Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Transkript

1 Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter, osv.). Imellem de to poler på et batteri er der en spændingsforskel =Δ ϕ, så hvis batteriets to poler forbindes til hver sin ende af en leder (f.eks. en ledning), vil batteriet skabe en potentialgradient og dermed et elektrisk felt E = ϕ, som beskrevet i EM s.. Den pågældende leder er hermed ikke længere i statisk ligevægt. E + Den elektriske strøm gennem en flade er defineret som den rate, hvormed ladning passerer fladen: ΔQ dq C I lim =, I A Δ t 0 t dt =. (7.1) Δ s Når man taler om elektrisk strøm i en ledning, er den pågældende flade underforstået et tværsnit af ledningen. Strømmen regnes positiv i samme retning som E-feltet, så positive ladningsbærere bevæger sig i strømmens retning, mens negative (f.eks. elektroner 1 ) bevæger sig imod strømmens retning. 1 Elektroner er blot ét eksempel på ladningsbærere, der kan give anledning til elektrisk strøm. I en elektrisk ledning bæres strømmen af frie elektroner, men i en vandig opløsning indeholdende frie ioner (en elektrolyt ) bæres strømmen af disse ioner (f.eks. Na + og Cl i en vandig opløsning af bordsalt), der alt efter fortegn bevæger sig i hver sin retning, men bidrager til en elektrisk strøm i samme retning, nemlig fra højt potential til lavt.

2 Elektromagnetisme 7 Side af 1 Dynamisk ligevægt: Ladningsbærerne i en leder ligger ikke stille, selvom lederen er i statisk ligevægt, men bevæger sig hid og did, mens de støder ind i hinanden og i iongitteret, idet denne termiske bevægelse er et udtryk for lederens temperatur. Et påtrykt E-felt skaber en foretrukken bevægelsesretning, sådan at der opstår en driftsbevægelse og dermed en elektrisk strøm. Jo større fart, ladningsbærerne bevæger sig med, jo flere sammenstød oplever de, så ved en eller anden driftshastighed v opstår der en dynamisk ligevægt mellem accelerationen forårsaget af E- feltet og opbremsningerne forårsaget af sammenstødene. I dette kursus vil ladningsbæreres hastighed underforstået være deres driftshastighed. E v Endvidere behandles kun ledningsstrømme i ledere, som udadtil er elektrisk neutrale, i modsætning til konvektionsstrømme i ledere med nettoladning. Eks. elektriske strømme i opladede tordenskyer.

3 Elektromagnetisme 7 Side 3 af 1 Strømtæthed, som defineret i udtryk (7.1), siger ikke noget om ladningstransportens variation henover den pågældende flade, så i det flg. udledes et udtryk for den lokale ladningstransport. da er et arealelement i et strømførende medium med ladningsbærere kendetegnet ved ladningen q, driftshastigheden v 3 og antalstæthed ΔN dn ρn ( r ) lim =, (7.) ΔV 0 ΔV dv hvor ΔN således er antallet af ladningsbærere i rumfanget ΔV. Den frie ladning dq, der i løbet af E dl = vdt θ ˆn v da dv tidsrummet dt bliver transporteret gennem da, er givet ved ladningen indeholdt i dv : dq = qdn = qρndv = qρndl cos θ da = qρndl da n = qρn vdt da n = qρ dt v nˆ da. N ( ˆ) ( ) ( ˆ) Ladningsbærerne bidrager således med flg. strøm gennem da: di = qρ v nˆ da, (7.3) N og hvis der er flere typer ladningsbærere: di = q v n da. (7.4) ( iρni i) ˆ i 3 Bemærk, at denne definition er helt analog til udtryk (1.3).

4 Elektromagnetisme 7 Side 4 af 1 Den elektriske strøm gennem en vilkårlig flade S er således givet ved I q v = ρ n d A, (7.5) ( i Ni i) ˆ S i som under indførelse af strømtæthedsvektoren C A J ( r) qiρ Nivi, J = =, (7.6) ms m i kan skrives I = J nˆ da. (7.7) S Så strømmen gennem en vilkårlig flade S er altså givet ved strømtæthedsfluxen gennem S. 4 Kontinuitetsligningen: Betragt strømmen ind i en lukket flade S: I J n ˆ da = = J dv. (7.8) S Da ladning hverken kan skabes eller destrueres, er strømmen af ladning ind i S lig ladningstilvæksten i V: dq d ρ I = = ρ dv = dv dt dt V V t V. (7.9) Så fra udtryk (7.8) og (7.9) fås, idet V er vilkårlig: ρ + J = 0. (7.10) t Denne kontinuitetsligning, ifølge hvilken ladningsophobningen i et punkt er lig antallet af strømtæthedsfeltlinier, der netto set tilflyder punktet, er således en direkte konsekvens af ladningens bevarelse. 5 4 J nˆ angiver således strømmen pr. areal i retningen givet ved ˆn. 5 Samme kontinuitetsligning, blot med masse i stedet for ladning, finder anvendelse inden for fluid dynamik til beskrivelse af væskestrømninger, idet første led i så fald er nul for usammenpresselige væsker.

5 Elektromagnetisme 7 Side 5 af 1 Jævnstrøm: En elektrisk strøm kaldes en jævnstrøm, hvis der ikke finder nogen ladningsophobning sted. Ifølge kontinuitetsligningen kan dette udtrykkes ρ = 0 J = 0. (7.11) t

6 Elektromagnetisme 7 Side 6 af 1 Ohms lov Den simplest tænkelige sammenhæng mellem den elektriske strøm og det elektriske felt, som giver anledning til strømmen, er J = ge, (7.1) hvor ledningsevnen g, g A =, er en positiv materialekonstant. Jo større Vm ledningsevne, jo større elektrisk strøm vil et givet elektrisk felt give anledning til. dtryk (7.1) indebærer flg.: 1. Der går kun en strøm, hvis der er et E-felt.. Strømmen er i E-feltets retning. Dette gælder kun for isotrope medier Strømtætheden i et punkt afhænger kun af det elektriske felt i samme punkt. 4. Strømtætheden J er proportional med E -feltstyrken. 7 Medier, som opfylder ovenstående, kaldes ohmske, og udtryk (7.1) er Ohms lov. Endvidere indføres resistiviteten eller den specifikke modstand 1 Vm V η, m, g η = Ω Ω. (7.13) A A 6 Generelt er ledningsevnen en tensor g. 7 Generelt afhænger ledningsevnen af feltstyrken: for små feltstyrker kan tilnærmes g( E) g(0). dg 1 d g = + + de E 0 de = E = 0 ge ( ) g(0) E E +, som i lineære medier

7 Elektromagnetisme 7 Side 7 af 1 Betragt en ohmsk ledning med længde l l og tværsnitareal A, hvorover der er A påtrykt en spændingsforskel og + S ˆn dermed et elektrisk felt. z Da E-felter opstår og ender på ladninger, og da ledningen er udadtil elektrisk neutral, er E-feltet konstant gennem ledningen 8 : E r sådan at = El. ( ) = Ezˆ l = E dr = Ez dzz = Edz + l ( ˆ ) ( ˆ ) 0, (7.14) Strømmen igennem et tværsnit S er således givet ved I = J nˆ da= ge nˆ da= g Ezˆ zˆ da= gea S S S A = g, l 0 (7.15) (7.16) sådan at 1 l l = I = η I. (7.17) ga A Spændingen over ledningen er således proportional med strømmen igennem den med proportionalitetskonstanten l R η, R A =Ω (7.18) kaldet resistansen eller modstanden af den pågældende ledning. 9 8 Idet der ses bort fra randeffekter. 9 Bemærk, at hvor η kendetegner det materiale, ledningen består af, kendetegner R selve ledningen. Hvis længden af f.eks. en kobbertråd fordobles, fordobles R, men η forbliver uændret.

8 Elektromagnetisme 7 Side 8 af 1 Ved kombination af udtryk (7.17) og (7.18) fås den velkendte Ohms lov for en ledning: = RI. (7.19) I en ikke-ohmsk ledning afhænger g, η, og dermed R af E-feltet og dermed af strømmen 10 : ( ) RI d. (7.0) di Effekt: Den effekt, hvormed Coulombkraften udfører arbejde på en punktladning q, er givet ved den rate, hvormed arbejdet udføres: q dw FC dr ΡC () t = dt dt = F v = qe v = q Ev. C (7.1) Ved at sammenholde udtryk (7.1) og (7.14) ses, at strømtætheden er konstant i en ledning, sådan at ifølge udtryk (7.7): I J = n ˆ da = Jz ˆ z ˆ da S = JA. S (7.) For Coulombkraftens effekt i en ohmsk ledning fås således det velkendte resultat C N Ρ = eev = NeEv = ρ AleEv = eρ vael = JA i= 1 = I = RI = R hvor N er antallet af elektroner, og hvor udtryk (7.6) er anvendt., N N (7.3) 10 I en I -karakteristik kan modstanden således aflæses som den reciprokke tangenthældning.

9 Elektromagnetisme 7 Side 9 af 1 Betragt et batteri, der driver et elektrisk kredsløb; f.eks. et 9V batteri, der driver en pære. Den spænding, som batteriet leverer, afhænger af den strøm, der trækkes fra batteriet: hvor polspændingen 11 (pæren + ledninger). Elektromotorisk kraft emf I () I = RI i, (7.4) () I er spændingsfaldet 1 over den ydre del af kredsløbet 13 Ri I er det ohmske spændingsfald over batteriets indre modstand. + den elektromotoriske kraft 14 emf er spændingsfaldet over såvel den ydre som den indre del af kredsløbet (pæren + ledninger + batteriets indre modstand). dtryk (7.4) svarer således til = + total ydre indre emf = + i. RI (7.5) Et batteri er således kendetegnet ved såvel sin elektromotoriske kraft (f.eks. 9V) som sin indre modstand R i. emf Den spænding, som batteriet leverer, er således mindre, jo større strøm, der trækkes fra batteriet (jo større belastning), og jo større batteriets indre modstand er. 11 Applied voltage. 1 Det samme som spændingstilvækst (potentialtilvækst) men med modsat fortegn. 13 Bemærk, at begrebet kredsløb ikke medtager batteriets kemi-del. Var der tale om et egentligt kredsløb i bogstavelig forstand, ville spændingsfaldene i sagens natur være nul. 14 Open circuit voltage (i dette tilfælde de 9V).

10 Elektromagnetisme 7 Side 10 af 1 Hvis erstatningsmodstanden for den ydre del af kredsløbet betegnes R y, bliver strømmen i kredsløbet R I = RI y emf i : I emf = R + R i y, (7.6) som for Ri R kan tilnærmes ved det velkendte resultat y I = emf R = y R. (7.7) Bemærk, at en alternativ og ækvivalent gengivelse af ovenstående kredsløb fås ved at tegne den indre modstand eksplicit og udskifte polspændingen med den elektromotoriske kraft: I emf R i

11 Elektromagnetisme 7 Side 11 af 1 Kirchhoffs love For jævnstrømme gælder flg. to Kirchhoff-love. Kirchhoffs 1. lov: Nettostrømmen er nul i ethvert forgreningspunkt. I Kirchhoff 1 følger umiddelbart af den manglende ophobning af ladning i forbindelse med jævnstrømme. 15 I 1 I? > 0 I1 I I = 0: I = I1 I < 0. = 0 15 Bemærk, at Kirchhoff 1 kan bruges som argument for, at strømmen er den samme overalt i en ledning.

12 Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Kirchhoffs. lov: Summen af spændingsfaldene er nul i ethvert lukket kredsløb. 3 Kirchhoff følger umiddelbart af, at det elektrostatiske potential / spændingsforskellen er veldefineret. + 1 Vha. de to Kirchhoff-love er det således muligt at opstille det nødvendige antal ligninger 16 for at løse en givet veldefineret problemstilling; f.eks.: + 1 = =. Givet elektromotoriske kræfter og modstande, bestem da strømmene i kredsløbet. 16 Én ligning for hver af de n ubekendte, sådan at der kan opstilles et lineært ligningssystem i form af en n n matrixligning.