EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad"

Transkript

1 EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad er kommet i en helt ny udgave, version 4. Og denne gang følger der oven i købet en dansk forhandler med, idet forlaget L&R Uddannelse har påtaget sig ikke blot at forhandle programmet i Danmark men også det omfattende job på glimrende vis at oversætte programmet inklusive hjælpeteksterne og de indledende eksempler til programmet til Dansk. For dem der allerede kender programmet er der sket en betydelig opstramning af vinduesbrugerfladen og Geometer/SketchPad fremtræder nu endeligt som et fuldt moderne windowsprogram med alt hvad man kan forvente sig af tastaturgenveje, musestyrede objekter og dokumentstyring med dertil hørende omfattende multimediestøtte. Men også den matematiske side af programmet har været en grundig tur gennem omfattende pædagogiske overvejelser om hvordan programmet kan gøres mere brugervenligt og nyttigt i den daglige matematikundervisning på alle niveauer: Fra leg med geometri i de tidligste klasser i folkeskolen over undervisningsforløb og projekter i gymnasiet til avancerede visualiseringsprojekter på universitetsniveau. Men trods alt er der mange lærere herhjemme, der endnu ikke har stiftet bekendtskab med programmet, så vi vil i det følgende se på det med friske øjne. Geometer/SketchPad er først og fremmest et visualiseringsprogram, hvor man kan frembringe illustrationer, statiske som dynamisk/interaktive, af allehånde geometriske konstruktioner. Programmet dækker fire forskellige slags geometrier afspejlet i de fire menuer: 1) Konstruer: Klassisk konstruktionsgeometri med passer og lineal. ) Transformer: Transformationsgeometri med spejlinger, drejninger, multiplikationer og parallelforskydninger. 3) Mål: Metrisk geometri med målinger og konstruktioner baseret på målinger. 4) Graf: Koordinatgeometri, dvs. analytisk geometri. 1

2 Hver af disse typer er forsynet med værktøjer, der både tillader statiske konstruktioner baseret på faste mål og dynamiske konstruktioner baseret på variable mål. Tilsvarende kan man komme langt med musen alene baseret på værktøjslinjen med museværktøjer (som vi vender tilbage til), ligesom man kan komme langt med menuerne alene. Som sagt er der stort set reserveret en menu til hver af typerne, og menuen er i hvert tilfælde delt i en startmenu med forholdsvis simple værktøjer og en slutmenu med avancerede værktøjer. Vi viser herunder menuerne hørende til de fire typer geometrier: Konstruer Transformer Mål Graf Elementære konstruktioner: Elementære transformationer: Elementære målinger: Elementær koordinatgeometri: Punkt på objekt Marker centrum Længde Definer koordinat Midtpunkt Marker spejlingsakse fstand Marker koordinat Skæringspunkt marker vinkel Omkreds Gitter Linjestykke Marker forhold Periferi Vis gitter Halvlinje Marker vektor Vinkel Lås til gitter Linje Marker længdemåling real Plot punkter Parallel linje Parallelforskyd Centervinkel Vinkelhalveringslinje Drej Buelængde Cirkel cent /punkt Multiplicer om punkt Radius Cirkel cent /radius Spejl Forhold Cirkelbue Cirkelbue tre punkter Indre vancerede konstruktioner: vancerede transformationer vancerede målinger vanceret koordinatgeometri Geometrisk sted Iterer Lommeregner Ny parameter Koordinater Ny funktion x-koordinat Plot ny funktion y-koordinat Differentialkvotient fstand koordin Tabel Hældningskoefficient Tilføj data til tabel Ligning Fjern data fra tabel Som det ses er Konstruer-menuen bygget op omkring de elementære konstruktioner med punkter, linjer og cirkler (samt det indre af polygoner, cirkler, cirkeludsnit og cirkelafsnit), svarende til de faste elementer i den euklidiske konstruktionsgeometri. I forbifarten bemærker vi, at keglesnit ikke er inkluderet som et grundlæggende elementært objekt. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke den udvidede konstruktionsgeometri, der også indbefatter keglesnit og deres indbyrdes skæringer. Det avancerede værktøj i konstruktionsmenuen er det geometriske sted, der helt i Newtons ånd er implementeret som en ledelinjekonstruktion, dvs. der skal vælges et uafhængigt punkt på en kurve (ledelinjen), samt et afhængigt objekt (punkt/linje/cirkel), der gennemløber det geometriske sted. Det er en meget fleksibel konstruktion, der giver anledning til såvel de klassiske geometriske steder som enhver andet geometrisk objekt, der kan frembringes som resultat af en eksplicit sammenhæng mellem det uafhængige punkt og det afhængige objekt. Den dækker fx også alle funktionsgrafer! Man kan vælge frie punkter på det geometriske sted og benytte disse som udgangspunkt for målinger hen-

3 holdsvis nye konstruktioner, herunder nye geometriske steder. Håndteringen af de geometriske steder er helt klart væsentligt forbedret i forhold til tidligere versioner af SketchPad. Man kan løbende sætte antallet af punkter op involveret i konstruktionen af det geometriske sted, ligesom de nu vælges problemfrit sammen med andre objekter med henblik på fx kopiering. Men man kan ikke konstruere fx skæringspunkter involverende geometriske steder (noget de færreste geometriprogrammer tør vove sig ind på med utograph som undtagelsen, der bekræfter reglen, og viser, at det godt kan lade sig gøre et stykke hen ad vejen). I nogle sammenhænge må man derfor lære at sno sig men det er jo også en både kreativ og lærerig udfordring! P Q M B Billedet viser den klassiske konstruktion af en ellipse ud fra en cirkel som ledelinje. Det afhængige punkt Q ligger lige langt fra B og P, hvorfor summen af afstandene Q og QB netop svarer til radius P i cirklen. Når det uafhængige punkt P gennemløber ledelinjen vil det afhængige punkt Q derfor gennemløbe ellipsen med brændpunkter i og B (samt storeaksen a givet ved cirklens radius). I tilgift får vi netop tangenten gennem ellipsepunktet Q forærende som midtnormalen til BP. I forbifarten nævner vi også, at hvis vi konstruerer indhyldningskurver som geometriske steder, vil det kun være linjetegningen, der fremkommer. Geometer/SketchPad understøtter altså i modsætning til fx Cabri og Cindarella ikke konstruktionen af indhyldningskurver som et geometrisk objekt. Transformer-menuen er bygget op omkring dels de mål, der definerer beliggenheden og størrelsen af transformationen, såsom centrum for transformationen, aksen for transformation, drejningsvinklen, multiplikationsforholdet osv., dels de fire grundlæggende transformationer i den euklidiske geometri: Parallelforskydningen, Drejningen, Multiplikationen og Spejlingen. Sammensatte transformationer som glidespejling og drejemultiplikationer fås ved kombination af disse, mens mere avancerede transformationer som cirkelspejlinger (inversioner) ikke understøttes. Transformationer er ikke blot et vigtigt emne i sig selv, specielt i forbindelse med symmetri, men de er også afgørende i målfaste konstruktioner, fx trekanter med givne mål, hvor det er afgørende, at man kan konstruere punkter med fastlagte afstande gennem parallelforskydninger med givne længder, linjer med givne vinkler gennem drejninger osv. 3

4 Bemærkning: Udvalgte konstruktioner og transformationer kan udføres direkte med musen ved hjælp af værktøjerne i værktøjsmenuen, der som menuerne består af først de simple værktøjer, dernæst et avanceret værktøj: Pile-værktøjet understøtter transformationerne: Parallelforskydninger, drejninger og multiplikationer. Punkt-værktøjet understøtter konstruktion af såvel frie punkter, som punkter på objekter og skæringspunkter. Cirkel-værktøjet understøtter konstruktionen af cirkler ud fra centrum og randpunkt. Linje-værktøjet understøtter de tre typer af linjer: linjestykker, halvlinjer og linjer. Tekst-værktøjet understøtter navngivningen af objekter og forklarende tekstbokse, der også kan knyttes til objekter. Makro-værktøjet er det avancerede værktøj, som tillader brugerdefinerede konstruktioner ved dels at udpege de objekter, der indgår som udgangspunkt for konstruktionen, dels at udpege de objekter, der fremkommer som resultat af konstruktionen. De brugerdefinerede konstruktioner kan benyttes side om side med menuernes konstruktioner og kan gemmes særskilt eller de kan vises frem generelt, når de gemmes i makromappen. C C M a M a M b M b T K T M B L B M c Dynamiske transformationer: Et eksempel på en dynamisk elektronisk illustration (der ikke kan ydes fuld retfærdighed på et stykke papir!). (1) Trekanten BC konstrueres med tilhørende midtpunkter på siderne. Midtpunktstrekanten M a M b M c er derfor en ligedannet kopi af den store trekant BC i forholdet 1:. Ydermere er korresponderende sider parallelle. Der findes derfor en multiplikation, der fører den store trekant over i den lille. Centret for multiplikationen ligger på forbindelseslinjerne M a, BM b og CM c, dvs. de tre medianer, der altså nødvendigvis går gennem det samme punkt, trekantens tyngdepunkt T. () Der dobbeltklikkes på tyngdepunktet T, der derved udpeges som centrum for efterfølgende transformationer. Der oprettes en kopi KML af den store trekant (kopier/indsæt) og kopien flyttes på plads, så den dækker den oprindelige trekant BC. Herefter skiftes til ligedannethedspilen og kopitrekanten trækkes gennem tyngdepunktet T og ud på den anden side, indtil den dækker midtpunktstrekanten. Derved fås en umiddelbar oplevelse af den abstrakte/teoretiske erkendelse: t de to trekanter er ligedannede med centrum i T. M c 4

5 Det avancerede menupunkt på transformationsmenuen drejer sig om iterationer. Geometer kan illustrere iteration af geometriske konstruktioner såvel som af funktioner. Her vil vi i første omgang kun se på geometriske iterationer. Som et eksempel kigger vi tilbage på konstruktionen af midtpunktstrekanten, hvor vi kan udpege de tre hjørner, B og C som udgangspunkt for iterationen. Derefter kan vi udpege de tre midtpunkter som billederne af de tre hjørner ved iterationen: C M a M b B M c Resultatet er en serie af stadigt mindre midtpunktstrekanter, der netop snører sig sammen omkring tyngdepunktet: C M a M b B M c Det giver altså anledning til den sædvanlige leg med uendeligheder: Spejle i spejle osv. Men herfra er der ikke langt til at lege med fraktaler. Så skal vi blot have fat i en familie af iterationer i stedet for blot én. Vi gentager derfor spøgen, men vælger i stedet denne gang tre iterationer, der successivt afbilder den store trekant i hjørnetrekanterne: M b M c, BM c M a og CM a M b : 5

6 C M a M b B Resultatet er den berømte Sierpinski-trekant: M c C M a M b B M c Nemmere kan det vist ikke gøres at lege med geometriske fraktaler. På Mål-menuen har vi dels adgang til elementære målinger af geometriske størrelser, såsom længder (afstanden mellem to punkter, omkredsen af polygoner, cirkelafsnit og cirkeludsnit, cirkelperiferier, buelængder på cirkler osv.) såvel som arealer (af polygoner, cirkler, cirkelafsnit og cirkeludsnit) og vinkler (inklusive centervinkler, som supplement til buelængder). f hensyn til koordinatgeometrien kan vi også måle koordinater, afstande i et koordinatsystem (ved hjælp af afstandsformlen), hældningskoefficienten for en ret linje samt ligningen for et elementært geometrisk objekt, dvs. en ret linje eller en cirkel. Det sidste er fint til simple undersøgelser i den analytiske geometri. Men lad os et øjeblik blive ved den koordinatfri geometri. Det avancerede værktøj i mål-menuen er lommeregneren. Fuldt integreret i Geometer er en almindelig lommeregner, der kan bruges til at udføre alle mulige former for beregninger. Resultatet af disse beregninger afhænger dynamisk af de værdier, der ligger til grund for beregningen. Hvis fx der indgår en afstand mellem to punkter i beregningen vil denne afstand ændres, når man flytter rundt på punkterne, og beregningen vil da sideløbende automatisk opdateres. Disse beregninger kan ydermere benyttes som udgangspunkt for nye interaktive/dynamiske konstruktioner. Der er med andre ord tale om et geometrisk regneark! 6

7 Læg mærke til at lommeregneren naturligvis understøtter de geometriske konstanter e og π, samt enheder for såvel længder som vinkler. Derved røbes det at også matematikundervisning på meningsfuld måde kan beskæftige sig med enheder et faktum, der ofte ignoreres, idet enhederne typisk overlades til fysik-, kemi- og biologi-undervisningen. Der findes også andre geometriprogrammer der understøtter dynamiske beregninger, men ingen så elegant som Geometer. Lad os som et eksempel på brugen af lommeregneren se lidt på geometrisk optik, fx brydningen af lys i en regndråbe, der repræsenteres ved en (udfyldt) cirkel: i = b = i-b = s = b- i = S Q 1 P i-b b P 1 i P 0 b b n = Q 3 O E b i-b P 3 i P 4 Brydningsforholdet n indtastes som en parameter med værdien 1.33 (fx via lommeregnerens værdi-menu!). Så kan vi senere variere brydningsforholdet og dermed tage hensyn til hvilken farve vi sender ind i regndråben. 7

8 Dernæst vælges en vandret akse OE, som repræsenterer retningen fra dråbens centrum til Solen. Der konstrueres en normal til aksen og et frit punkt P 0 på denne normal. Vi kan nu sende en lysstråle ind parallelt med aksen gennem startpunktet P 0. Ved at flytte P 0 lodret op og ned kan vi ændre på den indkommende stråle (dvs. teknisk set ændrer vi impact-parameteren for strålen). Vi skal så have konstrueret strålens vej gennem regndråben. Den rammer strålen under en indfaldsvinkel i, som netop er givet ved vinklen EOP 1. Vi måler derfor denne vinkel og navngiver den i. (NB! Det er vigtigt i det følgende, at der arbejdes med fortegnsbestemte grader som vinkelmål). Dernæst beregner vi vinklen b ved hjælp af brydningsloven: sin( i) 1 1 = n sin( b) = sin( i) b= arcsin( sin( i)) sin( b) n n Da Geometer ikke er et symbolsk program, må vi selv udlede formlen for brydningsvinklen b. Den indtastes derefter i lommeregneren og ud kommer resultatet, som vi navngiver b. En geometrisk overvejelse, hvor vi springer detaljerne over, giver nu, at den brudte stråle fremkommer ved at dreje den indkommende stråle med vinklen i b omkring impactpunktet P 1. Vi beregner derfor i b ved hjælp af lommeregneren og markerer den som vinkel ligesom vi markerer impactpunktet P 1 som centrum for de følgende transformationer. Den drejede stråle skærer cirklen i bagpunktet P. Således fortsætter vi med at følge strålens vej gennem cirklen. Hele konstruktionen lettes betydeligt, hvis vi bemærker at strålegangen må være symmetrisk omkring aksen gennem centrum og bagpunktet, dvs. OP. Vi kan derfor markere den som en akse for de følgende transformationer og simpelthen spejle den indkommende og brudte stråle. Til slut måler vi spredningsvinklen s mellem den indkommende (vandrette) stråle og den udgående stråle. En geometrisk overvejelse, hvor vi igen overspringer detaljerne, viser at den er givet ved formlen s = 4b i. Dette bekræftes af en beregning af formlen 4b i ved hjælp af lommeregneren. Ved at kombinere mål-geometri med transformations-geometri har vi nu fået styr på en lysstråles vej gennem en sfærisk regndråbe noget, der forhåbentligt skulle vise styrken i disse typer geometrier og noget som ikke mange geometriprogrammer kan klare udover altså Geometer og Cabri. Bemærkning: Ved at flytte rundt på strålen kan vi nu finde den maksimale spredningsvinkel, der er afgørende for forståelsen af dannelsen af en regnbue, men det er en anden historie. Her vil vi blot afrunde mål-geometrien med konstruktionen af en regnbue som et geometrisk billede, altså uden om den bagved liggende optik. Det skal selvfølgelig ses i farver på en skærm, men dem må man altså forestille sig i det følgende. Vi tegner først en vandret linje, horisonten, og dernæst et centrum C på horisonten, der angiver retningen for solstrålen, idet vi tænker os at det er solopgang, så solen netop er ved at stå op over horisonten i den modsatte retning bag ved os. Vi tegner så to halvcirkler med centrum i C ud til horisontpunkterne og B. De afgrænser regnbuen på himlen. Dernæst vælges et frit uafhængigt punkt P på linjestykket B, og vi måler forholdet P/B, som altså bliver et tal mellem 0 og 1. Dette forhold skal styre farvelægningen af regnbuen. 8

9 P B = C P B Dernæst har vi konstrueret halvcirklen med centrum i C gennem horisontpunktet og valgt såvel denne som forholdet P/B. Det åbner for muligheden for at vælge parametriserede farver, idet vi nu kan lade forholdet styre farvevalget af halvcirklen: Som det ses kan vi netop styre en regnbueskala i farver med en parameter, der går fra 0 til 1. Og på denne måde kan vi nu opbygge regnbuen som et geometrisk sted med horisontstykket B som ledelinjen, horisontpunktet P som det uafhængige punkt og den farvede halvcirkel som det afhængige objekt. Farvelægningen af regnbuen er blot et eksempel på de meget stærke multimedieegenskaber Geometer har fået. Farver kan i sig selv benyttes til fremhævelse af geometriske objekter med specielle egenskaber, fx implicitte geometriske steder. Kun ens fantasi sætter grænsen. Som vi har set bevæger vi os med den nederste del af mål-menuen ind i koordinatgeometrien. I Graf-menuen findes der dels en elementær afdeling, hvor man kan arbejde med koordinatsystemer og gittergeometri, idet man fx kan låse punkterne til gitterpunkter og dermed bruge Geometer som et virtuelt sømbræt. Man har beholdt det meget stærke menupunkt Plot punkter med flere funktioner: Dels giver det mulighed for at indtaste serier af koordinater til opbygningen af diverse figurer, herunder figurer baseret på målinger foretaget udenfor programmet. Dels virker det også som menupunktet Plot som (x,y), når man vælger præcis to målinger/beregninger. Det har altid været en af Geometer/SketchPads virkelige adelsmærker, at man på denne måde kunne 9

10 forvandle et vilkårligt par af dynamiske målinger til en kurve i et koordinatsystem, herunder en funktionsgraf. I forbifarten bemærker vi, at dette er et af de meget få punkter, der er svækket en smule i den nye version. I den tidligere version kunne man også kopiere en punkttabel ind fra et andet program fx et regneark. Hvis man i den nye version vil tegne fx et stjernekort må man derfor virkelig sno sig eller gå den tunge vej og indtaste koordinaterne for stjernerne én for én. Ellers må man vente, indtil tabelfaciliteterne forhåbentligt i den nærmeste fremtid vil blive rettet op. Hvis vi fx vender tilbage til eksemplet med optikken i en regndråbe kan man nu udpege målingerne af indfaldsvinklen i og spredningsvinklen s og få tegnet spredningsvinklen s som en funktion af indfaldsvinklen i. Dernæst er vejen åbnet for at tegne det geometriske sted for grafpunktet (i, s) fx med startpunktet P 0 som det uafhængige punkt og normalen som ledelinje P 0 50 (i,s): ( , ) 40 (i,s) Her har vi antydet, hvordan man kan spore sig frem til den maksimale spredningsvinkel s maks = 4.5 ved en indfaldsvinkel på i = Det er måske ikke så teoretisk avanceret som en symbolsk gennemregning men det er ret så anskueligt! Nyhederne kommer for alvor under den avancerede koordinatgeometri. Der er to væsentlige nyheder, begge ret så interessante. Geometer har nu fået indbygget et variabelbegreb med talværdier i form af parametre, der fx kan fås via det avancerede menupunkt Ny parameter. De fungerer på mange måder som målinger og beregninger, men også med vigtige forskelle. Man kan fx uden videre give en parameter en ny præcis værdi ved at dobbeltklikke på den. Man kan også animere en parameter (eller ændre den trinvis ved hjælp af + og tasterne). Og endelig kan man bruge en parameter som udgangspunkt for en iteration. Vi har hele tiden haft variable punkter til rådighed og kunnet simulere 10

11 parametre langt hen af vejen ved at måle på variable punkter. Men nu har Geometer altså bekendt kulør og indført variable talstørrelser på lige fod med variable punkter. Dermed er der sket en kraftig forening af aritmetikken og geometrien. Pladsen tillader desværre ikke at give mangfoldige eksempler på anvendelsen af parameterbegrebet, men det er afgjort en af de helt væsentlige styrkelser af programmet. Og så har Geometer ikke mindst nærmet sig den grafiske lommeregner. Der er indført en funktionsregner som supplement til talregneren. Og det vel at mærke en funktionsregner som håndterer funktioner med den korrekte funktionsnotation, dvs. f (x). Det sker i menupunkterne Ny funktion og Plot ny funktion. Ydermere tillader programmet en symbolsk differentiation af alle de indførte funktioner via menupunktet Differentialkvotient. Det skal ikke forstås sådan at Geometer nu er blevet et af de frække programmer som kan symbolmanipulation. Der reduceres ikke synderligt på de fundne udtryk, som hurtig kan komme til at se meget besynderlige ud. Så Geometer vil ikke kunne konkurrere med de symbolske lommeregnere. Men resultatet af en differentiation kan bruges som udgangspunkt for præcise numeriske beregninger af differentialkvotienten og dermed for præcise konstruktioner af fx tangenter til kurver. Stort set hele den obligatoriske matematik ligger altså nu åben for en geometrisk visualisering i Geometer. Først et eksempel på tegning af grafen med funktionen f (x) = x cos(x) (hvor Geometer meget betænksomt spørger om det ikke er tilrådeligt at skifte til radianer!). fx () = x cos() x x = y = Toppkt: ( , ) f' () x = -1 x sin()+cos x () x f'' () x = -1 x cos()+- sin x () x x B = fx B ( ) = Toppkt Ved at differentiere funktionen to gange er der åbnet mulighed for at implementere Newton-Raphsons metode for toppunktet, via iterationsformlen 11

12 x x f '( x) f ''( x) Vi starter derfor med at konstruere et frit grafpunkt og måle dets koordinater x og y. Med udgangspunkt i det frie punkt konstrueres koordinaterne til f '( x) det første itererede punkt B ud fra formlerne x, der navngives x B og f ''( x ) f '( x) f x, der navngives y B. Vi udpeger så grafpunktet og vælger iterer f ''( x) fra transformationsmenuen og fortæller dernæst, at itereres over i punktet B. Det giver den første tilnærmelse til toppunktet. Ved at iterere fx ti gange og kun vise det sidst itererede punkt kan vi vælge dette og omdanne det til et almindeligt geometrisk punkt kaldet toppkt ved hjælp af menupunktet Endepunkt på transformationsmenuen (der træder i stedet for Iterer i sådanne tilfælde). Vi kan så, som vist på figuren, måle koordinaterne til toppunktet. Til slut skjules hjælpepunktet B, og vi er færdige med at konstruere en rutine, der ud fra et givet grafpunkt konstruerer det 'nærmest' beliggende toppunkt. Det kan man se ved at rykke frem og tilbage på grafpunktet. Hvis man fjerner det for meget flytter toppunktet til et andet stationært punkt på grafen! Selv om der altså ikke er indbyggede værktøjer til at finde fx toppunkter for grafer, kan vi hurtigt supplere med det fornødne. Og eksemplet er selvfølgelig fuldt dynamisk: Hvis vi retter i funktionsforskriften for f (x) opdateres graftegningen med dertil hørende toppunkt automatisk af sig selv. På denne måde kan Geometer ikke bare bruges som en geometrisk grafregner med skabeloner for de vigtigste værktøjer i grafregneren (rødder, toppunkter, skæringspunkter, ), men vi kan også benytte Geometer til at få indblik i mulige metoder til at implementere sådanne beregningsværktøjer i en grafregner. Som det sidste og meget avancerede eksempel vender vi os igen mod geometriske steder i geometrisk belysning. De klassiske geometriske steder er alle simple algebraiske kurver men med indførslen af funktionsregneren er der også åbnet mulighed for geometriske undersøgelser af transcendente kurver. Det simpleste klassiske geometriske sted er vel nok parablen med den arketypiske ledelinjekonstruktion. Tilsvarende er den simpleste transcendente kurve med en righoldig geometri nok kædelinjen med den generelle ligning: x b y = a cosh( ). a For enkelhedens skyld ser vi derfor nu på kædelinjen med ligningen y = cosh(x). Da hyperbolsk cosinus ikke er indbygget indtaster vi den i stedet ved hjælp af eksponentialfunktioner: x x e + e f( x) = Vi får også brug for at differentiere den, men som vist på figuren næste side er resultatet som sådan ikke synderligt gennemskueligt: f e '( x) = x 0 1 ln( e) 0 ln( e) x e e e e x 1

13 Men det er ikke afgørende, da vi jo kun skal bruge det som et hjælpeudtryk for præcise beregninger af tangenthældninger! fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = e e x P T( x[p] + 1, y[p] + f'(x[p]) ) S QR = Q R -0.5 Der er nu åbnet vej for at konstruere et grafpunkt P og måle på dets koordinater x P og y P, såvel som at beregne tangenthældningen f '( x P ). Vi skal så have fat i tangenten til kædelinjen. Den kunne vi godt tegne som grafen for det approksimerende førstegradspolynomium. Men det er meget smartere at konstruere den geometrisk ved at udnytte, at den dels går gennem grafpunktet P( xp, y P ), dels gennem tangentpunktet T( xp + 1, yp + f '( xp) ) (idet tangenten jo netop har hældningen f '(x P ), dvs. når vi går 1 hen, skal vi gå f '(x P ) op). Vi beregner derfor værdien af de to koordinater for det forskudte punkt T, og afsætter dem som et punkt ved hjælp af menupunktet Plot som (x, y). Dernæst forbinder vi det forskudte tangentpunkt T med grafpunktet P og har nu konstrueret tangenten som en ret linje. Og det vel at mærke på en måde, så Geometer ved, at tangenten rent faktisk er en ret linje! Vi kan derfor nu lege videre med tangenten! I tilfældet med kædelinjen kan vi fx konstruere fodpunktet R for grafpunktet P og dernæst konstruere normalen til tangenten gennem fodpunktet. Denne skærer tangenten i punktet Q. Så sker miraklet, når vi prøver at opmåle dimensionerne for trekanten PQR : 1) Koordinatafstanden mellem Q og R viser sig altid at være 1. ) Faktisk er de to retvinklede trekanter PQR og PTS kongruente! Dette giver anledning til en fuldstændig geometrisk karakterisering af kædelinjen: x-aksen spiller da rollen som kædelinjens ledelinje, tallet 1, dvs. afstanden fra kædelinjens toppunkt til dens ledelinje spiller rollen som kædelinjens parameter (jfr. parablens bredde p, der tilsvarende kan karakteriseres som den 13

14 firdobbelte afstand fra toppunktet til ledelinjen eller tilsvarende som den dobbelte afstand fra brændpunktet til ledelinjen, men kædelinjen har ingen brændpunkt, hvorfor analogien er tydeligere, hvis vi i stedet spiller på parablens toppunkt). Kædelinjen med ledelinje l, toppunkt T (og dermed parameteren a = dist(l, T ) ) er det geometriske sted for de punkter P på en kurve K, der opfylder de følgende to egenskaber: 1) Kurven K indeholder toppunktet T. ) Kaldes P's fodpunkt på ledelinjen for R og projektionen af fodpunktet på tangenten for Q, så er afstanden fra fodpunktet til projektionen konstant lig med parameteren a, dvs. dist(q,r) = a. Da det er en egenskab ved tangenten, der karakteriserer det geometriske sted, er der åbenbart tale om en differentialligning i geometrisk iklædning. Som i det ovenstående tilfælde kan vi benytte ledelinjen som x-akse. Til grafpunktet med koordinaterne (x 0, y 0 ) hører derfor tangenthældningen: T y 0 y 0 -a y 0 -a P(x0,y0) a S Q y 0 a R y y a ' o 0 = Kædelinjen er derfor også løsningen til differentialligningen: a y a y ' = med randbetingelsen y(0) = a. a Geometer kan selvfølgelig ikke løse en sådan differentialligning for os, så der må vi hente assistance i et symbolsk program fx TI-interactive: 14

15 Jo, selv om det er en snasket differentialligning med et singulært randpunkt, fandt vi tilbage til kædelinjen som løsningen. Men hermed er historien om kædelinjen ikke slut: Tegner vi det geometriske sted for det afhængige punkt Q som funktion af det uafhængige punkt P med kædelinjen som ledelinje viser det sig at normalen netop er tangenten til det geometriske sted. fx () = ex +e -x x P = y P = e x ln( e)+ 0 e + -1 ln( e) e x + 0 f' () x = f' ( x P ) = x P +1 = y P +f' ( x P ) = QR = e e x P 0.5 Q R Det geometriske sted er derfor en kurve med den ejendommelige egenskab, at tangentstykket ned til x-aksen har konstant længde. Den kaldes derfor for hundekurven eller traktricen. Det er nemlig den kurve en modvillig hund vil følge, når dens herre vandre hjem af x-aksen mens hunden i strakt linje hel tiden forsøger at gå modsat! Her er der vist stof nok til en stor skriftlig opgave, hvis man skal forsøge at underbygge alle disse iagttagelser med detaljerede symbolske beregninger! Og så er kædelinjen jo ikke den eneste kurve, der kan undersøges på denne vis. Grafen for en eksponentialfunktion og grafen for en kvadratrodsfunktion har tilsvarende simple karakteriseringer via den konstante subnormal og den konstante subtangent. Og oven i købet viser det altså at parablen også kan karakteriseres som en geometrisk differentialligning. Men for de transcendente kurver er det den eneste udvej. 15

16 Kommet så langt håber vi ikke læseren er blevet skræmt i frygten for at almindelige elever slet ikke kan finde ud af at håndtere programmet. Geometer fungerer netop på mange niveauer og kan sagtens anvendes af elever på alle klassetrin fra tidligt i folkeskolen helt frem til universitetet. Og herved adskiller det sig netop fra mange andre geometriprogrammer skrevet til brug for undervisningen. lle geometriprogrammer understøtter klassisk Euklidisk geometri men Geometer kan så meget mere. Det giver mulighed for undervisningsdifferentiering med udfordringer for alle. Og det giver mulighed for at følge op på Geometer hele vejen gennem gymnasiet frem til de mest avancerede niveauer. Geometer kan ikke bare bruges med succes fra første dag i hf fællesfag og naturfag for sproglige, men det kan også bruges som et af mange mulige udgangspunkter for de afsluttende valgfrie emner på højt niveau eller som udgangspunkt for den store skriftlige opgave i 3g. Så derfor har vi prøvet at trække nogle lidt mere utraditionelle eksempler på anvendelser af programmet frem i lyset for bedre at kunne vise både dybden og bredden i programmet. Og så har vi endda ikke været inde på alle programmets facetter. Fx bør det også nævnes at store dele af programmets konstruktioner kan udgives direkte på nettet som web-sider, vel at mærke som dynamiske illustrationer, hvor man altså kan deformere figuren ved at trække i punkter osv. og således selv gå på opdagelse i web-figuren. Og så er der prisen: Ikke bare kan programmet nu på grund af L&R uddannelses fortrinlige initiativ fås på dansk, men også til yderst rimelige priser (som alle er eksklusive moms): En privatbruger licens (uden manual) fås til 10 kr. En skolelicens, der dækker alle skolens maskiner, koster 100 kr. En totallicens, der dækker alle skolens brugere (herunder elevernes hjemmearbejde og eksamen), koster kr. Geometer forhandles her i landet af: L&R Uddannelse, Pilestræde 5, 111 København K, Telefon: , Telefax: Det er nu mere end ti år siden vi for første gang introducerede SketchPad i det danske gymnasium i forbindelse med afholdelsen af de landsdækkende faglige efteruddannelseskurser i EDB. f grunde, der er os uforståelige, lykkedes det dengang ikke at gøre danske programudbydere interesserede i at udgive SketchPad. Nu er programmet endeligt landet, og vi kan kun anbefale, at man tager godt imod det. Geometriprogrammer vil formentlig komme til at spille en stadig stigende rolle i gymnasieundervisningen de kommende år med den langt større valgfrihed og de mange muligheder for projekter, der er lagt op til i det nye standardforsøg. Og med fremkomsten af en ny generation af geometriprogrammer, hvoraf Geometer er en fornem repræsentant, er det bestemt ikke kun CS-programmerne, der bør løbe med interessen! 16

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Introduktion til. og Ligedannethed i 3. klasse. Lærervejledning

Introduktion til. og Ligedannethed i 3. klasse. Lærervejledning Introduktion til og Ligedannethed i 3. klasse Lærervejledning Udarbejdet af: Cathrine Gretoft Cecilie Handberg Bettina Skou Frederiksberg Seminarium LEGO Digital Designer og Ligedannethed Som lærerstuderende

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer.

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer. [OPGAVER I NSPIRE] 1 Opgave 1) Opgaver og sider - dokumentstyring Start et nyt Nspire dokument. Følg herefter nedenstående trin. a) Opret to opgaver i dokumentet, hvor første opgave består to sider, og

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere