AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

Transkript

1 AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11. måned: august år: 2006 kl.: 09:00-13:00 Eksamenslokale: Trøjborg, Willemoesgade 15, Århus N Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. bærbar PC som opslagsværk (batteridrevet) Materiale der udleveres eksaminanden: Dette opgavesæt indeholder 6 opgaver med i alt 11 spørgsmål. Ved bedømmelsen vægtes de enkelte spørgsmål ens. Spørgsmålene kan løses uafhængigt af hinanden.

2 Opgave 1 Betragt et uendeligt langt elektrostatisk arrangement bestående af to koaksiale cylinderskaller samt en uendelig tynd, retlinet og homogen ladningsfordeling anbragt på den fælles akse; et tværsnit af arrangementet er vist i figuren ovenfor. Ladningsmængden pr. længdeenhed på cylinderaksen er λ. Cylinderskallerne er perfekte elektriske ledere. Den inderste cylinderskal er neutral (dvs. dens totalladning er 0), den har indre radius r a og ydre radius r b. Den yderste cylinderskal bærer ladningsmængden λ pr. længdeenhed og har indre radius r c og ydre radius r d ; r a < r b < r c < r d. Der er vakuum i områderne 0 < r < r a, r b < r < r c og r > r d, hvor r betegner afstanden til den fælles cylinderakse. (a) Bestem størrelse og retning af det elektriske felt i hvert af de fem områder 0 < r < r a, r a < r < r b, r b < r < r c, r c < r < r d og r > r d. (b) Forklar hvor der forekommer elektrisk ladning og hvorledes den er fordelt. Bestem for r > 0 de tilhørende ladningstætheder. 2

3 Opgave 2 Betragt kredsløbet i figuren ovenfor bestående af en elektromotorisk kraft E, to modstande R 1 og R 2 samt to kapacitorer med kapacitans C 1 og C 2. Kontakten K, der er åben for t < 0, lukkes til tiden t = 0, hvorefter der kan løbe strøm i kredsløbet. Strømmen, som løber gennem de to modstandene, kaldes i(t). Kapacitorerne er uladede for t < 0. EMF en er ideel, dvs. uden indre modstand. Der ses bort fra selvinduktion. (a) Bestem strømmen i(t) for t > 0. Kapacitoren med kapaciteten C 1 er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller (metal). Den inderste skal har radius 18 mm, den yderste har radius 20 mm, den fælles længde er 30 cm og der er vakuum i mellemrummet mellem de to skaller. Kapacitoren med kapaciteten C 2 er konstrueret af to parallelle tynde metalplader, som er anbragt over for hinanden. Pladerne er kvadratiske med sidelængde 20 cm, deres indbyrdes afstand er 3 mm og mellemrummet mellem pladerne er fyldt ud med et dielektrikum med dielektricitetskonstant K = 3,5. (b) Bestem kapacitancerne C 1 og C 2, idet der ses bort fra randfelter. 3

4 Opgave 3 En kuglesymmetrisk elektrostatisk ladningsfordeling producerer et elektrisk felt, der er rettet radiært ud fra fordelingens centrum. I afstanden r fra dette centrum har feltet styrken og E = ( ) Q r 4πɛ 0 R 2 R r2 R 2 E = for 0 < r < R Q 4πɛ 0 r 2 for r > R. Konstanten Q er en ladning, konstanten R er en længde; begge er positive. Dielektricitetskonstanten K er overalt lig med 1. (a) Bestem det elektriske potential V (r) overalt i rummet, idet potentialet sættes til nul i det uendeligt fjerne. (b) Skitsér E(r), dvs. feltstyrkens forløb som funktion af afstanden til fordelingens centrum. Afgør på grundlag af feltets forløb om der sidder ladning fordelt på kuglefladen r = R. Argumentér for svaret, og hvis det er ja, angiv hvor meget ladning, der ialt sidder på fladen r = R. Opgave 4 En uendelig lang cylindersymmetrisk strømfordeling med strømtæthed J parallel med cylinderaksen giver anledning til et magnetfelt, der i afstanden a = 2 cm fra cylinderaksen har styrken 0,0010 T, mens styrken i afstanden b = 4 cm fra cylinderaksen er 0,0015 T. For r < a er strømtætheden uafhængig af afstanden r til cylinderaksen. (a) Bestem den samlede strøm I (i A), der løber i området r < b, samt strømtætheden J for r < a (i A/m 2 ). 4

5 Opgave 5 Betragt tre parallelle uendeligt lange lige metaltråde med forsvindende tværsnit. Der indlægges et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med z-aksen sammenfaldende med Leder 1, som bærer den konstante strøm I, der løber i z-aksens positive retning; I > 0. Leder 2 går gennem punktet (x, y, z) = (a, 0, 0) og bærer strømmen 2I; strømmen i Leder 2 løber altså modsat strømmen i Leder 1. Leder 3 går gennem punktet (x, y, z) = (a, a, 0) og bærer strømmen I; strømmen i Leder 3 har altså samme størrelse og retning som strømmen i Leder 1. Konstanten a er en længde; a > 0. (a) Bestem den kraft F, der virker på Leder 1 på et udsnit med længden l. Kraften angives ved sine komposanter eller ved sin størrelse og retning der er frit valg. (b) Bestem magnetfeltet B (størrelse og retning) i punktet (x, y, z) = ( a, 0, 17a). 5

6 Opgave 6 En uendelig lang solenoide er omsluttet af en kvadratisk strømkreds, der er anbragt i en plan vinkelret på solenoidens akse. Situationen er skitseret i figuren ovenfor, som viser et tværsnit gennem solenoiden i den plan, der indeholder den kvadratiske strømkreds. Begge kredse er stive og stationære. Solenoiden har tværsnitsareal A, n vindinger pr. længdeenhed og strømmen i s (t) gennem dens vindinger varierer med tiden t. På grund af denne tidsvariation induceres der en elektromotorisk kraft E i den kvadratiske strømkreds; den er givet som E = µ 0 ni 0 A/τ for 0 < t < τ og E = 0 for t < 0, t > τ. Her er I 0 er en positiv konstant med dimension A, τ er en positiv tidskonstant og E s positive fortegn for 0 < t < τ betyder, at den inducerede strøm i den kvadratiske strømkreds løber samme vej rundt som strømmen i solenoiden. (a) Bestem strømmen i s (t) i solenoiden idet det oplyses, at i s (t) varierer kontinuert i tiden t og er 0 for t. Det oplyses, at den kvadratiske strømkreds har modstanden R og selvinduktansen L (begge størrelser er forskellige fra 0). Der kan ses bort fra strømkredsens kapacitans. (b) Bestem strømmen i k (t) i den kvadratiske strømkreds for t τ. endvidere forholdet i k (2τ)/i k (τ). Bestem 6