AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

Transkript

1 AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato: 31. måned: marts år: 2006 kl.: 09:00-13:00 Eksamenslokale: Trøjborg, Willemoesgade 15, Århus N Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. bærbar PC som opslagsværk (batteridrevet) Materiale der udleveres eksaminanden: Dette opgavesæt indeholder 5 opgaver med i alt 11 spørgsmål. Ved bedømmelsen vægtes de enkelte spørgsmål ens. Hovedparten af spørgsmålene kan løses uafhængigt af hinanden.

2 Opgave 1 Betragt et elektrostatisk arrangement bestående af to koncentriske kugleskaller og en punktladning Q anbragt i det fælles centrum; se figuren ovenfor. Kugleskallerne er perfekte elektriske ledere. Den inderste kugleskal er neutral (dvs. dens totalladning er 0), den har indre radius a og ydre radius b. Den yderste kugleskal bærer ladningen Q og har indre radius c og ydre radius d; a < b < c < d. Der er vakuum i områderne 0 < r < a, b < r < c og r > d, hvor r betegner afstanden til det fælles centrum. (a) Bestem størrelse og retning af det elektriske felt i hvert af de fem områder 0 < r < a, a < r < b, b < r < c, c < r < d og r > d. (b) Forklar hvor der forekommer elektrisk ladning og hvorledes den er fordelt. Bestem for r > 0 de tilhørende ladningstætheder. 2

3 Opgave 2 Betragt kredsløbet i figuren ovenfor bestående af en elektromotorisk kraft E, tre modstande R 1, R 2 og R 3 samt to kapacitorer med kapacitans C 1 og C 2. Kontakten K, der er åben for t < 0, lukkes til tiden t = 0, hvorefter der kan løbe strøm i kredsløbet. Den totale strøm kaldes i, mens de to grenstrømme kaldes henholdsvis i 1 og i 2 svarende til de benyttede index for modstand og kapacitans. Kapacitorerne er uladede for t < 0. EMF en er ideel, dvs. uden indre modstand. Der ses bort fra selvinduktion. (a) Bestem de tre strømme i, i 1 og i 2 til tiden t = 0+, dvs. umiddelbart efter kontakten er lukket. (b) Til bestemmelse af de tre strømme i(t), i 1 (t) og i 2 (t) til t > 0 opstilles et antal ligninger på basis af Kirchhoffs regler. Hvor mange ligninger skal der til? Hvordan ser de ud? Student A siger, at han hurtigt kan finde strømmen i(t) ved at erstatte de to parallelle grene med en modstand R ækv i serie med en kapacitor med kapacitans C ækv, hvor R ækv beregnes som ved sædvanlig parallelkobling af R 1 og R 2, mens C ækv beregnes som ved sædvanlig parallelkobling af C 1 og C 2. Student B tvivler på, at denne procedure giver det rigtige svar. Du skal nedenfor undersøge, om student A får det rigtige svar, og for at lette undersøgelsen sættes R 3 = 0. (c) Bestem i 1 (t) og i 2 (t) uden at benytte student A s ækvivalentkredsløb og derpå i(t). Bestem dernæst i(t) for student A s ækvivalentkredsløb. Er svarene ens er student A s procedure korrekt? 3

4 Opgave 3 Betragt en kuglesymmetrisk ladningsfordeling med radius a og samlet ladning Q > 0. I afstanden r fra fordelingens centrum har ladningstætheden værdien ρ(r) = Q 4πa r 2, 0 < r < a. Ladningsfordelingen giver anledning til et elektrisk felt, der er rettet radiært ud fra fordelingens centrum, og som i afstanden r fra dette centrum har styrken og E = A 1 1 r for 0 < r < a E = A 2 1 r 2 for r > a, hvor A 1 og A 2 er konstanter (ikke dimensionsløse). Dielektricitetskonstanten K er overalt lig med 1. (a) Eftervis udtrykkene for E ud fra oplysningerne om ladningsfordelingen, og bestem de to konstanter A 1 og A 2. Konstanterne udtrykkes ved Q, a og ɛ 0. (b) Bestem det elektriske potential V (r) overalt for r > 0 idet potentialet sættes til nul i det uendeligt fjerne. Redegør for potentialets opførsel i r = a og skitsér V (r) for alle r > 0. Opgave 4 Betragt en uendelig lang cylindersymmetrisk strømfordeling med radius R og samlet strøm I > 0. Fordelingens strømtæthed J er parallel med cylinderaksen og har størrelsen J = 2I πr 4 r2, r < R, hvor r angiver afstanden til cylinderaksen. (a) Bestem for r < R størrelse og retning af det magnetfelt, som strømfordelingen giver anledning til. Der indlægges et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med z-aksen sammenfaldende med cylinderaksen og orienteret efter strømretningen. Parallelt med den cylindersymmetriske strømfordeling anbringes nu en uendelig lang lige metaltråd med forsvindende radius. Tråden går gennem punktet (x, y, z) = (2R, 0, 0). I tråden løber en strøm I i z-aksens positive retning. (b) Bestem magnetfeltet (størrelse og retning) i punktet (R, R, R). 4

5 Opgave 5 En stiv og stationær cirkulær strømkreds med radius L/2 befinder sig i et magnetfelt, hvis størrelse og retning afhænger af de retvinklede koordinater x, y og z samt tiden t. Strømkredsen er anbragt i en plan vinkelret på z-aksen og positiv omløbsretning svarer til en højreskrue om z-aksen; se figuren ovenfor. Magnetfeltet giver anledning til en flux gennem en vilkårlig flade afgrænset af strømkredsen på ) Φ B = B 0 L (k 2 1/4 +, 1 + t 2 /τ 2 hvor k er en dimensionsløs konstant, B 0 er en positiv konstant med dimension T og τ er en positiv tidskonstant. I overensstemmelse med den valgte orientering af strømkredsen regnes flux positiv i z-aksens positive retning; den tilhørende enhedsvektor benævnes som sædvanligt ˆk, og arealvektoren hørende til den plane flade afgrænset af strømkredsen er dermed givet som A = 1 4 πl2ˆk. (a) Bestem den i kredsen inducerede elektromotoriske kraft. Der ses bort fra selvinduktion. Angiv endvidere for alle tider t omløbsretningen af den strøm, der induceres i kredsen. Magnetfeltet, der giver anledning til ovenstående flux, er givet som B = (B x, B y, B z ) = (0, 0, B 0 ) + α 1 + t 2 /τ 2 ( 2xz3, 2yz 3, z 4 ), hvor α er en positiv konstant med dimension T/m 4. Det oplyses endvidere, at strømkredsen er anbragt med centrum i punktet (x, y, z) = (L/2, 0, L). (b) Bestem konstanterne k og α; den sidstnævnte udtrykkes ved B 0 og L. 5