Modul 7: Forsøgsplanlægning
|
|
- Jan Peder Pedersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Forsøgsplanlægning 7.1 Lidt om forsøgsplanlægning Sammenligning af grupper Valg af antal grupper og antal observationer Randomisering Parring og blokning Sammenligning af varianser Sammenligning af middelværdier Problemstilling Model og kontrol af modellen Variationen inden for gupper Variation mellem grupper Total variation ANOVA-tabel F-test Eksempel: prostatabehandling Vigtige begreber i forsøgsplanlægning Variation, replikation og stikprøver Udvælgelse af forsøgsenheder Forskellige typer af forsøgsplaner Kontrollerede forsøg Observationsstudier Oversigt Eksempler på forsøgsplanlægning Kantinebenyttelse Forsøgsplan: latinsk kvadrat Eksempel: Proteomics Nogle problematiske cases Lidt om forsøgsplanlægning Yvonne: Where were you last night? Rick: That s so long ago, I don t remember. Yvonne: Will I see you tonight? Rick: I never make plans that far ahead. [Casablanca, 1942]
2 7.1 Lidt om forsøgsplanlægning Sammenligning af grupper Vi ønsker at sammenligne forskellige grupper, baseret på data fra grupperne. Vi ønsker at teste mod H 0 : grupperne er ens H a : nogen afgrupperne er forskellige samt i givet fald at vurdere hvor store forskellene er mellem grupperne. Eksempler: 1. Sammenligning af forskellige algoritmer med hensyn til hastighed. 2. Sammenligning af holdbarheden for madvarer med forskellige typer konserveringsmiddel. 3. Sammenligning af forskellige befolkningsgrupper. Ordet faktor bruges som generel betegnelse for grupper eller behandlinger Valg af antal grupper og antal observationer Simpleste tilfælde: to grupper, f.eks.sammenlig ny og gammel metode (modul 5). Generelt: sammenligning af tre eller flere grupper, f.eks. alle produkter på markedet. Metode: Énvejs variansanalyse, se afsnit 7.3. Antallet af grupper bør holdes under 10. Hver gruppe bør have mindst 2 eller 3 observationer. Balanceret design: hvis alle grupper har samme antal observationer Randomisering Behandlingerne bør tildeles ved randomisering (tilfældigt). Dette kaldes et fuldstændigt randomiseret forsøg. Eksempel: To typer hardware skal sammenlignes med hensyn til holdbarhed. 1. Der er 20 PC-er af ret forskellig slags til rådighed. 2. Disse deles tilfældigt i to grupper på hver Den ene gruppe bruger den første type hardware og den anden gruppe bruger den anden type hardware. 4. Holbarheden gøres op for hver type hardware. Randomiseringen sikrer, at eventuelle forskelle i holdbarhed må tilskrives hardwaren.
3 7.2 Sammenligning af varianser Parring og blokning Eksempel: To algoritmer til primtalsfaktorisering skal sammenlignes. Der er 100 test cases til rådighed, i form af forskellige tal, som skal faktoriseres. Begge algoritmer bruges på hver testcase (parret forsøgsplan), hvorefter de to algoritmer sammenlignes ved hjælp af et parret t-test. Man taler om blokning, hvis forsøgsmaterialet er til rådighed i form af blokke af homogent materiale, mens blokkene er indbyrdes forskellige. Man bør sammenligne behandlinger inden for blokke, for at fremhæve forskelle mellem behandlingerne. 7.2 Sammenligning af varianser Vi ønsker at sammenligne varinaserne fra to grupper ud fra to sæt af observationer: 1. x 1,...,x n1 fra gruppe y 1,...,y n2 fra gruppe 2. Nøglestørrelser: x, ȳ, s 2 x og s 2 y. Model: X 1,...,X n1 og Y 1,...,Y n2 uafhængige stokastiske variable så Vi ønsker at teste hypotesen Gruppe 1 : X i = µ 1 + ɛ 1i med ɛ 1i N ( 0,σ 2 1). Gruppe 2 : Y i = µ 2 + ɛ 2i med ɛ 2i N ( 0,σ 2 2). H 0 : σ 2 1 = σ2 2 mod den alternative hypotese H a at σ 2 1 σ2 2. Teststørrelse F = S2 x S 2 y Hvis H 0 er sand gælder F F f1,f 2, altså at F følger en F-fordeling med frihedsgrader f 1 = n 1 1 og f 2 = n 2 1. Bemærk at 1 F = S2 y Sx 2 F f2,f 1,
4 7.3 Sammenligning af middelværdier 4 På grund af asymmetrien er acceptområdet A for denne test (niveau α) givet ved 1 F f2,f 1 ;1 α/2 = F f1,f 2 ;α/2 < F < F f1,f 2 ;1 α/2 Eksempel 4.5: Fusion af vand, Teststørrelse: Estimater: n ˆµ i s Elektrisk Blandet F(x,y) = = Tabelopslag (tabel A.6) baseret på α = 10%: Da F 12,7;0.95 F 10,7;0.95 = = F 7,12; = < < ligger F(x,y) i acceptområdet. Dermed kan vi acceptere hypotesen H 0, at de to varianser er ens. Tommelfingerregel: Værdier F > 5 eller F < 0.2 er signifikante (α = 0.05) hvis f 1 +f 2 > 15. Sammenligning af flere varianser: se nedenfor. 7.3 Sammenligning af middelværdier Problemstilling Envejs variansanalyse = analyse af effekten af én faktor. Formål: at sammenligne k populationer. Design: Et fuldstændigt randomiseret forsøg. Enten: 1. Der udtrækkes k uafhængige stikprøver, én fra hver af de k populationer. Eller: 2. Der udtrækkes k uafhængige stikprøver fra en population. De k stikprøver tildeles tilfældigt de k forskellige behandlinger.
5 7.3 Sammenligning af middelværdier 5 Eksempel 7.1: Prostatabehandling: Nøglestørrelser: Behandling Forøgelse af urinflow (ml/sec) ȳ i s i Medicin 1.1, 1.4, 1.3, 1.9, Mikrobølge 2.9, 3.7, 3.4, 3.4, 2.8, Kirurgi 4.0, 5.2, 5.0, Gennemsnit i gruppe i: 2. Gennemsnit over alle observationer: n i Y i = j=1 Y ij Y = k n i i=1 j=1 Y ij 3. Variansestimat i gruppe i: S 2 i = 1 n i Model og kontrol af modellen n i j=1 (Y ij Y i ) 2 Normalfordelt variation i hver stikprøve (lav k QQ-plots). Middelværdier betegnes µ 1, µ 2,...,µ k. Varianser betegnes σ 2 1, σ2 2,...,σ2 k Model: For hvert i: Y ij = µ i + ɛ ij, ɛ ij N(0,σ 2 i ), j = 1,2,...,n i Samlet antal observationer: n = Alle n observationer antages uafhængige. k i=1 n i Sammenligning af varianser: Udregn kvotienten mellem den største og den mindste varians: F(x,y) = s2 max s 2 min = = Nu er F ikke længere F-fordelt. Meget grov vurdering: F må ikke være større end 5 (OK i eksemplet).
6 7.3 Sammenligning af middelværdier 6 Vi antager dermed varianshomogenitet: σ1 2 = σ2 2 = = σ2 k Den fælles varians betegnes σ Variationen inden for gupper SSE måler variationen inden for grupper: SSE = k n i (Y ij Y i ) 2 i=1 j=1 med n k frihedsgrader. Varians inden for grupper (estimat for σ 2 ): MSE = SSE n k Svarer til poolet varians baseret på de k variansestimater s 2 1,...,s2 k Variation mellem grupper SSM måler variationen mellem grupper: med k 1 frihedsgrader. k SSM = n i (Y i Y ) 2 i=1 Varians mellem grupper: Måler forskellen mellem grupperne. MSM = SSM k Total variation SSTO måler den totale variation: med n 1 frihedsgrader. Total varians: SSTO = k n i (Y ij Y ) 2 i=1 j=1 MSTO = SSTO n 1 Estimator for σ 2 når alle µ i er ens (men det er de måske ikke).
7 7.3 Sammenligning af middelværdier ANOVA-tabel Resultater samles i ANOVA-tabel (variansanalysetabel): Variationskilde DF SS MS F p-værdi Grupper k 1 SSM MSM MSM MSE p Fejl n k SSE MSE Total n 1 SSTO Man kan vise at kvadratsummerne opfylder: SSTO = SSM + SSE Dermed angiver linien Total i tabellen summen af de to kvadratsummer i søjlen. Tilsvarende er n 1 det totale antal frihedsgrader F-test Nulhypotese Alternativ hypotese H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k. H a : ikke alle µ i er ens. Teststørrelse: F = MSM MSE Fordeling: F F-fordelt med k 1, n k frihedsgrader (se tabel A.6). Man kan vise at de to variansestimatorer MSM og MSE er indbyrdes uafhængige. Ensidet test: forkast hvis F er større end tabelopslaget. Beslutningsregel: Forkast H 0, hvis F > F k 1,n k;1 α Konklusion: 1. Hvis H 0 accepteres: Udregn total MS MSTO = SSTO n 1 og lav 1 α konfidensinterval for det fælles µ: Y ± t n 1,1 α/2 MSTO n 2. Hvis H 0 forkastes: Lav konfidensintervaller for hvert µ i : Y i ± t n k,1 α/2 MSE n i
8 7.4 Vigtige begreber i forsøgsplanlægning Eksempel: prostatabehandling ANOVA-tabel for prostatabehandling Variationskilde DF SS MS F p-værdi Behandling Fejl Total Den lave p-værdi viser, at vi må forkaste H 0. Så mindst to af behandlingerne må være forskellige fra hinanden. Vi går videre som under 2. og laver konfidensintervaller for de tre µ i -er. Tabeloplsag: t 12,0.975 = Variansestimat: MSE = Medicin: 1.46 ± /5 2. Mikrobølge: 3.07 ± /6 (1.00, 1.92) 3. Kirurgi: 4.73 ± /4 (2.65, 3.49) (4.22, 5.24) At dømme efter konfidensintervallerne er der en klar forskel mellem de tre metoder, og kirurgi fremstår som den bedste metode. 7.4 Vigtige begreber i forsøgsplanlægning Her er nogle vigtige begreber i forsøgsplanlægning: Responsvariabel Y : det udfald som skal måles. Forsøgsenhed: den enkelte eksperimentelle enhed, hvorpå der skal måles. Enkeltforsøg: Når Y måles på en forsøgsenhed. Eksperimentel usikkerhed: tilfældig variation i responsvariablen. Replikation: når der laves flere uafhængige enkeltforsøg under identiske betingelser. Piloteksperiment: lille indledende forsøg. Faktorer og kovariable (forklarende variable): ting som kan have indflydelse på udfaldet.
9 7.5 Variation, replikation og stikprøver 9 Behandling: faktor(er) af særlig interesse. Confounders: alle andre vigtige faktorer (observeret eller ej). Blok: sæt of enheder som er ens, f.eks. fra samme batch af forsøgsmateriale. Blokningsfaktor: en faktor som skelner mellem blokke. Blindforsøg: når behandlingen holdes skjult for observatøren. Hovedstrategi: Kontrollér hvad du kan, og lav randomisering for resten. Kontrollere: at tage en faktor i betragtning. Formindsker den eksperimentelle fejl. Randomisering: tildel behandlingerne tilfældigt til forsøgsenhederne. Ukontrollerede confoundere vil forøge den eksperimentells fejl. TAG RANDOMISERING ALVORLIGT! Randomisering: når ethvert medlem af populationen har samme sandsynlighed for at komme med i stikprøven. 7.5 Variation, replikation og stikprøver Replikation er afgørende for at kunne estimere størrelsen af den experimentelle fejl. Den eksperimentelle fejl måles ved s, også kaldet SD (standard deviation). Lav tilfældig stikprøve Y 1,...,Y n og udregn Ȳ og SD. SD måler den grundlæggende variation. Nøjagtighed af Ȳ som estimator for middelværdi µ er givet ved standard error: SE = SD n Lille SE kræver lille SD, stort n, elle begge dele. Er du i tvivl, så begynd med n = 3.
10 7.5 Variation, replikation og stikprøver 10 Hvor mange replikationer? Figure 1: SE som funktion af n. Lav foreløbigt estimat for SD ved pilotforsøg. Hvor mange replikationer? Nok til at få SE ned! Type I og type II fejl når to behandliger sammenlignes: Eksperiment: Ingen forskel Forskel Verden: Ingen forskel Korrekt Type I fejl Forskel Type II fejl Korrekt
11 7.6 Udvælgelse af forsøgsenheder 11 Hold sandsynligheden for type I fejl fast på lille værdi (α = 5%). Gør sandsynligheden for type II fejl mindre ved at forøge antallet af replikationer. 7.6 Udvælgelse af forsøgsenheder Stikprøver, strata og blokke Population: gruppe der ønskes information om. Stikprøve: gruppe der skal undersøges. Sampling error: Usikkerhed ved at drage konklusioner om populationen ud fra stikprøven. Påvirkes af eksperimentel usikkerhed og antal replikationer. Forsøgsplan: skal repræsentere populationen bedst muligt. skal være økonomisk/ logistisk/ tidsmæssigt muligt. skal formindske sampling error mest muligt. Klyngeudvalg: Populationen opdelt i disjunkte grupper (relevante) for eksempel mænd/kvinder, ny/ældre model, 5 ens maskiner,... Lav evt. stratificeret sampling. Eksempel: Der skal udtrækkes en tilfældig stikprøve på 1000 danskere, som skal interviewes. Det er meget tidkrævende at gennemføre 1000 interviews alle mulige steder i landet. I stedet udvælges tilfældigt 10 kommuner (klynger), hvorefter der udtrækkes 100 personer tilfældigt i hver kommune. Dette er mindre tidkrævende.
12 7.7 Forskellige typer af forsøgsplaner 12 Clusters: Kun muligt at få stikprøve fra en vis gruppe af populationen for eksempel spørg folk på gågaden i Odense/Århus/Kbh Husk på det, når konklusioner skal drages! Blokke: Blokke er strata af homogene enheder, hvor forskellen mellem blokke er tilfældige. Formålet med blokke er at formindske sampling error. Dette opnås ved at sammenligne behandlinger inden for hver blok. eksempel: del en vævsprøve i to, og tildel behandling A til den ene og B til den anden. eksempel: paneldata: spørg det samme panel af vælgere gentagne gange, for at få et sikrere estimat for bevægelser i vælgertilslutningen til et parti. 7.7 Forskellige typer af forsøgsplaner Kontrollerede forsøg Forsøgsenhed: element udvalgt til stikprøven Respons: resultat fra forsøgsenheden Faktor: opdeling af/ påvirkning af forsøgsenhederne faktorniveau og faktoreffekt Behandling/ treatment: systematisk ændring af en faktors niveauer replikation: gentagelse af behandling på flere forsøgsenheder Randomiseret forsøgsplan: tilfældig fordeling af behandlinger på forsøgsenhederne. Kontrolleret forsøg: Alle faktorer kan styres. Eksempler: Forsøgspersoner opdeles i behandlingsgruppe og placebogruppe
13 7.8 Oversigt 13 Reaktionshastighed måles ved 5 forskellige temperaturer Lufttryk måles i 200 gange ved forskellige højder over havoverfladen Usikkerhed: eksperimentel fejl Variation i respons fra forsøgsenheder på samme faktorniveau. Målefejl Variation i forsøgsenhederne Konfundering: To eller flere faktorer Hvis faktoreffekterne ikke kan adskilles (umuligt at vide hvilken faktor, der giver påvirkningen) for eksempel respons: antal børnefødsler i rumænsk by; F1: antal storke nær byen; F2: årstid Observationsstudier Forsøgsenhederne påvirkes ikke i forsøget. Responsen måles direkte på den valgte enhed for eksempel trafiktæthed på forskellige motorveje længden af regnorme forskellige steder forskel på rygere og ikke-rygere - hvilken gruppe får oftest kræft? database over diabetesfælde: gør behandlingseffekt op. 7.8 Oversigt Nogle grunde til at planlægge sit forsøg Tænk før du handler! Lidt planlægning kan spare en masse (laboratorie-) tid. Information bør indsamles så effektivt og så omhyggeligt som muligt. Lav en omhyggelig plan, og følg den omhyggeligt.
14 7.8 Oversigt 14 Overvej alle tænkelige kilder til fejl og variation. Statistik kan ikke redde et dårligt planlagt forsøg. Dårligt indsamlede data giver dårligt funderede konklusioner. Hvis du bryder reglerne, så gør det med åbne øjne. Før du starter Nogle overvejelser, som kan hjælpe dig i gang: Begynd med en klar hypotese. Lav et pilotforsøg, og tag eksisterende data i betragtning. Vær sikker på, at din forsøgsteknik er i orden. Observationsstudium eller kontrolleret forsøg? Feltarbejde, fabrik eller laboratorieforsøg? Udfør forsøget under varierende betingelser. Overvej årsag/virkning og confounders. Overvej stikprøvestørrelse versus præcision. Husk, at videnskab handler mere om at stille de rigtige spørgsmål end at besvare dem. Checkliste Overvej forsøgets formål. Lav et resumé af gældende viden og usikkerhed. Beslut dig for en strategi. Lav et pilotforsøg. Planlæg en enkelt forsøgsenhed. Planlæg hele forsøget. Etiske overvejelser. Udfør forsøget. Opdatér viden og usikkerhed. Genovervej forsøgets formål.
15 7.9 Eksempler på forsøgsplanlægning Eksempler på forsøgsplanlægning Kantinebenyttelse Formål: Undersøg, hvor stor en forskel, der er i antallet af kantinekunder mellem forelæsnigstid (15 over til 00) og pauser (00 to 15 over). Forhåndsviden: Der er langt færre kunder i forelæsningstiden. Usikkerheder: Antallet af kunder varierer som funktion af tid på dagen, ugedag, og måned. Strategi: Gå ind og tæl altallet af kunder i forelæsningstid og pauser, og sammenlign. Pilotforsøg: Foretag en tælling på en enkelt dag. Forsøgsenhed: Tælling på en bestemt dag og tid på dagen. Planlæg forsøget: Tæl i 5 uger, som er spredt ud over et semester. Tæl hver dag igennem ugen. Tæl formiddag, middag og eftermiddag hver dag. Etiske overvejelser: Kunderne må ikke forstyrres! Data indsamles: Kræver nok teamwork. Opdatér viden og usikkerhed. Genovervej forsøgets formål Forsøgsplan: latinsk kvadrat Kvadratisk tabel med to faktorer og én behandlingsfaktor. Eksempel: 5 5 latinsk kvadrat for ugerne A, B, C, D, E. Man Tir Ons Tor Fre 8 A B C D E 10 B C D E A 12 C D E A B 14 D E A B C 16 E A B C D Hver uge forekommer én gang for hver dag og for hvert tidspunkt. Bemærk at der opnås 80% reduktion af arbejdet!
16 7.9 Eksempler på forsøgsplanlægning Eksempel: Proteomics Responsvariabel Y : proteinekspression (højden af peak). Enheder: Patienter (40) Faktorer, som påvirker responsvariablen: Vævsprøver fra samme patient (2) Spektre fra samme vævsprøve (3) Køn (2) Malign (ja/nej) (2) Kontinuerte variable: alder, BMI, kolesterol, Nogle problematiske cases Case I: En studerende ønsker at måle bakterietilvæksten i en sø over sommeren. Han har målinger fra forår og efterår. Begge gange på tre forskellige dybder. Men ikke de samme tre dybder. Case II: En gruppe studerende skal undersøge hvilke typer legetøj grise helst vil lege med. (De har ingen indflydelse på forsøgsplanen.) 8 grise lukkes ind i et rum med 4-5 forskellige typer legetøj. Det noteres hvor mange, der leger med hvad. Forsøget gentages flere gange i træk med forskelligt legetøj. Nogle af de sidste forsøg skilte sig ud fra resten: de fleste grise lagde sig til at sove og legede slet ikke. Case III: En brandingeniør skal analysere 10 forsøg om brandsikkerhed i et ældrebofællelskab. Der ønskes max. grænse (99%) for hvor lang tid det tager at rømme huset. 2 plejere skal redde 8 mobilitetshæmmede beboere ud af brændende hus.
17 7.9 Eksempler på forsøgsplanlægning 17 Forsøget gentages to gange lige efter hinanden med de samme personer. De sidste forsøg tager længere tid end de første. Case IV: En biologistuderende sætter et videokamera op ved abegrotten i zoo. Efter 150 timer sætter han sig ned og ser videoerne igennem. Der dukker jo nok noget interessant op.
Program. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereProgram. Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning. Repetition: ensidet variansanalyse. Eksempel: data fra Collinge et al
Program Tosidet variansanalyse og forsøgsplanlægning Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Ensidet ANOVA: repetition og Collinge eksempel. Additiv tosidet ANOVA (blokforsøg) Tosidet ANOVA
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereIndhold. 2 Tosidet variansanalyse Additive virkninger Vekselvirkning... 9
Indhold 1 Ensidet variansanalyse 2 1.1 Estimation af middelværdier............................... 3 1.2 Estimation af standardafvigelse............................. 3 1.3 F-test for ens middelværdier...............................
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereModul 11: Simpel lineær regression
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mere2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut
Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereProgram. Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse. Eksempel: fuldstændigt randomiseret forsøg. Forsøgstyper
Program Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Forsøgstyper og forsøgsplanlægning Analyse af data fra fuldstændigt randomiseret blokforsøg: tosidet
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereSidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion
VARIANSANALYSE 2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt.
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereHypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j
Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 8. november 2011 Videnskabelig hypotese Planlægning af et studie Endpoints Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 51 Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereEksempel , opg. 2
Faktorer En faktor er en gruppering/inddeling af målinger/observationer pga. Tilsigtede variationer i en eller flere forsøgsparametre Nødvendige (potentielle) blok-effekter såsom gentagne målinger på samme
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereModel. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.
Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereTovejs-ANOVA (Faktoriel) Regler og problemer kan generaliseres til mere end to hovedfaktorer med tilhørende interaktioner
Tovejs-ANOVA (Faktoriel) Regler og problemer kan generaliseres til mere end to hovedfaktorer med tilhørende interaktioner I modsætning til envejs-anova kan flervejs-anova udføres selv om der er kun én
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereIkke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereKapitel 13 Reliabilitet og enighed
Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mere1 Sammenligning af 2 grupper Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver... 2
Indhold 1 Sammenligning af 2 grupper 2 1.1 Responsvariabel og forklarende variabel......................... 2 1.2 Afhængige/uafhængige stikprøver............................ 2 2 Sammenligning af 2 middelværdier
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereHvad skal vi lave? Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver
Hvad skal vi lave? 1 Sammenligning af 2 grupper Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver 2 Sammenligning af 2 middelværdier Uafhængige stikprøver Uafhængige stikprøver -
Læs mereStatistik II 4. Lektion. Logistisk regression
Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereMikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1
Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering
Læs mereMultipel regression. Data fra opgave 3 side 453: Multipel regressionsmodel: Y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ǫ. hvor ǫ N(0, σ 2 ).
Program 1. multipel regression 2. polynomiel regression (og andre kurver) 3. kategoriske variable 4. Determinationkoefficient og justeret determinationskoefficient 5. ANOVA-tabel 1/13 Multipel regression
Læs mereModule 3: Statistiske modeller
Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mere13.1 Substrat Polynomiel regression Biomasse Kreatinin Læsefærdighed Protein og højde...
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 13: Exercises 13.1 Substrat........................................ 1 13.2 Polynomiel regression................................
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereModul 6: Regression og kalibrering
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere