EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

Transkript

1 EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad er kommet i en helt ny udgave, version 4. Og denne gang følger der oven i købet en dansk forhandler med, idet forlaget L&R Uddannelse har påtaget sig ikke blot at forhandle programmet i Danmark men også det omfattende job på glimrende vis at oversætte programmet inklusive hjælpeteksterne og de indledende eksempler til programmet til Dansk. For dem der allerede kender programmet er der sket en betydelig opstramning af vinduesbrugerfladen og Geometer/SketchPad fremtræder nu endeligt som et fuldt moderne windowsprogram med alt hvad man kan forvente sig af tastaturgenveje, musestyrede objekter og dokumentstyring med dertil hørende omfattende multimediestøtte. Men også den matematiske side af programmet har været en grundig tur gennem omfattende pædagogiske overvejelser om hvordan programmet kan gøres mere brugervenligt og nyttigt i den daglige matematikundervisning på alle niveauer: Fra leg med geometri i de tidligste klasser i folkeskolen over undervisningsforløb og projekter i gymnasiet til avancerede visualiseringsprojekter på universitetsniveau. Men trods alt er der mange lærere herhjemme, der endnu ikke har stiftet bekendtskab med programmet, så vi vil i det følgende se på det med friske øjne. Geometer/SketchPad er først og fremmest et visualiseringsprogram, hvor man kan frembringe illustrationer, statiske som dynamisk/interaktive, af allehånde geometriske konstruktioner. Programmet dækker fire forskellige slags geometrier afspejlet i de fire menuer: 1) Konstruer: Klassisk konstruktionsgeometri med passer og lineal. ) Transformer: Transformationsgeometri med spejlinger, drejninger, multiplikationer og parallelforskydninger. 3) Mål: Metrisk geometri med målinger og konstruktioner baseret på målinger. 4) Graf: Koordinatgeometri, dvs. analytisk geometri. 1

2 Hver af disse typer er forsynet med værktøjer, der både tillader statiske konstruktioner baseret på faste mål og dynamiske konstruktioner baseret på variable mål. Tilsvarende kan man komme langt med musen alene baseret på værktøjslinjen med museværktøjer (som vi vender tilbage til), ligesom man kan komme langt med menuerne alene. Som sagt er der stort set reserveret en menu til hver af typerne, og menuen er i hvert tilfælde delt i en startmenu med forholdsvis simple værktøjer og en slutmenu med avancerede værktøjer. Vi viser herunder menuerne hørende til de fire typer geometrier: Konstruer Transformer Mål Graf Elementære konstruktioner: Elementære transformationer: Elementære målinger: Elementær koordinatgeometri: Punkt på objekt Marker centrum Længde Definer koordinat Midtpunkt Marker spejlingsakse fstand Marker koordinat Skæringspunkt marker vinkel Omkreds Gitter Linjestykke Marker forhold Periferi Vis gitter Halvlinje Marker vektor Vinkel Lås til gitter Linje Marker længdemåling real Plot punkter Parallel linje Parallelforskyd Centervinkel Vinkelhalveringslinje Drej Buelængde Cirkel cent /punkt Multiplicer om punkt Radius Cirkel cent /radius Spejl Forhold Cirkelbue Cirkelbue tre punkter Indre vancerede konstruktioner: vancerede transformationer vancerede målinger vanceret koordinatgeometri Geometrisk sted Iterer Lommeregner Ny parameter Koordinater Ny funktion x-koordinat Plot ny funktion y-koordinat Differentialkvotient fstand koordin Tabel Hældningskoefficient Tilføj data til tabel Ligning Fjern data fra tabel Som det ses er Konstruer-menuen bygget op omkring de elementære konstruktioner med punkter, linjer og cirkler (samt det indre af polygoner, cirkler, cirkeludsnit og cirkelafsnit), svarende til de faste elementer i den euklidiske konstruktionsgeometri. I forbifarten bemærker vi, at keglesnit ikke er inkluderet som et grundlæggende elementært objekt. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke den udvidede konstruktionsgeometri, der også indbefatter keglesnit og deres indbyrdes skæringer. Det avancerede værktøj i konstruktionsmenuen er det geometriske sted, der helt i Newtons ånd er implementeret som en ledelinjekonstruktion, dvs. der skal vælges et uafhængigt punkt på en kurve (ledelinjen), samt et afhængigt objekt (punkt/linje/cirkel), der gennemløber det geometriske sted. Det er en meget fleksibel konstruktion, der giver anledning til såvel de klassiske geometriske steder som enhver andet geometrisk objekt, der kan frembringes som resultat af en eksplicit sammenhæng mellem det uafhængige punkt og det afhængige objekt. Den dækker fx også alle funktionsgrafer! Man kan vælge frie punkter på det geometriske sted og benytte disse som udgangspunkt for målinger hen-

3 holdsvis nye konstruktioner, herunder nye geometriske steder. Håndteringen af de geometriske steder er helt klart væsentligt forbedret i forhold til tidligere versioner af SketchPad. Man kan løbende sætte antallet af punkter op involveret i konstruktionen af det geometriske sted, ligesom de nu vælges problemfrit sammen med andre objekter med henblik på fx kopiering. Men man kan ikke konstruere fx skæringspunkter involverende geometriske steder (noget de færreste geometriprogrammer tør vove sig ind på med utograph som undtagelsen, der bekræfter reglen, og viser, at det godt kan lade sig gøre et stykke hen ad vejen). I nogle sammenhænge må man derfor lære at sno sig men det er jo også en både kreativ og lærerig udfordring! P Q M B Billedet viser den klassiske konstruktion af en ellipse ud fra en cirkel som ledelinje. Det afhængige punkt Q ligger lige langt fra B og P, hvorfor summen af afstandene Q og QB netop svarer til radius P i cirklen. Når det uafhængige punkt P gennemløber ledelinjen vil det afhængige punkt Q derfor gennemløbe ellipsen med brændpunkter i og B (samt storeaksen a givet ved cirklens radius). I tilgift får vi netop tangenten gennem ellipsepunktet Q forærende som midtnormalen til BP. I forbifarten nævner vi også, at hvis vi konstruerer indhyldningskurver som geometriske steder, vil det kun være linjetegningen, der fremkommer. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke konstruktionen af indhyldningskurver som et geometrisk objekt. Transformer-menuen er bygget op omkring dels de mål, der definerer beliggenheden og størrelsen af transformationen, såsom centrum for transformationen, aksen for transformation, drejningsvinklen, multiplikationsforholdet osv., dels de fire grundlæggende transformationer i den euklidiske geometri: Parallelforskydningen, Drejningen, Multiplikationen og Spejlingen. Sammensatte transformationer som glidespejling og drejemultiplikationer fås ved kombination af disse, mens mere avancerede transformationer som cirkelspejlinger (inversioner) ikke understøttes. Transformationer er ikke blot et vigtigt emne i sig selv, specielt i forbindelse med symmetri, men de er også afgørende i målfaste konstruktioner, fx trekanter med givne mål, hvor det er afgørende, at man kan konstruere punkter med fastlagte afstande gennem parallelforskydninger med givne længder, linjer med givne vinkler gennem drejninger osv. 3

4 Bemærkning: Udvalgte konstruktioner og transformationer kan udføres direkte med musen ved hjælp af værktøjerne i værktøjsmenuen, der som menuerne består af først de simple værktøjer, dernæst et avanceret værktøj: Pile-værktøjet understøtter transformationerne: Parallelforskydninger, drejninger og multiplikationer. Punkt-værktøjet understøtter konstruktion af såvel frie punkter, som punkter på objekter og skæringspunkter. Cirkel-værktøjet understøtter konstruktionen af cirkler ud fra centrum og randpunkt. Linje-værktøjet understøtter de tre typer af linjer: linjestykker, halvlinjer og linjer. Tekst-værktøjet understøtter navngivningen af objekter og forklarende tekstbokse, der også kan knyttes til objekter. Makro-værktøjet er det avancerede værktøj, som tillader brugerdefinerede konstruktioner ved dels at udpege de objekter, der indgår som udgangspunkt for konstruktionen, dels at udpege de objekter, der fremkommer som resultat af konstruktionen. De brugerdefinerede konstruktioner kan benyttes side om side med menuernes konstruktioner og kan gemmes særskilt eller de kan vises frem generelt, når de gemmes i makromappen. C C M a M a M b M b T K T M B L B M c Dynamiske transformationer: Et eksempel på en dynamisk elektronisk illustration (der ikke kan ydes fuld retfærdighed på et stykke papir!). (1) Trekanten BC konstrueres med tilhørende midtpunkter på siderne. Midtpunktstrekanten M a M b M c er derfor en ligedannet kopi af den store trekant BC i forholdet 1:. Ydermere er korresponderende sider parallelle. Der findes derfor en multiplikation, der fører den store trekant over i den lille. Centret for multiplikationen ligger på forbindelseslinjerne M a, BM b og CM c, dvs. de tre medianer, der altså nødvendigvis går gennem det samme punkt, trekantens tyngdepunkt T. () Der dobbeltklikkes på tyngdepunktet T, der derved udpeges som centrum for efterfølgende transformationer. Der oprettes en kopi KML af den store trekant (kopier/indsæt) og kopien flyttes på plads, så den dækker den oprindelige trekant BC. Herefter skiftes til ligedannethedspilen og kopitrekanten trækkes gennem tyngdepunktet T og ud på den anden side, indtil den dækker midtpunktstrekanten. Derved fås en umiddelbar oplevelse af den abstrakte/teoretiske erkendelse: t de to trekanter er ligedannede med centrum i T. M c 4

5 Det avancerede menupunkt på transformationsmenuen drejer sig om iterationer. Geometer kan illustrere iteration af geometriske konstruktioner såvel som af funktioner. Her vil vi i første omgang kun se på geometriske iterationer. Som et eksempel kigger vi tilbage på konstruktionen af midtpunktstrekanten, hvor vi kan udpege de tre hjørner, B og C som udgangspunkt for iterationen. Derefter kan vi udpege de tre midtpunkter som billederne af de tre hjørner ved iterationen: C M a M b B M c Resultatet er en serie af stadigt mindre midtpunktstrekanter, der netop snører sig sammen omkring tyngdepunktet: C M a M b B M c Det giver altså anledning til den sædvanlige leg med uendeligheder: Spejle i spejle osv. Men herfra er der ikke langt til at lege med fraktaler. Så skal vi blot have fat i en familie af iterationer i stedet for blot én. Vi gentager derfor spøgen, men vælger i stedet denne gang tre iterationer, der successivt afbilder den store trekant i hjørnetrekanterne: M b M c, BM c M a og CM a M b : 5

6 C M a M b B Resultatet er den berømte Sierpinski-trekant: M c C M a M b B M c Nemmere kan det vist ikke gøres at lege med geometriske fraktaler. På Mål-menuen har vi dels adgang til elementære målinger af geometriske størrelser, såsom længder (afstanden mellem to punkter, omkredsen af polygoner, cirkelafsnit og cirkeludsnit, cirkelperiferier, buelængder på cirkler osv.) såvel som arealer (af polygoner, cirkler, cirkelafsnit og cirkeludsnit) og vinkler (inklusive centervinkler, som supplement til buelængder). f hensyn til koordinatgeometrien kan vi også måle koordinater, afstande i et koordinatsystem (ved hjælp af afstandsformlen), hældningskoefficienten for en ret linje samt ligningen for et elementært geometrisk objekt, dvs. en ret linje eller en cirkel. Det sidste er fint til simple undersøgelser i den analytiske geometri. Men lad os et øjeblik blive ved den koordinatfri geometri. Det avancerede værktøj i mål-menuen er lommeregneren. Fuldt integreret i Geometer er en almindelig lommeregner, der kan bruges til at udføre alle mulige former for beregninger. Resultatet af disse beregninger afhænger dynamisk af de værdier, der ligger til grund for beregningen. Hvis fx der indgår en afstand mellem to punkter i beregningen vil denne afstand ændres, når man flytter rundt på punkterne, og beregningen vil da sideløbende automatisk opdateres. Disse beregninger kan ydermere benyttes som udgangspunkt for nye interaktive/dynamiske konstruktioner. Der er med andre ord tale om et geometrisk regneark! 6

7 Læg mærke til at lommeregneren naturligvis understøtter de geometriske konstanter e og π, samt enheder for såvel længder som vinkler. Derved røbes det at også matematikundervisning på meningsfuld måde kan beskæftige sig med enheder et faktum, der ofte ignoreres, idet enhederne typisk overlades til fysik-, kemi- og biologi-undervisningen. Der findes også andre geometriprogrammer der understøtter dynamiske beregninger, men ingen så elegant som Geometer. Lad os som et eksempel på brugen af lommeregneren se lidt på geometrisk optik, fx brydningen af lys i en regndråbe, der repræsenteres ved en (udfyldt) cirkel: i = b = i-b = s = b- i = S Q 1 P i-b b P 1 i P 0 b b n = Q 3 O E b i-b P 3 i P 4 Brydningsforholdet n indtastes som en parameter med værdien 1.33 (fx via lommeregnerens værdi-menu!). Så kan vi senere variere brydningsforholdet og dermed tage hensyn til hvilken farve vi sender ind i regndråben. 7

8 Dernæst vælges en vandret akse OE, som repræsenterer retningen fra dråbens centrum til Solen. Der konstrueres en normal til aksen og et frit punkt P 0 på denne normal. Vi kan nu sende en lysstråle ind parallelt med aksen gennem startpunktet P 0. Ved at flytte P 0 lodret op og ned kan vi ændre på den indkommende stråle (dvs. teknisk set ændrer vi impact-parameteren for strålen). Vi skal så have konstrueret strålens vej gennem regndråben. Den rammer strålen under en indfaldsvinkel i, som netop er givet ved vinklen EOP 1. Vi måler derfor denne vinkel og navngiver den i. (NB! Det er vigtigt i det følgende, at der arbejdes med fortegnsbestemte grader som vinkelmål). Dernæst beregner vi vinklen b ved hjælp af brydningsloven: sin( i) 1 1 = n sin( b) = sin( i) b= arcsin( sin( i)) sin( b) n n Da Geometer ikke er et symbolsk program, må vi selv udlede formlen for brydningsvinklen b. Den indtastes derefter i lommeregneren og ud kommer resultatet, som vi navngiver b. En geometrisk overvejelse, hvor vi springer detaljerne over, giver nu, at den brudte stråle fremkommer ved at dreje den indkommende stråle med vinklen i b omkring impactpunktet P 1. Vi beregner derfor i b ved hjælp af lommeregneren og markerer den som vinkel ligesom vi markerer impactpunktet P 1 som centrum for de følgende transformationer. Den drejede stråle skærer cirklen i bagpunktet P. Således fortsætter vi med at følge strålens vej gennem cirklen. Hele konstruktionen lettes betydeligt, hvis vi bemærker at strålegangen må være symmetrisk omkring aksen gennem centrum og bagpunktet, dvs. OP. Vi kan derfor markere den som en akse for de følgende transformationer og simpelthen spejle den indkommende og brudte stråle. Til slut måler vi spredningsvinklen s mellem den indkommende (vandrette) stråle og den udgående stråle. En geometrisk overvejelse, hvor vi igen overspringer detaljerne, viser at den er givet ved formlen s = 4b i. Dette bekræftes af en beregning af formlen 4b i ved hjælp af lommeregneren. Ved at kombinere mål-geometri med transformations-geometri har vi nu fået styr på en lysstråles vej gennem en sfærisk regndråbe noget, der forhåbentligt skulle vise styrken i disse typer geometrier og noget som ikke mange geometriprogrammer kan klare udover altså Geometer og Cabri. Bemærkning: Ved at flytte rundt på strålen kan vi nu finde den maksimale spredningsvinkel, der er afgørende for forståelsen af dannelsen af en regnbue, men det er en anden historie. Her vil vi blot afrunde mål-geometrien med konstruktionen af en regnbue som et geometrisk billede, altså uden om den bagved liggende optik. Det skal selvfølgelig ses i farver på en skærm, men dem må man altså forestille sig i det følgende. Vi tegner først en vandret linje, horisonten, og dernæst et centrum C på horisonten, der angiver retningen for solstrålen, idet vi tænker os at det er solopgang, så solen netop er ved at stå op over horisonten i den modsatte retning bag ved os. Vi tegner så to halvcirkler med centrum i C ud til horisontpunkterne og B. De afgrænser regnbuen på himlen. Dernæst vælges et frit uafhængigt punkt P på linjestykket B, og vi måler forholdet P/B, som altså bliver et tal mellem 0 og 1. Dette forhold skal styre farvelægningen af regnbuen. 8

9 P B = C P B Dernæst har vi konstrueret halvcirklen med centrum i C gennem horisontpunktet og valgt såvel denne som forholdet P/B. Det åbner for muligheden for at vælge parametriserede farver, idet vi nu kan lade forholdet styre farvevalget af halvcirklen: Som det ses kan vi netop styre en regnbueskala i farver med en parameter, der går fra 0 til 1. Og på denne måde kan vi nu opbygge regnbuen som et geometrisk sted med horisontstykket B som ledelinjen, horisontpunktet P som det uafhængige punkt og den farvede halvcirkel som det afhængige objekt. Farvelægningen af regnbuen er blot et eksempel på de meget stærke multimedieegenskaber Geometer har fået. Farver kan i sig selv benyttes til fremhævelse af geometriske objekter med specielle egenskaber, fx implicitte geometriske steder. Kun ens fantasi sætter grænsen. Som vi har set bevæger vi os med den nederste del af mål-menuen ind i koordinatgeometrien. I Graf-menuen findes der dels en elementær afdeling, hvor man kan arbejde med koordinatsystemer og gittergeometri, idet man fx kan låse punkterne til gitterpunkter og dermed bruge Geometer som et virtuelt sømbræt. Man har beholdt det meget stærke menupunkt Plot punkter med flere funktioner: Dels giver det mulighed for at indtaste serier af koordinater til opbygningen af diverse figurer, herunder figurer baseret på målinger foretaget udenfor programmet. Dels virker det også som menupunktet Plot som (x,y), når man vælger præcis to målinger/beregninger. Det har altid været en af Geometer/SketchPads virkelige adelsmærker, at man på denne måde kunne 9

10 forvandle et vilkårligt par af dynamiske målinger til en kurve i et koordinatsystem, herunder en funktionsgraf. I forbifarten bemærker vi, at dette er et af de meget få punkter, der er svækket en smule i den nye version. I den tidligere version kunne man også kopiere en punkttabel ind fra et andet program fx et regneark. Hvis man i den nye version vil tegne fx et stjernekort må man derfor virkelig sno sig eller gå den tunge vej og indtaste koordinaterne for stjernerne én for én. Ellers må man vente, indtil tabelfaciliteterne forhåbentligt i den nærmeste fremtid vil blive rettet op. Hvis vi fx vender tilbage til eksemplet med optikken i en regndråbe kan man nu udpege målingerne af indfaldsvinklen i og spredningsvinklen s og få tegnet spredningsvinklen s som en funktion af indfaldsvinklen i. Dernæst er vejen åbnet for at tegne det geometriske sted for grafpunktet (i, s) fx med startpunktet P 0 som det uafhængige punkt og normalen som ledelinje P 0 50 (i,s): ( , ) 40 (i,s) Her har vi antydet, hvordan man kan spore sig frem til den maksimale spredningsvinkel s maks = 4.5 ved en indfaldsvinkel på i = Det er måske ikke så teoretisk avanceret som en symbolsk gennemregning men det er ret så anskueligt! Nyhederne kommer for alvor under den avancerede koordinatgeometri. Der er to væsentlige nyheder, begge ret så interessante. Geometer har nu fået indbygget et variabelbegreb med talværdier i form af parametre, der fx kan fås via det avancerede menupunkt Ny parameter. De fungerer på mange måder som målinger og beregninger, men også med vigtige forskelle. Man kan fx uden videre give en parameter en ny præcis værdi ved at dobbeltklikke på den. Man kan også animere en parameter (eller ændre den trinvis ved hjælp af + og tasterne). Og endelig kan man bruge en parameter som udgangspunkt for en iteration. Vi har hele tiden haft variable punkter til rådighed og kunnet simulere 10

11 parametre langt hen af vejen ved at måle på variable punkter. Men nu har Geometer altså bekendt kulør og indført variable talstørrelser på lige fod med variable punkter. Dermed er der sket en kraftig forening af aritmetikken og geometrien. Pladsen tillader desværre ikke at give mangfoldige eksempler på anvendelsen af parameterbegrebet, men det er afgjort en af de helt væsentlige styrkelser af programmet. Og så har Geometer ikke mindst nærmet sig den grafiske lommeregner. Der er indført en funktionsregner som supplement til talregneren. Og det vel at mærke en funktionsregner som håndterer funktioner med den korrekte funktionsnotation, dvs. f (x). Det sker i menupunkterne Ny funktion og Plot ny funktion. Ydermere tillader programmet en symbolsk differentiation af alle de indførte funktioner via menupunktet Differentialkvotient. Det skal ikke forstås sådan at Geometer nu er blevet et af de frække programmer som kan symbolmanipulation. Der reduceres ikke synderligt på de fundne udtryk, som hurtig kan komme til at se meget besynderlige ud. Så Geometer vil ikke kunne konkurrere med de symbolske lommeregnere. Men resultatet af en differentiation kan bruges som udgangspunkt for præcise numeriske beregninger af differentialkvotienten og dermed for præcise konstruktioner af fx tangenter til kurver. Stort set hele den obligatoriske matematik ligger altså nu åben for en geometrisk visualisering i Geometer. Først et eksempel på tegning af grafen med funktionen f (x) = x cos(x) (hvor Geometer meget betænksomt spørger om det ikke er tilrådeligt at skifte til radianer!). fx () = x cos() x x = y = Toppkt: ( , ) f' () x = -1 x sin()+cos x () x f'' () x = -1 x cos()+- sin x () x x B = fx B ( ) = Toppkt Ved at differentiere funktionen to gange er der åbnet mulighed for at implementere Newton-Raphsons metode for toppunktet, via iterationsformlen 11

12 x x f '( x) f ''( x) Vi starter derfor med at konstruere et frit grafpunkt og måle dets koordinater x og y. Med udgangspunkt i det frie punkt konstrueres koordinaterne til f '( x) det første itererede punkt B ud fra formlerne x, der navngives x B og f ''( x ) f '( x) f x, der navngives y B. Vi udpeger så grafpunktet og vælger iterer f ''( x) fra transformationsmenuen og fortæller dernæst, at itereres over i punktet B. Det giver den første tilnærmelse til toppunktet. Ved at iterere fx ti gange og kun vise det sidst itererede punkt kan vi vælge dette og omdanne det til et almindeligt geometrisk punkt kaldet toppkt ved hjælp af menupunktet Endepunkt på transformationsmenuen (der træder i stedet for Iterer i sådanne tilfælde). Vi kan så, som vist på figuren, måle koordinaterne til toppunktet. Til slut skjules hjælpepunktet B, og vi er færdige med at konstruere en rutine, der ud fra et givet grafpunkt konstruerer det 'nærmest' beliggende toppunkt. Det kan man se ved at rykke frem og tilbage på grafpunktet. Hvis man fjerner det for meget flytter toppunktet til et andet stationært punkt på grafen! Selv om der altså ikke er indbyggede værktøjer til at finde fx toppunkter for grafer, kan vi hurtigt supplere med det fornødne. Og eksemplet er selvfølgelig fuldt dynamisk: Hvis vi retter i funktionsforskriften for f (x) opdateres graftegningen med dertil hørende toppunkt automatisk af sig selv. På denne måde kan Geometer ikke bare bruges som en geometrisk grafregner med skabeloner for de vigtigste værktøjer i grafregneren (rødder, toppunkter, skæringspunkter, ), men vi kan også benytte Geometer til at få indblik i mulige metoder til at implementere sådanne beregningsværktøjer i en grafregner. Som det sidste og meget avancerede eksempel vender vi os igen mod geometriske steder i geometrisk belysning. De klassiske geometriske steder er alle simple algebraiske kurver men med indførslen af funktionsregneren er der også åbnet mulighed for geometriske undersøgelser af transcendente kurver. Det simpleste klassiske geometriske sted er vel nok parablen med den arketypiske ledelinjekonstruktion. Tilsvarende er den simpleste transcendente kurve med en righoldig geometri nok kædelinjen med den generelle ligning: x b y = a cosh( ). a For enkelhedens skyld ser vi derfor nu på kædelinjen med ligningen y = cosh(x). Da hyperbolsk cosinus ikke er indbygget indtaster vi den i stedet ved hjælp af eksponentialfunktioner: x x e + e f( x) = Vi får også brug for at differentiere den, men som vist på figuren næste side er resultatet som sådan ikke synderligt gennemskueligt: f e '( x) = x 0 1 ln( e) 0 ln( e) x e e e e x 1

13 Men det er ikke afgørende, da vi jo kun skal bruge det som et hjælpeudtryk for præcise beregninger af tangenthældninger! fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = e e x P T( x[p] + 1, y[p] + f'(x[p]) ) S QR = Q R -0.5 Der er nu åbnet vej for at konstruere et grafpunkt P og måle på dets koordinater x P og y P, såvel som at beregne tangenthældningen f '( x P ). Vi skal så have fat i tangenten til kædelinjen. Den kunne vi godt tegne som grafen for det approksimerende førstegradspolynomium. Men det er meget smartere at konstruere den geometrisk ved at udnytte, at den dels går gennem grafpunktet P( xp, y P ), dels gennem tangentpunktet T( xp + 1, yp + f '( xp) ) (idet tangenten jo netop har hældningen f '(x P ), dvs. når vi går 1 hen, skal vi gå f '(x P ) op). Vi beregner derfor værdien af de to koordinater for det forskudte punkt T, og afsætter dem som et punkt ved hjælp af menupunktet Plot som (x, y). Dernæst forbinder vi det forskudte tangentpunkt T med grafpunktet P og har nu konstrueret tangenten som en ret linje. Og det vel at mærke på en måde, så Geometer ved, at tangenten rent faktisk er en ret linje! Vi kan derfor nu lege videre med tangenten! I tilfældet med kædelinjen kan vi fx konstruere fodpunktet R for grafpunktet P og dernæst konstruere normalen til tangenten gennem fodpunktet. Denne skærer tangenten i punktet Q. Så sker miraklet, når vi prøver at opmåle dimensionerne for trekanten PQR : 1) Koordinatafstanden mellem Q og R viser sig altid at være 1. ) Faktisk er de to retvinklede trekanter PQR og PTS kongruente! Dette giver anledning til en fuldstændig geometrisk karakterisering af kædelinjen: x-aksen spiller da rollen som kædelinjens ledelinje, tallet 1, dvs. afstanden fra kædelinjens toppunkt til dens ledelinje spiller rollen som kædelinjens parameter (jfr. parablens bredde p, der tilsvarende kan karakteriseres som den 13

14 firdobbelte afstand fra toppunktet til ledelinjen eller tilsvarende som den dobbelte afstand fra brændpunktet til ledelinjen, men kædelinjen har ingen brændpunkt, hvorfor analogien er tydeligere, hvis vi i stedet spiller på parablens toppunkt). Kædelinjen med ledelinje l, toppunkt T (og dermed parameteren a = dist(l, T ) ) er det geometriske sted for de punkter P på en kurve K, der opfylder de følgende to egenskaber: 1) Kurven K indeholder toppunktet T. ) Kaldes P's fodpunkt på ledelinjen for R og projektionen af fodpunktet på tangenten for Q, så er afstanden fra fodpunktet til projektionen konstant lig med parameteren a, dvs. dist(q,r) = a. Da det er en egenskab ved tangenten, der karakteriserer det geometriske sted, er der åbenbart tale om en differentialligning i geometrisk iklædning. Som i det ovenstående tilfælde kan vi benytte ledelinjen som x-akse. Til grafpunktet med koordinaterne (x 0, y 0 ) hører derfor tangenthældningen: T y 0 y 0 -a y 0 -a P(x0,y0) a S Q y 0 a R y y a ' o 0 = Kædelinjen er derfor også løsningen til differentialligningen: a y a y ' = med randbetingelsen y(0) = a. a Geometer kan selvfølgelig ikke løse en sådan differentialligning for os, så der må vi hente assistance i et symbolsk program fx TI-interactive: 14

15 Jo, selv om det er en snasket differentialligning med et singulært randpunkt, fandt vi tilbage til kædelinjen som løsningen. Men hermed er historien om kædelinjen ikke slut: Tegner vi det geometriske sted for det afhængige punkt Q som funktion af det uafhængige punkt P med kædelinjen som ledelinje viser det sig at normalen netop er tangenten til det geometriske sted. fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = QR = e e x P 0.5 Q R Det geometriske sted er derfor en kurve med den ejendommelige egenskab, at tangentstykket ned til x-aksen har konstant længde. Den kaldes derfor for hundekurven eller traktricen. Det er nemlig den kurve en modvillig hund vil følge, når dens herre vandre hjem af x-aksen mens hunden i strakt linje hel tiden forsøger at gå modsat! Her er der vist stof nok til en stor skriftlig opgave, hvis man skal forsøge at underbygge alle disse iagttagelser med detaljerede symbolske beregninger! Og så er kædelinjen jo ikke den eneste kurve, der kan undersøges på denne vis. Grafen for en eksponentialfunktion og grafen for en kvadratrodsfunktion har tilsvarende simple karakteriseringer via den konstante subnormal og den konstante subtangent. Og oven i købet viser det altså at parablen også kan karakteriseres som en geometrisk differentialligning. Men for de transcendente kurver er det den eneste udvej. 15

16 Kommet så langt håber vi ikke læseren er blevet skræmt i frygten for at almindelige elever slet ikke kan finde ud af at håndtere programmet. Geometer fungerer netop på mange niveauer og kan sagtens anvendes af elever på alle klassetrin fra tidligt i folkeskolen helt frem til universitetet. Og herved adskiller det sig netop fra mange andre geometriprogrammer skrevet til brug for undervisningen. lle geometriprogrammer understøtter klassisk Euklidisk geometri men Geometer kan så meget mere. Det giver mulighed for undervisningsdifferentiering med udfordringer for alle. Og det giver mulighed for at følge op på Geometer hele vejen gennem gymnasiet frem til de mest avancerede niveauer. Geometer kan ikke bare bruges med succes fra første dag i hf fællesfag og naturfag for sproglige, men det kan også bruges som et af mange mulige udgangspunkter for de afsluttende valgfrie emner på højt niveau eller som udgangspunkt for den store skriftlige opgave i 3g. Så derfor har vi prøvet at trække nogle lidt mere utraditionelle eksempler på anvendelser af programmet frem i lyset for bedre at kunne vise både dybden og bredden i programmet. Og så har vi endda ikke været inde på alle programmets facetter. Fx bør det også nævnes at store dele af programmets konstruktioner kan udgives direkte på nettet som web-sider, vel at mærke som dynamiske illustrationer, hvor man altså kan deformere figuren ved at trække i punkter osv. og således selv gå på opdagelse i web-figuren. Og så er der prisen: Ikke bare kan programmet nu på grund af L&R uddannelses fortrinlige initiativ fås på dansk, men også til yderst rimelige priser (som alle er eksklusive moms): En privatbruger licens (uden manual) fås til 10 kr. En skolelicens, der dækker alle skolens maskiner, koster 100 kr. En totallicens, der dækker alle skolens brugere (herunder elevernes hjemmearbejde og eksamen), koster kr. Geometer forhandles her i landet af: L&R Uddannelse, Pilestræde 5, 111 København K, Telefon: , Telefax: lru@lruddannelse.dk, Det er nu mere end ti år siden vi for første gang introducerede SketchPad i det danske gymnasium i forbindelse med afholdelsen af de landsdækkende faglige efteruddannelseskurser i EDB. f grunde, der er os uforståelige, lykkedes det dengang ikke at gøre danske programudbydere interesserede i at udgive SketchPad. Nu er programmet endeligt landet, og vi kan kun anbefale, at man tager godt imod det. Geometriprogrammer vil formentlig komme til at spille en stadig stigende rolle i gymnasieundervisningen de kommende år med den langt større valgfrihed og de mange muligheder for projekter, der er lagt op til i det nye standardforsøg. Og med fremkomsten af en ny generation af geometriprogrammer, hvoraf Geometer er en fornem repræsentant, er det bestemt ikke kun CS-programmerne, der bør løbe med interessen! 16