem omfattende pædagogiske overvejelser om hvordan programmet kan gøres mere brugervenligt og nyttigt i den daglige matematikundervisning på alle niveauer: Fra leg med geometri i de tidligste klasser i folkeskolen over undervisningsforløb og projekter i gymnasiet til avancerede visualiseringsprojekter på universitetsniveau. Men trods alt er der mange lærere herhjemme, der endnu ikke har stiftet bekendtskab med programmet, så vi vil i det følgende se på det med friske øjne. Geometer/SketchPad er først og fremmest et visualiseringsprogram, hvor man kan frembringe illustrationer, statiske som dynamisk/interaktive, af allehånde geometriske konstruktioner. Programmet dækker fire forskellige slags geometrier afspejlet i de fire menuer: 1) Konstruer: Klassisk konstruktionsgeometri med passer og lineal. ) Transformer: Transformationsgeometri med spejlinger, drejninger, multiplikationer og parallelforskydninger. 3) Mål: Metrisk geometri med målinger og konstruktioner baseret på målinger. 4) Graf: Koordinatgeometri, dvs. analytisk geometri. 1

2 Hver af disse typer er forsynet med værktøjer, der både tillader statiske konstruktioner baseret på faste mål og dynamiske konstruktioner baseret på variable mål. Tilsvarende kan man komme langt med musen alene baseret på værktøjslinjen med museværktøjer (som vi vender tilbage til), ligesom man kan komme langt med menuerne alene. Som sagt er der stort set reserveret en menu til hver af typerne, og menuen er i hvert tilfælde delt i en startmenu med forholdsvis simple værktøjer og en slutmenu med avancerede værktøjer. Vi viser herunder menuerne hørende til de fire typer geometrier: Konstruer Transformer Mål Graf Elementære konstruktioner: Elementære transformationer: Elementære målinger: Elementær koordinatgeometri: Punkt på objekt Marker centrum Længde Definer koordinat Midtpunkt Marker spejlingsakse fstand Marker koordinat Skæringspunkt marker vinkel Omkreds Gitter Linjestykke Marker forhold Periferi Vis gitter Halvlinje Marker vektor Vinkel Lås til gitter Linje Marker længdemåling real Plot punkter Parallel linje Parallelforskyd Centervinkel Vinkelhalveringslinje Drej Buelængde Cirkel cent /punkt Multiplicer om punkt Radius Cirkel cent /radius Spejl Forhold Cirkelbue Cirkelbue tre punkter Indre vancerede konstruktioner: vancerede transformationer vancerede målinger vanceret koordinatgeometri Geometrisk sted Iterer Lommeregner Ny parameter Koordinater Ny funktion x-koordinat Plot ny funktion y-koordinat Differentialkvotient fstand koordin Tabel Hældningskoefficient Tilføj data til tabel Ligning Fjern data fra tabel Som det ses er Konstruer-menuen bygget op omkring de elementære konstruktioner med punkter, linjer og cirkler (samt det indre af polygoner, cirkler, cirkeludsnit og cirkelafsnit), svarende til de faste elementer i den euklidiske konstruktionsgeometri. I forbifarten bemærker vi, at keglesnit ikke er inkluderet som et grundlæggende elementært objekt. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke den udvidede konstruktionsgeometri, der også indbefatter keglesnit og deres indbyrdes skæringer. Det avancerede værktøj i konstruktionsmenuen er det geometriske sted, der helt i Newtons ånd er implementeret som en ledelinjekonstruktion, dvs. der skal vælges et uafhængigt punkt på en kurve (ledelinjen), samt et afhængigt objekt (punkt/linje/cirkel), der gennemløber det geometriske sted. Det er en meget fleksibel konstruktion, der giver anledning til såvel de klassiske geometriske steder som enhver andet geometrisk objekt, der kan frembringes som resultat af en eksplicit sammenhæng mellem det uafhængige punkt og det afhængige objekt. Den dækker fx også alle funktionsgrafer! Man kan vælge frie punkter på det geometriske sted og benytte disse som udgangspunkt for målinger hen-

3 holdsvis nye konstruktioner, herunder nye geometriske steder. Håndteringen af de geometriske steder er helt klart væsentligt forbedret i forhold til tidligere versioner af SketchPad. Man kan løbende sætte antallet af punkter op involveret i konstruktionen af det geometriske sted, ligesom de nu vælges problemfrit sammen med andre objekter med henblik på fx kopiering. Men man kan ikke konstruere fx skæringspunkter involverende geometriske steder (noget de færreste geometriprogrammer tør vove sig ind på med utograph som undtagelsen, der bekræfter reglen, og viser, at det godt kan lade sig gøre et stykke hen ad vejen). I nogle sammenhænge må man derfor lære at sno sig men det er jo også en både kreativ og lærerig udfordring! P Q M B Billedet viser den klassiske konstruktion af en ellipse ud fra en cirkel som ledelinje. Det afhængige punkt Q ligger lige langt fra B og P, hvorfor summen af afstandene Q og QB netop svarer til radius P i cirklen. Når det uafhængige punkt P gennemløber ledelinjen vil det afhængige punkt Q derfor gennemløbe ellipsen med brændpunkter i og B (samt storeaksen a givet ved cirklens radius). I tilgift får vi netop tangenten gennem ellipsepunktet Q forærende som midtnormalen til BP. I forbifarten nævner vi også, at hvis vi konstruerer indhyldningskurver som geometriske steder, vil det kun være linjetegningen, der fremkommer. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke konstruktionen af indhyldningskurver som et geometrisk objekt. Transformer-menuen er bygget op omkring dels de mål, der definerer beliggenheden og størrelsen af transformationen, såsom centrum for transformationen, aksen for transformation, drejningsvinklen, multiplikationsforholdet osv., dels de fire grundlæggende transformationer i den euklidiske geometri: Parallelforskydningen, Drejningen, Multiplikationen og Spejlingen. Sammensatte transformationer som glidespejling og drejemultiplikationer fås ved kombination af disse, mens mere avancerede transformationer som cirkelspejlinger (inversioner) ikke understøttes. Transformationer er ikke blot et vigtigt emne i sig selv, specielt i forbindelse med symmetri, men de er også afgørende i målfaste konstruktioner, fx trekanter med givne mål, hvor det er afgørende, at man kan konstruere punkter med fastlagte afstande gennem parallelforskydninger med givne længder, linjer med givne vinkler gennem drejninger osv. 3

4 Bemærkning: Udvalgte konstruktioner og transformationer kan udføres direkte med musen ved hjælp af værktøjerne i værktøjsmenuen, der som menuerne består af først de simple værktøjer, dernæst et avanceret værktøj: Pile-værktøjet understøtter transformationerne: Parallelforskydninger, drejninger og multiplikationer. Punkt-værktøjet understøtter konstruktion af såvel frie punkter, som punkter på objekter og skæringspunkter. Cirkel-værktøjet understøtter konstruktionen af cirkler ud fra centrum og randpunkt. Linje-værktøjet understøtter de tre typer af linjer: linjestykker, halvlinjer og linjer. Tekst-værktøjet understøtter navngivningen af objekter og forklarende tekstbokse, der også kan knyttes til objekter. Makro-værktøjet er det avancerede værktøj, som tillader brugerdefinerede konstruktioner ved dels at udpege de objekter, der indgår som udgangspunkt for konstruktionen, dels at udpege de objekter, der fremkommer som resultat af konstruktionen. De brugerdefinerede konstruktioner kan benyttes side om side med menuernes konstruktioner og kan gemmes særskilt eller de kan vises frem generelt, når de gemmes i makromappen. C C M a M a M b M b T K T M B L B M c Dynamiske transformationer: Et eksempel på en dynamisk elektronisk illustration (der ikke kan ydes fuld retfærdighed på et stykke papir!). (1) Trekanten BC konstrueres med tilhørende midtpunkter på siderne. Midtpunktstrekanten M a M b M c er derfor en ligedannet kopi af den store trekant BC i forholdet 1:. Ydermere er korresponderende sider parallelle. Der findes derfor en multiplikation, der fører den store trekant over i den lille. Centret for multiplikationen ligger på forbindelseslinjerne M a, BM b og CM c, dvs. de tre medianer, der altså nødvendigvis går gennem det samme punkt, trekantens tyngdepunkt T. () Der dobbeltklikkes på tyngdepunktet T, der derved udpeges som centrum for efterfølgende transformationer. Der oprettes en kopi KML af den store trekant (kopier/indsæt) og kopien flyttes på plads, så den dækker den oprindelige trekant BC. Herefter skiftes til ligedannethedspilen og kopitrekanten trækkes gennem tyngdepunktet T og ud på den anden side, indtil den dækker midtpunktstrekanten. Derved fås en umiddelbar oplevelse af den abstrakte/teoretiske erkendelse: t de to trekanter er ligedannede med centrum i T. M c 4

5 Det avancerede menupunkt på transformationsmenuen drejer sig om iterationer. Geometer kan illustrere iteration af geometriske konstruktioner såvel som af funktioner. Her vil vi i første omgang kun se på geometriske iterationer. Som et eksempel kigger vi tilbage på konstruktionen af midtpunktstrekanten, hvor vi kan udpege de tre hjørner, B og C som udgangspunkt for iterationen. Derefter kan vi udpege de tre midtpunkter som billederne af de tre hjørner ved iterationen: C M a M b B M c Resultatet er en serie af stadigt mindre midtpunktstrekanter, der netop snører sig sammen omkring tyngdepunktet: C M a M b B M c Det giver altså anledning til den sædvanlige leg med uendeligheder: Spejle i spejle osv. Men herfra er der ikke langt til at lege med fraktaler. Så skal vi blot have fat i en familie af iterationer i stedet for blot én. Vi gentager derfor spøgen, men vælger i stedet denne gang tre iterationer, der successivt afbilder den store trekant i hjørnetrekanterne: M b M c, BM c M a og CM a M b : 5

6 C M a M b B Resultatet er den berømte Sierpinski-trekant: M c C M a M b B M c Nemmere kan det vist ikke gøres at lege med geometriske fraktaler. På Mål-menuen har vi dels adgang til elementære målinger af geometriske størrelser, såsom længder (afstanden mellem to punkter, omkredsen af polygoner, cirkelafsnit og cirkeludsnit, cirkelperiferier, buelængder på cirkler osv.) såvel som arealer (af polygoner, cirkler, cirkelafsnit og cirkeludsnit) og vinkler (inklusive centervinkler, som supplement til buelængder). f hensyn til koordinatgeometrien kan vi også måle koordinater, afstande i et koordinatsystem (ved hjælp af afstandsformlen), hældningskoefficienten for en ret linje samt ligningen for et elementært geometrisk objekt, dvs. en ret linje eller en cirkel. Det sidste er fint til simple undersøgelser i den analytiske geometri. Men lad os et øjeblik blive ved den koordinatfri geometri. Det avancerede værktøj i mål-menuen er lommeregneren. Fuldt integreret i Geometer er en almindelig lommeregner, der kan bruges til at udføre alle mulige former for beregninger. Resultatet af disse beregninger afhænger dynamisk af de værdier, der ligger til grund for beregningen. Hvis fx der indgår en afstand mellem to punkter i beregningen vil denne afstand ændres, når man flytter rundt på punkterne, og beregningen vil da sideløbende automatisk opdateres. Disse beregninger kan ydermere benyttes som udgangspunkt for nye interaktive/dynamiske konstruktioner. Der er med andre ord tale om et geometrisk regneark! 6

7 Læg mærke til at lommeregneren naturligvis understøtter de geometriske konstanter e og π, samt enheder for såvel længder som vinkler. Derved røbes det at også matematikundervisning på meningsfuld måde kan beskæftige sig med enheder et faktum, der ofte ignoreres, idet enhederne typisk overlades til fysik-, kemi- og biologi-undervisningen. Der findes også andre geometriprogrammer der understøtter dynamiske beregninger, men ingen så elegant som Geometer. Lad os som et eksempel på brugen af lommeregneren se lidt på geometrisk optik, fx brydningen af lys i en regndråbe, der repræsenteres ved en (udfyldt) cirkel: i = b = i-b = s = b- i = S Q 1 P i-b b P 1 i P 0 b b n = Q 3 O E b i-b P 3 i P 4 Brydningsforholdet n indtastes som en parameter med værdien 1.33 (fx via lommeregnerens værdi-menu!). Så kan vi senere variere brydningsforholdet og dermed tage hensyn til hvilken farve vi sender ind i regndråben. 7

8 Dernæst vælges en vandret akse OE, som repræsenterer retningen fra dråbens centrum til Solen. Der konstrueres en normal til aksen og et frit punkt P 0 på denne normal. Vi kan nu sende en lysstråle ind parallelt med aksen gennem startpunktet P 0. Ved at flytte P 0 lodret op og ned kan vi ændre på den indkommende stråle (dvs. teknisk set ændrer vi impact-parameteren for strålen). Vi skal så have konstrueret strålens vej gennem regndråben. Den rammer strålen under en indfaldsvinkel i, som netop er givet ved vinklen EOP 1. Vi måler derfor denne vinkel og navngiver den i. (NB! Det er vigtigt i det følgende, at der arbejdes med fortegnsbestemte grader som vinkelmål). Dernæst beregner vi vinklen b ved hjælp af brydningsloven: sin( i) 1 1 = n sin( b) = sin( i) b= arcsin( sin( i)) sin( b) n n Da Geometer ikke er et symbolsk program, må vi selv udlede formlen for brydningsvinklen b. Den indtastes derefter i lommeregneren og ud kommer resultatet, som vi navngiver b. En geometrisk overvejelse, hvor vi springer detaljerne over, giver nu, at den brudte stråle fremkommer ved at dreje den indkommende stråle med vinklen i b omkring impactpunktet P 1. Vi beregner derfor i b ved hjælp af lommeregneren og markerer den som vinkel ligesom vi markerer impactpunktet P 1 som centrum for de følgende transformationer. Den drejede stråle skærer cirklen i bagpunktet P. Således fortsætter vi med at følge strålens vej gennem cirklen. Hele konstruktionen lettes betydeligt, hvis vi bemærker at strålegangen må være symmetrisk omkring aksen gennem centrum og bagpunktet, dvs. OP. Vi kan derfor markere den som en akse for de følgende transformationer og simpelthen spejle den indkommende og brudte stråle. Til slut måler vi spredningsvinklen s mellem den indkommende (vandrette) stråle og den udgående stråle. En geometrisk overvejelse, hvor vi igen overspringer detaljerne, viser at den er givet ved formlen s = 4b i. Dette bekræftes af en beregning af formlen 4b i ved hjælp af lommeregneren. Ved at kombinere mål-geometri med transformations-geometri har vi nu fået styr på en lysstråles vej gennem en sfærisk regndråbe noget, der forhåbentligt skulle vise styrken i disse typer geometrier og noget som ikke mange geometriprogrammer kan klare udover altså Geometer og Cabri. Bemærkning: Ved at flytte rundt på strålen kan vi nu finde den maksimale spredningsvinkel, der er afgørende for forståelsen af dannelsen af en regnbue, men det er en anden historie. Her vil vi blot afrunde mål-geometrien med konstruktionen af en regnbue som et geometrisk billede, altså uden om den bagved liggende optik. Det skal selvfølgelig ses i farver på en skærm, men dem må man altså forestille sig i det følgende. Vi tegner først en vandret linje, horisonten, og dernæst et centrum C på horisonten, der angiver retningen for solstrålen, idet vi tænker os at det er solopgang, så solen netop er ved at stå op over horisonten i den modsatte retning bag ved os. Vi tegner så to halvcirkler med centrum i C ud til horisontpunkterne og B. De afgrænser regnbuen på himlen. Dernæst vælges et frit uafhængigt punkt P på linjestykket B, og vi måler forholdet P/B, som altså bliver et tal mellem 0 og 1. Dette forhold skal styre farvelægningen af regnbuen. 8

9 P B = C P B Dernæst har vi konstrueret halvcirklen med centrum i C gennem horisontpunktet og valgt såvel denne som forholdet P/B. Det åbner for muligheden for at vælge parametriserede farver, idet vi nu kan lade forholdet styre farvevalget af halvcirklen: Som det ses kan vi netop styre en regnbueskala i farver med en parameter, der går fra 0 til 1. Og på denne måde kan vi nu opbygge regnbuen som et geometrisk sted med horisontstykket B som ledelinjen, horisontpunktet P som det uafhængige punkt og den farvede halvcirkel som det afhængige objekt. Farvelægningen af regnbuen er blot et eksempel på de meget stærke multimedieegenskaber Geometer har fået. Farver kan i sig selv benyttes til fremhævelse af geometriske objekter med specielle egenskaber, fx implicitte geometriske steder. Kun ens fantasi sætter grænsen. Som vi har set bevæger vi os med den nederste del af mål-menuen ind i koordinatgeometrien. I Graf-menuen findes der dels en elementær afdeling, hvor man kan arbejde med koordinatsystemer og gittergeometri, idet man fx kan låse punkterne til gitterpunkter og dermed bruge Geometer som et virtuelt sømbræt. Man har beholdt det meget stærke menupunkt Plot punkter med flere funktioner: Dels giver det mulighed for at indtaste serier af koordinater til opbygningen af diverse figurer, herunder figurer baseret på målinger foretaget udenfor programmet. Dels virker det også som menupunktet Plot som (x,y), når man vælger præcis to målinger/beregninger. Det har altid været en af Geometer/SketchPads virkelige adelsmærker, at man på denne måde kunne 9

10 forvandle et vilkårligt par af dynamiske målinger til en kurve i et koordinatsystem, herunder en funktionsgraf. I forbifarten bemærker vi, at dette er et af de meget få punkter, der er svækket en smule i den nye version. I den tidligere version kunne man også kopiere en punkttabel ind fra et andet program fx et regneark. Hvis man i den nye version vil tegne fx et stjernekort må man derfor virkelig sno sig eller gå den tunge vej og indtaste koordinaterne for stjernerne én for én. Ellers må man vente, indtil tabelfaciliteterne forhåbentligt i den nærmeste fremtid vil blive rettet op. Hvis vi fx vender tilbage til eksemplet med optikken i en regndråbe kan man nu udpege målingerne af indfaldsvinklen i og spredningsvinklen s og få tegnet spredningsvinklen s som en funktion af indfaldsvinklen i. Dernæst er vejen åbnet for at tegne det geometriske sted for grafpunktet (i, s) fx med startpunktet P 0 som det uafhængige punkt og normalen som ledelinje P 0 50 (i,s): ( , ) 40 (i,s) Her har vi antydet, hvordan man kan spore sig frem til den maksimale spredningsvinkel s maks = 4.5 ved en indfaldsvinkel på i = Det er måske ikke så teoretisk avanceret som en symbolsk gennemregning men det er ret så anskueligt! Nyhederne kommer for alvor under den avancerede koordinatgeometri. Der er to væsentlige nyheder, begge ret så interessante. Geometer har nu fået indbygget et variabelbegreb med talværdier i form af parametre, der fx kan fås via det avancerede menupunkt Ny parameter. De fungerer på mange måder som målinger og beregninger, men også med vigtige forskelle. Man kan fx uden videre give en parameter en ny præcis værdi ved at dobbeltklikke på den. Man kan også animere en parameter (eller ændre den trinvis ved hjælp af + og tasterne). Og endelig kan man bruge en parameter som udgangspunkt for en iteration. Vi har hele tiden haft variable punkter til rådighed og kunnet simulere 10

11 parametre langt hen af vejen ved at måle på variable punkter. Men nu har Geometer altså bekendt kulør og indført variable talstørrelser på lige fod med variable punkter. Dermed er der sket en kraftig forening af aritmetikken og geometrien. Pladsen tillader desværre ikke at give mangfoldige eksempler på anvendelsen af parameterbegrebet, men det er afgjort en af de helt væsentlige styrkelser af programmet. Og så har Geometer ikke mindst nærmet sig den grafiske lommeregner. Der er indført en funktionsregner som supplement til talregneren. Og det vel at mærke en funktionsregner som håndterer funktioner med den korrekte funktionsnotation, dvs. f (x). Det sker i menupunkterne Ny funktion og Plot ny funktion. Ydermere tillader programmet en symbolsk differentiation af alle de indførte funktioner via menupunktet Differentialkvotient. Det skal ikke forstås sådan at Geometer nu er blevet et af de frække programmer som kan symbolmanipulation. Der reduceres ikke synderligt på de fundne udtryk, som hurtig kan komme til at se meget besynderlige ud. Så Geometer vil ikke kunne konkurrere med de symbolske lommeregnere. Men resultatet af en differentiation kan bruges som udgangspunkt for præcise numeriske beregninger af differentialkvotienten og dermed for præcise konstruktioner af fx tangenter til kurver. Stort set hele den obligatoriske matematik ligger altså nu åben for en geometrisk visualisering i Geometer. Først et eksempel på tegning af grafen med funktionen f (x) = x cos(x) (hvor Geometer meget betænksomt spørger om det ikke er tilrådeligt at skifte til radianer!). fx () = x cos() x x = y = Toppkt: ( , ) f' () x = -1 x sin()+cos x () x f'' () x = -1 x cos()+- sin x () x x B = fx B ( ) = Toppkt Ved at differentiere funktionen to gange er der åbnet mulighed for at implementere Newton-Raphsons metode for toppunktet, via iterationsformlen 11

12 x x f '( x) f ''( x) Vi starter derfor med at konstruere et frit grafpunkt og måle dets koordinater x og y. Med udgangspunkt i det frie punkt konstrueres koordinaterne til f '( x) det første itererede punkt B ud fra formlerne x, der navngives x B og f ''( x ) f '( x) f x, der navngives y B. Vi udpeger så grafpunktet og vælger iterer f ''( x) fra transformationsmenuen og fortæller dernæst, at itereres over i punktet B. Det giver den første tilnærmelse til toppunktet. Ved at iterere fx ti gange og kun vise det sidst itererede punkt kan vi vælge dette og omdanne det til et almindeligt geometrisk punkt kaldet toppkt ved hjælp af menupunktet Endepunkt på transformationsmenuen (der træder i stedet for Iterer i sådanne tilfælde). Vi kan så, som vist på figuren, måle koordinaterne til toppunktet. Til slut skjules hjælpepunktet B, og vi er færdige med at konstruere en rutine, der ud fra et givet grafpunkt konstruerer det 'nærmest' beliggende toppunkt. Det kan man se ved at rykke frem og tilbage på grafpunktet. Hvis man fjerner det for meget flytter toppunktet til et andet stationært punkt på grafen! Selv om der altså ikke er indbyggede værktøjer til at finde fx toppunkter for grafer, kan vi hurtigt supplere med det fornødne. Og eksemplet er selvfølgelig fuldt dynamisk: Hvis vi retter i funktionsforskriften for f (x) opdateres graftegningen med dertil hørende toppunkt automatisk af sig selv. På denne måde kan Geometer ikke bare bruges som en geometrisk grafregner med skabeloner for de vigtigste værktøjer i grafregneren (rødder, toppunkter, skæringspunkter, ), men vi kan også benytte Geometer til at få indblik i mulige metoder til at implementere sådanne beregningsværktøjer i en grafregner. Som det sidste og meget avancerede eksempel vender vi os igen mod geometriske steder i geometrisk belysning. De klassiske geometriske steder er alle simple algebraiske kurver men med indførslen af funktionsregneren er der også åbnet mulighed for geometriske undersøgelser af transcendente kurver. Det simpleste klassiske geometriske sted er vel nok parablen med den arketypiske ledelinjekonstruktion. Tilsvarende er den simpleste transcendente kurve med en righoldig geometri nok kædelinjen med den generelle ligning: x b y = a cosh( ). a For enkelhedens skyld ser vi derfor nu på kædelinjen med ligningen y = cosh(x). Da hyperbolsk cosinus ikke er indbygget indtaster vi den i stedet ved hjælp af eksponentialfunktioner: x x e + e f( x) = Vi får også brug for at differentiere den, men som vist på figuren næste side er resultatet som sådan ikke synderligt gennemskueligt: f e '( x) = x 0 1 ln( e) 0 ln( e) x e e e e x 1

13 Men det er ikke afgørende, da vi jo kun skal bruge det som et hjælpeudtryk for præcise beregninger af tangenthældninger! fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = e e x P T( x[p] + 1, y[p] + f'(x[p]) ) S QR = Q R -0.5 Der er nu åbnet vej for at konstruere et grafpunkt P og måle på dets koordinater x P og y P, såvel som at beregne tangenthældningen f '( x P ). Vi skal så have fat i tangenten til kædelinjen. Den kunne vi godt tegne som grafen for det approksimerende førstegradspolynomium. Men det er meget smartere at konstruere den geometrisk ved at udnytte, at den dels går gennem grafpunktet P( xp, y P ), dels gennem tangentpunktet T( xp + 1, yp + f '( xp) ) (idet tangenten jo netop har hældningen f '(x P ), dvs. når vi går 1 hen, skal vi gå f '(x P ) op). Vi beregner derfor værdien af de to koordinater for det forskudte punkt T, og afsætter dem som et punkt ved hjælp af menupunktet Plot som (x, y). Dernæst forbinder vi det forskudte tangentpunkt T med grafpunktet P og har nu konstrueret tangenten som en ret linje. Og det vel at mærke på en måde, så Geometer ved, at tangenten rent faktisk er en ret linje! Vi kan derfor nu lege videre med tangenten! I tilfældet med kædelinjen kan vi fx konstruere fodpunktet R for grafpunktet P og dernæst konstruere normalen til tangenten gennem fodpunktet. Denne skærer tangenten i punktet Q. Så sker miraklet, når vi prøver at opmåle dimensionerne for trekanten PQR : 1) Koordinatafstanden mellem Q og R viser sig altid at være 1. ) Faktisk er de to retvinklede trekanter PQR og PTS kongruente! Dette giver anledning til en fuldstændig geometrisk karakterisering af kædelinjen: x-aksen spiller da rollen som kædelinjens ledelinje, tallet 1, dvs. afstanden fra kædelinjens toppunkt til dens ledelinje spiller rollen som kædelinjens parameter (jfr. parablens bredde p, der tilsvarende kan karakteriseres som den 13

14 firdobbelte afstand fra toppunktet til ledelinjen eller tilsvarende som den dobbelte afstand fra brændpunktet til ledelinjen, men kædelinjen har ingen brændpunkt, hvorfor analogien er tydeligere, hvis vi i stedet spiller på parablens toppunkt). Kædelinjen med ledelinje l, toppunkt T (og dermed parameteren a = dist(l, T ) ) er det geometriske sted for de punkter P på en kurve K, der opfylder de følgende to egenskaber: 1) Kurven K indeholder toppunktet T. ) Kaldes P's fodpunkt på ledelinjen for R og projektionen af fodpunktet på tangenten for Q, så er afstanden fra fodpunktet til projektionen konstant lig med parameteren a, dvs. dist(q,r) = a. Da det er en egenskab ved tangenten, der karakteriserer det geometriske sted, er der åbenbart tale om en differentialligning i geometrisk iklædning. Som i det ovenstående tilfælde kan vi benytte ledelinjen som x-akse. Til grafpunktet med koordinaterne (x 0, y 0 ) hører derfor tangenthældningen: T y 0 y 0 -a y 0 -a P(x0,y0) a S Q y 0 a R y y a ' o 0 = Kædelinjen er derfor også løsningen til differentialligningen: a y a y ' = med randbetingelsen y(0) = a. a Geometer kan selvfølgelig ikke løse en sådan differentialligning for os, så der må vi hente assistance i et symbolsk program fx TI-interactive: 14

15 Jo, selv om det er en snasket differentialligning med et singulært randpunkt, fandt vi tilbage til kædelinjen som løsningen. Men hermed er historien om kædelinjen ikke slut: Tegner vi det geometriske sted for det afhængige punkt Q som funktion af det uafhængige punkt P med kædelinjen som ledelinje viser det sig at normalen netop er tangenten til det geometriske sted. fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = QR = e e x P 0.5 Q R Det geometriske sted er derfor en kurve med den ejendommelige egenskab, at tangentstykket ned til x-aksen har konstant længde. Den kaldes derfor for hundekurven eller traktricen. Det er nemlig den kurve en modvillig hund vil følge, når dens herre vandre hjem af x-aksen mens hunden i strakt linje hel tiden forsøger at gå modsat! Her er der vist stof nok til en stor skriftlig opgave, hvis man skal forsøge at underbygge alle disse iagttagelser med detaljerede symbolske beregninger! Og så er kædelinjen jo ikke den eneste kurve, der kan undersøges på denne vis. Grafen for en eksponentialfunktion og grafen for en kvadratrodsfunktion har tilsvarende simple karakteriseringer via den konstante subnormal og den konstante subtangent. Og oven i købet viser det altså at parablen også kan karakteriseres som en geometrisk differentialligning. Men for de transcendente kurver er det den eneste udvej. 15

16 Kommet så langt håber vi ikke læseren er blevet skræmt i frygten for at almindelige elever slet ikke kan finde ud af at håndtere programmet. Geometer fungerer netop på mange niveauer og kan sagtens anvendes af elever på alle klassetrin fra tidligt i folkeskolen helt frem til universitetet. Og herved adskiller det sig netop fra mange andre geometriprogrammer skrevet til brug for undervisningen. lle geometriprogrammer understøtter klassisk Euklidisk geometri men Geometer kan så meget mere. Det giver mulighed for undervisningsdifferentiering med udfordringer for alle. Og det giver mulighed for at følge op på Geometer hele vejen gennem gymnasiet frem til de mest avancerede niveauer. Geometer kan ikke bare bruges med succes fra første dag i hf fællesfag og naturfag for sproglige, men det kan også bruges som et af mange mulige udgangspunkter for de afsluttende valgfrie emner på højt niveau eller som udgangspunkt for den store skriftlige opgave i 3g. Så derfor har vi prøvet at trække nogle lidt mere utraditionelle eksempler på anvendelser af programmet frem i lyset for bedre at kunne vise både dybden og bredden i programmet. Og så har vi endda ikke været inde på alle programmets facetter. Fx bør det også nævnes at store dele af programmets konstruktioner kan udgives direkte på nettet som web-sider, vel at mærke som dynamiske illustrationer, hvor man altså kan deformere figuren ved at trække i punkter osv. og således selv gå på opdagelse i web-figuren. Og så er der prisen: Ikke bare kan programmet nu på grund af L&R uddannelses fortrinlige initiativ fås på dansk, men også til yderst rimelige priser (som alle er eksklusive moms): En privatbruger licens (uden manual) fås til 10 kr. En skolelicens, der dækker alle skolens maskiner, koster 100 kr. En totallicens, der dækker alle skolens brugere (herunder elevernes hjemmearbejde og eksamen), koster kr. Geometer forhandles her i landet af: L&R Uddannelse, Pilestræde 5, 111 København K, Telefon: , Telefax: Det er nu mere end ti år siden vi for første gang introducerede SketchPad i det danske gymnasium i forbindelse med afholdelsen af de landsdækkende faglige efteruddannelseskurser i EDB. f grunde, der er os uforståelige, lykkedes det dengang ikke at gøre danske programudbydere interesserede i at udgive SketchPad. Nu er programmet endeligt landet, og vi kan kun anbefale, at man tager godt imod det. Geometriprogrammer vil formentlig komme til at spille en stadig stigende rolle i gymnasieundervisningen de kommende år med den langt større valgfrihed og de mange muligheder for projekter, der er lagt op til i det nye standardforsøg. Og med fremkomsten af en ny generation af geometriprogrammer, hvoraf Geometer er en fornem repræsentant, er det bestemt ikke kun CS-programmerne, der bør løbe med interessen! 16

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

GeoMeter håndbogen. GeoMeter v. 1.0. (The GeoMeter s Sketchpad Version 4.02)

GeoMeter håndbogen. GeoMeter v. 1.0. (The GeoMeter s Sketchpad Version 4.02) GeoMeter håndbogen GeoMeter v. 1.0 (The GeoMeter s Sketchpad Version 4.02) Geometriprogrammet GeoMeter Dansk udgave af The GeoMeter s Sketchpad version 4.0, 2001 - Det dynamiske geometriprogram til eksperimenterende

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 7 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Brugervejledning. Cabri Geometry TI-89 / TI-92 Plus

Brugervejledning. Cabri Geometry TI-89 / TI-92 Plus Cabri Geometry TI-89 / TI-92 Plus Brugervejledning Resumé af geometri...2 Geometri: Grundlæggende viden... 3 Håndtering af filoperationer... 12 Angivelse af programindstillinger... 14 Markering og flytning

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion 6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Areal og overflade: kunne foretage beregninger af sammensatte arealer og sammensætte formler til beregning af disse.

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere